P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ khơng gian HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN PHẦN VECTO VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài Bài Câu Câu Cho hai vectơ r a = ( 2;3; − 1) r b = ( 0; − 2;1) ; Tính r r 2a + 2b ; r r b + 5a ; rr a.b ; rr  a ; b   ; r r r r  a + 2b ;5a − 3b    r r r rr Cho vectơ a = 2 ; − 1;4 Tìm vectơ b phương với a biết a.b = 20 r r r r a = 1;1;1 b ( ) Cho vectơ ; = ( 1; −1;3 ) tìm vectơ c có độ dài , vng góc với hai vectơ a , ( ) r b tạo với tia Oz góc tù r r r a , b , c sau r r r a = ( 2;6; −1) , b = ( 4; − 3; − ) , c = ( − 4; − 2;2 ) r r r a = ( 2; − 4;3) , b = ( 1;2; −2 ) , c = ( 3; −2;1) Xét đồng phẳng ba vectơ (a) (b) A ( 2;5;3 ) ; B ( 3;7;4 ) ; C ( x; y;6 ) Tìm Bài Cho ba điểm Bài Cho bốn đỉnh x ; y để A , B , C thẳng hàng A ( 1; − 1;1) , B ( 1;3;1) , C ( 4;3;1) , D ( 4; − 1;1) a Chứng minh A , B , C , D đồng phẳng tứ giác ABCD hình chữ nhật b Tính độ dài đường chéo góc hai đường chéo Bài Cho điểm A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − ) , C ( 5; − 1;0 ) a Chứng minh tam giác giác b Tính thể tích tứ diện Câu Cho ba điểm ABC tam giác vng tính bán kính đường trịn nội tiếp tam ABCD A,B, C không thẳng hàng b Tính chu vi diện tích tam giác f ABC ABCD hình bình hành Tính độ dài đường cao tam giác ABC Tính góc tam giác ABC Xác định toạ độ tực tâm ABC c Tìm toạ độ điểm e D ( 1;2;1) A ( 1;0;0 ) ; B ( 0;0;1) ; C ( 2;1;1) a Chứng minh ba điểm d D biết g Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC Bài Trong khơng gian P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian Oxyz cho điểm A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − ) , C ( 5; − 1;0 ) a Chứng minh tam giác giác b Tính thể tích tứ diện ABC D ( 1;2;1) tam giác vng tính bán kính đường trịn nội tiếp tam ABCD Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;3; − 1) , B ( − 1;0;2 ) , C ( 1; − 2;0 ) ABC b) Tìm tọa độ điểm D Oz cho tứ diện ABCD tích a) Tính diện tích tam giác E ( Oyz ) cho AE / / BC d) Tìm tọa độ điểm H Ox cho DH ⊥ AC e) Cho BF phân giác tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F c) Tìm tọa độ điểm Bài 11 Trong không gian với hệ tọa độ Chứng minh điểm Oxyz cho điểm A ( 0;0;3) , B ( 1;1;5) , C ( − 3;0;0 ) , D ( 0; − 3;0 ) A, B, C , D đồng phằng tính diện tích ∆ ACD Bài 12: Trong không gian với hệ Oxyz cho ba điểm A(0;1;2), B(1;1;3), C(1;-1;4) (a) Tìm tọa độ điểm D (Oxy) cho BD song song với AC (b) Tìm tọa độ điểm E (Ox) cho DE vng góc với AB (c) Tính diện tích tam giác ABC (d) Tìm tọa độ điểm S Ox cho khối chóp S.ABC tích (e) Cho CF phân giác tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) (a) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz cho MA=MB (b) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oz cho A, B, C, N đồng phẳng (c) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc Oy biết tứ diện ABCD tích 15 Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A ( 1;0;1) , B ( − 