Nghiên cứu về các tính chất của Graphene và việc sử dụng thế Morse trong phương trình Schrodinger để đi tìm lời giải cho vấn đề năng lượng của exciton trong Graphene

Exction Graphene : Luận văn ThS Vật lý: 60 44 01 \ Phạm Văn Điện ; Nghd : GS.TS Nguyễn Ái Việt Lý chọn đề tài Năm 2010, giải thưởng Nobel, giải thưởng danh giá khoa học tôn vinh hai nhà khoa học Vật lý gốc Nga với cơng trình nghiên cứu tìm vật liệu Graphene hai chiều Đơn giản, hiểu Graphene than chì cực mỏng, mỏng đến mức độ dày lớp nguyên tử Carbon Điều đặc biệt lớp đơn nguyên tử lại tồn bền vững trạng thái tự Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng học lượng tử Cấu trúc luận văn: Cấu trúc luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận hướng phát triển đề tài Chương 1: Trình bày kiến thức tổng quan Graphene giới thiệu chung, cấu trúc tinh thể, cấu trúc vùng lượng Chương 2: Trình bày kiến thức Exciton (Biexciton) Chương 3: Nghiên cứu tính chất Graphene việc sử dụng Morse phương trình Schrodinger để tìm lời giải cho vấn đề lượng exciton Graphene Cuối việc tóm tắt lại kết thu được, kết luận hướng nghiên cứu Chương TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE 1.1: Giới thiệu chung Graphene Graphene đơn giản lớp đơn nguyên tử tinh thể than chì Graphite Hình 1.4 Hệ hai chiều Graphene 2D Graphene tinh thể hai chiều thực có cấu trúc tinh thể dạng tổ ong bán kim loại có vùng dẫn vùng hóa trị tiếp xúc mức Fermi, hạt tải Graphene khơng có khối lượng với hệ thức tán sắc dạng tuyến tính: r E = ±hvF k (1.1) 1.2: Cấu trúc tinh thể Graphene Graphene có cấu trúc mạng lục giác Có thể coi mạng lục giác hình thành từ mạng lồng vào r r r Hình 1.10 Mạng lục giác Graphene Các vectơ d1 , d d nối nguyên tử r r carbon lân cận với khoảng cách 0,142 nm Các vectơ a1 a2 vectơ sở mạng Bravais Tinh thể Graphene tinh thể mạng hai chiều, nguyên tử Carbon xếp đỉnh lục giác mạng tổ ong (honeycomb) Ta xem mạng Graphene hai mạng tam giác xếp lồng vào với vector tịnh tiến sở là: ỉ 1ư r ổ 1ử r a1 = a ỗỗ , ữữ , a2 = a ỗỗ , - ữữ 2ứ è 2ø è r r r Ba vectơ d1 , d d xác định: r a d1 = (1.2) r a r r r r r r 3ex + ey , d = - 3ex + ey , d = - aey ( ) ( ) (1.4) Các vectơ sở ô mạng Bravais xác định: ( 3a r r r r r a1 = 3aex , a2 = ex + 3ey ) (1.5) 1.3: Cấu trúc vùng lượng Hamiltonian electron (điện tử) Graphene: H = -t å ( ai,+s b j ,s + H c ) - t ' å ( ai+,s a j ,s + bi+,s b j ,s + H c ) ij s (1.8) ij s Ta thu được: ( () ) ( () r + r + r + r + * ' * r br + f r ar - t r ar + f H = -t å f k a k b f k a k bkr bkr å 1 2 k k k k k k r r r k ,s ( ) r k ,s rr rr rr r r f1 k = å e - ik s f k = å eik s + e - ik s ( ) đó: ( ) r s r s ( ( ) ) ) (1.13) (1.14) Xét liên kết mạnh gần t ' = , ta có: r e k = ±t ( ) f1 (1.18) r r e k = ± 3+ f k ( ) suy ra: ( ) (1.21) Trong dấu “+” ứng với dải lượng liên kết π, dấu “-” ứng với dải lượng liên kết phản π rr Dùng khai triển k p xung quanh điểm K K’ ta thu phổ lượng electron: hay: r 3a r e k = ± t k r r e k = ± hv F k = ± h v F k ( ) ( ) (1.22) Hình 1.13 Cấu trúc dải lượng tinh thể biểu diễn phụ thuộc lượng với chuyển động electron Chương EXCITON VÀ BIEXCITON 2.