giai tich 12 khong co gi la kho

Tính bán kính mặt cầu qua đỉnh và tiếp xúc với tất cả cạnh đáy hình chóp đều SABCD biết cạnh cao là 15.[r]

(1)

TOÁN 12

Đề Tự Luận

Mực độ : Khó

(2)

www.saosangsong.com.vn

ƠN HỌC KÌ (09-10) Mực độ: Khó

Đề

1 o hàm số y =

2

x + x x y= +

+ Ch

a Khảo sát vẽ đồ thị ©

b Từ đồ thị định m phương trình x2 + x + 1= m|x +1| có nghiệm thuộc ( - ; 3)

b Tìm © điểm có ỏ

2

a Cho log23 = a log25 = b, tính theo a, b : log b Từ đồ thị y = 2x , suy

a Giải PT : log2(3x – 1) + 1/ log(x +3) định hàm số : y =

tổng khoảng cách đến tiệm cận nh 3060 đồ thị y = 4.2x -

3 = + log (x + 1)

2

2 x

log (x +2).log − 2− b Tìm tập xác

2

0 (sin x cos

∫

c Tính tích phân I = 4cos x - dx 2

π

+

a) T

x)

đến mp (AA’M) ìm thể tích khối lập phương ABCD A’B’C’D’ biết khoảng cách từ B

5 , M trung điểm BC

b ,5 thiết diện qua đỉnh tam giác

đều Tí

1 b

) Cho hình nón biết đường sinh a = 10, chiều cao h = nh góc mà thiết diện hợp với đường cao

Giải 1:

.Phương trình tương đương với :

2

x + x

( x x

+

= − ≤ ≤

+ m 3)

điể xanh với

y = hương trình có nghiệm < m <

đồ ị Hai tiện cận x + 1= x – y =

khoảng cách :

Số nghiệm phương trình số giao m phần đồ thị màu

đường thẳng y = m Chú ý : x = - 3: y = 7/2 x = : y = 13/4

Các giá trị cực tiểu y = P

13/4

c. Gọi (x ; x + 1/(x + 1)) điểm th

Tổ

d = |x + 1| +

| x 1|+ ≥ (bdt Côsi) mind = Ù |x + 1| =

| x 1|+

7

-3 -2 -1

2

x y

(3)

-2 a Đưa số : log3060 = log 62

2

0 log 15

1 log 15

a b a b

+ +

2

log 30

+

= =

+ + +

2x + – Đồ thị hàm số đồ thị hàm số Y = X hệ trục IXY với I (- 2; - 2) 4(x + 1) Ù 3x2 + 4x – = Ù x =

định k log − 2

b y =

3 a Đk : x > 1/3 PT đưa : log2(3x – 1)(x + 3) = log24(x + 1) Ù (3x – 1)(x + 3) =

b. Hàm số xác hi

2

log (x +2) x − ≥ (1)

Đk: x < , ≠ (1) Ù

, ≠

2

2 x

log − (x + 2) 2≥ <=>x +2 (2 - x) ≥

Ù x ≥ ½ Vậy ½ ≤ x <

c. I =

2 2(2cos x -1)

π

∫

dx =

0 (sin x cos x) +

2

02

2cos 2xdx (1 sin 2x)

ln |1 sin 2x | + sin 2x sin 2x

d

π π π

0 1

+

= = +

+

∫ ∫ = ln2

ảng cách từ B đế ọi a cạnh hình lập

4 a Kẻ MH vng góc AM MH kho n (AA’M) G

phương , ta có :

AB BM a a a

BH = = = = Ù a =

AM a 5

Vậy thể tích hình lập phương 125

b. Thiết diện tam giác SAC cạnh 10 K góc OSI

Vì SI =

ẻ OI vng góc với AC Góc phải tìm

SA

2 = Suy : cosOSI = SO/SI =

2 => OSI = 30

0 Đề

1 Cho hàm số y =

2

x + ax + b x 1− (1)

a Tìm a, b cho đồ thị có điểm cực đại A(0 ; - 1)

b Biết đồ thi (1) qua điểm B( - 1; 1) , tìm tập hợp điểm cực trị củ số a b thay đổi

tại điểm M, N khoảng cách MN nhỏ Giải PT : | l

b Cho log23 = a, tính theo a : log8 (13,5) log6 (1,5) a Giải BPT : 34 – x – 35 33x – + >

a hàm c Gọi © đồ thị ứng với a = - a b = d đường thẳng y = 2x + m Tìm m để d cắt © a n(2x – 3) + ln(4 – x2)| = |ln(2x – 3| + | ln(4 – x2)|

3 A

B C D

B’ C’ D’

S

O

A B A’

H M

(4)

b Giải hệ :

x

2 2

9

log 0,5 log

x y

1

y

−

⎧ =

⎪

⎨ ⎛ ⎞ + =

⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩

c Tìm nguyên hàm hàm số f(x ) = xcosx 3

sin x

Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A’B

a ’C’D’ biết A’C = hợp với (ABCD)

= Tính diện tích thiết diện qua

4

Giải :

góc 300 với (ADD’A’) góc 450

b Cho hình nón có đường sinh a = 10 chiều cao h đỉnh biết thiết diện cách tâm đáy khoảng

1 a y’ =

2

x - x - a - b (x 1)−

điểm cực đại => y’(0) = y(0) = Ù a + b = - b = - a = - b = Thử lại nhận

. Thế A(0 , - 1) Ù

b x = - 1, y = : b = a – => y

2

x x

-’

2

x - x - 2a + (x 1)−

2

2a +

(x 1)− =

Đồ thị có điểm cực trị y’ có nghiệm phân biệt khác Ù Δ' = + 2a – > Ù a > Hoành độ điểm cực trị thỏa : x2 – 2x – 2a + = Ù a = (x2 – x +3)/2 (1)

+ 3)/2 Do a > nên (x – x +3)/2 > Ù (x – 1) > Ù x ≠

ợp parabol y = (x2 + x +3)/2 với x ≠ Tung độ thỏa: y = x + a (Quy tắc tính cực trị) (2) Thế (1) vào (2) : y = x + (x2 – x +3)/2 = (x2 + 2x