1;1;2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2; − 1; − ) A , B , C , D khơng đồng phẳng Tính độ dài đường cao DK tam giác BCD Tính thể tích khối tứ diện ABCD , từ suy dộ dài đường cao AH Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC (a) Chứng minh bốn điểm (b) (c) (d) (e) Tìm mặt phẳng Câu 15 Cho hình chóp Trên SA, BC ( Oxy ) SABC có điểm M MA = MB = MC SC = AC = AB = a 2, SC ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC lấy điểm a) Tính độ dài đoạn cho tứ diện M, N cho AM = CN = t vng < t < 2a MN Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề A SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC b) Tìm t để MN ngắn c) Tìm t để MN đoạn vng góc chung Câu 16 Cho bốn điểm b) Gọi M , diện Câu 18: SA BC S ( 3;1;2 ) , A ( 5;3;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 1;2;0 ) a) Chứng minh Câu 17: P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian N, P SA ⊥ ( SBC ) , SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB ) trung điểm Cho hai điểm A(2;3;1), B(3; − 4;1) T = 2MA2 + MB đạt giá trị nhỏ ? BC , CA , AB Chứng minh SMNP Tìm điểm Cho hai điểm A(− 1;6;6), B(3; − 6; − 2) Tìm điểm M T = MA + MB đạt giá trị nhỏ ? M thuộc trục thuộc mặt phẳng Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Oy tứ cho biểu thức ( Oxy ) cho biểu thức Trang Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ khơng gian HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN GIẢI PHẦN VECTO VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN lycan0984@gmail.com Bài Cho hai vectơ r a = ( 2;3; − 1) ; r b = ( 0; − 2;1) Tính r r r r  a + 2b ;5a − 3b    r r 2a + 2b r r b + 5a ; ; rr a.b ; rr  a ; b   Lời giải Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly Bài r r  2a + 2b = ( 2;3; − 1) + ( 0; − 2;1) = ( 4;2;0 ) r r b + 5a = ( 0; − 2;1) + ( 2;3; − 1) = ( 10;13; − )  rr  a.b = 2.0 + ( −2 ) − 1.1 = −7 r r     a ; b  = ( 1; − 2; − ) r r r r   a   + 2b ;5a − 3b  r r a Ta có + 2b = ( 2;3; − 1) + ( 0; − 2;1) = ( 2; − 1;1) r r 5a − 3b = ( 2;3; − 1) − 3( 0; − 2;1) = ( 10;21; − ) r ur r r   a Suy  + 2b ;5a − 3b  = ( − 13;26;52 ) r r r Cho vectơ a = 2 ; − 1;4 Tìm vectơ b phương với a ( ) biết rr a.b = 20 Lời giải Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly r b Giả sử = ( x ; y ; z ) r r Vì vectơ b phương với a Lại có nên tồn số k cho x = 2k ; y = − k ; z = 4k rr k= a.b = 20 Suy 8k + k + 16k = 20 Suy r  16  b =  ; − ; ÷÷ 5  Vậy  nguyentuyetle77@gmail.com Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề ; SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu Cho vectơ P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian r r r a = ( 1;1;1) ; b = ( 1; −1;3) tìm vectơ c r b tạo với tia Oz , vng góc với hai vectơ có độ dài góc tù Lời giải Tác giả: Nguyễn Tuyết Lê ; Fb: Nguyen Tuyet Le Gọi tọa độ vectơ Từ (2) , (3) suy r c = ( x; y; z ) r c =3  urr  a.c =  urr  b.c =  urr Theo giả thiết ta có:  j.c < x = − z , y = z , thay vào (1) ta z2 = ⇔  x + y + z = (1)  x + y + z = (2)  (3)  x − y + 3z = z < (4)  Kết hợp điều kiện (4) ta có:  x =   y = −  r  6  c = 6; − ; −  ÷  z = − 2 ÷  Vậy  Cách 2: Hồng Minh Tuấn ( pb) đề xuất Do r r r r c⊥ a, c⊥ b nên tồn số p cho: r r c = p  a ; r b  = ( p ; -2p ; -2p ) r c = ⇔ 24 p = ⇔ p = ± Vì r  r  6 6 c =  ; ; - ÷÷ c =  − ; ; ÷÷ 2  2  Từ   r  6 c = ; ; r rr  ÷÷ 2 Mặt khác c tạo với Oz góc tù nên c.k < Vậy   nguyentuyetle77@gmail.com Câu r r r a , b , c sau r r r a = ( 2;6; −1) , b = ( 4; − 3; − ) , c = ( − 4; − 2;2 ) r r r a = ( 2; − 4;3) , b = ( 1;2; −2 ) , c = ( 3; −2;1) Xét đồng phẳng ba vectơ (c) (d) Lời giải Tác giả: Nguyễn Tuyết Lê ; Fb: Nguyen Tuyet Le Để xét đồng phẳng ba vectơ r r r a,b ,c urr r   T = a ta xét tích hỗn hợp  ,b  c Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề r a, SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Nếu T=0 Nếu T ≠ ba vectơ (a) Ta có r r r a,b ,c ba vectơ r r r a, b, c r r r a, b, c P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian đồng phẳng không đồng phẳng r r urr r  a ; b  = ( − 15;0; − 30 )  a,b  c = ( −15 ) ( −4 ) + ( −2 ) + ( −30 ) = Vậy ba vectơ ⇒     đồng phẳng urr urr r  a,b  = ( 2;7;8 )  a;b  c = 2.3 + ( − ) + 8.1 = Vậy ba vectơ r , r , r ⇒     a b c (b) Ta có phẳng nvanphu1981@gmail.com, lyvanxuan@gmail.com Bài Cho ba điểm A ( 2;5;3 ) ; B ( 3;7;4 ) ; C ( x; y;6 ) Tìm đồng x ; y để A , B , C thẳng hàng Lời giải Tác giả: Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi uuur AB = ( 1; 2;1) uuur AC = ( x − 2; y− 5; ) ; x − =  x = x− y− ⇒  y−5 ⇔ = = = Ta có : y =  Bài Cho bốn đỉnh A ( 1; − 1;1) , B ( 1;3;1) , C ( 4;3;1) , D ( 4; − 1;1) a Chứng minh A , B , C , D đồng phẳng tứ giác ABCD hình chữ nhật b Tính độ dài đường chéo góc hai đường chéo Lời giải Tác giả: Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi uuur uuur uuur a AB = ( 0; 4;0 ) ; AC = ( 3;4;0 ) ; AD = ( 3;0;0 ) uuur uuur uuur uuur uuur  AB , AC  = ( 0;0; − 12 ) ;  AB, AC  AD = 0.3 + 0.0 + ( −12 ) =     Vậy A , B ,C , D đồng phẳng uuur uuur r  AB , AC  = ( 0;0; − 12 ) ≠ nên , , không thẳng hàng   ABC uuur uuur uuur DC = ( 0; 4;0 ) nên DC = AB hay tứ giác ABCD hình bình hành Mặt khác : b AC = uuur uuur AB.AD = 0.3 + 4.0 + 0.0 = nên tứ giác ABCD hình chữ nhật 32 + = ; BD = AC = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC cos ( AC , BD ) = 3.3 + ( −4 ) = 5.5 P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian ° ⇒ AC , BD = 73 44' ( ) 25 vungoctan131@gmail.com Bài Cho điểm A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − ) , C ( 5; − 1;0 ) ABC a Chứng minh tam giác giác D ( 1;2;1) tam giác vuông tính bán kính đường trịn nội tiếp tam ABCD b Tính thể tích tứ diện Lời giải Tác giả:Vũ Ngọc Tân; Fb: Vũ Ngọc Tân ABC a Chứng minh tam giác +) Chứng minh tam giác Ta có: ABC tam giác vuông uuur uuur uuur AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − ) , BC = ( 8;0;4 ) uuur uuur Xét AB AC = 24 + − 24 = Vậy tam giác vng tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ∆ ABC vng nên AC ⊥ BC nên ∆ ABC vuông C C +) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ∆ ABC Theo cơng thức: Ta có : ∆ ABC Chu vi tam giác r= 1 S∆ABC = AC.BC = 5.4 = 30 tam giác vuông C nên 2 ∆ ABC : P∆ ABC = ABCD VABCD = Theo công thức: Với AB + AC + BC 5 + + = =6 2 S∆ ABC 30 = = P∆ ABC b Tính thể tích tứ diện Ta có: S∆ ABC P∆ ABC AB = 5, AC = 5, BC = , Vậy S∆ ABC = P∆ ABC r ⇔ r = uuur uuur uuur  AB, AC  AD   uuur uuur uuur AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − ) , AD = ( −1;3; − 5) uuur uuur uuur uuur uuur  AB, AC  = ( 0; −60;0 ) ,  AB, AC  AD = − 60.3 + = 180     Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian uuur uuur uuur VABCD =  AB, AC  AD = 180 = 30 Vậy 6 tiendv@gmail.com Câu Cho ba điểm A ( 1;0;0 ) ; B ( 0;0;1) ; C ( 2;1;1) h Chứng minh ba điểm A,B, C khơng thẳng hàng i Tính chu vi diện tích tam giác j Tìm toạ độ điểm k l m ABC ABCD hình bình hành Tính độ dài đường cao tam giác ABC Tính góc tam giác ABC Xác định toạ độ tực tâm ABC D biết n Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Tác giả: Đào Văn Tiến;face: Đào Văn Tiến a Do b uuur uuur uuur uuur Ta có AB ( −1;0;1) ; AC ( 1;1;1) suy AB ≠ k AC uuur uuur AB ; AC không phương suy A , B , C không thẳng hàng uuur uuur uuur AB − 1;0;1 AC 1;1;1 ( ) ; ( ) ; BC ( 2;1;0) ⇒ AB = ; BC = ; AC = ; Ta có uuur uuur  AB; AC  = ( − 1; 2; − 1)   ABC D ( a; b; c ) Chu vi tam giác c Gọi p= 2+ 3+ cho A,B , C , D −1 = − a  ⇔ 0 = − b ⇔ uuur uuur  Ta có AB = DC 1 = − c d S ABC = bốn đỉnh hình bình hành a =  b =  c = ⇒ D ( 3;1;0 )  1 S ABC = a.ha = b.hb = c.hc ⇒ = Ta có ; hb = ; hc = 2 e Áp dụng công thức hàm số cosin cho tam giác + + uuur uuur  AB; AC  = + + =   2 cos A = 2+ 3− =0 ⇒ A = 90° cos B = 2+5−3 = 5 ABC ta có ⇒ B = 51° Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC + cos C = 3+5−2 = 5 ⇒ C = 39° Cách khác: dùng cơng thức f Gọi H ( a; b; c ) g Gọi Ta có I ( a; b; c ) ABC uuur uuur uuur uuur AB AC = cos A = cos AB, AC AB.AC ( ) ABC toạ độ trực tâm tam giác uuur uuur  AH BC =  uuur uuur  BH AC = ⇔  uuur uuur uuur   Ta có   AB; AC  BH = Cách khác: Tam giác P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian  2a + b − = a =    a + b + c − = ⇔ b =  − a + 2b − c + =  c = ⇒ H ( 1;0;0 )   vuông A nên trực tâm tam giác ABC toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A ( 1;0;0 ) ABC  IA = IB   ( − a ) + b2 + c2 = a2 + b2 + ( − c )   IB = IC ⇔ u u u r u u u r u u r  2 2 2   AB; AC  BI =  a + b + ( − c ) = ( − a ) + ( − b ) + ( − c ) a =   − a + 2c =   ⇔ b = ⇔  4a + 2b =     − a + 2b + c − =  c = ⇒ I  1; ;1÷     Bài Cách khác: Tam giác ABC   I  1; ;1÷   BC Trong không gian vuông A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm Oxyz cho điểm A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − ) , C ( 5; − 1;0 ) a Chứng minh tam giác giác b Tính thể tích tứ diện ABC D ( 1;2;1) tam giác vng tính bán kính đường trịn nội tiếp tam ABCD Lời giải Tác giả: Vũ Ngọc Tân; Fb: Vũ Ngọc Tân a Chứng minh tam giác +) Chứng minh tam giác Ta có: ABC ABC tam giác vuông tam giác vuông