Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB.[r]
(1)1
a b c d
PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2009-2010
-MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/01/2010
Bài 1(4đ)
a) Tính tổng:
b) Cho a, b, c, d số dương a c
b d Hãy trục thức mẫu biểu thức sau:
Bài 2: (4đ)
a) (2đ) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = Chứng minh :
2
2
a b
a b
b) (2đ) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho :
2 2 abc n
cba n
với n số nguyên lớn Bài 3: (4đ)
a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = x x3 x2 x
với x1
b) (2đ) Giải phương trình x x 26 x
Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x m( 2) ( m 3)y m a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) qua điểm P(-1;1)
b) (1,5đ) Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) ln ln qua điểm cố định
Bài 5: (2 đ)
Cho ABC điểm M nằm ABC cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ? Bài 6 : (4,0 đ )
Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường trịn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2
b) Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R
1
2 2
15 35 63 399
P
(2)a d b c a d b c
HẾT ĐÁP ÁN
Bài 1(4đ, điểm) a)
2 2
15 35 63 399
P
2 2
3.5 5.7 7.9 19.21
1 1 1 1
3 5 7 19 21
1 21
2 b)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm) (0,5 điểm)
2
a c
do ad bc ad bc
b d
(0.5 điểm)
Bài 2: ( điểm )
* Vì a.b = nên
2
2 2 2
2
a b ab a b
a b
a b
a b a b a b a b
( đ )
* Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương Ta có : a b 2 a b
a b a b
Vậy
2
2
a b
a b
( 1đ ) 1) ( đđiểm )
Viết
2
100 10
100 10 4
abc a b c n
cba c b a n n
Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n – 99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 n2 1 999 101 n2 1000 11 n 31
39 4n 119
(4) ( 0,75đđ )
2 (0,5 điểm)
(0,75 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a d b c
a d b c a d b c
1
( a d) ( b c)
2 ( 2 )
a d b c
a d ad b c bc
2
a d b c
a d ad b c bc
1
(3)Từ (3) (4) => 4n – = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm abc675 ( 0,5 đ ) Bài 3( 4đ)
a) (2 điểm) M = x x3 x2 x
với x1
) x x (
x
(0,25đ) ) 25 1 x x (
x (0,5đ) 25 1 x x (0,5đ)
x 3 x 2
1
x
(0,5đ)
3 x 1 x 2
1
x
(0,25đ)
b) (2đ) Giải phương trình x2 26 x x
(1)
Ta nhận thấy x = nghiệm PT (1) (0,75đ) Với 0x1 thì:
8 1 26 x x 26
x
3
Nên PT vơ nghiệm với 0x1 (0,5đ) Với x >1 Thì:
8 1 26 x x 26
x
3
Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ) Vậy PT (1) có nghiệm x = (0,25đ) Bài 4: (2 điểm)
a) Vì đường thẳng (d) qua P(-1;1) nên
(m2).( 1) ( m 3).1 m 8 5 m 8 m3. (0,5 điểm) b) Gọi x y0; 0 tọa độ điểm cố định mà (d) qua
Ta có: (m2)x0(m 3)y0 m m (0,5đ)
0 0
0 0
0 0
( 1)
1
2
x y m x y m
x y x
x y y
Vậy điểm cố định mà (d) qua (-1;2) (1đ) Bài 5:
Vẽ tam giác CMN
(1 điểm)
màAM2 BM2 CM2
BN2 BM2MN2 BMN
vuông M
900 600 1500
BMC BMN NMC
(1 điểm)
Bài 6: (4,0 đ)
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2
Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật (1,0 đ)
3
BCN ACM
BN AM
(4)AB . EB = HB2
AC . EH = AC AD = AH2 => ĐPCM (1 điểm)
b) S(ADHE)= AD.AE
2 2
2 2
AD AE DE AH
(0,75 đ)
S(ADHE)
2 2
2 2
AH AO R
(0,75 đ) Vậy Max S(ADHE)=
2 R
Khi AD = AE
Hay A điểm cung AB (0,5 đ)
4
O B
C
A
H D