THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R 2/ Các dạng phương trình mặt cầu : Kí hiệu: S I ; R � S I ; R M / IM R Dạng : Phương trình tắc Dạng : Phương trình tổng quát ( S ) : x y z 2ax 2by 2cz d (2) Mặt cầu (S) có tâm I a; b; c , bán kính � Điều kiện để phương trình (2) R0 phương trình mặt cầu: S : x a y b z c R2 2 a b2 c2 d (S) có tâm I a; b; c (S) có bán kính: R a b c d 3/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng : Cho mặt cầu S I ; R mặt phẳng P Gọi H hình chiếu vng góc I lên P � d IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng P Khi : + Nếu d R : Mặt cầu + Nếu d R : Mặt phẳng + Nếu d R : Mặt phẳng mặt phẳng khơng có tiếp xúc mặt cầu Lúc đó: P cắt mặt cầu theo điểm chung P mặt phẳng tiếp diện thiết diện đường tròn mặt cầu H tiếp có tâm I' bán kính điểm r R IH Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn 4/ Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng : Cho mặt cầu S I ; R đường thẳng Gọi H hình chiếu I lên Khi : + IH R : không cắt + IH R : tiếp xúc với mặt + IH R : cắt mặt cầu mặt cầu cầu tiếp tuyến (S) hai điểm phân biệt H tiếp điểm Trang 1/51 * Lưu ý: Trong trường hợp cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d I ; IH + Lúc đó: �AB � R IH AH IH � � �2 � 2 ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ * Đường trịn (C) không gian Oxyz, xem giao tuyến (S) mặt phẳng ( ) S : : x y z 2ax 2by 2cz d I Ax By Cz D R * Xác định tâm I’ bán kính R’ (C) + Tâm I ' d � R' I' Trong d đường thẳng qua I vng góc với mp ( ) + Bán kính R ' R II ' R � d I; � � � 2 5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R + Đường thẳng tiếp tuyến (S) � + Mặt phẳng tiếp diện (S) d I ; R � d I ; R * Lưu ý: Tìm tiếp điểm M x0 ; y0 ; z0 uuuu r r � IM d � IM ad �� uuuu r r Sử dụng tính chất : � IM IM n � � � Trang 2/51 B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp: * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I a; b; c Bước 2: Xác định bán kính R (S) Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I a; b; c bán kính R (S ) : x a y b z c R2 2 * Thuật tốn 2: Gọi phương trình ( S ) : x y z 2ax 2by 2cz d Phương trình (S) hồn tồn xác định biết a, b, c, d ( a b c d ) Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S), trường hợp sau: a) S có tâm I 2; 2; 3 bán kính R b) S có tâm I 1; 2;0 (S) qua P 2; 2;1 c) S có đường kính AB với A 1;3;1 , B 2;0;1 Bài giải: a) Mặt cầu tâm I 2; 2; 3 bán kính R , có phương trình: (S): x y z 3 uur b) Ta có: IP 1; 4;1 � IP 2 Mặt cầu tâm I 1; 2;0 bán kính R IP , có phương trình: (S): x 1 y z 18 uuu r c) Ta có: AB 3; 3;0 � AB 2 �1 � ; ;1� Gọi I trung điểm AB � I � �2 � �1 � ; ;1�và bán kính R AB , có phương trình: Mặt cầu tâm I � �2 � 2 2 � 1� � 3� (S): �x � �y � z 1 � 2� � 2� Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) , trường hợp sau: a) (S) qua A 3;1;0 , B 5;5;0 tâm I thuộc trục Ox b) (S) có tâm O tiếp xúc mặt phẳng : 16 x 15 y 12 z 75 c) (S) có tâm I 1; 2; có tiếp tuyến đường thẳng : x 1 y 1 z 1 3 Bài giải: uu r uur a) Gọi I a;0;0 �Ox Ta có : IA a;1;0 , IB a;5;0 Do (S) qua A, B � IA IB � a 1 a 25 � 4a 40 � a 10 � I 10;0;0 IA Mặt cầu tâm I 10;0;0 bán kính R , có phương trình (S) : x 10 y z 50 b) Do (S) tiếp xúc với � d O, R � R 75 25 Trang 3/51 Mặt cầu tâm O 0;0;0 bán kính R , có phương trình (S) : x y z uu r c) Chọn A 1;1; � � IA 0; 1;0 uu r r r � IA Đường thẳng có vectơ phương u 1;1; 3 Ta có: � � , u � 3;0; 1 uu r r � IA , u � Do (S) tiếp xúc với � d I , R � R � r � 10 u 11 10 Mặt cầu tâm I 1; 2; bán kính R , có phương trình (S) : 11 10 121 Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) qua bốn điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 , D 1;0; x 1 y 2 z b) (S) qua A 0;8;0 , B 4;6; , C 0;12; có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) Bài giải: a) Cách 1: Gọi