4. HD ĐỘ DÀI, KHOẢNG CÁCH, DIỆN TÍCH LIÊN QUA ĐẾN THỂ TÍCH D3-4

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 DẠNG 1: TÍNH TỐN ĐỘ DÀI HÌNH HỌC (ĐƠN THUẦN) Câu 1.Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh bên cạnh đáy a Khoảng cách đường ( SBC ) là: thẳng AD mặt phẳng a a a a A B C D Hướng dẫn giải ChọnA 3V d ( AD,( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = S ABC S ∆SBC a 2 Gọi O tâm đáy, ta có a a a ⇒ VS ABC = S ∆SBC = ⇒ d ( AD,( SBC ) ) = 12 , a Câu Cho hình chóp S ABC tích 24 , mặt bên tạo với đáy góc 60° SO = SA2 − AO = ( SBC ) Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng 3a a A a B C Hướng dẫn giải Chọn B a D SH ⊥ ( ABC ) Gọi H trọng tâm tam giác ABC , ta có BC ⊥ ( SAM ) Gọi M trung điểm BC , ta có · ( SBC ) mặt đáy SMH = 60° Do đó, ta có góc mặt phẳng x x SH = HM tan 60° = AB = x ⇒ HM = Vậy thể tích khối chóp S ABC ; Đặt x x x3 x3 a3 V= × = ⇒ = ⇒x=a 24 24 24 Kẻ AI ⊥ SM ( I ∈ SM ) ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI = d ( A, ( SBC ) ) ; SM = a2 a2 3a + = 12 Trang 1/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 SH AH 3a = SM Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên ( ABCD ) trùng với trung điểm H cạnh AB Góc tạo SC ( ABCD ) mặt phẳng 45o Tính theo a tính khoảng cách hai đường thẳng SD AB AI = A d= a B d= a 13 d= C Hướng dẫn giải a 15 D d= 2a Chọn A ( ABCD ) SCH = 45o Xác định góc SC a a HC = ⇒ SH = 2 Tính Vì AB / / ( SCD ) , H ∈ AB nên d ( AB; SD ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) ( SHI ) , dựng HK ⊥ SI K Gọi I trung điểm CD Trong HK ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = HK Chứng minh H , HK Xét tam giác SHI vuông đường cao: 1 a = + = + = ⇒ HK = 2 HK SH HI 5a a 5a a d ( AB; SD ) = HK = Vậy Câu Hình chóp tứ giác S ABCD có góc tạo mặt bên mặt đáy 45° Thể tích hình a chóp Hỏi cạnh hình vng mặt đáy bao nhiêu? A a B 4a C 2a Hướng dẫn giải D a Chọn C Trang 2/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Gọi O tâm hình vng ABCD , I trung điểm CD Vì S ABCD hình chóp nên SO đường cao hình chóp ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  · = 450 ⇒ (·SCD);( ABCD) = SIO  SI ⊥ CD ( SCD cân )  OI ⊥ CD ( ∆OCD cân ) Ta có :  Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy Biết ( SBC ) hình chóp S ABC tích a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng 6a 195 4a 195 4a 195 8a 195 d= d= d= d= 65 65 195 195 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi điểm hình vẽ BC ⊥ AK ⇒ AK = d ( A, ( SBC ) ) Ta có AI ⊥ BC , SA ⊥ BC suy ( ) Ta có: Mà V = a , S ∆ABC = AI = a ⇒ SA = 4a a 1 = + 2 AS AI Trong tam giác vng SAI ta có AK AS AI 4a 195 d = AK = = 2 AS + AI 65 Vậy ( SAB ) tam giác nằm Câu 6.