Tài liệu HSG TOÁN-HUYỆN CHÂU THÀNH 2009-2010

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CHÂU THÀNH LỚP 9 TRUNG HỌC SƠ SỞ MÔN TOÁN - NĂM HỌC 2009 -2010 Đề chính thức Thời gian : 150 phút ( không kể phát đề ) Bài 1. ( 4 điểm) 1) Không dùng máy tính, chứng minh 6 4 2 3 2 2+ − − là một số nguyên. 2) Rút gọn biểu thức: ( ) : ( ) x x y y xy x y x y − + + − với x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y. 3) Giải phương trình: 2 1 4 2 3 2 2 2 2 3 3x x x x+ + − − − − − = . Bài 2. ( 3 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 15 và n – 74 đều là: a) số nguyên tố. b) số chính phương. Bài 3. ( 5 điểm) Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 a) Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức x 2 + y 2 – 2xy – 4 = 0. b) Từ điểm A(–1; 1) vẽ đường thẳng (d’) vuông góc với (d) và từ điểm B(–3:–3) vẽ đường thẳng (d’’) đi qua điểm C(1; 0). Viết phương trình của các đường thẳng (d’) và (d’’). c) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các đường thẳng (d), (d’), (d’’) và góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’’) (chính xác đến phút). Bài 4. ( 3 điểm) Hãy tìm điểm M trên cạnh AB của tam giác ABC sao cho từ điểm M đó ta vẽ được một đường thẳng chia tam giác ABC thành hai hình có diện tích bằng nhau. Có mấy vị trí của điểm M như thế? Bài 5. ( 5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD, µ A = 90 0 ) đường cao BH. Điểm M thuộc đoạn HC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BM, đường thẳng này cắt BH và BM theo thứ tự ở E và F. a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn và EB.EH = ED.EF. b) Cho AB= 10 cm, BM= 13 cm, DM= 15 cm.Tính độ dài của các đoạn thẳng AD, DF và BF (chính xác đến 2 chữ số thập phân). c) Khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên đường nào? - Hết - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CHÂU THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 TRUNG HỌC SƠ SỞ MÔN TOÁN - NĂM HỌC 2009 -2010 Bài 1. ( 4 điểm) 1) ( 1 điểm) 6 4 2 3 2 2+ − − = 2 2 (2 2) ( 2 1)+ − − = 2 2 2 1+ − + = 3. Vậy 6 4 2 3 2 2+ − − = 3, là một số nguyên. 2) ( 1,5 điểm) ( ) : ( ) x x y y xy x y x y − + + − = 3 3 ( ) : ( ) x y xy x y x y − + + − = ( )( ) ( ) : ( ) x y x xy y xy x y x y − + + + + − = ( ) : ( )x xy y xy x y+ + + + = 2 ( ) : ( )x y x y+ + = x y+ . 3) ( 1,5 điểm) Điều kiện: 3 2 x ≥ . Ta có: 2 1 4 2 3 2 2 2 2 3 3x x x x+ + − − − − − = ⇔ 2 2 ( 2 3 2) ( 2 3 1) 3x x− + + − − = ⇔ 2 3 2 2 3 1 3x x− + + − − = ⇔ 1 2 3 2 3 1x x− − = − − Do đó 1 2 3 0x− − ≥ ⇔ 2x ≤ . Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 3 2 2 x≤ ≤ . Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là mọi x: 3 2 2 x≤ ≤ . Bài 2. ( 3 điểm) a) ( 1,5 điểm) * Nếu n – 74 = 2 là số nguyên tố (số nguyên tố chẵn duy nhất) ta tìm được n = 76, khi đó n+15 = 91 không phải là số nguyên tố. Trường hợp này không tìm được n. * Nếu n – 74 là số nguyên tố lớn hơn 2 thì n – 74 là số lẻ suy ra n phải là số lẻ, khi đó n + 15 là số chẵn không phải là số nguyên tố. Trường hợp này cũng không tìm được n. Vậy không có số tự nhiện n để n + 15 và n – 74 đều là số nguyên tố. b) ( 1,5 điểm) Giả sử n + 15 = a 2 và n – 74 = b 2 (a, b ∈ ¥ , a<b) ⇒ a 2 – b 2 = 89 ⇒ (a – b)(a + b) =1.89. Từ đó tìm được a = 45, b = 44. ⇒ n = 2010. Vậy với n = 2010 thì n + 15 và n – 74 đều là số chính phương. Bài 3. ( 5 điểm) a) ( 1 điểm) Thay y = 2x + 3 vào đẳng thức, được: x 2 + (2x+3) 2 – 2x(2x+3) – 4= 0 ⇔ x 2 + 6x+ 5 = 0 ⇔ (x+ 1)(x+ 5) = 0 ⇔ x= –1 ( ⇒ y= 1), x= –5 ( ⇒ y= –7). Những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức x 2 + y 2 – 2xy – 4 = 0 là (–1; 1) và ( –5; –7). b) ( 2 điểm, kể cả hình vẽ) * (d’) vuông góc với (d) nên có dạng: y = 1 2 − x + b. (d’) qua A(–1; 1) ⇒ 1= 1 2 − .(– 1) + b ⇒ b= 1 2 Vậy (d’): y = 1 2 − x + 1 2 . * (d’’) có dạng y = ax+ b (d’’) đi qua điểm B(–3:–3) ⇒ –3= a(–3)+b ⇒ –3a+ b= –3 (d’’) đi qua C(1; 0) ⇒ 0= a.1+b ⇒ a+ b= 0. Ta có hệ phương trình: 3 3 0 a b a b − + = −   + =  . Giải hệ, ta tìm được: a = 3 4 , b = 3 4 − . Vậy (d’’): y = 3 4 x 3 4 − . c) ( 2 điểm) (d’) đi qua C(1; 0) vì khi thay toạ độ C vào (d’) ta được đẳng thức đúng 0= 1 2 − .1+ 1 2 . Tam giác ABC là tam giác được tạo bởi các đường thẳng (d), (d’) và (d’’). Ta có: AE = 1; EC = 2. Từ tam giác vuông AEC ta được AC = 2 2 AE EC+ = 5 . AF = 4; BF = 2. Từ tam giác vuông ABF ta được AB = 2 2 AF FB+ = 2 5 . Diện tích tam giác ABC là S = 1 2 .AB.AC = 1 2 . 2 5 . 5 = 5 (đvdt). tgB = AC AB = 1 2 ⇒ · ABC = 26 0 34’. Bài 4. ( 3 điểm) * (1 điểm) Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Khi đó đường thẳng IC sẽ chia tam giác ABC thành hai hình tam giác có diện tích bằng nhau S AIC = S AIC = 1 2 S ABC . * (2 điểm, kể cả hình vẽ) Chọn M là trung điểm của BI. Từ I vẽ ID// MC (D ∈ AC). Gọi O là giao điểm của MD và IC. Ta có S BCM = S MCI = S MCD = 1 4 S ABC . Mặt khác S MIO = S CDO . Do đó S BMDC = S BCI = S MAD = 1 2 S ABC Vậy có hai vị trí của điểm M. Bài 5. ( 5 điểm) a) (1,5 điểm) * Ta có · · BFD BHD= = 90 0 (gt) Nên bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính BD. * FBE∆ ~ HDE∆ (g.g) nên EB ED EF EH = suy ra EB.EH = ED.EF. b) (2 điểm) * ABHD là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) ⇒ DH= AB= 10 cm, HM= DM- DH= 5 cm. Trong tam giác vuông BMH có BM 2 = BH 2 + HM 2 . ⇒ BH= 2 2 BM HM− = 12 cm. Mà AD= BH ( do ABDH là hình chữ nhật). Vậy AD= 12 cm. * MBH∆ ~ MDF∆ (g.g) nên BM MD BH DF = ⇒ DF= .BH MD BM = 12.15 13 ≈ 13,85 (cm) Trong tam giác vuông BDF có BD 2 = BF 2 + DF 2 . ⇒ BF= 2 2 BD DF− = 2 2 2 . ( ) BH MD AB AD BM + − ≈ 7,23 cm. c) (1,5 điểm kể cả hình vẽ) * Ta có · BFD = 90 0 (gt) và BD cố định nên F di chuyển trên đường tròn đường kính BD. Giới hạn: - Khi M → C thì F → F’ (F’ ∈ BC với DF’ ⊥ BC). - Khi M → H thì F → H. Vậy F di chuyển trên cung nhỏ F’H của đường tròn đường kính BD. - Hết - . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CHÂU THÀNH LỚP 9 TRUNG HỌC SƠ SỞ MÔN TOÁN - NĂM HỌC 2009 -2010 Đề chính thức Thời. chuyển trên đường nào? - Hết - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CHÂU THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 TRUNG HỌC SƠ SỞ MÔN TOÁN