I x; y; z tâm mặt cầu (S) cần tìm �IA2 IB y z 1 �x 2 �IA IB � � � � � Theo giả thiết: �IA IC � �IA IC � �x z 2 � �y �IA ID � �y z �z � � � �IA ID Do đó: I 2;1;0 R IA 26 Vậy (S) : x y 1 z 26 2 Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x y z 2ax 2by 2cz d , a b2 c2 d 0 Do A 1; 2; 4 � S � 2a 4b 8c d 21 Tương tự: B 1; 3;1 � S � 2a 6b 2c d 11 C 2; 2;3 � S � 4a 4b 6c d 17 D 1;0; � S � 2a 8c d 17 (1) (2) (3) (4) Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy phương trình mặt cầu (S) : x 2 y 1 z 26 b) Do tâm I mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz) � I 0; b; c �IA2 IB b7 � � �� Ta có: IA IB IC � � c5 � �IA IC Vậy I 0;7;5 R 26 Vậy (S): x y z 26 2 �x t � Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : �y 1 �z t � (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng : x y z : x y z Bài giải: Gọi I t ; 1; t � tâm mặt cầu (S) cần tìm Trang 4/51 1 t Theo giả thiết: d I , d I , � Suy ra: I 3; 1; 3 R d I , 5t 1 t t � �� �t 1 t t � 2 Vậy (S) : x 3 y 1 z Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A 2;6;0 , B 4;0;8 có tâm x 1 y z 1 thuộc d: Bài giải: �x t � Ta có d : �y 2t Gọi I t ; 2t ; 5 t �d tâm mặt cầu (S) cần tìm �z 5 t � uu r uur Ta có: IA t;6 2t ;5 t , IB t ; 2t;13 t Theo giả thiết, (S) qua A, B � AI BI � 1 t 2t t 2 3 t 4t 13 t � 62 32t 178 20t � 12t 116 � t 29 2 �32 58 44 � 32 � � 58 � � 44 � � � I � ; ; �và R IA 233 Vậy (S): �x � �y � �z � 932 3 � �3 � � � � � � Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 cắt đường thẳng x y 1 z hai điểm A, B với AB 16 4 Bài giải: uuur Chọn M 1;1;0 � � IM 3; 2;1 Đường thẳng có vectơ phương r u 1; 4;1 uuur r � IM , u � uuur r � � Ta có: � � IM , u � 2; 4;14 � d I , 2 r � u : AB Gọi R bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết : R � � d I , � � 19 Vậy (S): x y 3 z 1 76 2 Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng P : x y z 0, Q : x y z đường x 1 y z 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) 2 cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20 Bài giải: (1) �x 7t �x 7t �y 3t (2) � � Ta có : �y 3t Tọa độ I nghiệm hệ phương trình: � (3) �z 2t �z 2t � � x y z (4) � thẳng : Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 7t 3t 2t � t � I 1;0;1 Trang 5/51 Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có: Ta có : d I , Q 20 r � r R bán kính mặt cầu (S) cần tìm Theo giả thiết: R � d I , Q � � � r 110 2 330 Vậy (S) : x 1 y z 1 3 �x t � Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P ) : x y z đường thẳng d : �y 2t �z t � Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Bài giải: Gọi I t; 2t 1; t �d : tâm mặt cầu (S) R bán kính (S) Theo giả thiết : R � d I; P � � � r 13 Mặt khác: d I ; P � t � 2t 2t 2t 2� � 6t � � 11 1 � t � � 2 � 13 � � � � � 13 � � ; ; � * Với t : Tâm I1 � , suy S1 : �x � �y � �z � 13 �6 � � 6� � 3� � � * Với t 2 11 � 11 � � 11 � � � � � I ; ; : Tâm � �, suy S2 : �x � �y � �z � 13 �6 � � � � 3� � 6� x 1 y 1 z 1 Viết phương trình 2 mặt cầu (S) tâm I cắt d hai điểm A, B cho IAB vuông I Bài giải : r Đường thẳng d có vectơ phương u 2;1; P 1; 1;1 �d r uur� uur � uur u , IP r � 0; 4; 2 Suy ra: d I ; d � � 20 u , IP Ta có: IP 0; 1; 2 � � r � � u Bài tập 9: Cho điểm I 1;0;3 đường thẳng d : Gọi R bán kính (S) Theo giả thiết, IAB vng I 1 40 � R IH 2d I , d IH IA IB R 40 2 Vậy (S) : x 1 y z 3 � Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x y z x y z điểm A 4; 4;0 Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Bài giải : (S) có tâm I 2; 2; , bán kính R Nhận xét: điểm O A thuộc (S) Trang 6/51 Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp R / / Khoảng cách : d I ; P R R OA 3 2 Mặt phẳng (P) qua O có phương trình dạng : ax by cz a b c * Do (P) qua A, suy ra: 4a 4b � b a Lúc đó: d I ; P 2 a b c 2c � 2c a2 b2 c2 2a c 2a c ca � � 2a c 3c � � Theo (*), suy P : x y z x y z c 1 � Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r bán kính (C): r R2 � d I; P � � � Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x y z x cắt mặt phẳng (P): x theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính (C) Bài giải : * Mặt cầu (S) có tâm I 1;0;0 bán kính R Ta có : d I , P R � mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đ.p.c.m) r * Đường thẳng d qua I 1;0;0 vng góc với (P) nên nhận nP 1;0;0 làm vectơ �x t � phương, có phương trình d : �y �z � �x t �x �y � � � �y � I / 2;0;0 + Tọa độ tâm I / đường tròn nghiệm hệ : � z � �z � � �x + Ta có: d I , P Gọi r bán kính (C), ta có : r R � d I, P � � � Dạng : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng tiếp tuyến (S) � d I ; R + Mặt phẳng ( ) tiếp diện (S) � d I ; R * Lưu ý dạng toán liên quan tìm tiếp điểm, tương giao Trang 7/51 Bài tập 1: Cho đường thẳng : x y 1 z và mặt cầu S : 1 x y z x z Số điểm chung S : A 0.B.1.C.2.D.3 Bài giải: r Đường thẳng qua M 0;1; có vectơ phương u 2;1; 1 Mặt cầu S có tâm I 1;0; bán kính R r uuu r � � u , MI r uuu r uuu r � 5;7; 3 � d I , � r � 498 u , MI Ta có MI 1; 1; 4 � � � u Vì d I , R nên không cắt mặt cầu S Lựa chọn đáp án A Bài tập 2: Cho điểm I 1; 2;3 Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là: A x 1 y 2 z 3 10 B x 1 y C x 1 y z 3 10 D x 1 y 2 2 z 3 z 3 2 10 Bài giải: Gọi M hình chiếu I 1; 2;3 lên Oy, ta có : M 0; 2;0 uuur IM 1;0; 3 � R d I , Oy IM 10 bán kính mặt cầu cần tìm Phương trình mặt cầu : x 1 y z 3 10 Lựa chọn đáp án B Bài tập 3: Cho điểm I 1; 2;3 đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1 Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là: A x 1 y z 3 50 B x 1 y z 3 C x 1 y z 3 2 D x 1 y z 3 50 2 2 Bài giải: Đường d thẳng I 1; 2; 3 qua có VTCP r u 2;1; 1 r uuuu r � � u , AM � � � d A, d 5 r u Phương trình mặt cầu : x 1 y 2 z 3 50 Lựa chọn đáp án D Bài tập 4: Mặt cầu S tâm I ( 2;3;- 1) cắt đường thẳng d: x 11 y z 25 2 điểm A, B cho AB 16 có phương trình là: A x y 3 z 1 17 B x y z 1 289 Trang 8/51 C x y 3 z 1 289 2 D x y z 1 280 2 Bài giải: Đường thẳng d qua M 11; 0; 25 có vectơ r phương u 2;1; I Gọi H hình chiếu I (d) Ta có: r uuu r � � u , MI AB � � � IH d I , AB 15 � R IH � r � � 17 u �2 � R d B A H Vậy S : x y 3 z 1 289 2 Lựa chọn đáp án C Bài tập 5: Cho đường thẳng d : x5 y 7 z điểm I (4;1;6) Đường thẳng d cắt 2 mặt cầu S có tâm I, hai điểm A, B cho AB Phương trình mặt cầu S là: A x y 1 z 18 B x y 1 z 18 C x y 1 z D x y 1 z 16 2 2 2 Bài giải : Đường thẳng d qua M (5;7;0) có vectơ phương r u (2; 2;1) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có : r uuu r � � u , MI AB � � � � IH d I , AB � R IH � � 18 r u �2 � I R 2 d B A Vậy S : x y 1 z 18 H Lựa chọn đáp án A Bài tập 8: Cho điểm I 1;0;0 đường thẳng d : x 1 y 1 z Phương trình mặt cầu S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 2 B x 1 y z 3 16 2 2 2 C x 1 y z D x 1 y z Bài giải: Đường thẳng qua M 1;1; có vectơ r phương u 1; 2;1 r uuu r uuu r � 5; 2; 1 u , MI Ta có MI 0; 1; � � � Gọi H hình chiếu I (d) Ta có : r uuu r � � u , MI � � IH d I , AB r u 2 A x 1 y z I R B A d H Trang 9/51 IH 15 �R 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 y z Lựa chọn đáp án A Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z Viết phương trình tiếp tuyến Xét tam giác IAB, có IH R mặt cầu (S) qua A 0;0;5 biết: r a) Tiếp tuyến có vectơ phương u 1; 2; b) Vng góc với mặt phẳng (P) : x y z Bài giải: r a) Đường thẳng d qua A 0;0;5 có vectơ phương u 1; 2; , có phương �x t � trình d: �y 2t �z 2t � r b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP 3; 2; Đường thẳng d qua A 0;0;5 vng góc với mặt phẳng (P) nên có vectơ �x 3t r � phương nP 3; 2; , có phương trình d: �y 2t �z 2t � Bài tập 10: Cho (S ) : x2 y z x y 2z hai đường thẳng x 1 y 1 z 1 ; 2 x y 1 z 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 đồng 2 thời tiếp xúc với (S) Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I 3;3; 1 , R r Ta có: 1 có vectơ phương u1 3; 2; r có vectơ phương u2 2; 2;1 r Gọi n vectơ pháp mặt phẳng (P) r r ( P ) / / 1 n u1 � � r r r � �r r � chọn n u1 , u2 2; 1; Do: � ( P) / / n u2 � � Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : 2 x y z m 1 : Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) � d I ;( P) R � 5 m 4 m7 � � m 12 � � m 17 � Kết luận: Vậy tồn mặt phẳng : 2 x y z 0, x y z 17 Trang 10/51 Câu 45 Cho 1 : mặt P : x y z 10 phẳng hai đường thẳng x y z 1 x2 y z3 , 2 : Mặt cầu S có tâm thuộc 1 , tiếp xúc 1 1 1 với mặt phẳng P , có phương trình: 2 2 2 11 � � � � � 81 A ( x 1) ( y 1) ( z 2) � �x � �y � �z � � � � 2� � 2� 2 11 � � � � � 81 B ( x 1) ( y 1) ( z 2) � �x � �y � �z � � � � 2� � 2� C ( x 1) ( y 1) ( z 2) D ( x 1) ( y 1) ( z 2) Hướng dẫn giải: �x t uu r � 1 : �y t ; qua điểm A(2;0; 3) có vectơ phương a2 (1;1; 4) �z t � Giả sử I (2 t; t ;1 t ) �1 tâm R bán kính mặt cầu S uur uu r � uur uu r uur AI , a2 � � � 5t Ta có: AI (t ; t ; t ) � AI , a2 � uu r � � (5t 4; 5t;0) d I ; a2 d ( I , ( P)) t 2t 2(1 t ) 10 1 t 10 � t S tiếp xúc với P d ( I , ) d ( I , ( P)) 5t t 10 � � t 1 � Với t 2 11 � � 11 � � � � � 81 I � ; ; �, R S : � x y z � � � � � � �2 2 � � � � 2� � 2� 2 Với t 1 I (1; 1; 2), R S : ( x 1) ( y 1) ( z 2) Câu 46 Lựa chọn đáp án A Cho mặt phẳng P mặt cầu ( S ) có phương trình P : x y z m2 4m 0; ( S ) : x y z x y z Giá trị P tiếp xúc ( S ) là: A m 1 m C m 1 Hướng dẫn giải: m để B m m 5 D m ( S ) : x y z x y z có tâm I 1; 1;1 bán kính R P tiếp xúc ( S ) � d I ; P R � 2.1 2.(1) 1.1 m 4m 1 2 � m 4m � m 4m m 1 � � �2 � m 4m � � m m m � � Lựa chọn đáp án A Trang 39/51 Câu 47 Cho mặt S : x2 y z 2x y 2z cầu P : x y z Phương trình đường thẳng d A 3; 1;1 song song với mặt phẳng P là: �x 4t � A �y 1 6t �z t � �x 4t � B �y 2 6t �z 1 t � mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu �x 4t � C �y 1 6t �z t � S �x 2t � D �y 1 t �z 2t � Hướng dẫn giải: uu r Mặt cầu S có tâm I 1; 2; 1 � IA 2;1; � t Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu S � song song với mặt � t 1 � uu r uuur uu r n P , IA� 4; 6; 1 phẳng P nên đường thẳng d có vettơ phương ad � � � �x 4t � Vậy phương trình đường thẳng d : �y 1 6t �z t � Lựa chọn đáp án A Câu 48 Cho điểm A 2;5;1 mặt phẳng ( P) : x y z 24 , H hình chiếu vng góc A mặt phẳng P Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích 784 tiếp xúc với mặt phẳng P H, cho điểm A nằm mặt cầu là: A x y z 1 196 B x y z 1 196 C x 16 y z 196 D x 16 y z 196 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: �x 6t � Gọi d đường thẳng qua A vng góc với P Suy d : �y 3t �z 2t � Vì H hình chiếu vng góc A P nên H d �( P) Vì H �d nên H 6t ;5 3t ;1 2t Mặt khác, H �( P ) nên ta có: 6t 3t 2t 24 � t 1 Do đó, H 4; 2;3 Gọi I , R tâm bán kính mặt cầu Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784 , suy 4 R 784 � R 14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P H nên IH ( P ) � I �d Do tọa độ điểm I có dạng I 6t ;5 3t ;1 2t , với t �1 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn: Trang 40/51 �6 6t 3t 2t 24 �� t 1 14 � d ( I , ( P )) 14 � 2 � � � ( 2) �� � �� t 3 � t � AI 14 � � � 2 2 t � � � 6t 3t 2t 14 Do đó: I 8;8; 1 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : x y z 1 196 2 Lựa chọn đáp án A Câu 49 P : 2x y z Cho mặt phẳng A 0;0; , B 2;0;0 điểm Phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng P là: A x 1 y 1 z B x 1 y 1 z C x 1 y 1 z D x 1 y 1 z 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi ( S ) có tâm I a; b; c bán kính R Phương mặt cầu ( S ) có dạng: x y z 2ax 2by 2cz d (S) qua điểm O, A, B , ta có hệ phương trình : d 0 � d 0 � d 0 a 1 � � � c d 16 � � � � c c2 b 1 � � � � �� � � 4a+d=-4 � � � a 1 a c �2a b c � � � 2 2 � � � � d 0 b b R b 10 b � � � � 11 � Vậy (S): x 1 y 1 z Câu 50 Cho mặt phẳng P : x y 2z điểm A 2; 3;0 Gọi B điểm thuộc tia Oy cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng kính Tọa độ điểm B là: A 0;1;0 B 0; 4;0 C 0; 2;0 0; 4;0 P có bán D 0; 2;0 Hướng dẫn giải Vì B thuộc tia Oy nên B 0; b;0 (với b ) Bán kính mặt cầu tâm B , tiếp xúc với P R d B, P Theo giả thiết R � 2b 2b 2b b2 � � � 2b � � �� 2b 6 b 4 � � Do b � b Vậy B 0; 2;0 Lựa chọn đáp án D Câu 51 Cho hai mặt phẳng ( P ) : x y z 0, (Q) : x y z Phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A 1; 1;1 và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là: A ( S ) : x 3 y z 3 56 2 B ( S ) : x 3 y z 3 56 2 Trang 41/51 C ( S ) : x 3 y z 3 14 2 D ( S ) : x 3 y z 3 14 2 2 Hướng dẫn giải: �x 2t � Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( P ) , ta có : d : �y 1 3t �z t � Tâm I �d � I 2t ; 1 3t ;1 t I � Q � 2t 1 3t t � t 2 � I 3; 7;3 Bán kính mặt cầu R IA 14 Phương trình mặt cầu ( S ) : x 3 y z 3 56 2 Lựa chọn đáp án A Câu 52 �x 1 t � Cho điểm I (0;0;3) đường thẳng d : �y 2t Phương trình mặt cầu (S) �z t � có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: 2 A x y z 3 B x y z 3 2 C x y z 3 D x y z 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi H 1 t ; 2t; t �d hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d uuu r � IH 1 t; 2t ; 1 t uu r Ta có vectơ phương d : ad 1; 2;1 IH d uuu r uu r �2 7� � IH ad � 1 t 4t t � 2 6t � t � H � ; ; � � 3 3� 2 �2 � �2 � �2 � � IH � � � � � � �3 � �3 � �3 � Vì tam giác IAB vng I IA IB R Suy tam giác IAB vng cân I , bán kính: R IA AB cos 450 IH 2 IH 3 Vậy phương trình mặt cầu S : x y z 3 Lựa chọn đáp án B Câu 53 Cho đường thẳng : x2 y z 3 1 1 và mặt cầu x y z x y 21 Số giao điểm S là: A Hướng dẫn giải: B.1 C.0 D.3 r Đường thẳng qua M 2;0;3 có VTCP u 1;1; 1 Trang 42/51 (S): Mặt cầu S có tâm I uuu r Ta có MI 3; 2; 6 r uuu r � � u , MI � � � d I; r u 1; 2; 3 bán kính R=9 r uuu r � � 4; 9; 5 u , MI � � 366 Vì d I , R nên cắt mặt cầu S hai điểm phân biệt Lựa chọn đáp án A Cho đường thẳng d : x y z mặt cầu (S) : x y z Câu 54 Tọa độ giao điểm S là: A A 0;0; , B 2; 2; 3 B A 2;3; C A 2; 2; 3 D (S) không cắt Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: �x 2 2t �y 3t � � t � A 2; 2; 3 �z 3 2t � �x y z � Lựa chọn đáp án C Câu 55 Cho đường thẳng �x t : � �y �z 4 7t � mặt S : cầu x y z x y z 67 Giao điểm S điểm có tọa độ: A (S) không cắt B A 1; 2;5 , B 2;0; C A 2; 2;5 , B 4;0;3 D A 1; 2; 4 , B 2; 2;3 Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: �x t �y � t � A 1; 2; 4 � �� � t � B 2; 2;3 � �z 4 7t 2 � �x y z x y z 67 Lựa chọn đáp án D Câu 56 Cho điểm I 1;0;0 đường thẳng d : x 1 y 1 z Phương trình mặt cầu S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB là: A x 1 y z B x 1 y z C x 1 y z D x 1 y z 2 2 Trang 43/51 Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d qua M 1; 1; 2 có vectơ phương u 1; 2;1 r uuu r � � u , MI � � Gọi H hình chiếu I (d) Ta có: IH d I ; AB r u �AB � � R IH � � �2 � 2 Vậy phương trình mặt cầu: x 1 y z Lựa chọn đáp án A Câu 57 Cho điểm I 1;1; 2 đường thẳng d : x 1 y z Phương trình mặt cầu S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB là: A x 1 y 1 z 27 B x 1 y 1 z 27 C x 1 y 1 z 24 D x 1 y 1 z 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d qua M 1; 3; có vectơ phương u 1; 2;1 r uuu r � � u , MI � � 18 Gọi H hình chiếu I (d) Ta có : IH d I ; AB r u �AB � � R IH � � 27 �2 � Vậy phương trình mặt cầu: x 1 y 1 z 27 2 Lựa chọn đáp án A Câu 58 Cho điểm I 1;0;0 đường thẳng d : x 1 y 1 z Phương trình mặt cầu S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A x 1 y z 12 B x 1 y z 10 C x 1 y z D x 1 y z 16 2 2 Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d