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên ( SCD ) mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng Trang 3/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a 21 A a 21 B Khối Đa Diện - Hình Học 12 a 21 C 14 Hướng dẫn giải a 21 D 21 ChọnA SH = a H , M AB , CD Gọi trung điểm Ta có: đường cao hình chóp HI ⊥ ( SCD ) SM Gọi I hình chiếu vng góc H lên suy AB / / ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HI Vì 1 21a = + = + = ⇒ HI = 2 HI SH HM 3a a 3a Câu Cho khối lập phương biết tăng độ dài cạnh khối lập phương thêm cm thể tích tăng thêm 152 cm Hỏi cạnh khối lập phương cho bằng: A 5cm B cm C 3cm Hướng dẫn giải D cm Chọn D a ( cm ) Gọi độ dài cạnh khối lập phương, với a > V = a ( cm3 ) Khi thể tích ( ) V ′ = ( a + ) cm3 cm Sau tăng độ dài cạnh thêm , thể tích là: 3 V ′ − V = 152 ⇔ ( a + ) − a = 152 Từ giả thiết, ta có  a = −6 ( L ) ⇔ 6a + 12a − 144 = ⇔   a = ( tm ) Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với cạnh AB = 2a , AD = a Hình chiếu S ( ABCD ) trung điểm H AB , SC tạo với đáy góc 45° Tính lên mặt phẳng ( SCD ) khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng a a a a A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi N trung trung điểm CD Gọi K hình chiếu H lên SN CD ⊥ ( SHN ) ⇒ HK ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H ; SCD ) = d ( A; SCD ) = HK Ta có Trang 4/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Theo giả thiết tam giác ∆SHC vng cân H Do HS = HC = a ; HN = a 1 a = + ⇒ HK = 2 HS HN Trong tam giác ∆SHN ta có : HK S K D A N H C B SA ⊥ ( ABC ) Câu Cho khối chóp S ABC có đáy tam giác đều, SA = a Biết thể tích khối S ABC 3a Tính độ dài cạnh đáy khối chóp S ABC A 3a B 2a C 3a Hướng dẫn giải D 2a Chọn A S A h A C C B B h = BC.sin 60° = x Tam giác ABC tam giác cạnh x nên đường cao 3V 3a VS ABC = SA.S∆ABC ⇒ S ∆ABC = S ABC = = 3a SA a Ta có Trang 5/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 ⇒ h.BC = 3a ⇔ x x = 3a ⇔ x = 12a ⇔ x = 3a 2 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi G , I , J thứ tự trọng tâm tam giác SAB , SAD trung điểm CD Diện tích ( GIJ ) thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng 93a 31 33a 33a 45 A B C 40 Hướng dẫn giải Chọn C 23a D 60 Ta có GI // B′D′ nên GI // BD ( GIJ ) cắt ( ABCD ) theo giao tuyến đường thẳng d qua J song song với BD Suy ( ABCD ) có d cắt BC K , cắt AD F , cắt AB E Trong EB FD = = Do J trung điểm CD nên K trung điểm BC EA FA Trong ( SAB ) : đường thẳng EG cắt SA M , cắt SB L LB′ = G , L , E Định lí mê nê la uyt cho tam giác B′AB cát tuyến ta LB MS = Định lí mê nê la uyt cho tam giác B′AS cát tuyến G, L, M ta MA DN = Tương tự ta có FI qua M cắt SD N thỏa mãn DS MN = Định lí mê nê la uyt cho tam giác MAF cát tuyến D, N , S ta NF Thiết diện cần tìm MNJKL S FNJ FN FJ 7 = × = ⇒ S FNJ = S S = S MEF S FM FE 45 45 FME Gọi Ta có 31 S ELK = S S MNJKL = S 45 Do 45 Tương tự suy Trang 6/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 3 2a MT = AC = T = AC ∩ KJ 4 Gọi Suy 1 9a 3a 27 a S MEF = MT EF = × × = 2 2 Suy ⇒ AT = AM + AT = 9a 2 93 a Vậy diện tích thiết diện 40 SD = a 17 , hình chiếu vng góc H Câu 11.