2

Vậy tập h

2

x - x

c. © : y=

x 1−

x2 – x + = (x – 1)(2x + m) Ù x +

Phương trình hồnh độ giao điểm :

2 cắt © điểm hồnh độ :

2 + m x – m – =

1,2

b x =

2a

− ± Δ

Δ = m + m + > 0, m Vậy d ln có Tung độ : y , = 2x , + m 2

Δ

Suy : MN2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = 5(x2 – x1)2 = 2 = (m2 + m + 1) = 5[(m + ½)2 + ¾ ]

a

Vậy minMN = 15 / m = - ½

2 a Đk: 3/2 < x < Dạng |A + B| = |A| + |B| Ù (A + B)2 = (|A| + |B|)2

V y : ln(2x – 3) ln(4 – x ) ≥ Ù

4 x Ù AB = |A||B| Ù AB ≥

2 2x

ậ 2

4 x

2x (VN) hay

− ≥

⎧ ⎧ − ≤

⎨ ⎨

⎩ − ≥ ⎩ − ≤ Ù x 2≤ <

b. * log8(13.5) = (1/3)log2(27/2) = log23 – (1/3)log22 = a – 1/3 * log6(1,5) = log (3 / 2)2 = a−

2

log a+

1

(5)

Ù 3x < log (27/5) Ù x < 3

3 log

3

−

PT đầu Ù x - 3y = 3/2 Ù x = 3y + 3/2

g39y Ù = log 9y(3y + 3/2) Ù 9y(3y + 3/2) =

x = Hệ có ngh m (2 , 1/6)

c. Dùng nguyên hàm phần

b. Đk: x > 0, y >

Thế vào phương trình sau : - (1/2)log3(3y + 3/2) +1/2 = (1/2)lo

Ù y = 1/ => iệ Đặt : u = x => u’ =

Đặt v’ = 3

sin x , chọn v = cos x

2

1 2sin x

−

Vậy F(x ) = 2

2sin

− x

x + 2

dx x

cot x C 2sin x 2sin x = − −2 +

∫

4 a Ta có: A’CA = 300 CA’D = 450 => AA’ = 4, AC = 3, CD =

Suy : AD = Thể tích khối hộp : V = AA’ CD AD = 64

b. Gọi SAC thêít diện qua đỉnh Gọi I trung điểm OH vng góc SI OH vng góc (SAC) => OH =

AC, kẻ

2 2

1 1

OI =OH −OS =64

=> OI2 = 64/3

Ö SI2 = OI2 + OS2 = 256/3 => SI = 16/ Ö Và AI2 = SA2 – SI2 = 44/3 => AI = 11/ Ö SSAC = SI AI = 32 11 /3

a) Khảo sát vẽ đồ thị ©

b) Viết phương t ng góc với đường th

c) Dùng đồ thị © để biện luận theo m số nghiệm ph ới x thuộc [0 ; π]

2 a) Gi + 40log4x

Đề 3:

1 Cho hàm số y = x3 – x

rình tiếp tuyến v ẳng y = x /

ương trình : 8sinxcos2 x - 2sinx + m = v

ải phương trình : logx/2 x2 – 14log16x x x =

b) Vẽ đồ thị hàm số y = log2 x suy đồ thị hàm số y = log x - 22

3 a) Giải bất phương trình : x x

6 2 −1<

b) Tìm GTNN hàm số y = 5sinx + 2

(5sin x-2) với (π/6 ≤ x ≤ π)

A’’ D’

B’ C’

A

C

D

B S

O

A B

H

I

(6)

c Tính tích phân I = x xd

2

4

∫

A có đường cao AH =

0 x +3+ x +

4 Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy tam giác cân , cạnh đáy BC = , mặt (ABC’) hợp với mặt bên BCC’B’ góc 600

i tiếp tứ di ’

2

+ m =

sinx : X3 - X = m (0 ≤ X ≤ 2)

điểm phần đồ thị ứng với ới đường thẳng y = m

Mỗi X thuộc [0 , 2) cho ta nghiệm x Riêng X = : x = π/2 (1 nghiệm )

ăn đồ thị , ta có kết sau: ¾ m < - hay m > : VN ¾ m = : X = => nghiệm x

¾ m = - hay < m < : nghiệm X ≠ => nghiệm x ¾ ≤ m < - : nghiệm X ≠ => nghiệm x

a Đk: x > 0, ≠ 2, 1/16, ¼ Đưa số đặt t = log2 x a Xác định tâm mặt cầu ngoạ ện AHCC

b Tính thể tích lăng trụ

Giải 3:

1 a. Học sinh tự giải y

b. y’ = 3x – = - Ù x = => y = 3

PT tiếp tuyến : y = - 3x

c. 8sinxcos x - 2sinx + m = với x thuộc [0 ; π] Ù 8sinx(1 – sin2x) – 2sinx

Ù (2sinx)3 – 3(2sinx) = m Đặt X =

Số nghiệm X số giao ≤ X ≤ (màu xanh) v

*

* C

2

2log x 3log x (1/ 2)

14 40

− +

2

log x log 4x 2t − −3t 2) 0= Ù

2

log (x/2) log 16x

2t 42t 20t

t(

<=>

t t t 2− − + + + = <=>

t = 0, t = ½ , t = Ù x = 1, x = , x =

b y = log x - 22 = [2 + ½ log2(x – 2)] Ù y = + log2(x – 2)

Vậy đồ thị đồ thị hàm số Y = log2 X vẽ hệ trục I XY với I(2 ; 4)

-2 -1

-3 -2 -1

x

π/2

π

(7)

x x x x

x x

(2 ) (2 3)(2 2)

0

2

− − > <=> − + >

− −

x

3 a Bất PT Ù

Ù 2x < hay > Ù x < hay x > log23

b Đặt t = 5sinx (5/2 ≤ t ≤ 5): y = t + 2 2) −

4 (t

3

(t 2) t

=> − = <=> = y’ = - 3 = <0

c

(t 2)−

y(4) = 5; y (5/2) = 18,5; y(5) = 49/9 Vậy miny =

1 2 2 2 3/2 2 3/2

0

x x +3 )xdx (x +4) -(x +3)