qua M 1; 1; 2 có vectơ phương u 1; 2;1 r uuu r � � u , MI � � Gọi H hình chiếu I D Ta có : IH d I ; AB r u �AB � � R IH � � 10 �2 � Vậy phương trình mặt cầu : x 1 y z 10 Lựa chọn đáp án B Trang 44/51 Câu 59 �x t � Cho điểm I 1;0;0 đường thẳng d : �y 2t Phương trình mặt cầu S �z 2 t � có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 2 A x 1 y z B x 1 y z 3 16 2 C x 1 y z D x 1 y z Hướng dẫn giải: r Đường thẳng qua M 1;1; có vectơ phương u 1; 2;1 r uuu r uuu r � 5; 2; 1 u , MI Ta có MI 0; 1; � � � r uuu r � � u , MI � � IH d I ; AB Gọi H hình chiếu I D Ta có : r u IH 15 �R 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 y z Lựa chọn đáp án B Xét tam giác IAB, có IH R Câu 60 Cho điểm I 1;1; 2 �x 1 t � đường thẳng d : �y 2t Phương trình mặt �z t � cầu S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A x 1 y 1 z B x 1 y 1 z C x 1 y 1 z D x 1 y 1 z 36 2 2 2 Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d qua M 1; 3; có vectơ phương u 1; 2;1 r uuu r � � u , MI � � 18 Gọi H hình chiếu I D Ta có : IH d I ; AB r u �AB � � R IH � � 36 �2 � 2 Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 y 1 z 36 2 Lựa chọn đáp án D Câu 61 Cho điểm I 1;1; 2 đường thẳng d : x 1 y z Phương trình mặt cầu S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: A x 1 y 1 z 24 2 B x 1 y 1 z 24 2 Trang 45/51 C x 1 y 1 z 18 2 D x 1 y 1 z 18 2 2 Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d qua M 1; 3; có vectơ phương u 1; 2;1 r uuu r � � u , MI � � 18 Gọi H hình chiếu I D Ta có : IH d I ; AB r u IH �R 2 � IH R Vậy phương trình mặt cầu : x 1 y 1 z 24 2 Lựa chọn đáp án A x 1 y z Phương trình mặt � 30o là: cầu S có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho IAB Cho điểm I 1;1; 2 đường thẳng d : Câu 62 A x 1 y 1 z 72 B x 1 y 1 z 36 C x 1 y 1 z 66 D x 1 y 1 z 46 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d qua M 1; 3; có vectơ phương u 1; 2;1 r uuu r � � u , MI � � 18 Gọi H hình chiếu I D Ta có: IH d I ; AB r u � R IA 18 Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 y 1 z 72 Lựa chọn đáp án A Câu 63 2 Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3; 7 tiếp xúc trục tung là: y 3 y 3 A x 3 y z 61 B x 3 y z 58 C x 3 z 58 D x 3 z 12 2 Hướng dẫn giải: 2 2 Gọi H hình chiếu I 3; 3; 7 Oy � H 0; 3;0 � R IH 58 Vậy phương trình mặt cầu là: x 3 y Lựa chọn đáp án B Câu 64 Phương trình mặt cầu có tâm I C x A x y 3 z 86 y 3 z 90 Gọi H hình chiếu I D x B x 5;3;9 Ox � H z 58 5;3;9 tiếp xúc trục hoành là: 2 Hướng dẫn giải: Vậy phương trình mặt cầu là: x y 3 z 14 y 3 z 90 2 2 5;0;0 � R IH 90 y 3 z 90 2 Trang 46/51 Lựa chọn đáp án C Phương trình mặt cầu có tâm I 6; 3; tiếp xúc trục Oz là: Câu 65 y 3 z y 3 z A x C x 2 Hướng dẫn giải: 2 2 y z 1 y z 1 B x 2 D x 2 y z 1 Gọi H hình chiếu I 6; 3; Oz � H 0; 0; � R IH Vậy phương trình mặt cầu là: x 2 Lựa chọn đáp án A Phương trình mặt cầu có tâm I 4;6; 1 cắt trục Ox hai điểm A, B Câu 66 cho tam giác IAB vuông là: A x y z 1 26 B x y z 1 74 C x y z 1 34 D x y z 1 104 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I 4;6; 1 Ox � H 4;0;0 � IH d I ; Ox 37 �AB � � R IH � � 37 37 74 �2 � 2 Vậy phương trình mặt cầu : x y z 1 74 Lựa chọn đáp án B Phương trình mặt cầu có tâm I Câu 67 2 3; 3;0 cắt trục Oz hai điểm A, B cho tam giác IAB là: y z y z A x C x 2 D x Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I y z y z B x 2 2 2 3; 3;0 Oz � H 0;0;0 � IH d I ; Ox IH �R 2 2 Vậy phương trình mặt cầu : � IH R x 3 y 3 2 z Lựa chọn đáp án D Câu 68 Phương trình mặt cầu có tâm I 3;6; 4 cắt trục Oz hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB là: A x 3 y z 49 B x 3 y z 45 C x 3 y z 36 D x 3 y z 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I 3;6; 4 Oz � H 0;0; 4 � IH d I ; Ox 45 Trang 47/51 S AIB IH AB 2S AB � � AB AIB � R IH � � � 