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , S lên mặt ( ABCD ) trung điểm đoạn AB Tính chiều cao khối chóp H SBD theo a 3a a 21 a a A B C D Hướng dẫn giải Chọn B SH ⊥ ( ABCD ) + Gọi H trung điểm AB , ta có BO O = AC ∩ BD + Gọi , E trung điểm ;khi HE ⊥ BO SH ⊥ BO ( SH ⊥ ( ABCD ) ) BO ⊥ ( SHE ) ⇒ ( SHE ) ⊥ ( SBD ) + Lại có nên HK ⊥ SE ⇒ HK ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( H , ( SBD ) ) = HK Hạ a ∆AHD : HD = AH + AD = + Xét 2 + Xét ∆SHD : SH = SD − HD = a a HK = AO = HE.HS a ∆SHK : HK = = 2 HE + HS + Xét a Vậy chiều cao khối chóp H SBD SD = a 17 Hình chiếu vng góc H Câu 12.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , S lên mặt ( ABCD ) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường SD HK theo a Trang 7/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a A a 21 B Khối Đa Diện - Hình Học 12 3a D a C Hướng dẫn giải Chọn A S N A H K D M B C Ta có SH = SD − HD = SD − HA − AD = a ; 2 2 AO = HK //BD ⇒ KH // ( SBD ) ⇒ d ( HK , ( SBD ) ) = d ( H , ( SBD ) ) AC a AC a = ⇒ HM = = 2 d H , SBD ) ) = HN Kẻ HM ⊥ BD , HN ⊥ SM M Khi ( ( 1 a a = + ⇒ HN = ⇒ d ( HK , SD ) = 2 SH NH 5 Mà HN Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a , AC = a Biết thể tích a3 ( ABC ) khối chóp Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng 3a A 3a B a C Hướng dẫn giải a D Chọn A a3 3V = = V 1 2a ⇒ d S ; ABC = ( ) ( ) VS ABC = d ( S ; ( ABC ) ) S ∆ABC a.a = AB AC S 2 ∆ABC Ta có: Câu 14 Khối lập phương ABCD A′B ′C ′D′ tích a Tính độ dài A′C A A′C = a B A′C = 2a C A′C = a Hướng dẫn giải D A′C = a Chọn C Trang 8/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 2 Ta có: A ' C = AB + AD + AA ' Mà AB = AD = AA ',V = AB AD AA ' = a AB = a, AD = a, AA ' = a Suy A ' C = a Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông với AB = AC = a ; tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi E , F hai điểm nằm đoạn EC CF = ; = ( SBC ) ( ABC ) thẳng BC AC cho EB CA Góc hai mặt phẳng 60° Tính thể tích khối chóp S ABEF khoảng cách d SA EF 3a a ;d = 192 A 6a a V= ;d = 192 C V= 3a a ;d = 192 B 6a a V = ;d = 192 D Hướng dẫn giải V= Chọn D KB = a ⇒ EF ⊥ BC ⇒ S EFC = 2 Dễ thấy a 7a3 SH = ⇒ VSABEF = 192 Gọi M trung điểm BC a2 7a ⇒ S BAFE = 16 16 lại có ⇒ AM / / EF ⇒ d ( SA, EF ) = d ( EF , ( SAM ) ) = d ( F , ( SAM ) ) = ( H , ( SAM ) ) = HJ S ABC Với H chân fđường cao hình chóp a HJ = Ta có Câu 16 Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a AC = a Từ trung điểm H AB , dựng SH ⊥ ( ABCD ) ( SBC ) với SH = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng 2a 66 10a 8a 2a 57 A 23 B 27 C 15 D 19 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 9/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 HM ⊥ BC ( M ∈ BC ) SH ⊥ BC ⇒ ( SHM ) ⊥ ( SBC ) ( SHM ) ∩ ( SBC ) = SM ; ; ( SHM ) , dựng HK ⊥ SM ( K ∈ SM ) ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = d ( H , ( SBC ) ) Trong mặt phẳng d A, ( SBC ) ) = 2d ( H , ( SBC ) ) Ta có: ( a 1 1 16 19 57 a HM = BH sin 60° = = + = + = ⇒ HK = 2 ; HK SH HM a 3a 3a 19 Dựng Vậy khoảng cách từ A ( SBC ) đến mặt phẳng HK = a 57 a 19 ( SCD ) Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc ( ABCD ) 60° Gọi M trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vng góc đỉnh S ( ABCD ) nằm hình vng ABCD Tính theo a khoảng cách đường mặt phẳng thẳng SM AC 2a a 2a 15 5a 3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi N , E trung điểm CD, BC Ta có: ∆SAB nên SM ⊥ AB mà AB / / CD SM ⊥ CD MN ⊥ CD SN ⊥ CD hay góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( ABCD ) · SNM = 60° Trong mặt phẳng ( SNM ) SH ⊥ ( ABCD ) từ S kẻ SH ⊥ MN , H ∈ MN ta có SH ⊥ CD nên Trang 10/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 58 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SA vng góc mặt đáy, a3 thể tích khối chóp S ABC Tính độ dài đoạn SA 4a a a a A B C D Hướng dẫn giải Chọn C 3 a V = SA ( 2a ) = a SA = ⇒ SA = a 4  Đặt Câu 59.Cho khối chóp S ABCD tích a Mặt bên SAB tam giác cạnh a đáy ABCD hình bình hành Tính theo a khoảng cách SA CD a A 3a B C a 2a D Hướng dẫn giải ChọnA a3 ⇒ VSABD = VSBCD = VS ABCD = 2 Vì đáy ABCD hình bình hành a2 S SAB = Ta có:Vì tam giác SAB cạnh a ⇒ Vì CD //AB ⇒ CD // ( SAB ) nên = d ( CD, SA ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D , ( SAB ) ) 3VSABD S SBD a3 = 2 = 3a a Trang 37/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Câu 60.Cho khối chóp S ABCD tích 2a đáy ABCD hình bình hành Biết diện tích tam giác SAB a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD a A 3a B C 3a Hướng dẫn giải D a Chọn C 3VSABC 2a d ( SB, CD ) = d ( C , ( SAB ) ) = = = 3a S a AB / / CD D SAB Ta có nên a 17 SD = , hình chiếu vng góc H S Câu 61 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , ABCD ) lên mặt phẳng ( trung điểm đoạn AB Tính chiều cao khối chóp H SBD theo a a a 21 a 3a A B C D Hướng dẫn giải Chọn D S B C H A D C B H A I D Trang 38/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12  a 17    a   ⇒ SH = SD − HD =   =a ÷ ÷ −  a +  ÷       Ta có ∆SHD vng H 3 1 a VS ABCD = SH S ABCD = a ⇒ VH SBD = VA.SBD = VS ABCD = 3 12 Cách 2 a 13 Tam giác SHB vuông H a 13 a 17 5a SB = , BD = a 2, SD = ⇒ S SBD = 2 Tam giác SBD có 3V a ⇒ d ( H , ( SBD ) ) = S HBD = S SBD ⇒ SB = SH + HB = a d ( H , BD ) = d ( A, BD ) = Cách Ta có Chiều cao chóp H SBD a =a d ( H , ( SBD ) ) = = a2 SH +  d ( H , BD )  3a + Cách Gọi I trung điểm BD Chọn hệ trục Oxyz với O ≡ H , Ox ≡ HI , Oy ≡ HB, Oz ≡ HS z S a SH d ( H , BD ) y C B I O ≡H x A D  a  a  B  0; ;0 ÷ S 0;0; a I  ; 0; ÷ H 0; 0;0 )  Ta có ( ,  , , 2 SBD ) ≡ ( SBI ) Vì ( 2x y z = ⇔ 2x + y + z−a =0 ( SBD ) : + + a a a 3 ⇒ ( d ( H , ( SBD ) ) = Suy 2.0 + 2.0 + ) − a 4+4+ = a Câu 62.