2 3⎡ ⎤

+ − = ⎣ ⎦

∫ =

0 Mặt khác góc ACC’ = 900 Vậy mặt cầu

i tâm trung điểm

b.Ta có AH vng góc (BCC’B’) Kẻ HI vng góc BC’ BC’ c (AHI) => góc AIH góc (ABC’) (BCC’B’) : = 600

0

4.a .Ta có AH vng góc (BCC’B’) => góc AHC’ = 90 ngoạ tiếp AHCC’ có đường kính AC’ =>

của AC’. C’ B’

vng gó

góc AIH A’

=> HI = AH/ =

Hai tam giác BHI BC’C đồng dạng cho : CC’ = BC BI 5

HI

Thể tích lăng trụ : V = S

= =

ABC CC’ = ½ AH BC CC’ = 18 15

Đề 4:

1 Cho hàm số : y =

2 +3x -

b) Định m để đường t ng y = m cắt đồ thị hai điểm MN cho MN =

c) Đường thẳng y = m cắt đồ thị hai điểm M, N Tìm tập hợp trung điểm I MN m

a) Giải phương trình : 3.8x x +4.12 −18x x −2.27 =0

m để hệ

x −

2(x 1)− a) Khảo sát vẽ ©

hẳ thay đồi

2

b) Tìm

2

3

2

2 (x - 2x 5)

log (x 1) log (x 1) log log (x -2x+5) - mlog + =

+ − − > ⎧⎪

⎨ có nghiệm phân biệt

a) Gi

⎪⎩

3 ải bất PT : x 1) (xlog2)log4 log 3

log8 +

+ > +

: y = cosx + h phân:

log(1

b) Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung chúng x , y = ex

c) Tính tíc /2

2

0

sin 2xdx cos

4 Cho lăng trụ xiên ABC

x+4sin x

π

∫

A’B’C’ có mặt bên BCC’B’ hình vng cạnh cạnh bên hợp với

0 tam giác Chân H đường tam giác

a) Tính thể tích lăng trụ

b) Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp A’ABC, tính khoảng cách từ O đến mp (ABC) đáy góc 60 , đáy cao A’H lăng trụ nằm

ABC

A

C B

(8)

ành độ giao điểm : - x + 3x – = 2m(x – 1) + – 2m = (1)

Giải 4:

1 a Học sinh tự giải

b Phương trình ho Ù x2 + (2m – 3) x

Giả sử x1, x hai nghiệm (1) : 1,2

b x =

2a

− ± Δ

, M(x1 , m), N(x2, m) Suy :

2 2

2

(2m 3)

Δ −

2

4(3 2m)

4m 4m

− − (x2 – x1)2 =

MN =

a = = − −

ậy MN = Ù 4m2 – 4m – = Ù m =

2

±

V

1

x

= ⎪ ⎨

c Tọa độ I :

2

x + x 2m

2x 2y

−

⎧ =

=> + − =

Ù m < - ½ hay m > 3/2 Vậy tập hợp điểm I phần

2 a Phương trình Ù + x – x 32x – 2.3 = x - (3/2) 2x – 2.(3/2)3x = Đặt t = (3/2)x > : 2t3 + t2 – 4t – = Ù (t + 1)(2t2 – t – 3) =

trình đầu Ù

y m

⎪ = ⎩

Điều kiện có M, N Ù 4m2 – 4m – >

đường thẳng 2x + 2y – = với y< - ½ hay y > 3/2

3x 2x 3x

Chia hai vế cho 23x > : + 4(3/2) Ù t = - (loại), t = 3/2 Ù x =

b Bất phương log 3 x log (x 3

x

+ > >

− 1)

Ù x 1+ > <=> + >2 x 2(x 1)− <=>x <3 Vậy < x <

x 1−

* Đặt t = log2(x2 – x + 5) Vì x2 – 2x + = (x – 1)2 + > nên < x < thì:

uộc (2, 3) Khảo sát hàm số f(t) (2 , 3) , ta được: - 25/4 ≤

3 a BPT Ù

< x2 – 2x + < => < t <

Phương trình sau thành : t – m/t = Ù f(t) = t2 – 5t = m (*) Hệ có nghiệm (*) có nghiệm th

m < -

x + (xlog2).2log

log(1 2+ )> +log 3Ù

- sin x + = e (2)

⎨ ⎪⎩

-1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5

-8 -6 -4 -2

3log

x + 2x/3

log(1 2+ ) log 3.2> Ù + 2x + > 22 x /

x

Đặt t = 2x /3 > : 2.t3 – 3t2 + > Ù (t – 1)2 (2t +

-3.5 -3 -2.5 -2

y

1) > Ù t ≠ Ù x ≠

b. Đk tiếp xúc :

x

cosx x = e (1)

⎧ +

⎪

(9)

Giải (1): Vì cosx )

Ta có hàm số f(x) = e x = : c

≤ nên cosx + x ≤ + x Suy : ex ≤ + x Ù ex - x ≤ (* x - x có f ’(x) = ex – = Ù ực tiểu

) ≥ , x Do (*) Ù x = x = nghiệm (1) m (0 ; 1) phương trình tiếp tuyến chung x

Lập BBT, ta suy : f(x

Nghiệm thỏa (2) Vậy hai đồ thị tiếp xúc điể y = + (xem hình)

2

I

3sin x

=∫ d(sin x ) 3sin x ]+ 0

3

+

π π

= =

A’H = AA’

c

3

4 a Kẻ đường cao AH: góc A’AH = 600 => A’H = = 3 Vậy thể tích : V =

2

6

SABC A’H = 3 81=

4

b Gọi I, I’ trung điểm BC B’C’ Vì BC vu (AII’A’), H nằm đoạn AI Gọi O tâm m đáy Đặt OK = x , ta có: OA

ơng góc với AA’ AI nên BC vng góc ặt cầu, có hình chiếu lên (ABC) tâm K 2 = AK2 + OK2 = (2 3

Trong hình thang

) + x = 12 + x2

vuông A’HKO : OA’ = (A’H – OK)2 + HK2 = (3 - x )2 + ( - 3)2 a có: OA2 = OA’2 (bán kính) Ù 12 + x = (3

