Chương 3 - Đối xứng trong nghệ thuật

3 Đối xứng nghệ thuật Hình 3.1: Mái nhà thờ Sagrada Familia Barcelona (Tây Ban Nha), nghệ sĩ kiến trúc sư Antonio Gaudí (1852–1926) thiết kế, nhìn từ bên gian Nguồn: wikipedia 59 Chương Đối xứng nghệ thuật Các hình đối xứng hình có giống phần, tức chúng tuân thủ nguyên lý lặp lặp lại đẹp Chính mà nghệ thuật, sống hàng ngày, gặp nhiều hình đối xứng đẹp mắt Ngay thơ, nhạc có đối xứng Tuy nhiên chương bàn đến đối xứng nghệ thuật thị giác (visual arts) Các phép đối xứng Hình 3.2: Mặt nước phản chiếu tạo hình ảnh với đối xứng gương Trong tốn học có định lý sau: Mọi phép biến đổi bảo tồn khoảng cách khơng gian bình thường (tức khơng gian Euclid chiều mặt phẳng chiều) thuộc bốn loại sau: 60 Chương Đối xứng nghệ thuật 1) Phép đối xứng gương (mirror symmetry), hay cịn gọi phép phản chiếu (reflection): khơng gian chiều phản chiếu qua mặt phẳng đó, cịn mặt phẳng phản chiếu qua đường thẳng 2) Phép quay (rotation): khơng gian chiều quay quanh trục đó, cịn mặt phẳng quay quanh điểm đó, theo góc Hình 3.3: Con biển có đối xứng gương lẫn đối xứng quay phần năm vịng trịn Có loại biển có n chân với n > (thậm chí với n = 18), đối xứng quay theo góc 2π/n 3) Phép tịnh tiến (translation): dịch chuyển tất điểm khoảng cách theo hướng Như kiểu ánh xạ τ : (x, y) 7→ (x + T, y) mặt phẳng, dịch chuyển điểm theo hướng trục x đoạn có độ dài T 61 Chương Đối xứng nghệ thuật Hình 3.4: Đường viền sư tử thành cổ Persepolis (Iran) 4) Phép lượn (glide), kết hợp phép đối xứng gương phép tịnh tiến theo hướng song song với trục hay mặt đối xứng gương Như kiểu ánh xạ T g : (x, y) 7→ (x + , −y) kết hợp phép đối xứng gương T biến y thành −y phép tịnh tiến biến x thành x + Chú ý thực liên tiếp phép lượn hai lần lại phép tịnh tiến Hình 3.5: Một dải gỗ trang trí, từ invitinghome.com 62 Chương Đối xứng nghệ thuật Định lý khơng q khó, dùng làm tập thú vị cho học sinh THCS (trường hợp chiều) THPT (trường hợp chiều) Nếu có hình (hai chiều ba chiều), có phép biến đổi bảo tồn hình (tức đổi chỗ điểm hình cho biến hình vào nó), ta gọi phép đối xứng hình Tất nhiên, ta ln có phép đối xứng tầm thường, tức phép giữ nguyên tất điểm Nhưng nói đến đối xứng, người ta thường hiểu phép đối xứng không tầm thường Nếu hình có phép đối xứng khơng tầm thường, gọi hình đối xứng Hình mà có nhiều phép đối xứng, hình đối xứng Phép tịnh tiến phép lượn khác phép phản chiếu phép quay chỗ ta lặp lặp lại phép tịnh tiến hay phép lượn lên điểm ban đầu đó, điểm chạy dần vơ Bởi nói cách chặt chẽ khơng có phép tịnh tiến hay phép lượn bảo tồn vật hay hình hữu hạn Nhưng ta chấp nhận phép tịnh tiến khơng cần thực tồn hình mà phần hình, ta hình dung hình trải dài nối tiếp đến vơ cùng, phép tịnh tiến phép lượn trở thành phép đối xứng, theo nghĩa mở rộng Hình 3.4 khắc họa sư tử tường thành phố cổ Persepolis Iran ví dụ phép đối xứng tịnh tiến theo nghĩa mở rộng: vector tịnh tiến vector nối từ mũi 63 Chương Đối xứng nghệ thuật sư tử đến mũi sư tử Cịn hình 3.5 có phép đối xứng lượn theo nghĩa mở rộng Hình 3.6: Các cơng trình kiến trúc hay có đối xứng gương hai bên Trong ảnh Mosque (nhà thờ Hồi Giáo) Abu Dhabi Trong toán học, tập hợp phép đối xứng vật hay hình gọi nhóm (group), ta làm hai phép tốn đó, phép nhân (tích hai phần tử) phép nghịch đảo Nghịch đảo phép biến đổi đối xứng (bảo tồn hình) phép biến đổi ngược lại, tất nhiên bảo tồn hình Cịn tích hai phép biến đổi đối xứng phép "hợp thành" chúng: ta thực biến đổi theo phép thứ nhất, biến đổi phép thứ hai Tất nhiên, hai phép biến đổi bảo tồn hình, hình bảo tồn ta thực liên tiếp hai phép biến đổi Các cơng trình kiến trúc, đồ vật, hình họa trang trí nghệ 64 Chương Đối xứng nghệ thuật Hình 3.7: Tháp Phước Duyên chùa Thiên Mụ (Huế) có đối xứng theo hình bát giác, kiến trúc xung quanh có đối xứng gương thuật phân loại theo nhóm đối xứng chúng Ví dụ, tháp Phước Duyên chùa Thiên Mụ (Hình 3.7) có tám mặt, với đáy giống hình bát giác đều, nhóm đối xứng giống nhóm đối xứng hình bát giác (nếu ta bỏ qua chi tiết khơng đối xứng tháp, ví dụ khơng phải mặt có cửa) Tháp Eiffel Paris (Hình 3.8) có bốn mặt giống nhau, đáy hình vng, nên nhóm đối xứng giống nhóm đối xứng hình vng Ở đây, tìm hiểu phân loại theo nhóm đối xứng cho hình đa giác, cho trang trí đường viền 65 Chương Đối xứng nghệ thuật (frieze) cho kiểu lát gạch tuần hồn (tessellation) Hình 3.8: Tháp Eiffel Paris với mặt nhau, có nhóm đối xứng D4 giống hình vng Phân loại đa giác theo nhóm đối xứng Vào qng năm 2013, tơi có dành buổi để tìm hiểu với gái, lúc học năm cuối THCS (ở Pháp gọi "collège"), nhóm đối xứng đa giác Kết buổi tìm hiểu thực hành với giấy kéo ghi lại Hình 3.9 viết lại chi tiết thành chương sách "Các giảng toán cho Mirella" Đây hoạt động thực hành toán học đơn giản mà thú vị, bạn học sinh nên làm 66 Chương Đối xứng nghệ thuật Đầu tiên xét tam giác Chúng có đối xứng (trong trường hợp tam giác khơng cân, có phép "để yên" bảo toàn tam giác), đối xứng (nếu tam giác cân, ngồi phép để n cịn có phép đối xứng gương), đối xứng tam giác đều? Có người trả lời 3, có người trả lời Câu trả lời xác 6, có phép đối xứng gương, phép quay theo góc độ, 120 độ 240 độ (Quay theo góc độ có nghĩa để n) Hình 3.9: Các đa giác số đối xứng chúng Đến lượt tứ giác: nhiều đối xứng hình vng, với đối xứng (4 đối xứng gương phép quay), đến hình chữ nhật hình thoi có đối xứng Tiếp theo 67 Chương Đối xứng nghệ thuật hình có đối xứng: hình bình hành (với đối xứng quay 180 độ), hình thang cân, hình mũi tên hình cánh diều (với đối xứng gương) Cịn lấy hình tứ giác tùy ý, khơng có cạnh cạnh nào, nhóm đối xứng nhóm tầm thường, có phần tử, phép để yên Đến lượt ngũ giác: lại có trường hợp, tương tự với tam giác, khơng có nhiều trường hợp tứ giác Khi ngũ giác có × = 10 đối xứng, khơng nhóm đối xứng có phần tử (phép để yên) có hai phần tử (đối xứng gương phép để yên) Con biển hình 3.3 có hình năm cánh đều, nhóm đối xứng nhóm đối xứng ngũ giác Đến lượt lục giác lại có nhiều trường hợp khác nhau, đến thất giác lại có trường hợp, Từ thí nghiệm này, ta rút số kết luận tốn học sau: • Hình n-giác có nhiều 2n đối xứng, ứng với trường hợp n-giác Nhóm đối xứng trường hợp gồm n đối xứng gương n phép quay, gọi nhóm nhị diện (dihedral group) Dn Nếu n-giác khơng đều, nhóm đối xứng nhóm nhóm Dn , số đối xứng ước số 2n • Nếu n số ngun tố có khả xảy ra: nhóm đối xứng Dn , nhóm có hai phần tử phần tử khơng tầm thường đối xứng gương, nhóm tầm thường (chỉ có phép để yên) 68 Chương Đối xứng nghệ thuật trục đối xứng gương Vải hoa lys (hoa loa kèn) Hình 3.22 bên trái ví dụ: Các trục đối xứng gương trục đối xứng bơng hoa lys, cịn trục glide song song nằm hai trục đối xứng gương liên tiếp Hình 3.22: Vải trang trí hoa lys có nhóm đối xứng kiểu cm thảm phương Đơng có nhóm đối xứng kiểu pmm Kiểu thứ tư, ký hiệu pm, khơng có đối xứng quay có đối xứng gương, khơng có glide với trục nằm trục đối xứng gương kiểu thứ ba Một ví dụ trang trí kiểu Ai Cập Hình 3.20 phía bên phải Chú ý kiểu có vector tịnh tiến song song với trục đối xứng vector tịnh tiến vng góc với trục đối xứng Kiểu thứ năm, ký hiệu p2, ngồi đối xứng tịnh tiến cịn có thêm đối xứng quay theo góc π, ngồi khơng có thêm đối xứng khác Hình lát gạch đầu ông Escher (với đầu chổng ngược qua phép quay 180 độ) Hình 3.21 ví dụ 80 Chương Đối xứng nghệ thuật Kiểu thứ sáu, ký hiệu pgg, khơng có đối xứng gương, có hai họ đối xứng glide với trục glide vng góc với Kiểu có đối xứng quay 180 độ, lấy tích hai glide với trục vng góc với phép quay Hình lát sàn gỗ 3.23 ví dụ (nếu ta coi tất viên gỗ hình chữ nhật giống hệt nhau) Kiểu lát cịn gọi kiểu "xương cá trích" (herringbone) Hình 3.23: Sát lát gỗ có nhóm đối xứng kiểu pgg, cịn hình trang trí bình cổ từ Kerma (Sudan) đối xứng kiểu pmg Kiểu thứ bảy, ký hiệu pmg, vừa có đối xứng gương, vừa có đối xứng quay 180 độ với tâm không nằm đối xứng gương Tích hai phép đối xứng phép glide, nên ký hiệu kiểu có m (mirror) g (glide) Chiếc bình cổ đại Hình 3.23 có kiểu trang trí thành bình Kiểu thứ tám, ký hiệu pmm Thay có đối xứng gương theo hướng đối xứng glide theo hướng vng góc với nó, kiểu pmm có hai đối xứng gương theo hai hướng vng góc với nhau, tích chúng phép quay 180 độ Tấm thảm bên phải Hình 3.22 ví dụ 81 Chương Đối xứng nghệ thuật Hình 3.24: Mặt tường gạch có nhóm đối xứng kiểu cmm Kiểu thứ chín, ký hiệu cmm có đối xứng giống kiểu pmm, cịn có phép quay 180 độ với tâm không nằm trục đối xứng gương Hình xây gạch thành tường Hình 3.24 ví dụ nhóm lát gạch kiểu cmm Các điểm tơ đỏ tơ xanh hình tâm đối xứng quay 180 độ hình Các trục đối xứng gương qua điểm đỏ khơng qua điểm xanh Hình 3.25: Một mảnh tường Alhambra lát gạch theo nhóm p3 82 Chương Đối xứng nghệ thuật Kiểu thứ mười, ký hiệu p3, có đối xứng quay với góc nhỏ 1/3 vịng trịn khơng có đối xứng gương Hình 3.25 ví dụ Kiểu thứ mười một, ký hiệu p3m1, có đối xứng quay với góc 1/3 vịng trịn, có đối xứng gương, tâm đối xứng quay nằm trục đối xứng gương Hình 3.26: Một cửa sổ lăng Salim Chishti, Ấn Độ, có nhiều kiểu nhóm đối xứng lát gạch Kiểu thứ mười hai, ký hiệu p31m, có đối xứng gương, có đối xứng quay với góc 1/4 vịng trịn tâm khơng nằm trục đối xứng quay 83 ... 3. 9: Các đa giác số đối xứng chúng Đến lượt tứ giác: nhiều đối xứng hình vng, với đối xứng (4 đối xứng gương phép quay), đến hình chữ nhật hình thoi có đối xứng Tiếp theo 67 Chương Đối xứng nghệ. .. Ngồi đối xứng tịnh tiến, cịn có đối xứng quay, đối xứng gương đối xứng lượn Ví dụ quảng trường Rossio Hình 3. 15 có đối xứng quay theo góc π (180 độ), cịn đá hoa Hình 3. 16 Hình 3. 19 có đối xứng. .. khơng có đối xứng quay hay đối xứng gương Trong kiểu có hai 78 Chương Đối xứng nghệ thuật Hình 3. 20: Một trang trí giấy dán tường có nhóm đối xứng p1, trang trí kiểu Ai Cập có nhóm đối xứng pm