49 IH �2 � Vậy phương trình mặt cầu : x 3 y z 49 2 Lựa chọn đáp án A Mặt cầu (S) có tâm I 2;1; 1 cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam Câu 69 giác IAB vuông Điểm sau thuộc mặt cầu (S): A 2;1;1 B 2;1;0 C 2;0;0 D 1;0;0 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I 2;1; 1 Ox � H 2;0;0 � IH d I , Ox 2 �AB � � R IH � � �2 � 2 Vậy phương trình mặt cầu : x y 1 z 1 2 � 2;1;1 � S Lựa chọn đáp án A Gọi (S) mặt cầu có tâm I 1; 3;0 cắt trục Ox hai điểm A, B Câu 70 cho tam giác IAB Điểm sau không thuộc mặt cầu (S): A 1; 3; B 3; 3; 2 C 3; 3; 2 D 2; 1;1 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I 1; 3;0 Ox � H 1;0;0 � IH d I ; Ox � IH R IH �R 2 3 Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 y 3 z 12 � 2; 1;1 � S 2 Lựa chọn đáp án D Câu 71 Cho điểm I 1;0;0 đường thẳng d : x y 1 z 1 Phương trình mặt cầu S có tâm I tiếp xúc d là: A x 1 y z B x 1 y z C x 1 y z 10 D x 1 y z 10 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua I 2;1;1 có vectơ phương : r uuu r � � u , MI r � � u 1; 2;1 � d I ; d r u Phương trình mặt cầu là: x 1 y z Lựa chọn đáp án A Trang 48/51 x 1 y z Phương trình mặt cầu 1 có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích Câu 72 Cho điểm I 1;7;5 đường thẳng d : tam giác IAB 6015 là: A x 1 y z 5 2018 B x 1 y z 5 2017 C x 1 y z 5 2016 D x 1 y z 2019 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I 1;7;5 d � H 0;0; 4 � IH d I ; d S AIB IH AB 2S AB � � AB AIB 8020 � R IH � � � 2017 IH �2 � Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 y z 5 2017 2 Lựa chọn đáp án B Câu 73 Cho điểm A 1;3;1 B 3; 2; Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oz có đường kính là: A 14 B 14 C 10 D Hướng dẫn giải: Gọi I 0;0; t Oz IA IB � t � I 0;0;3 � R IA 14 � đường kính là: 14 Lựa chọn đáp án B Câu 74 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2;1 B 0;1;1 Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục hồnh có đường kính là: A B C D 12 Hướng dẫn giải: Gọi I t ;0;0 Ox Vì IA IB � t � I 2;0;0 � R IA � đường kính Lựa chọn đáp án A Câu 75 Cho điểm A 2;1; 1 B 1;0;1 Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oy có đường kính là: A 2 B C D Hướng dẫn giải: Gọi I 0; t ;0 Oy IA IB � t � I 0; 2;0 � R IA � đường kính Lựa chọn đáp án A x 1 y z 1 2 Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm là: 13 17 12 � � �3 � �4 � �6 13 � A � ; ; � B � ; ; � C � ; ; � D � ; ; � 10 10 � � �2 � �3 3 � �5 5 � Hướng dẫn giải: Câu 76 Cho điểm A 0;1;3 B 2; 2;1 đường thẳng d: Trang 49/51 Gọi I t ; t ;3 2t d IA IB � t 13 17 12 � � �I� ; ; � 10 10 10 � � Lựa chọn đáp án A Câu 77 Cho điểm A 1;3;0 B 2;1;1 đường thẳng d: x y 3 z Mặt 1 cầu ( S) qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm ( S) là: A 4;5; B 6;6;3 C 8;7; D 4;1; 2 Hướng dẫn giải: Gọi I 2t ;3 t ; t d IA IB � t � I 8;7; Lựa chọn đáp án C Câu 78 Cho điểm A 1;1;3 B 2; 2;0 đường thẳng d : x y 2 z 3 Mặt 1 cầu ( S) qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm ( S) là: 11 23 � A � � ; ; � �6 6 � 23 � B � �; ; � �6 6 � 25 � C � �; ; � �6 6 � 19 � D � �; ; � �6 6 � Hướng dẫn giải: Gọi I t ; t;3 t d IA IB � t 11 �11 23 � �I� ; ; � �6 6 � Lựa chọn đáp án A Câu 79 �x t � Cho đường thẳng d : �y 1 3t Phương trình mặt cầu có đường kính �z � đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d trục Ox là: 1 2 2 A x 1 y z B x 1 y z C x 1 y z 2 1� � 1� D � �x � y �z � � 3� � 2� Hướng dẫn giải: uuu r uu r r Gọi A t; 1 3t;1 �d ; B t ';0;0 �Ox � AB t ' t ;1 3t; 1 , ud 1;3;0 , i 1;0;0 uuu r uu r 2 � �AB.ud � 1� � 1� � t t ' Ta có: �uuu rr R � �x � y �z � � 3� � 2� �AB.i Lựa chọn đáp án C �x t ' �x 2t � � Câu 80 Cho hai đường thẳng d : �y t d ' : �y t ' Phương trình mặt cầu có �z �z � � đường kính đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d d’ là: A x y 1 z B x y z Trang 50/51 