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ EXCITON VÀ BIEXCITON Exciton loại chuẩn hạt hình thành trạng thái liên kết điện tử lỗ trống lực hút Coulomb tinh thể (điện môi bán dẫn) tinh thể hấp thụ photon Exciton đóng vai trị định tính chất quang vật liệu 2.2 EXCITON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 2.2.1 Exciton loại I chấm lượng tử E r re Eg _ r rh + R (a) R (b) Hình 2.5 Mơ hình chấm lượng tử loại I (a) cấu trúc giam nhốt (b) Xét bậc gần thấp (gần cấp khơng), ta có lượng exciton : E I0 = E g + p 2h mR (2.8) 2.2.2 Exciton loại chấm lượng tử E r rh r re _ Eg R2 R1 R + (a) (b) Hình 2.7 Mơ hình chấm lượng tử loại II(a) cấu trúc giam cầm (b) Năng lượng gần bậc không exciton loại II E II0 = E g + p 2h p 2h + 2me* ( R1 - R2 ) 2mh* R2 (2.11) Từ (2.8) (2.11) tìm mối liên hệ lượng bậc không exciton loại I exciton loại II EII0 mh* me* = + , EI0 - h M h M (2.12) Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GRAPHENE 3.1 Các tính chất vật lý Graphene Về bản, cứng thép, dễ kéo căng, dùng làm chất dẫn dẻo Độ dẫn nhiệt cao nhiều so với độ dẫn nhiệt bạc Graphene thực tế suốt, vùng quang học hấp thụ 2,3% cường độ ánh sáng, độc lập với bước sóng vùng quang học 3.2 Năng lượng biexciton Graphene 3.2.1 Năng lượng exciton Graphene Theo học cổ điển, lượng hệ gồm electron lỗ trống tương tác E= p12 p2 + + U (r ) 2me 2mh (3.1) Hamiltonian hệ có dạng: H =- h2 h2 Ñ1 Ñ + U (r ) 2me 2mh (3.2) Từ xét gần khối lượng hiệu dụng ta có phương trình Schrodinger cho hệ“điện tử - lỗ trống” chuyển động bán dẫn: é h2 h2 ù r r r r Ñ1 Ñ + U (r ) úy ( re , rh ) = Ey ( re , rh ) , ê2mh ë 2me û (3.3) đó: E = Eexc - Eg Chuyển phương trình sang hệ tọa độ khối tâm chuyển động tương đối hai hạt có dạng: é h2 ù h2 H = êÑr ÑG2 + U (r ) úy = Ey 2(me + mh ) ë 2m û (3.4) Phương trình (3.6) phương trình Schrodinger hạt tự có khối lượng Trong học lượng tử toán giải thu lượng: EG = h2 K 2M (3.10) Cuối ta có mức lượng excitons cho vật liệu hai chiều: Eexc = Eg - m e4 h2 K + 2h 2e 02 ổ 2M 1ử n + ỗ ữ 2ứ ố n = 0,1, 2,3, (3.13) Áp dụng tính tốn cho lý thuyết mạng hai chiều ta tính lượng liên kết exciton EB vật liệu Graphene nanoribbons (GNRs) Năng lượng exciton cho giả hạt định nghĩa: Eexc = Eg - EB (3.14) EB lượng liên kết exciton me4 13, 6m EB = - 2 =(eV ) 2 2h e ổ 1ử 1ử 2ổ m0e ỗ n + ữ ỗn + ÷ 2ø 2ø è è m0 c 2 0,511( MeV ) đó: -13, eV = a = 2 137 3.2.2 Năng lượng biexciton Graphene n = 0,1, 2,3, (3.15) Trong thực tế khơng có nghiệm giải tích cho tốn lượng biexciton graphene mà tìm lời giải cho tốn lượng biexciton graphene phương pháp gần mà Thế tương tác exciton: e2 2e e2 U (r ) = + , e r e r + D2 e r + 4D2 ( 3.16 ) e D số điện môi khoảng cách hai graphene(hình 3.6) e2 , ta có: eD Đặt r = x.D (x khơng có đơn vị) chọn đơn vị lượng U (r ) = y e2 eD  Vậy nên: y= + 2 x x +D x + 4D2 (3.17) XPOTENT x 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 x  0.02  0.04 Hình 3.7 Thế tương tác exciton Mơ hình Parabolic U ( x) = C1 (( x - x ) - 1) (3.18) : C1 = 0, 04 x0 = 1, 67 Như ta thấy từ U(r) trình bày trên, xây dựng hàm gần dạng parabol U P Khi giải phương trình Schrodinger với U(r) thay U P ta có lượng biexciton graphene  XPARABOL x 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 x  0.02  0.04 Hình 3.8 Thế Parabol tương tác exciton Mơ hình Morse Thế tương tác Morse exciton (biexciton) viết sau: ( VMorse = D1 e -2a ( x - x0 ) - 2e -a ( x - x0 ) ) (3.19) Các thông số Morse xác định:  Độ sâu hố D1 = 0, 04 , khoảng cách exciton x0 = 1, 67 , a = XMORSE x 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 x  0.02  0.04 Hình 3.9 Thế tương tác Morse exciton (biexciton) Giải phương trình Schringer sử dụng Morse cho ta lượng biexciton graphene: a2 ỉ 1ư ỉ En = - D1 + a D1 ỗ n + ữ ỗn+ ÷ 2ø è 2ø è n = 0,1, 2, , nmax é D1 ù nmax = ê ú êë a úû Với mức trạng thái cao cho bởi: (3.20) (3.21) Thay giá trị: D1 , x0 , a vào biểu thức (3.20) tương ứng với n = , ta có lượng biexciton trạng thái có (mức thấp nhất): Emin|n = = -0, 0236 eV KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu, tơi thu kết sau: · Xây dựng mơ hình tương tác exciton (biexciton) Parabol Morse · Chỉ khác biệt mơ hình tính tốn tương ứng với dạng tương tác exciton nêu Cụ thể: Với việc sử dụng tương tác Parabol lời giải cho tốn lượng biexciton thực phù hợp mức trạng thái lượng (n) thấp, không phù hợp n lớn Còn với Morse cho ta lời giải cho toán lượng biexciton hệ Graphene chiều phù hợp với mức trạng thái lượng n lớn · Sử dụng phương pháp gần học lượng tử để tìm phổ lượng biexciton Graphene, từ tìm lượng trạng thái Emin|n= TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.Bosacchi, P.Frigeri, M.Minelli, L.Seravalli, G.Trevisi, and S.Franchi (2004), “Quantum Dot Structures for Optoelectronic Applications, International Workshop on Photonics and Application” Hanoi, Vietnam April 5-8, pp 6-62 [2] A.H.CastroNeto, F.Guinea, N.M.R.Peres, K.S.Novoselov and A.K.Geim, (2009), “The electronic properties of graphene”, Reviews of modern physics, vol 81 [3] B.Gerlach, J.Wuesthoff (Uni.Dortmund), M.O.Dzero, M.A.Smondyrev (JINR, Dubna), (1998), “On the exciton binding energy in a quantum well”, Phys Rev B58, 10568 [4] Cheol-Hwan Park and Steven G.Louie, (2010), “Tunable Excitons in Biased Bilayer Graphene”, Nano Lett, 10 (2), pp 426–431 [5] F C Spano, Vladimir Agranovich, and Shaul Mukamel (1991), “Biexciton States and Two-Photon Absorption in Molecular Monolayers”, J Chem Phys 95 (2), pp 400-1405 [6] Hartmut Haug, Stephan W.Koch, (2004), “Quantum theory of the Optical and Electronic properties of Semicondctors”, World Scientific [7] J.H.Grönqvist, T.Stroucken, G.Berghäuser, S.W.Koch, (2011), “Excitons in Graphene and the Influence of the Dielectric Environment”, arXiv:1107.5653v1 [8] L.Banyai, S.W Kock (1993), “Semiconductor Quantum Dots”, World Scientific Publishing Company, Singapore, pp 6-46 [9] Leo Kouwenhoven and Charles Marcus (1998), “Quantum Dots”, Physics World, pp 5-37 [10] Oleg L.Berman, Roman Ya.Kezerashvili and Yurii E.Lozovik, (2008), “Collective properties of magnetobiexcitons in quantum wells’ and graphene superlattices”, Russian Academy of sciences, pp 5-8 [11] Oleg L.Berman, Roman Ya.Kezerashvili and Yurii E.Lozovik, (2009), “Bose-Einstein condensation of quasiparticles in graphene”, Physics Department, New York City College of Technology, The City University of New York, pp 2-10 [12] Paul Holister, Cristina Román, Tim Harper (2003), “Quantum Dots”, Phyics.Rev, pp 3-6 [13] Raoul Dillenschneider and Jung Hoon Han (2008), “Exciton formation in graphene bilayer”, Seoul National University, Seoul 151-747, Korea, pp 2-7 [14] R.Bose, H.T.Johnson (2004), “Coulomb Interaction Energy in Optical and Quantum Computing Applications of Self-Assembled Quantum Dots”, Microelectronic Engineering 75, pp 3-53 [15] To Thi Thao and Nguyen Ai Viet (June 2004), “Binding energy of exciton in quantum dots with the central cell correction depending on the dot sizes”, Vietnamese Academy of Science and Technology, Vol 14, No 2, pp 4-8 [16] T.T.T.Van, V.T.Hoa, N.P.Duc, N.V.Thanh and N.A.Viet (2007), “Morse effective potential for interaction between two excitons in semiconductors”, Communicatons in Physics, Vol.1, No 2, pp 1-5 10 ...Chương TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE 1.1: Giới thiệu chung Graphene Graphene đơn giản lớp đơn nguyên tử tinh thể than chì Graphite Hình 1.4 Hệ hai chiều Graphene 2D Graphene tinh thể hai chiều... 3.2.2 Năng lượng biexciton Graphene n = 0,1, 2,3, (3.15) Trong thực tế khơng có nghiệm giải tích cho toán lượng biexciton graphene mà tìm lời giải cho tốn lượng biexciton graphene phương pháp gần... Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GRAPHENE 3.1 Các tính chất vật lý Graphene Về bản, cứng thép, dễ kéo căng, dùng làm chất dẫn dẻo Độ dẫn nhiệt cao nhiều so với độ dẫn nhiệt bạc Graphene thực tế suốt, vùng