T - x )2 + ( - 3)2

2 = 27 – 6x

Ù 12 + x + x2 + 12 - 12 + Ù x = 2( 1)−

A’

C’

Đề 5:

1 Cho hàm số y = - x3/3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x -

a) Định m để đồ thị có điểm cực trị nằm hai phía trục Oy b) Khảo sát vẽ đồ thị ©.khi m =

c) Dùng đồ thị để định a cho phương trình sau có nghiệm phân biệt |x|3 - 3x2 – 3|x| - 12 = 3a

2 a Tìm GTNN hàm số : y = x x+3

x x

1

4

4 −

+ − − +5

A C

B

B’

I I’

H

O

6

O A’

H K

x

(10)

2

27

b.Giải phương trình : log (x -5x + 6) = log1 ⎛x 1− ⎞ 3) 2

3. a Tìm tất giá trị a cho bất PT sau đượ i x :

9

3 log

(x-2 ⎜⎝ ⎟⎠+

c nghiệm vớ ≤0

x x x

.2 + +(2 +1)(3− 5) + +(3 5) >0 a a

2

x - 2x + x m m y=

− b Biện luận theo m tiệm cận đồ thị hàm số :

2

| x + 1|+|x 1| x +

−

∫

c Tính tích phân : I =

4.a Cho hình chóp SABCD đáy hình vng cạnh a , mặt SAB tam giác mặt SCD tam giác vuông Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh SMN tam giác vng tính thể tích lăng trụ

b Cho hình trụ hình vng ABCD cạnh a, có AB CD hai dây cung hai đáy hình trụ mp (ABCD) hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối trụ

2

= - (m + 3) <

ủa đồ thị (C’) : y = |x|3/3 |x| - đường thẳng y = a Hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy Mặt khác x < : y = - x3/3 – x2+ 3x – tức y =

hần : phần (I) phần © bên trái Oy ( ứng với x < 0) phần (II)

1

-14 -10 -4 -2

x

Giải 5:

1 a. y’ = - x + 2(m – 1)x + m +

Hai điểm cực trị nằm phía Oy Ù y’ = có nghiệm trái dấu Ù P Ù m > -

b m = 0: f(x ) = - x3/3 – x2+ 3x –

c PT Ù |x|3/3 – x2 - |x| - = a

Số nghiệm PT số giao điểm c – x2 - f(x ), (C’) gồm p

đối xứng (I) qua Oy

y

-5 -4 -3 -2 -1

-6 -8

(11)

Căn vào hình, phương trình có nghiệm Ù - 13 < a < -

2 a y = x x x

1

(4 ) 8.(2 )

4

+ − + x + = (t

2 t2 – 8t + = (t – 4)2 - 13 ≥ - 13 ới t =

2 – 2) – 8t + = x x 2 +

v ≥ (bđt Côsi)

ậy miny = - 13 t =

PT Ù log3(x – 2)(x – 3) = log3 V x − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

b + log3|x – 3|

k: x > hay < x < T Ù (x – 2)(x – 3) = Đ x − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

P |x – 3|

x > : x – = x

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

* Ù x = : loại

< x < 2: x – = - x

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

* Ù x = 5/3 : nhận.

a. Chia hai vế cho 2x > :

x x

3 + 5

(2a 1) 2a

2 ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 >

ặt t =

x ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ > : t + (2a + 1)(1/t) + 2a > Ù t

2 + 2at + 2a + > f(t) = Đ t 2a Ù

t 1+ +

> −

hi x < t ≤

ố f(t) (0 , 1]:

x 1− f’ - + f

2(

K ≤0

Khảo sát hàm s f’(t) =

2

t + −

2 t

(t 1)

2t 1= <

vào BBT

Ù 2(

=> = −

+

Căn , yêu cầu toán

2 1− ) > - 2a Ù a > -

b Thực phép chia : y = mx + (m - 2) + 2m x

− − * 2m – = Ù m = 1: y = x – => tiệm cận * m = : y = - -

x 1− => tiệm cận đứng x = 1, tiệmcận ngang y = - ận đứng x = 1, ti x + m – * m ≠ 2, : tiệm c ện cận xiên y = m

c

2x ; x

f (x )= ⎨⎪⎪ + => I = x

2

;0 x

⎧ ≤ ≤

⎪ ≤ ≤

x ⎪⎩ +

1 2dx

+

0

2xdx

x 2+ x 2+ = 2ln|x + 2} = ln | x | ]+ 0+ 2x 4ln | x | ]− + 1

∫ ∫

( )

1

(12)

a a

4.a SM = , SN =

2 2, MN = a

ông S

đườ hình c B vng

góc (SMN))

A => MN2 = SM2 + SN2 => tam giác

SMN vu

b Kẻ SH vuông góc MN SH ng cao hóp (vì A

Ta có : SH=SM SN=a

MN

=> VSABCD =

3

a 12

Kẻ đường sinh CE góc ABE = v ( định lí đường

ng góc ) => AE đường kính góc CDE = 600 có : h = CE =

b

v

Ta a

2 BE = a/ Suy : AE2 = AB2 + BE2 = 5a2

4 => r

2 = 5a2 16 => V = πr2h = 5 a 33

32 π

Đề 6:

1 Cho hàm số y = 1x - 2x +4

2

a Khảo sát vẽ đồ thị © b Tìm

Oy điểm không vẽ tiếp tuyến với ©

c Định a cho đường thẳng y = a cắt © điểm A, B, C, D ( có hồnh độ lớn dần) = CD

2 a Giải phương trình :

ủa hàm số : y = cho BC

x x

2 1/2

log (4 + 4) = x log (2− + − 3)

b Tìm GTNN c

2

2 x +

log (x + 4) + log 16

3 a Giải BPT :

1/2 1/2

(x 1) log+ x (2x 5) log x 6+ + + ≥ b Tìm giới hạn hàm số f(x) =

2x 1

ln(1 x)

− −

+

e

x tiến tới

c Tính nguyên hàm F(x) hàm số : f(x ) = biết F(0) = c p với đáy góc α mà tan α = 6/