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , thể tích khối chóp a Tính chiều cao h hính chóp A h = a B h = 2a C h = 4a D h = 3a Hướng dẫn giải Trang 39/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 ChọnD 1 V = S ABCD h a = a h ⇔ h = 3a 3 Thể tích ⇔ Câu 63 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Gọi K trung điểm DD′ Khoảng cách hai đường thẳng CK A′D a a 2a a A B C D Hướng dẫn giải Chọn C ( H ∈ CC ′) Từ D kẻ DH // CK Khi Ta có d ( CK , A′D ) = d ( CK , ( A′DH ) ) = d ( C , ( A′DH ) ) VA′CDH = = 3VCAHD S ADH a3 A′D.′S DHC = 12 a a 17 A′H = , A′D + A′H − DH cos DA′H = = ⇒ sin DA′H = A′D A′H 34 34 Xét tam giác A′DH có 3a ⇒ S ∆A′DH = A′D A′H = Mà A′D = a , DH = 3a a d ( C , ( A′DH ) ) = 122 = 3a Vậy Câu 64 Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh bên cạnh đáy a Khoảng cách đường ( SBC ) thẳng AD mặt phẳng a a a a A B C D Hướng dẫn giải Trang 40/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Chọn D d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = 3VS ABC S∆SBC SO = SA2 − AO = a 2 Gọi O tâm mặt đáy, ta có 1 a a3 ⇒ VS ABC = VS ABCD = × ×a × = 2 12 a a S ∆SBC = ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = Ngoài ra, Cách 2: OH ⊥ ( SBC ) Gọi O = AC ∩ BD, E trung điểm BC OH ⊥ SE H ∈ SE SO.OE d ( AD, ( SBC ) ) = 2d ( O, ( SBC ) ) = 2OH = SE Do SO = a SO.OE a d ( AD, ( SBC ) ) = = , thay vào tính SE Cũng tính Câu 65 Cho hình hộp ABCD A′ B′C ′ D′ có AB = AD = a , AA′ = BD = a Hình chiếu vng góc ( A′B′C′D′ ) điểm H nằm đoạn thẳng B′D′ cho B′D′ = 3B′H điểm A mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC′ a a a A B C D a Hướng dẫn giải Chọn A BD = a ⇒ BO = DO = a ⇒ ∆ABC Trang 41/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 a a A′H = , với M trung điểm B′C ′ 2a AH = AA′2 − A′H = d ( AA′, BC ′ ) = d ( ( ADDA′ ) , ( BCC ′ B′ ) ) = d ( A′, ( BB′C ′ ) ) = d Ta có 1 2a a VB A′ B ′C ′ = S A′ B ′C ′ AH = a = 3 VB A′ B′C ′ = VA′.BB′C ′ = S BB ′C ′ d ( A′, ( BB′C′ ) ) Mặt khác ⇒ A′M = 2 Xét ∆AHD′ vng H ta có AD′ = AH + HD = 2a 3+ p= a Nửa chu vi ∆BB′C ′ 3V d = A′ BB ′C ′ = a S BB′C ′ Suy ( H) tích 4a , đáy tam giác vng cân có độ dài cạnh huyền a Độ dài chiều cao khối lăng trụ ( H ) A 4a B 6a C 2a D 8a Hướng dẫn giải Chọn A 4a V = B.h = ( 2a) h = 4a ⇒ h = = 4a a Câu 66.Cho khối lăng trụ Câu 67 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAD cân S ( SAD ) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD mặt bên a Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) h= a h= a h= a h= a A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có chiều cao khối chóp S ABCD SI với I trung điểm AD 4 a ⇔ 2a SI = a3 ⇔ SI = 2a 3 Suy thể tích khối chóp S ABCD SCD Xét tam giác vng D có: Trang 42/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 3a 1 3a 