CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC

CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC là tài liệu dành cho các bạn học sinh rèn luyện và nâng cao kỹ năng giãi bài tập, ôn tập kiến thức, góp phần giúp ích cho các kỳ thi sắp tới, rất ích cho các bạn ôn thi vào đại học bách khoa

CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC sè phøc PHẦN I CÁC DẠNG TOÁN VẤN dạng đại số số phức Cộng, trừ, nh©n, chia sè phøc A TĨM TẮT KIẾN THỨC Sè phøc Mét biĨu thøc d¹ng z = a + bi, a b số thực i thỏa mÃn i = -1 gọi số phức a gọi phần thực, b gọi phần ảo, i gọi đơn vị ảo Tập số phức kí hiệu Số phức có phần ảo gọi số thực nên R Số phức có phần thực gọi số ảo = + 0i số vừa thực vừa ảo Hai sè phøc b»ng z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'  ); Céng, trõ hai sè phøc z  a+bi (a,b   ), z + z'  (a + a' ) + (b + b') i, a  a ' z  z'   b  b ' z'  a'+b' i (a',b'  ) z  z'  (a - a') + (b - b' )i Sè ®èi cđa sè phøc z = a + bi lµ sè phøc ; - z = - a – bi Nh©n hai sè phøc z  a+bi (a,b   ), z'  a'+b' i (a',b'  ); zz'  aa ' bb ' (ab ' a 'b)i Môđun số phức, số phức liên hợp z = a +bi (a, b ) môđun z z = a +b2 z = a +bi (a, b ) số phức liên hợp z lµ z = a - bi Ta cã: zz' = z z' , zz  a  b2  z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z * z lµ sè thùc vµ chØ z = z Chia cho sè phøc kh¸c z NÕu z = a + bi (a, b ) khác không số phức nghịch đảo z z-1= z Thương z' cho z khác không là: z'  z' z' z' z' z'z  ,   Ta cã:  z'z-1  z z z zz z z BiĨu diƠn h×nh häc cđa sè phøc Sè phøc z = a + bi (a, b ) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi mặt phẳng phức Trục Ox biểu diễn số thực gọi trục thực, trục Oy biểu diễn số ảo gọi trục ảo Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn vectơ u (a; b) , M(a; b) điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a, b   ) có nghĩa OM biểu diễn số phức   Ta cã:NÕu u , v theo thø tù biểu diễn số phức z, z' http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC      u  v biĨu diƠn sè phøc z + z', u  v biĨu diƠn sè phøc z – z-1, k u (k   ) biĨu diƠn sè phøc kz,   OM  u  z , víi M điểm biểu diễn z B Các dạng tập I Xác định tổng, hiệu, tích, thương số phức 1) Phương pháp giải p dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo số phøc sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (1  i )3  (2i )3 Bài giải a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i VËy số phức đà cho có phần thực - 1, phần ảo - b) Sử dụng quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có (1  i)3  (1)3  3(1)2 i  3(1)i  i3   2i, (2i )3  (2)3 (i )3 8i Do nhận kết toán + 10i Ví dụ 2: Tính i 2 Bài giải 3  i  i 2 Ta cã : 2   i 2 1   i   i    2  2  VÝ dô 3: TÝnh  i  i  i3   i 2009 Bµi gi¶i Ta cã:  i 2010  (1  i)(1  i  i  i3   i 2009 ) Mµ  i 2010  Nªn ,   i  i  i3   i 2009   i 1 i 100 VÝ dô 4: TÝnh (1  i)  i  i  i3   i 2009  Bµi gi¶i NhËn thÊy (1  i)2  (1  i)(1  i )  2i Suy (1  i)100  ((1  i )2 )50  (2i )50  (2)50 (i )50  250 VÝ dô 5: Cho sè phøc z   H·y chøng minh r»ng:  i 2 z  z   0; z  z  ; z3 z Bài giải 3 i Nªn z  z   (  i )  (  Do z    http://violet.vn/kinhhoa 2 2 i)   ; Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC   i 1 2 L¹i cã     i Suy z  z  z 2 z i 2 Hơn ta có z3  