2

(3x 1)ln(1 + x)−

4 a Hình chóp SABC có tất ạnh bên hợ 13 , đáy có AB = 4, AC = A = 60 Tính thể tích khối chóp

khối ch tam giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính biết tâm mặt cầu cách đỉnh khoảng

iải 6:

0

b Tính thể tích óp

G

B C D

S

M

N H

a

O’

O

A E

a

(13)

a Học sinh tự giải

M(0 ; m) điểm cần tìm Phương trình đường thẳng d qua M : y = kx + m

1 b Gọi

4

1

k ⎧

⎪ d tiếp xúc © Ù

3

2x - 4x = k

x - 2x + = x + m 1 3

x - 2x + (2x - 4x)x m

2

=

2 > = +

yến qua M Ù (*) VN Ù 3t – 4t + 2m – = VN hay có nghiệm âm ệm âm, thành : Δ’ = – 3(2m – 3) < Ù m > 13/6 2 + – 2a = Ù t2 – 4t + – 2a = (**) với t = x2 ≥

, P = – 2a > S = >

Gọi t < t nghiệm (**) , hoành độ A, B, C, D ⎨

⎪⎩

Ù 3x4 – 4x2 + 2m – = (*)

2 Khơng có tiếp tu

Vì S = 4/3 nên khơng thể có nghi

c PT hoành độ giao điểm : x – 4x Có giao điểm Ù Δ’= 1+ 2a > Ù - ½ < a < 3/2

2 1

t , t , t , t

− −

1 2

BC = 2CD Ù 2 1 1 t1 <=> 2 1 2 =4t1 (1)

ải (1), (2) (3), ta , t2 = 16/5 2( t − t )= t + t =2 t <=>t

Mặt khác : t1 + t2 = (2) t1 t2 = – 2a (3) Gi : t1 = 4/5 a = 11/50

2 a PT Ù log (4x x 4) x log (2+ +1−3)

2 + = Ù

x + = 2 x ( 2 x + 1 – 3) Ù = Ù x =

=

Ù x - 2x - = x

b Đặt t 2

log (x + 4) ≥ log 42 = 2: y = t

4 t + => y’ = 1− 83 = <=> =0 t Miny = y(2) =

t

og22 x - 2log2 x ) + (log22 x - 5log1/2 x + ) ≥ Ù (log x - 2)(x log x + log x - 3) ≥

3 a BPT Ù x (l

2 2

* log2x – = Ù x =

* x log x + log x - = Ù log x = 2 Ù x = : nghiệm VT đồng biến x 1+

VP nghịch biến

Lập bảng xét dấu, ta nghiệm : < x ≤ hay x ≥

b

2x

x

e

x −

−

= −

(1 + x) => u’ = 1/(1 + x) F(x) = (x3 – x)ln(1 + x) -

x

x x

(e ) '

x

lim f (x) lim

ln(1 x) [ln(1 x)]' =

→ →

−

= = = = −

+ +

c Đặt u = ln

Đặt v’ = 3x2 – : chọn v = x – x

3

x - x

dx = (x - x) ln(1 x) -+ (x - x)dx

∫ ∫

= (x3 – x)ln(1 + x) – x3/3 + x /2 + C

S

O I

α

4 A

B

C x +

(14)

F(0) = => C =

4 a Hình chóp SABC có

2 tất cạnh bên hợp với đáy góc α nên chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy BC = 42 + 32 – 2.4.3 cos600 = 13 (định lí hàm cos)

=> OA = R = BC 13 2s

=> h = SO = OAtan

in A = (định lí hàm sin) α =

Thể tích khối chóp : V = S

A C

B I O

K 5

3

0 ABC

1 1

.S SO 3.4.sin 60

3

mà

2

= =

tan α = 6/ 13 , đáy có AB =

4, AC = A = 600 Tính thể tích khối chóp

đường cao SO ng góc SI KO = ng dạng cho ta:

T

3 b. Tâm K mặt cầu giao điểm

phân giác IK góc SIO Kẻ KT v KT = SO = + =

Hai tam giác SKT SOI đồ

OI SO

OI

KT =ST => = = => BC = 12 Thể tích khối chóp : 288

Đề 7:

1 Chohàm số : (2 1)x + m + x m

y

m − =

+ (1)

a Định m a hàm số (1) m m th

để đồ thị củ ột hypebol Khi tìm tập hợp tâm đối xứng ay đổi

h t uyến © vẽ từ A(2 ; 0)

2 a Tìm GTLN NN hàm số y = sin3 x + cos3 x + b Khảo sát vẽ © m = -

c Viết phương trìn iếp t

9

4sinxcosx b Giải phương trình : log 9− x

3

log x

x x x

12 =

-x + 3-x 4)

3 a.Giải BPT : log (2.92 −5.4 +6 ) 2>

b Định m để BPT sau có nghiệm : log1/x2(x - ) < log1/x2(

2

m −

c Tích tích phân: dx

2 7x x +

∫

4 a Cho hình chóp SABCD có hai mặ ên liên tiếp hợp góc 600 khoảng cách SC

ố

ại p hình trụ Biết diện tích xung quanh hình trụ nửa diện tích mặt ầu , tính thể tích khối trụ

t b AC Tính thể tích kh i chóp

b Mặt cầu bán kính R ngo tiế c

Giải 7:

1 Đồ thị y = ax + b

cx + dlà hypebol ad – bc ≠ c ≠

(15)

* Tâm đối xứng I giao điểm tiệm cận => toạ độ I :

2 x = -⎧

⎪⎪ m y x/2

2m 1

y

m m

=> = +

⎨ −

⎪ = = −

⎪⎩ ≠ 0, - , -

m ≠ 0, , => x

b Học sinh tự giải

c. © : y = 3x

x 2− PT đường thẳng d qua A: y = k(x – 2)

d tiếp xúc © 2

2

.(x 2)

6 k x (x 2)

(x 2)

=> = −

⎨ − − −

⎪ =

− ⎪⎩

3x

k(x 2) x

⎧ = −

⎪ − ⎪

Ù 3x 6−

x = - => k = -3/8 d : y = (-3/8)(x – 2) Ù

9

2 a y = (sinx + cosx)(1 – sinxcosx) +

4sinxcosx Đặt t = sinx + cosx = cos(x )