3a S∆SCD = SD.CD = a = nên 2 2 4 ⇔ a = S h ⇔ h = a ∆ SCD V = 2VS BCD = 2VB.SCD 3 Thấy S ABCD · Câu 68 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình thoi, BAD = 60° , cạnh đáy a , thể tích a3 Biết hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với giao điểm hai đường chéo ( SAB ) hình thoi (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SD = SI + ID = a A a B a D a C Hướng dẫn giải Chọn A a3 = 34 a a = 2 3V a2 SH = = S ABCD = 2S ABD = AB AD sin µA S ABCD Độ dài đường cao Gọi M trung điểm AB , K trung điểm BM Ta có DM ⊥ AB ⇒ DM = a DM a HK = = , HK // DM Trang 43/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 ( SAB ) ∩ ( SHK ) = SK , ⇒ HN ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HN Vẽ HN ⊥ SK N HK HS a a HN = = HN = 2 = d C , SAB = d H , SAB )) ( ( )) HK + HS , ( ( Câu 69 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Biết OA = a , OB = 2a , OC = a ( ABC ) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng 2a a 17 a a A 19 B 19 C 19 D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có AB ⊥ ( SHK ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SHK ) a3 VOABC = OA.OB.OC = 2 2 2 Tính AB = OA + OB = a , AC = OA + OC = 2a , BC = OB + OC = a AB + AC + BC 19 p= S ABC = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = (với ) 3V VOABC = h.S ABC ⇒ h = OABC = h = d ( O; ( ABC ) ) S ABC 19 Gọi Ta có Câu 70.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) Gọi M trung điểm o · · BC Biết BAD = 120o , SMA = 45 Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) a a a a A B C D Hướng dẫn giải Chọn A a a a ∆ABC : AM = ⇒ SA = d ( D;( SBC )) = d ( A; ( SBC )) = AK = 2 , với AK vuông Xét góc với SM 3VS BCD S ∆SBC Cách giải khác : Câu 71 Cho tứ diện có cạnh M điểm thuộc miền khối tứ diện tương ứng Tính giá trị lớn tích khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt tứ diện cho d (D, (SBC)) = Trang 44/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 64 C B Khối Đa Diện - Hình Học 12 D 36 Hướng dẫn giải Chọn A r r r r Gọi , , , khoảng cánh từ điểm M đến bốn mặt tứ diện ⇒S= Gọi S diện tích mặt tứ diện Đường cao tứ diện h = 32 − ( 3) = 1 9 V = S h = 6= 3 4 Thể tích tứ diện ⇒ r + r + r + r = = V = S ( r1 + r2 + r3 + r4 ) = 4 3 Mặt khác, ta có = r1 + r2 + r3 + r4 ≥ 4 r1.r2 r3 r4 ⇔ r1.r2 r3 r4 ≤ 64 Lại có Câu 72 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a thể tích a Tính chiều cao h hình chóp cho a a h= h= 3 A B C h = 3a D h = a Hướng dẫn giải Chọn D ( S= a ) = 3a Diện tích mặt đáy : 3V 3a V = S h ⇒ h = = S 3a = a Ta có : Câu 73.Cho khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình vng Hình chiếu vng góc A′ ( ABCD ) trung điểm AB , góc mặt phẳng ( A′CD ) mặt phẳng mặt phẳng 3a ( ABCD ) 60° Thể tích khối chóp B′ ABCD Tính độ dài đoạn thẳng AC theo a 2a 2a 3 A B 2a C 2a D Hướng dẫn giải Chọn B Đặt AB = x Dựng HK ⊥ CD Trang 45/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 A′H ⊥ ( ABCD ) ⇒ A′H ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( A′HK ) ⇒ A′K ⊥ CD · ′; KH = ·A′KH ( A′CD ) ; ( ABCD ) ) = KA ( 1) ⇒( o Vì ∆A′HK vuông H nên A′H = x.tan 60 = x Vì ( ) Nhận thấy V = 3.VB′ ABCD ⇔ A′H S ABCD = 3a 3a x 3.x = ⇔ 3 ⇔ x = 2a Vì ABCD hình vuông nên AC = x = 2a Câu 74.Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C , đường thẳng BC ′ tạo ( ABB′A′ ) góc 60° AB = AA′ = a Gọi M , N , P trung điểm với mặt phẳng BB′, CC ′, BC Khoảng cách hai đường thẳng AM NP a A 15 a B a C Hướng dẫn giải a 15 D ChọnA Ta có: VLT = KC ′ ⊥ ( AA′BB′ ) a , BK = a a 15 a 15 ⇒ KC ′ = ⇒ S ∆A′B′C ′ = 2 15 Câu 75.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính chiều cao tứ diện SACD xuất phát từ đỉnh C a a a a A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H trung điểm AB ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇔ SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ AB Có :  d C , ( SAD )  = d  B, ( SAD )  = 2d  H , ( SAD )  BC / / ( SAD ) Vì : Nên :  ( SAD ) ⊥ ( SAH )  ⇔ ( SAD ) ∩ ( SAH ) = SA ⇒ d  H , ( SAD )  = HI  SH ⊥ AD ⇒ AD ⊥ ( SAH )  HI ⊥ SA  HA ⊥ AD   Có : Trang 46/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 1 1 16 = + = + = 2 2 2 HI SH HA 3a a 3 a a a  ÷  ÷ HI = ⇒ d C , ( SAD )  =    Có : Vậy : SCD ) Câu 76 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với đáy, mặt bên ( hợp với đáy góc 60° , M trung điểm BC Biết thể tích khối chóp S ABCD a3 3 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD ) bằng: a A B a a C Hướng dẫn giải a D Chọn D CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD )  AD = x ( x > ) CD ⊥ SA  Đặt Ta có · · ⇒ ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SDA = 60° Trong ∆SAD , có SA = x tan 60° = x a3 VS ABCD = Theo giả thiết x3 a3 = ⇔ ⇔ x = a 3 1 d ( M ; ( SCD ) ) = d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) 2 Ta có (1) CD ⊥ ( SAD ) Vẽ AH ⊥ SD Ta có CD ⊥ AH ( ) AH ⊥ ( SCD ) ⇒ AH = d ( A; ( SCD ) ) Do d ( M ; ( SCD ) ) = AH Từ (1) (2) suy 1 1 a = 2+ = 2+ 2= AH = 2 SA AD 3a a 3a ⇒ Trong ∆SAD có AH a d ( M ; ( SCD ) ) = Vậy Câu 77 Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt Trang 47/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A V A nS 3V B S Khối Đa Diện - Hình Học 12 V C 3S Hướng dẫn giải nV D S Chọn B Xét trường hợp khối tứ diện Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự 1 1 VH ABC = h1.S ; VH SBC = h2 S ; VH SAB = h3 S ; VH SAC = h4 S 3 3 3V 3V 3V 3V h1 = ; h2 = ; h3 = ; h4 = S S S S ( V1 + V2 + V3 + V4 ) 3V ⇒ h1 + h2 + h3 + h4 = = S S ( H ) tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng Câu 78.Cho khối 12 mặt ( H ) đến mặt khoảng cách từ điểm nằm 3V V 3V V A S B 12S C S D S Hướng dẫn giải ChọnA ( H ) đến mặt Gọi h tổng khoảng cách từ điểm nằm 1 V V = hS xq = h.12S ⇒ h = 3 4S Ta có SD = a 17 , hình chiếu vng góc H S Câu 79.