VÝ dơ 6: T×m sè phøc z, z z Bài giải Đặt z = x + yi, z  z   ( x  yi)2  x  y   x  y  x  y  xyi    x    x     x  y  x  y    y  y    y (1  y )     2 xy    y    y    x  x    x (1  x )     x     x  0, y   y   x  0, y     y       x  0, y  1   x  (do x   0)    y  0, x    y  Vậy có ba số phức thoả mÃn điều kiện lµ z = 0; z = i; z = - i II Biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ 1) Phương pháp giải Để biểu diễn số phức cần dựa vàođịnh nghĩa tính chất sau: Nếu số phức z biểu diễn vectơ u , số phức z' biểu diễn vectơ u ' , th×      z + z' biểu diễn u u ' ; z - z' biểu diễn u u ' ; - z biểu diễn u 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa m·n ®iỊu kiƯn sau a) z   i  ; b)  z  i  z Bài giải a) Đặt z = x + yi suy z - + i = (x - 1) + (y + 1)i Nªn hƯ thøc z   i  trë thµnh ( x  1)  ( y  1)   ( x  1)  ( y 1) Vậy tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thỏa mÃn giả thiết đường tròn tâm I(1; - 1) b¸n kÝnh R = b) Gäi A (- ; 0), B(0 ; 1) Khi ®ã  z  i  z  z  (2)  z  i hay lµ M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp điểm M(z) đường trung trực đoạn thẳng AB Nhận xét: Với phần b ta thức cách giải đà làm phần a Tuy nhiên để thể thực cách giải ta đà dựa váo nhận xét sau: Nếu véctơ u mặt phẳng phức biểu diễn số phức z độ dài vectơ u u z , từ điểm A, B theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' AB z z ' http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC VÝ dụ 2: Trong số phức z thoả mÃn điều kiƯn z   3i  T×m số phức z có modul nhỏ Bài giải XÐt biÓu thøc z   3i  (1) Đặt z = x + yi Khi (1) trë thµnh ( x  2)  ( y  3)i   ( x  2)2  ( y  3)2  Do điểm M biểu diễn số phức z thoả mÃn (1) nằm đường tròn ( ) tâm I(2; -3) bán kính R = y H O x M -3 I Ta cã z đạt giá trị nhỏ điểm M nằm đường tròn ( ) gần O Do M giao điểm ( ) đường thẳng OI, với M giao điểm gần O h¬n Ta cã OI =   13 Kẻ MH Ox Theo định lí talet cã 13  MH OM  13MH  13   13   MH  13   78  13   OI 2 26 13 13 13  OH  OH  13   26  13 L¹i cã  13 13 13 26  13 78  13  i 13 26 VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z  w  z  w Đẳng thức xảy nào? Bài giải Gọi A, B, C điểm biểu diễn cđa c¸c sè phøc z, w, z + w Ta cã z  OA, w  OB, z  w  OC Tõ OC  OA + AC suy z  w  z  w H¬n OC = OA + AC O, A, C thẳng hàng A thuộc đoạn thẳng OC   Khi O  A (hay z  0) điều có nghĩa có số k để AC kOA tức w = kz (Còn z = 0, rõ ràng z w z w ) Vậy số phức cần tìm lµ : z  VËy z  w  z w z = z tồn k R ®Ĩ w = kz c bµi tËp Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w ta ®Ịu cã z  w  z  w DÊu b»ng xảy nào? Trong mặt phẳng phức, bốn ®iĨm ph©n biƯt A, B, C, D theo thø tù biểu diễn số phức z, w, u, v thoả m·n c¸c tÝnh chÊt: http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC a) z  w  u  v  ; b) z + w + u + v = Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m R a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm đường phân giác thứ hai y = - x; b) Tìm m để biĨu diƠn cđa sè phøc n»m trªn hypebol y  ; x c) Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ nhỏ Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mÃn hệ thức z z i Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biĨu diƠn c¸c sè phøc 4i  6i ; (1  i)(1  2i ); i 1 3i