uuur uuur uuur AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − ) , BC = ( 8;0;4 ) uuur uuur Xét AB AC = 24 + − 24 = nên AC ⊥ BC nên ∆ ABC vuông Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! C Trang Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ∆ ABC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian C b Tính thể tích tứ diện ABCD Vậy vng uuur uuur uuur VABCD =  AB, AC  AD Theo cơng thức: Ta có: Với uuur uuur uuur AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − ) , AD = ( −1;3; − 5) uuur uuur uuur uuur uuur  AB, AC  = ( 0; −60;0 ) ,  AB, AC  AD = − 60.3 + = 180     uuur uuur uuur VABCD =  AB, AC  AD = 180 = 30 Vậy 6 minhphuongk34toan@gmail.com Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;3; − 1) , B ( − 1;0;2 ) , C ( 1; − 2;0 ) ABC Tìm tọa độ điểm D Oz cho tứ diện ABCD tích f) Tính diện tích tam giác g) E ( Oyz ) cho AE / / BC Tìm tọa độ điểm H Ox cho DH ⊥ AC Cho BF phân giác tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F h) Tìm tọa độ điểm i) j) Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Minh Phương ; Fb:Minh Phương a) Ta có uuur uuur uuur uuur AB = ( −3; −3;3) , AC = ( −1; −5;1) ⇒  AB, AC  = ( 12;0;12 ) Khi diện tích tam giác b) Gọi ABC : S∆ ABC = uuur uuur  AB, AC  = 2.122 =   (đvdt) 2 D ( 0;0;z ) Ta có uuur uuur uuur uuur  AD ( 3;3;z − 3) ⇒  AB, AC  AD = 12.3 + 0.3 + 12 ( z − 3) = 12 z ≠ ⇔ z ≠ uuur uuur uuur ⇒ VABCD = ⇒  AB, AC  AD = ⇔ 12 z = ⇔ z = ± 6 Vậy điểm c) Gọi D ( 0;0;2 ) D ( 0;0; − ) E ( 0; y;z ) Ta có uuur uuur AE = ( −2; y− 3;z+ 1) , BC = ( 2; −2; −2 ) Ta có AE / / BC Vậy E ( 0;5;1) −2 y − z + uuur uuur AE; BC phương = − = − ⇔ y = 5; z = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian H ( x;0;0 ) Ta có uuuur uuuur DH ( x;0; − ) DH ( x;0;2 ) d) Gọi uuuur uuur − x − = DH ⊥ AC ⇔ DH AC = ⇔  ⇔ − x + = e) Gọi F ( x; y;z ) BF phân giác tam giác ABC mà F AF BA ⇒ = = CF BC ( −3) + ( −3) + ( 3) 2 22 + ( −2 ) + ( −2 ) 2 = 2 − −3  x = =  + 32  uuu r −3 uuur  − 3− 2.− A, C ⇒ FA = FC ⇒  y = =0 +   −1 − −3 −2 z = =  nằm + 32   −2  F  ;0; ÷ Vậy  5 Bài 11  x = −2 x =  Trong không gian với hệ tọa độ Chứng minh điểm Oxyz cho điểm A ( 0;0;3) , B ( 1;1;5) , C ( − 3;0;0 ) , D ( 0; − 3;0 ) A, B, C , D đồng phằng tính diện tích ∆ ACD Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Minh Phương ; Fb:Minh Phương Ta có: uuur uuur uuur AB ( 1;1;2 ) ; AC ( − 3;0; − 3) ; AD ( 0; − 3; − 3) uuur uuur  − − − 0 −   AD, AC  =  ; ; ÷ = ( 9;9; − )   − − − −   uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ AB  AD, AC  = 1.9 + 1.9 + ( − ) = ⇒ AB, AC , AD đồng phẳng phằng S∆ACD = Diện tích ∆ ACD : luongchinhhnn@gmail.com ⇒ điểm A, B, C , D đồng uuur uuur 2  AD, AC  = + + − = ( )   2 ( đvdt) Bài 12: Trong không gian với hệ Oxyz cho ba điểm A(0;1;2), B(1;1;3), C(1;-1;4) (f) Tìm tọa độ điểm D (Oxy) cho BD song song với AC (g) Tìm tọa độ điểm E (Ox) cho DE vng góc với AB (h) Tính diện tích tam giác ABC (i) Tìm tọa độ điểm S Ox cho khối chóp S.ABC tích (j) Cho CF phân giác