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , ( ABCD ) trung điểm đoạn AB Tính chiều cao khối chóp H SBD theo a lên mặt 3a 3a a a 21 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Trang 48/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12  a 17    a 2  ⇒ SH = SD − HD =  =a ÷ −  a +  ÷ ÷ ÷ 2 ÷      Ta có ∆SHD vuông H 2 a d ( A, BD ) = Cách Ta có Chiều cao chóp H SBD a a SH d ( H , BD ) a 6.2 a d ( H , ( SBD ) ) = = = = 2 4.5 a a   SH +  d ( H , BD )  3a + d ( H , BD ) = 3 1 3 S ABCD = SH S ABCD = a VH SBD = VA.SBD = VS ABC = VS ABCD = a ⇒ 3 2 12 Cách a a 13 ⇒ SB = SH + HB = 3a + = Tam giác ∆SHB vuông H 5a a 13 a 17 SB = ; BD = a 2; SD = S ∆SBD = 2 ⇒ Tam giác ∆SBD có 3V a d ( H , ( SBD ) ) = S HBD = S ∆SBD ⇒ Cách 2 Trang 49/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 Gọi I trung điểm BD Chọn hệ trục Oxyz với O ≡ H ; Ox ≡ HI ; Oy ≡ HB; Oz ≡ HS  a  a  B  0; ;0 ÷ S 0; 0; a I  ;0; ÷ H ( 0;0;0 )  Ta có ;  ; ; 2 ( SBD ) ≡ ( SBI ) Vì 2x y z = ⇔ 2x + y + z−a = ( SBD ) : + + a a a 3 ⇒ ( d ( H , ( SBD ) ) = Suy 2.0 + 2.0 + ) − a 4+4+ = a Câu 80 Nếu có khối chóp tích diện tích mặt đáy a a chiều cao a A 2a B a C 3a D Hướng dẫn giải Chọn C 3V 3a V = Bh ⇒ h = = = 3a B a Ta có: Câu 81 Cho tứ diện MNPQ tích x Hai cạnh đối MN = PQ = 2x MN, PQ tạo với góc 30° Tính khoảng cách hai đường thẳng MN PQ A C d( MN, PQ) = x d( MN, PQ) = x B d( MN, PQ) = x 3 d( MN, PQ) = 3x D Hướng dẫn giải Chọn C 1 VMNPQ = MN.PQ.d( MN, PQ) cos( MN , PQ) = 2x.2x.d( MN , PQ) cos30° = x3 6 ⇒ d( MN, PQ) = x Trang 50/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện - Hình Học 12 3a Câu 82.Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a tích Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB A′C a 15 a 15 a a 15 d= d= d= d= 15 15 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D A C B A’ C’ B’ AB // ( A′B′C ) Ta có: AB //A′B′ nên chứa A′C Vậy d ( AB, A′C ) = d ( AB, ( A′B′C ) ) = d ( B , ( A′B′C ) ) = 3VBA′B′C S A′B′C a3 = VABC A′B′C′ = VBA′B′C Trong đó, V h = ABC A′B′C ′ = a ⇒ AC ′ = BC ′ = a + a S ABC ( ) = 2a Theo cơng thức Hê-rơng cho ∆ABC ′ có AB = a , AC ′ = 2a , BC ′ = 2a ta có a 15 d ( AB, A′C ) = Vậy S ABC ′ = a 15 Trang 51/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ... THPT Nho Quan A A 64 C B Khối Đa Diện - Hình Học 12 D 36 Hướng dẫn giải Chọn A r r r r Gọi , , , khoảng cánh từ điểm M đến bốn mặt tứ diện ⇒S= Gọi S diện tích mặt tứ diện Đường cao tứ diện h =... 2 Thể tích khối chóp Câu 47 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = , AC = BD = , AD = BC = Tính khoảng cách từ đỉnh A BCD ) đến mặt phẳng ( 6 A B 42 C Hướng dẫn giải D Chọn C Thể tích khối tứ diện. .. ) ) = Vậy Câu 77 Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt Trang 47/51 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com