4 π

− => |t| ≤ sinxcosx = (t2 – 1)/2

y = t 1⎛ t2−1⎞ t⎛ 2−1⎞ t3 9t2 3t

2 2 8

− + = − + + −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y’ = −3t2 +9t 3+ = <=> = −1/ ; t 20 t

2 = (loại)

ogx

b. Đặt t = l : 2t− = −t 12 <=>⎧t 0≤ 2

2 2t 12t

⎨

− =

⎩ Ù x = 1/9

-5 x + 6 x > Ù 2(9/4)2x + (3/2) x – > 4.(1/4x ( chia hai vế cho 4 x > 0) Ù 2(9/4)2x + (3/2) x - 4.(1/4)x >

n R tổng hàm số đồng biến R s n , BPT có nghiệm x >

b Nhớ công thức :

1 log f (x) > log g(x) <=> f (x) > g(x) hay f (x) < g(x)

g(x) > f(x) >

⎧ ⎧

⎪ ⎪

⎨ ⎨

⎪ ⎪

⎩ ⎩

* Nếu 1/x2 > Ù - < x < 1: BPT Ù < x – m < x2 + 3x – y vô nghiệm – < x < x2

Ù t = - 1/2

3 a BPT Ù x )

Gọi f(x ) hàm số VT, hàm số đồng biế f(1) = Do theo định nghĩa hàm ố đồng biế

a a

a 1> a< <

(16)

* Nếu 1/x2 < Ù x < - hay x > : BPT Ù x – m > x

x - 2x + > m

< − >

⎩

x < - hay x > : BPT Ù x – m 2 hay

x - 2x + > m

< − >

⎩

2 + 3x – > Ù ⎧x x

⎨ −

> x2 + 3x – > Ù ⎧⎨x x 2 hay

−

Khảo sát hàm số y = - x2 – 2x + x < - hay x > , BPT có nghiệm m < Khảo sát hàm số y = - x2 – 2x + x < - hay x > , BPT có nghiệm m <

c. I =

c. I = ∫4 dx = ∫4 xd x

2

7x x + 2

Đặt t =

x x +9

2 2

x +9=> =t x +9=>tdt xdx= : I =

5

5 dt 1 t

2

4

ln

(t 9) t t t

−

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟=

− ⎝ − + ⎠ +

∫ ∫

óc SB AHC = 1200 (vì OH < OC = OA nên góc tù) OH =

4.a Kẻ OH vuông g

Suy : OA = => AB =

2 2

1 = − = − =

SO OH OB 16 48 24

=> SO = V = 64

b. Gọi r h bán kính đáy chi ụ Ta có : Sxq = 2πrh = 2πR2 Ù rh = R2 (1)

B2 + BB’2 = AB’2 Ù 4r2 + h2 = 4R2 (2) + h2 = 4rh Ù h = 2r

Suy : r =

ều cao hình tr Mặt khác : A

2 Từ(1) (2) : 4r

3 hinhtru

2

; h R V

2

π

= => =

Đề 8:

1. Cho hàm số :

R R

2

x + (2m - 1) x - 2m x -

m y

m

= (1)

a Chứng tỏ đồ thị hàm số (1) thường qua ba điểm c b Khảo sát vẽ đồ thị © m = -

c Tìm Ox điểm từ kẻ tiế tuyến với © hai tiếp điểm thuộc hai nhánh ©

ố định p

S

A

B

O

4

C D

H O’

O

A r B

B’

(17)

2

x

2. a Chứng minh : e x ≥ + x + với x ≥ Giải bất phương trình :

x x

b x x

3 −2 - 5.2

1 +

≤

2

x +

− x + (x + 1)2 2−4x 2

iệt :

3 a Tìm cực trị hàm số : y =

( )

2

x

log x + ⎧⎪

b Định m để hệ sau có nghiệm phân b log y log y m

− = ⎨

+ =

⎪⎩ Tính tích phân:

1

xdx

2 x

− + +

∫

c

4 a Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất mặt bên hình thoi cạnh 2a, riêng mặt vng góc với mặt đáy c n tích 2a2 Tính thể tích khối lăng trụ góc

ợp với

giác

2 ( m x

bên BCC’B’ cịn ó diệ

mà mặt bên ABB’A’ ACC’A’ h đáy

b.Tính diện tích mặt cầu tiếp xúc với tất cạn

iết cạn h bên mặt phảng đáy hình chóp tam

b h bên a hợp với đáy góc 60

Giải 8:

1 a Viết lại (1) : y(x – m) = 2mx + (2m – 1)x – 2m ≠ ) Ù

) thỏa (*) với x Ù xy + x (2)2

2x + 2x - = y (3)

= ⎧

⎨ ⎩

* Thế x = vào (3) : y = - => đồ thị qua điểm (0 ; - 2) với m m(2x2 + 2x – + y) - xy – x = (*) với

Tọa độ điểm cố định (x ; y (2) Ù x = hay y = -

≠0

ng trình có nghiệm − ± * Thế y = - vào (3): 2x2 + 2x – = : phươ

=> đồ thị qua điểm ( − ±

; - 1) với m ≠

2 − ±

k(x – a)

2

x - 3x + ⎧−

x 2x

⎨− − −

⎪ = =>

k(x a)

x = −

⎪ +

⎪ 2

2

x - 3x x - 2x -

(x a)

x (x 1)

− + = − −

+ +

2 k

(x 1)

⎪ +

⎩

Ù (a + 2) x 2 + 2(a – 2)x + 5a - = ( x ≠ - 1)

ệ hỏa x1 < - < x2 Ù (a + 1)f( - 1) < - x – x2/2 - ≥ , x x ≥

Khảo sát f ‘ , ta : f ‘(x ) ≥ , x => f (x) ≥ f(0) = , x ≥ u cầu tốn Ù phương trình có nghi m t

Ù (a + 2)(4a + 4) < Ù - < a < -

2 a. ĐPCM Ù f(x ) = ex

f ’(x ) = ex – – x f ”(x) = ex – = Ù x =

b. BPT Ù Ù

x x x

2.3 4.2 2(3 / 2)