C x y 1 z 2 D x y 1 z 2 Hướng dẫn giải: uuu r uu r uur Gọi A 2t ; t ; �d ; B t ';3 t ';0 �d ' � AB t ' 2t ;3 t ' t ; 4 , ud 2;1;0 , ud ' 1; 1;0 uuu r uu r � � t � A 2;1; �AB.ud � �� r uur Ta có: �uuu t ' � B 2;1;0 �AB.ud ' � � I 2;1; R � x y 1 z 2 Lựa chọn đáp án A Cho điểm A 2; 4;1 B 2;0;3 đường thẳng d : Câu 81 x 1 y z 1 2 Gọi S mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Bán kính mặt cầu (S) bằng: 1169 Hướng dẫn giải: A B 873 C 1169 16 D 967 11 1169 Gọi I 2t ; 2 t ;3 2t d IA IB � t � IA 4 Lựa chọn đáp án A �x 2t � Cho điểm A 2; 4; 1 B 0; 2;1 đường thẳng d : �y t Gọi S �z t � Câu 82 mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Đường kính mặt cầu S bằng: A 19 B 17 C D 19 17 Hướng dẫn giải: Gọi I 2t ; t;1 t d IA IB � t � R IA 19 đường kính 19 Lựa chọn đáp án A Câu 83 Mặt cầu tâm I 2; 4;6 tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình: A x y z 16 B x y z 36 C x y z D x y z 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I 2; 4;6 , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z � R d I ; Oxy �R Vậy S : x y z 36 2 Lựa chọn đáp án B Câu 84 Mặt cầu tâm I 2; 4;6 tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình: A x y z 16 B x y z C x y z 36 D x y z 56 2 2 2 2 2 2 Trang 51/51 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I 2; 4;6 , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) : y � R d I ; Oxz �R Vậy S : x y z 16 2 Lựa chọn đáp án A Câu 85 Phương trình mặt cầu tâm I 2; 4;6 sau tiếp xúc với trục Ox: A x y z 20 B x y z 40 C x y z 52 D x y z 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I 2; 4;6 , bán kính R tiếp xúc trục Ox � R d I ; Ox � R yI2 z I2 52 Vậy S : x y z 52 2 Lựa chọn đáp án C Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 86 Mặt cầu tâm I 2; 4;6 tiếp xúc với trục Oz có phương trình: A x y z 20 B x y z 40 C x y z 52 D x y z 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải : Mặt cầu tâm I 2; 4;6 , bán kính R tiếp xúc trục Ox � R d I ; Oz � R xI2 yI2 20 Vậy S : x y z 20 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý : Học sinh hoàn tồn sử dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 87 Cho mặt cầu S : x 1 y z 3 Phương trình mặt cầu sau phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy): A x 1 y z 3 B x 1 y z 3 C x 1 y z 3 D x 1 y z 3 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu S tâm I 1; 2;3 , bán kính R Do mặt cầu S ' đối xứng với S qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' S ' đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R' R Ta có : I ' 1; 2; 3 Vậy S : x 1 y z 3 2 Lựa chọn đáp án D uur Oxy Lưu ý: Để ý thấy trung điểm II �thuộc mặt phẳng Oxy II � Cả đáp án dễ dàng tìm tọa độ I �nên tinh ý ta tiết kiệm thời gian việc tìm đáp án Trang 52/51 Câu 88 Cho mặt cầu S : x 1 y 1 z Phương trình mặt cầu sau phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz: A x 1 y 1 z B x 1 y 1 z C x 1 y 1 z D x 1 y 1 z 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu S tâm I 1;1; , bán kính R Do mặt cầu S ' đối xứng với S qua trục Oz nên tâm I' S ' đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R' R Ta có : I ' 1; 1; Vậy S : x 1 y 1 z 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý: Sẽ vất vả nhiều học sinh khơng nhớ tính chất đối xứng, tọa độ điểm đối xứng qua trục tọa độ Đường tròn giao tuyến S : x 1 y z 16 cắt mặt Câu 89 2 phẳng (Oxy) có chu vi : 7 Hướng dẫn giải: A B 7 C 7 D 14 Mặt cầu S tâm I 1; 2;3 , bán kính R Ta có : d I ; Oxy z I Gọi r bán kính đường trịn (C) giao tuyến mặt cầu S mặt phẳng (Oxy), ta suy : Vậy chu vi (C) : 7 r R2 � d I ; Oxy � � � Lựa chọn đáp án B Lưu ý: Để hiểu làm nhanh học sinh nên vẽ minh họa hình học từ rút cơng thức tổng qt xác định bán kính đường trịn giao tuyến hướng dẫn giải Trang 53/51
Ngày đăng: 02/05/2021, 15:00
Xem thêm: