+ Dùng các qui tắc, công thức trong hình học phẳng để tính độ dài của chúng... 2/ Cho hình bình hành ABCD.[r]
(1)1
Các dạng toán vectơ hình học phẳng A/ Kiến thức cần nhớ - Một số qui tắc
1/ I trung điểm AB IA IB 0
2/ I trung điểm AB, với điểm M MA MB 2MI 3/ G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
4/ G trọng tâm tam giác ABC, với điểm M MA MB MCMG 5/ Qui tắc điểm ( Qui tắc tam giác) ABBC AC hay ABMBMA
6/ Qui tắc hình bình hành : ABCD hình bình hành ABADAC hay ADBC hay AB DC
7/ Hai vectơ a b ; không phương vectơ c 0 ! , (k l k2l2 0) cho ck a lb Giải hệ phương trình tìm số k, l
8/ Hai vectơ a b ; phương !k 0 cho a kb ( k>0: hai vectơ hướng; k<0: hai vectơ ngược hướng)
9/ Chứng minh hệ thức vectơ cho trước dùng phương pháp chèn nhiều điểm vào đẳng thức vectơ dùng qui tắc để biến đổi thành đẳng thức
VD: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Chứng minh:
' ' ' '
AA BB CC GG
Giải: Chèn G G’ vào vế trái Ta có: VT = (ĐPCM)
(Do AGBG CG (GA GB GC )0 G trọng tâm tam giác ABC; Do G A ' 'G B' 'G C' '0 G’ trọng tâm tam giác A’B’C’)
10/ Tìm vectơ độ dài chúng:
+ Dựa vào qui tắc để biểu diễn vectơ cần tìm theo vectơ biết + Dùng qui tắc, cơng thức hình học phẳng để tính độ dài chúng 11/ Dùng định nghĩa
; cung huong a b
a b
a b
12/ Nếu a b b c a c
B/ Cho uu u1; 2,vv v1; 2 Khi đó: 1; 2
u v u v u v 1; 2 u v u v u v
1; 2; ku ku ku k
1
2
u v
u v
u v
C/ Cho đểm A x A;yA;B x B;yB;C x C;yC;D x D;yD
1/ Tọa độ vectơ ABxB xA;yByA
2/ Tọa độ I trung điểm AB: ; ( ; )
A B
I
I I
A B
I
x x x
I x y y y
y
(2)2
3/ Tọa độ G trọng tâm tam giác ABC: ; ( ; )
A B C
G
G G
A B C
G
x x x x
G x y y y y
y
4/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng A, B, C lập thành tam giác AB AC; không phương:
; B A B A
C A C A
x x y y
AB k AC k
x x y y
5/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng đường thẳng qua A, B qua C AB AC; phương:
: B A B A
C A C A
x x y y
k AB k AC
x x y y
hay tìm B để A, B, C thẳng hàng
6/ Tọa độ điểm M OxM a( ; 0) Tọa độ điểm M OyM(0; )b Tọa độ điểm M tổng quát M x( M;yM)
7/ a/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox M, tìm tọa độ M : Do MOxM a( ; 0)
Mà M thuộc đường thẳng qua A; B A, M, B thẳng hàng M A M A A A
B A B A B A B A
x x y y a x y
x x y y x x y y
Tìm a M a( ;0)
b/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy N, tìm tọa độ N : Do MOyM(0; )b Mà N thuộc đường thẳng qua A; B A, N, B thẳng hàng N A N A A A
B A B A B A B A
x x y y x b y
x x y y x x y y
Tìm b M(0; )b
c/ Đường thẳng qua A, B cắt đường thẳng qua C, D M, tìm tọa độ M: Gọi M x( M;yM)
+ A, M, B thẳng hàng M A M A ( ) 1
B A M B A M B A A B A A
B A B A
x x y y
y y x x x y y y x x x y
x x y y
+ C, M, D thẳng hàng M C M C ( ) 2
D C M D C M D C C D C C
D C D C
x x y y
y y x x x y y y x x x y
x x y y
Giải hệ phương trình (1) (2) Tìm tọa độ M x( M;yM)
8/ Tìm tọa độ D cho ABCD hình bình hành D A C B ( D, D)
D A C B
x x x x
AD BC D x y
y y y y
9/ Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ MAMBMC 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A M B M C M
A M B M C M
x x x x x x
y y y y y y
A B C
M
A B C
M
x x x
x
y y y
y
( M; M) M x y
10/ Chứng minh hai đường thẳng qua A, B đường thẳng qua C, D song song hay ABCD hình thang, ta chứng
minh AB CD; phương AB AC; không phương hay
D C D C
B A B A
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
(3)3 BÀI TẬP
1/ Cho hình bình hành ABCD ABEF, dựng vectơ EH FG ; vectơ AD CMR: CDGH hình bình hành
2/ Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a/ Chứng minh: PQRS hình bình hành
b/ Cho AB = BC Chứng minh: PQRS hình chữ nhật
3/ Cho tam giác ABC, M N trung điểm AB, AC Vẽ MEBC NF; BC Chứng minh: ME NF
4/ Cho tứ giác ABCD khơng phải hình bình hành, AC cắt BD O, OB = OD Gọi M N trung điểm AB CD; cắt AC I Chứng minh: MI IN
5/ Cho hình thang ABCD có đáy AB CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI DA Chứng minh: a/ I trung điểm AB
b/ BC ID
6/ Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A’ điểm đối xứng A qua I Chứng minh:
a/ BH A C' b/ BA 'HC
7/ Cho tam giác ABC cân A, AB lấy điểm D không trùng với A, B Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE, DE cắt BC F Chứng minh: DFFE
8/ Cho hai tam giác ABC AEF có chung trung tuyến AM Chứng minh: CE FB NC
9/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC B’ điểm đối xứng với B qua tâm O Chứng minh: AH B C AB' '; 'HC
10/ Chứng minh với hai vectơ a b , không phương Ta có a b a b a b (HD: áp dụng bất đẳng thức tam giác)
11/ Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác Kéo dài GM đoạn MD = GM Chứng minh: BD GC BG; DC
12/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác AH cắt BC I cắt đường tròn M khác A
a/ Chứng minh: HI IM
b/ Gọi K trung điểm BC Chứng minh AM OK; phương c/ HK cắt đường tròn D, chứng minh BH DC BD HC 13/ Cho ABC Tìm M cho
a/ MA2MB3MC 0 b/ MA2MB3MC 0
(4)4 A/ Chứng minh
1/ u2a b ; v3a4b 2/ ua b ; v a b 3/ u2a b ; v a 2b B/ Tìm x để hai vectơ u v , :
1/ u(x2)a b ; v(2x1)a b phương 2/ ua(2x1)b ; vxa b hướng 3/ u3axb ; (1 )
3
v x a b
ngược hướng
Hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;-2); B(3;2); C(0;4) Tìm tọa độ M trường hợp sau: a/ CM2AB3AC
b/ AM 2BM4CM
c/ ABCM hình bình hành
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;4); B(3;1); C(-1;2).Tìm tọa độ M trường hợp sau: a/ AM 2BM5CM
b/ 2MA3MB 0
c/ ABMC hình bình hành
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(1;1); B(2;4); C(3;2) a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(6;-3); B(1;0); C(3;2)
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC c/ Tìm D để ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2;1); B(0;2); C(4;4)
a/ Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ giao điểm D đường thẳng AB trục Ox c/ Tìm tọa độ giao điểm E đường thẳng AB trục Oy Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;4); B(2;5)
a/ Tìm a để C(a;1) thuộc đường thẳng AB b/ Tìm M để C trung điểm AM
Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3); B(0;1); C(0;3); D(2;7) Chứng minh AB // CD Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1;1); B(1;3); C(-2;0)
a/ Chứng minh C nằm đường thẳng qua A, B b/ Tìm giao điểm đường thẳng AB trục Oy c/ Chứng minh: A, B, O không thẳng hàng
Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-1); B(3;1); C(y;2) a/ Tìm y để A, B, C thẳng hàng
b/ Tìm giao điểm AB Ox c/ Tìm giao điểm AB Oy
(5)5 c/ Tìm M để OBMC hình bình hành
Cho A(-1;5) , B(3;-3)
a/ Tìm tọa độ trung điểm M AB
b/ Tìm tọa độ N cho A trung điểm NB c/ Tìm tọa độ P cho B trung điểm AP
d/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox K Tìm tọa độ K e/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy L Tìm tọa độ L f/ Tìm tọa độ điểm C cho OC AB
g/ Tìm tọa độ D cho DA3 DBAB Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3)
a/ Chứng minh A, B, C lập thành tam giác b/ Xác định trọng tâm G tam giác ABC
c/ Tìm tọa độ E cho O trọng tâm tam giác ABE d/ Tìm tọa độ D để ABCD hình bình hành
e/ Tìm tọa độ F cho OABF hình bình hành
f/ Cho H(a, 1) Xác định tọa độ H để B, C, H thẳng hàng g/ Xác định KOx để ABKC hình thang
h/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng qua A,B đường thẳng qua O,C
Cho điểm A’(-2;1); B’(4;2); C’(-1;-2) trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Tìm tọa độ định tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ trùng
Cho a (3;1) ; b(1; 1) Hãy biểu diễn vectơ c(6; 2) theo hai vectơ a b ; Cho a (2; 3); b(5;1);c ( 3; 2)