a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân; b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông VN Căn bậc hai số phức phương trình bậc hai A Kiến thức cần nhớ I Định nghĩa bậc hai số phức Cho số phức w số phức z thoả mÃn z2 = w gọi bậc hai số phức w a) Nếu w số thực + w < có hai bậc hai: wi & wi + w có hai bậc hai: w &  w b) NÕu w lµ số phức ta thực bước: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy bậc hai w tức là: z w ta có x  y  a (1) hÖ:  (2) xy b 2 Bình phương vế (1) (2) cộng lại ta x  y  a  b2  x  y  a (1) Do vËy ta ®­ỵc hƯ:  2 2 (2')  x y a b Giải hệ tìm x y suy x y ®Ĩ t×m z Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > th× x, y cïng dÊu NÕu b < x, y trái dấu II Công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số phức 2 Cho PT: ax  bx  c  0; (1) (a, b, c  , a  0) vµ cã   b  4ac + NÕu   pt cã hai nghiƯm lµ x1  b   b   ; x2  2a 2a Trong bậc hai + NÕu  = th× pt cã nghiƯm kÐp: x1  x2   b 2a B C¸c dạng tập I Giải phương trình bậc 1) Phương pháp giải http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh CC CHUYấN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC BiÕn đổi phương trình dạng Az + B = 0, A, B  , A  ViÕt nghiÖm z   B A 2) VÝ dô VÝ dô 1: Giải phương trình 2iz + - i = Bài giải (1 i ) 1 1 Nghiệm phương trình z   i 2i 2i 2 II TÝnh bậc hai giảiphương trình bậc hai 1) Phương pháp giải Sử dụng công thức tính bậc hai số phức để tính bậc hai Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai để tìm nghiệm phương trình với ý phải đưa dạng phương trình 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức sau: a )   12i c) 33  56i b)  6i d )   4i Bài giải a) Gọi z = x + iy bậc hai -5 + 12i tức lµ  x  iy   5  12i  x  y  2ixy  5  12i 2  x  y  5  x  2  x  y  5  x        2  x  y  13  y  3 2 xy  12  y  x   x  2 Do b = 12 > nªn x y dấu từ có y   y  3 VËy -5 + 12i có bậc hai z1 =2+3i z2 = -2-3i b) T­¬ng tù ta gäi z = x + iy bậc hai 8+ 6i tøc lµ  x  iy    6i  x  y  2ixy   6i  x  y   x   x2  y   x  3       2 xy  x  y  10 y     y  1    x   x  3 Do b= 6> nên x y dấu từ có hc  y 1  y  1 VËy + 6i có bậc hai 3+i -3-i c) Gäi z = x + iy lµ mét bậc hai 33 - 56i tức x  iy   33  56i  x  y  2ixy  33  56i  x  y  33  x  y  33  x  7  x  49       2  x  y  65  y  16  y  4 2 xy  56 x   x  7 Do b = -56 < nên x y trái dấu từ có y y Vậy bậc hai cđa 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4 d) Gọi z = x + iy bậc hai cđa -3 +4i tøc lµ  x  iy   3  4i  x  y  2ixy  3  4i http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 2  x  y  3  x  1  x  y  3  x        2  x  y   y  2 2 xy   y  x   x  1 Do b = > nªn x y dấu từ có  y   y  2 VËy bậc hai -3 + 4i + 2i -1-2i Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a ) x    4i  x  5i   0; (1) b) x  1  i  x  i 0; (2) Bài giải a) Ta cã     4i    5i  1  3  4i Theo kÕt ví dụ 1d) có hai bậc hai 1+ 2i -1 - 2i Do pt (1) cã hai nghiƯm lµ:  4i   2i  4i   2i   3i; x2  1 i 2 b) T­¬ng tù ta cã   1  i    i    6i Theo kết ví dụ 1b) có hai bậc hai + i -3 - i Do pt (2) có hai nghiƯm lµ: 1  i   i 1  i   i x1   1; x2   2  i 2 x1  Chó ý: PT (2) cã thĨ dïng nhÈm nghiƯm nhê a + b + c = VÝ dô 3: Giải phương trình sau: a ) x  x   0; (1); b) x  x   0; (2); c ) x3 (3) Bài giải a) Ta có = 12- 4.3.2 =-23 0) z' r' III Công thức Moa-Vrơ ứng dụng Công thức Moa- Vr¬ n  r (cos   i sin  )  r n (cos n  i sin n ) cos   i sin  n  cos n  i sin n , n  N * Căn bậc n số phức Với z = r(cos  +isin  ), r > 0, có hai căm bậc hai z     r (cos  i sin ) ;  r (cos  i sin )  r (cos(   )  i sin(   )) 2 2 2 B dạng Bài tập I Viết số phức dạng lượng giác 1) Phương pháp Với số phức z = a + bi: a b ,sin   tõ ®ã suy acgumen cđa z r r Sư dơng c«ng thøc lượng giác số phức cho ta z = r (cos   i sin ) 2) C¸c vÝ dơ VÝ dơ 1: ViÕt c¸c sè phøc sau d­íi dạng lượng giác i a )(1 i 3)(1  i ); b ) ; c ) z sin i cos i Bài giải        a) Ta cã  i  cos( )  i sin( )  ; cßn  i  cos  i sin  Do ®ã 3  4       (1  i 3)(1  i )  2  cos( )  i sin( )  12 12 b) Từ phần ta có kết qu¶ 1 i   7   7    cos     i sin    1 i  12     12      c) Ta cã z  sin   i cos   cos(   )  i sin(   ) VËy z  cos(   )  i sin(   ) 2 2 VÝ dô 2: Tuú theo gãc  , h·y viÕt số phức sau dạng lượng giác (1 cos   i sin  )(1  cos   i sin ) Bài giải Xét số phức z = (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ) , ta cã TÝnh r = a  b2 ; http://violet.vn/kinhhoa TÝnh cos  = 11 Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC        i.2sin cos )(2cos  i.2sin cos ) 2 2 2        4sin cos (sin  i cos )(cos  i sin ) 2 2 2        2sin  (sin cos  sin cos  i (cos2  sin ))  2sin   sin   i cos   2 2 2 Hay z = 2sin  (sin  - icos  ) (*)     + NÕu sin   , th× tõ (*) cã z = 2sin  cos(  )  i.sin(  ) dạng số phức cần tìm 2  + NÕu sinh  < 0, th× tõ (*) ta cã :     z  2sin  (  sin   i cos  )  2sin  cos(  )  i.sin(  ) dang lượng giác cần tìm 2  + NÕu sinh  = 0, th× z = 0, nên dạng lượng giác xác định II Các tập tính toán tổng hợp dạng lượng giác số phức 1) Phương pháp giải Đưa số phức dạng lượng giác sử dụng công thức Moivre để tính toán đại lượng theo yêu cầu tập 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo số phøc sau (1  i )10   1  a) ; b)  cos  i sin  i (1  3i )7 ; c) z 2009  2009 , nÕu z   z z 3 (  i)  Bµi gi¶i a) XÐt sè phøc 10     5 5 2(cos  i sin ) 25 (cos  i sin )   (1  i )10 4  2   9   (  i)    29 (cos  i sin ) 2(cos  i sin  2 6  1  (cos   i sin  )   16 Vậy phần thực , phần ảo 16 b) XÐt sè phøc  5          cos  i sin i (1  i )  cos(  )  i sin(  ) i 2(cos  i sin )    3 3   3    z  (2sin    7 7   27 cos( )  i sin( )  (cos  i sin )i  27  cos 2  i sin 2  i  27 i 3  3  VËy phÇn thùc cđa sè phøc b»ng 0, phần ảo 27 128 c) Từ  3i   z  cos  i sin  3 z    z2  z      z  3i    cos( )  i sin( ) z  3  http://violet.vn/kinhhoa 12 Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC    i sin , ta cã 3   z 2009  2009  (cos  i sin )2009  ( )2009   z 3 cos  i sin 3   2009   2009  (cos  i sin )  (cos( )  i sin( )) 3 3 2009 2009 2009 2009 2 2  (cos  i sin )(cos  i sin )  2cos(669  )  2cos  3 3 3 VËy phÇn thùc cảu số phức 1, phần ảo Ví dơ 2: TÝnh tỉng sau S  (1  i ) 2008 (1 i ) 2008 Bài giải Ta cã Víi z  cos    i sin )  (1  i )2008  21004 (cos502  i sin 502 ) 4      i  2(cos  i sin )  2(cos( )  i sin( ))  (1  i )2008  21004 (cos(502 )  i sin(502 )) 4 4  i  2(cos Do ®ã S  21005 cos(502 )  21005 VÝ dụ 3: Chứng minh điểm biểu diễn bậc ba lập thành tam giác Bài giải Xét phương trình z , có nghiệm dạng z r (cos   i sin  ) Khi ®ã r  z   r (cos3  i sin 3 )    3 k 2, k Do phương trình có ba nghiệm ứng với ba giá trị cđa k lµ Víi k = ta cã z = cos0 + isin0 = 1; 2 2  i sin   i ; 3 2 4 4 Víi k = ta cã z = cos  i sin   i 3 2 Nªn cã ba bậc ba số phức xác định Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phøc z , z , z Khi ®ã    2  2 OA  OB  OC  1;  AOB  ; BOC 3 Từ suy tam giác ABC tam giác C tập Bài 1: Viết số phức sau dạng lượng giác: i a - i b ( - i )(1  i ) c 1 i  5 d - itan e tan f 1-cos   i sin  (   R,   k 2 , k  Z ) i Bµi 2: Cho sè phøc: – 4i vµ 1+ i Víi k = ta cã z = cos http://violet.vn/kinhhoa 13 Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC Tìm Modun Acgumen số phức đối liên hợp số phức viết chúng dạng lượng giác Bài 4: Tìm dạng lượng gi¸c cđa c¸c sè phøc sau: z ; , biÕt: z a z = r ( cos   i sin ) , r >0; b z = + i Bài 5: Tìm bậc 1? CMR tỉng cđa chóng b»ng 0? Bµi 6: Rót gọn hết dấu biểu thức sau  i 2 Bµi 7: Cho sè phøc z = a + bi Một hình vuông tâm gốc toạ độ 0, cạnh song song với trục toạ độ có độ dài Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn số thực z a, Nằm hình vuông b, Nằm đường chéo củahình vuông Bài 8: Chứng minh a b 1 a z1 z  + z1  z2 = (1+ z1 c  i )(1+ z ) d b z1  z  z z ( z1  z )  z1 z2 Bµi 9: TÝnh a cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb) b sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb) ……………………………… http://violet.vn/kinhhoa 14 Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC PHẦN LUYỆN TNG HP Bài a.Trong số z thoả mÃn : z   2i  h·y tìm số z có moidule nhỏ b.Trong số z tho¶ m·n : z  5i  h·y tìm số z có acgumen dương nhỏ c Cho | z  |  2009 Tìm số phc cú modun ln nht z Bài Giải phương trình sau : a z z n ( n  N ) b ( z  a ) n  z n ( n  N , a  R, a  0) Bµi Cho hai điểm M(z) I(z1) tương ứng với số phức z=x+yi , x, y R vµ sè phøc z1=a+bi a) Chøng minh hÖ thøc : (z-z1).( z  z ) =(x-a)2+(y-b)2 b) suy hÖ thøc : (z-z1).( z  z ) =R2 ( R> 0) Là phương trình đường tròn tâm I, bán kính R Bài x y Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z =x+yi tháa m·n ®iỊu kiƯn sau :  y  x   Bµi Hãy tính tổng S   z  z  z  z n 1 biết z  cos 2 i sin n n Bài Giải phương trình : z a z -z + +z+1 = ( Èn phô =z- ); z b (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = Bài Tìm số thực a, b để có phân tích : f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b) Từ giải phương trình : f(z) = Bµi Với z số phức Chứng minh rằng: Bµi z Tính giới hạn: lim |1 |n với z  C n  n Bµi 10 Cho a, b, c ba số phức khác phân biệt với |a| = |b| = |c| Chứng minh phương trình: az2 + bz + c = 0, bz2 + cz + a = có nghiệm có modun thì: |a – b| = |b – c| = |c – a| http://violet.vn/kinhhoa 15 Ngọc Vinh ... http://violet.vn/kinhhoa 12 Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC    i sin , ta cã 3   z 2009  2009  (cos  i sin )2009  ( )2009   z 3 cos  i sin 3   2009   2009  (cos  i sin... giác số phức http://violet.vn/kinhhoa 10 Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b  R), víi r = a  b lµ modun cđa sè phøc z vµ  Acgumen số phức. .. cã z = cos http://violet.vn/kinhhoa 13 Ngọc Vinh CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC T×m Modun Acgumen số phức đối liên hợp số phức viết chúng dạng lượng giác Bài 4: Tìm dạng lượng