0

− −

x x x

3 −2 ≤ <=> (3 / 2) −1 ≤ Ù < (3/2)

x ≤ Ù < x < log 3/22

3.a y = - x2 + x + | x – 1| =

2x + x 1; x

− ≤

⎧ ⎨

− + − < <

⎩

(18)

=> y’ = ⎧⎨

< Hàm số có

1; x hay x 4x + 1; x

≤ − ≥

− − < ⎩

CT x = CĐ x = ¼

b PT đầu: y = (x + 1)2 / với x > 0, (x + 1)2 / + m = x2 Ù f(x) = 3x – 2x – = 4m

Khảo sát f x > 0, , phương trình có

x - oo - ¼ + oo y’ + + - + y

1 ≠ Thế vào PT sau:

2

1 ≠ nghiệm Ù - ¼ < m < - 1/3

c. Đặt t = x 1+ =>t2 = + =>x 1 dx =2tdt: I =

2(t 1) 2tdt 2

2 (t 2t )dt

−

= − + −

∫0 2 t+ ∫0 t 2+

ơng góc BC B’H đường cao lăng trụ , ta có : SBCC’B’ = BC B’H

Ù 2a2 = 2a B’H Ù B’H = a LT

=

4.a Kẻ B’H vu

Vậy V = (2a)2 3.a a 3=

4

vng góc AB góc KH góc ) đáy

* Kẻ HK B’

(ABB’A’

Ta có : BH = a => HK = BH 3a

= => tan c

c Vì hai

góc C’JI 600 => OC = a/2 SO =

B

A

C B’

C’

I A’

2 B’KH = a/(3a/2) = 2/3

* Kẻ đường cao C’ I = B’H , kẻ tiếp IJ vng gó AC góc C’JI góc (ACC’A’) đáy tam giác vuông B’HK C’IJ nên = góc B’KH = arctan(2/3)

b SCO = a

2

tâm mặt cầu thuộc đường cao SO Kẻ KT vng góc : KT = KO = r

giác SKT SCO đồng dạng cho : Gọi K cạnh SC

ai tam H

KT SK

KT SC OC SK OC= SC => =

Ù r a = (a/2) (a - r) Ù r =

a

x – 3(m – 1) x + 3mx + (Cm) a Định m để hàm số giảm (0 ; 1)

parabol y = x2 + 27/4 n m có số m = -

Đề 9:

1. Cho hàm số y = 2

b Tìm hững điể

c Khảo sát hàm

đồ thị (Cm) qua

2 a Chứng minh rằng: ln(1 x) x x + ≥

+ với x > - b Tìm GTLN GTNN hàm số : y = x - 1

x x

−

− −

3.a Giải bất phương trình : 22x 3+ −3.2−x+1 <2x+1

H K

2a

J a

S

A C

B I O

K

T

(19)

hiệm

b Định m để phương trình sau có ng : logsinx (2msinx) = log2(8sinx) c Tính tích phân: ∫π/2sin 2x cos x+

0 1 3sin x+ dx

a Cho hình chop SABC có đáy ABC tam giác vng A SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC hợp với mặt phẳng (SAB) góc 600

i chóp

b Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

m + 9) <

Ù m < (m < - hay m > 9) Ù m < -

(C ) qua (x ; x2 + 27/4 ) Ù x2 + 27/4 = x3 – 3(m2 – 1) x2 + 3mx + 2 + 15/4 = (*)

2

= (3x) - 4.3x (- x - 2x +15/4) > ≠

Δ ⎪⎩

( x ≠ 0) Ù (x – 1)(4x2 + 12x + 12) > Ù x >

4

Tính thể tích khố

Giải 9:

1 a y’ = 3x2 – 6(m2 – 1) x + 3m Ghi nhớ: Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = (1) sốα

ỏa x1 < α < x2 , điều

kiện cần đủ af(α ) < ông cần ∆ > 0)

Yêu cầu tốn Ù y’ = có nghiệm thỏa :

x ≤ < ≤ x1 Để (1) có nghiệm th Ù y’(0) < y’(1) <

Ù 3m < ( – 6m2 + ( kh

b. m

Ù 3x2 m2 - 3x m - x3 – 2x

Có đồ thị (Cm) Ù (*) có nghiệm m Ù 2 2 3 2

3x

⎧⎪ ⎨ Ù 4x3 + 8x2 – 12 >

2.a Bđt Ù f(x ) = ln(1 + x) x x −

+ ≥

Ta có : f’(x ) = 2 2

1 x (1+ − +

1 x

x) = (1 x)+ = Ù x = =

Khảo sát, ta suy đpcm

2

t 2t (t t 1)

− + − +

b. Đặt t x 0− ≥ : y = 2 t − +t

t 1−

=> y’ = = Ù t = 0, t = oo

Vậy miny = -

2 + 6t + 6) < Ù

ặt t = log2sin x : Vì < sin x < nên t < phương trình ≥ - y(0) = - 1, y(2) = 1/3, limy = t tiến đến +

maxy = 1/3

3.a. Đặt t = x > : 8.t2 – 6/t < 2t Ù (t – 1)(8t t < Ù x <

b. Đk : sinx > , ≠

PT Ù + mlogsinx = + log2sin x

S

A

B a

Đ

thành: + m/t = + t Ù t2 + 2t = m

Khảosát hàm số t < 0, yêu cầu toán : m

c. I = /2

0

(2sin x +1)cosxdx π

∫ 1 3sin x + G

I

K Đặt t = 1 3sin x+ => = +t2 1 3sin x ; 2tdt 3cos xdx=

I = 2(2t2+1)dt= [2 2t3 +t

∫

1

34 ]

9 =27

ợp với C = SA

(20)

2

1 a a

3 4

3

a 3=

tròn (SAB) trung trực KI AC song K, diện tích mặt cầu :

2 2

V = 1/3 SSAB CA =

* Tâm mặt cầu giao điểm trục GK đường song AG Bán kính mặt cầu A

2

S = 4πAK = 4π (AG + AI ) = 4π (a /3 + 3a /4) = 13πa /12 Đề 10

1 Cho hàm số : y =

2 2

2m x +(2 - m )(mx + 1)

điểm đối

b CMR với m khác 0, hàm số (1) ln có cực đại cực tiểu tìm tập hợp điểm cực đại tập hợp điểm cực tiểu

ương trình : +

ìm m để hai đồ thị y = lnx – mx y = x2 – 3x tiếp xúc Viết phương trình tiếp tuyến

b Giải bất phương trình : 2

2x - x +1

log (2x + x 1) + log− (2x 1) > −

đáy hình vng cạnh 10, mặt bên SAB tam giác cân S

ằm tro

(1) x

m +

2.a Giải ph lo g (x +3) log (2x + 3) =2 1/2 b T

chung

3.a Tínhtích phân : x2 x 1(e sin x + e x )d x

−

∫

c Giải hệ : 2

2

x - x

log (x +y ) = 1+ log (xy) y y+ = 81

⎪ ⎨ ⎪⎩

4 a Cho hình chóp SABCD

⎧ 2

n ng mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách SC DI , I trung điểm h thể tích khối chóp

b Tính bán kính mặt cầu qua đỉnh tiếp xúc với tất cạnh đáy hình chóp SABCD biết cạnh cao 15

1 a m BC Tín

đáy 10 chiều

Giải 10:

2

8

2x − + x + 4x -

Học sinh tự giải

Gọi (x ; y) ( - x; - y)

2

8

y x + 4x -

xy+y = x + 4x - 1) ⎧

=

⎪ ⎧−

2 2 (

8( y y

2(

x

x) + 4(-x) - -2 x x - 4x - (2) x)

− +

⎪ <=>⎪

⎨ − ⎨

− = ⎪⎩

− − + y = 4x

Thế vào (1) : - 8x2 + 4x = 8x2 + 4x – Ù 16x2 = Ù x = y

⎪− = ⎪⎩

Trừ (1) (2) : 2y = 8x Ù

1/ 2

±

Vậy có hai đ Cách khác: G

iểm

ọi y = kx đường thẳng qua hai điểm đối xứng, có Hồnh độ chúng nghiệm phương trình :

2

8

2

x + 4x - x

− + = kx Ù (8 + 2k)x

2 - (k – 4)x – =

a O nên phương trình có hai nghiệm mà tổng => k = Vì hai điểm đối xứng qu

2

(21)

b.

2

2m

y m

m

x x

= + −

+ => y’ = => y’ =

3 2

2m x + 4m x

= Ù x = , x = - 2/m (m ≠ 0)

2

(mx +1)

2 y

2 = - m2 – xét dấu :

Suy y1 = – m Lập bảng

Suy ra:

Điểm CT: 2

1

y =2 - m <

⎩

x =

⎧

⎨ => tập hợp

các điểm CT x = ; y < ( tia nằm trục Oy)

Điểm CĐ:

2

y = - m - = - -

⎨ => t

1

x ⎪⎩

2 / m x =− ⎧ ⎪

ập hợp

2

2 = 4(2x + 3) ận)

1 ⎪⎩

: ln x – + x = (VT hàm số

đó (1 ; - 2) hệ số góc tiếp tuyến – y x –

e sinx xdx + exx dx

∫ ∫ = A + B

* Tính A: t2 t2

1

)= - e sin tdt = - A

−

− − => A =

Nhậ f(x) hàm số lẻ đoạn [a ; a] : * Tính B tích phân phần:

B = [e x x2] 1 1

1 1 1

|− e 2x xdx (e x ]− e dx x

− −

−∫ = − + ∫ =

b

2 x +1

log (2x 1) > − (1)

/t > Ù

• m > 0: x2 < x1

x - oo x2 x1 + oo y’ + - +

CT

x - oo x1 x2 + oo y’ - + -

CT CĐ CĐ

• m < 0: x < x

đồ thị y = - 4/x –

2 a Đk: x > - 3/2 PT Ù (x + 3) Ù x2 – 2x – = Ù x = - hay x = (nh

b. ĐK: ⎧⎨lnx - mx = x - 3x <=>⎧⎪⎨lnx - mx = x - 3x2

− ( x > 0)

2

m

1/ x - m = 2x - x x -3x = ⎩

Trừ Ù x = đồng biến x > 0)

Suy : m = Tọa độ tiếp điểm : = -Vậy PT tiếp tuyến c

2

1 2

3 a I =

1

− −

Đặt t = - x => A =

1 e sin( t)( dt

∫ ∫

ố a

af (x)dx =

−

∫

n xét: hàm s

/ e) [e 2− x

x - 1(2x 1)(x 1) + log− +

ĐK: x > ½ , ≠ : (1) Ù + log2x – (x + 1) + 2logx + 1(2x – 1) >

2

t 3t

0 t hay

Ù t + < <t vớ

t

<=> − + > <=> > i t = log2x – (x + 1)

2 y x >

* x > : x + > (2 x – 1) hay < x + < x – Ù < x < 5/4

(22)

www.saosangsong.com.vn x + y = 2xy

⎧⎪

SH vng góc AB Suy : SH ABCD) ( tính chất mặt phẳng vng góc (SAB)

CD))

góc DI (định lí đường vng góc vng góc SI KM = d(SC, DI) =

c Hệ Ù

2

2 y y2 x y

x - x = <=> = = ± ⎨

+ ⎪⎩

4.a Gọi H trung điểm AB vng góc (

(AB

Trong hình vng ABCD, ta ln có : CH vng góc DI => SC vng ), kẻ KM

5

Ta tính : DI = 5, CK 5= = 2KM, suy : góc MCK = 300 => SH = CH/ = 5 / hối chóp : V =

Thể tích k 500 15

9

S = R

(15 – R)2 + 25 Ù

b. Tâm K thuộc đường cao SO, kẻ KI vng góc BC (I : trung điểm BC), ta có : KI = K

Ta có : KI2 = KO2 + OI2 Ù R2 =

R = 250/30 = 25/3

S

A

B

K

O

C D

S

A

D

C B

I

M

K 10

A H B C

I C K

D

H