tam giác ABC Xác định tọa độ điểm F Bài giải Tác giả:Lương Thị Chính ; Fb: ChínhLương Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 11 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian (a) Gọi D(x;y;0) Oxy uuur uuur AC = (1; − 2;2), BD = ( x − 1; y − 1; − 3) AC / / BD ⇔ Vậy −1  x − y − −3 x = = = ⇔  −2  y =  D(− ;4;0) (b) Gọi E(x;0;0) uuur uuur DE = ( x + ; −4;0), AB = (1;0;1) uuur uuur 1 AB ⊥ DE ⇔ DE AB = ⇔ x + = ⇔ x = − 2 E (− ;0;0) Vậy (c) Diện tích tam giác S= uuur uuur uuur uuur   AB = (1;0;1) ⇒ AC = (1; − 2;2)  AB, AC  = (2; − 1; − 2) uuur uuur  AB, AC  =   (d) Gọi S(x; 0;0) Ox VS.ABC , uuur uuur uuur  AB, AC  = (2; − 1; − 2), AS = ( x; − 1; − 2)    x = u u u r u u u r u u r  1 = [AB, AC ].AS = x + + = ⇔  6  x = − 11  11 S ( ;0;0); S (− ;0;0) 2 (e) Gọi F(x;y;z) chân đường phân giác Khi Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 12 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian uuur uuur AC uuur uuur FA = − FB, FA = (− x;1 − y;2 − z ), FB = (1 − x;1 − y;3 − z ) BC AC = 3; BC = −3   (1 − x) − x = x=   3+  −3 5+9  ⇔ 1 − y = (1 − y ) ⇔  y = ⇒ F( ;1; ) + +    z = + −3 − z = (3 − z )  3+   Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) (d) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz cho MA=MB (e) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oz cho A, B, C, N đồng phẳng (f) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc Oy biết tứ diện ABCD tích 15 Lời giải Tác giả:Lương Thị Chính ; Fb: ChínhLương (a) Gọi M(0;0;z) MA = MB ⇔ + + ( z + 1)2 = + ( z − 1)2 ⇔ z = ⇒ M (0;0;1) (b) Gọi N(0;0;z) uuur uuur uuur uuur AB = (1; − 1; 2), AC = (0; − 2; 4),  AB, AC  = (0; − 4; − 2) uuur AN = (− 2; − 1; z + 1) Để A, B, C, N đồng phẳng uuur uuur uuur  AB, AC  AN = ⇔ − 2( z + 1) = ⇔ z =   ⇒ N (0;0;1) (c) Gọi D(0;y;0) uuur AD = (− 2; y − 1;1) VABCD = uuur uuur uuur  y = − 22 [AB, AC ].AD = − 4(y − 1) − = 15 ⇔  6  y = 23 Vậy D(0; -22; 0); D(0; 23; 0) Xuanmda@gmail.com, mainghiem7585@gmail.com Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A ( 1;0;1) , B ( − 1;1;2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2; − 1; − ) A , B , C , D khơng đồng phẳng Tính độ dài đường cao DK tam giác BCD Tính thể tích khối tứ diện ABCD , từ suy dộ dài đường cao AH (f) Chứng minh bốn điểm (g) (h) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! tứ diện Trang 13 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian (i) Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ( Oxy ) (j) Tìm mặt phẳng điểm M cho ABC MA = MB = MC Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Mai ; Fb:Mai Nguyen (a) Ta có uuur uuur uuur AB = ( − 2;1;1) , AC = ( − 2;1; − 1) , AD = ( 1; − 1; − 3) uuur uuur uuur uuur uuur  AB, AC  = ( − 2; − 4;0 ) , AD  AB, AC  = ≠     Do đó, bốn điểm (b) Ta có: A , B , C , D không đồng phẳng uuur uuur uuur uuur  BC = ( 0;0; − ) , BD = ( 3; − 2; − ) ,  BC , BD  = ( − 4; − 6;0 ) , BC = uuur uuur  BC , BD  = 42 + 62 = 13  2 2S S∆ BCD = DK BC ⇒ DK = ∆BCD = 13 Mặt khác, ta có: BC S∆ BCD = Vậy (c) DK = 13 uuur uuur uuur VABCD =  AB, AC  AD = Thể tích khối tứ diện ABCD là: 3VABCD 1 ⇒ AH = = VABCD = AH S BCD S∆ BCD Lại có: 13 AH = Vậy 13 (d) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC x A + xB + xC  =−  xG = 3  y A + yB + yC  =  yG = 3    z +z +z  zG = A B C = ⇒ G  − ; ;1÷  là:   3  K ( a; b; c ) Ta có: uuur uuur uuur AK = ( a − 1; b; c − 1) , BK = ( a + 1; b − 1; c − ) , CK = ( a + 1; b − 1; c ) Giả sử trực tâm K tam giác ABC −3  a = uuur uuur   AK BC =  ⇔ b = c =  uuur uuur    BK AC = ⇔ a − b + c = −   c = ⇒ K  − ; ;1  uuur uuur uuur  ÷    AK  AB, AC  =  a + 2b − =  5   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 14 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC (e) Giả sử P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian M ( x; y;0 ) ∈ ( Oxy ) , ta có: AM = ( x − 1) + y + , BM = ( x + 1) + ( y − 1) + , CM = ( x + 1) + ( y − 1) 2 MA = MB = MC ⇔ MA2 = MB = MC tốn khơng có điểm M thỏa mãn 2  x − y = −4 ⇔ 4 x − y = Hệ vô nghiệm dẫn đến thuy.tranthithanhdb@gmail.com Câu 15 Cho hình chóp Trên SA, BC SABC có SC = AC = AB = a 2, SC ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC lấy điểm a) Tính độ dài đoạn M, N cho AM = CN = t vuông A < t < 2a MN b) Tìm t để MN ngắn c) Tìm t để MN đoạn vng góc chung SA BC Lời giải Tác giả:Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu a) Chọn hệ trục tọa độ ( Oxyz hình vẽ, ta có ) ( ) ( A ≡ O ( 0;0;0 ) ; B a 2;0;0 ; C 0; a 2;0 ; S 0;a 2; a )  t t   t  t t  M  0; ; ÷; N  ;  a − ÷; − ÷ ( < t < 2a ) Ta tính tọa độ điểm: 2  2  2  uuuur t uuuur t  t2 t2 2 MN  ; ( a − t ) ; − ÷ ⇒ MN = MN = + ( a − t ) + = 3t − 4at + 2a 2  t MN b) Tìm để ngắn Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 15 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC MN ngắn ⇔   3t − 4at + 2a P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian nhỏ 2a  2a 2a  3t − 4at + 2a =  3t − ÷ + ≥ , ∀t ∈ ( 0;2a ) 3 3 Ta có  2 2a  2a   3t − ÷ = ⇔ t = Dấu xảy  3 MN Vậy c) Tìm ngắn t để MN MN = a 2a ⇔t= 3 đoạn vng góc chung SA BC Cách MN đoạn vng góc chung ⇔ MN = SA BC MN ngắn a 2a ⇔ t= 3 Cách MN đoạn vng góc chung SA BC uuuur uur  MN SA = −2a ( a − t ) + at = 2a ⇔ ⇔t=  uuuur uuur  MN BC = −at + 2a ( a − t ) = Vậy MN Câu 16 Cho bốn điểm đoạn vng góc chung 2a S ( 3;1;2 ) , A ( 5;3;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 1;2;0 ) a) Chứng minh b) Gọi M , diện SA BC t= N, P SA ⊥ ( SBC ) , SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB ) trung điểm BC , CA , AB Chứng minh SMNP tứ Lời giải Tác giả:Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu a) Ta có : uur uur uuur SA = ( 2;2; − 1) , SB = ( − 1;2;2 ) , SC = ( −2;1; − ) uur uur uur uuur Ta có : SA SB = − + − = , SA.SC = − + + = Vậy SA ⊥ ( SBC ) Chứng minh tương tự ta có :  SA ⊥ SB  Suy :  SA ⊥ SC SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 16 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian    1  5 M  ; ;2 ÷ N  3; ; ÷ P  ;3; ÷ b) Ta có:  2  ,  2  ,  2 uuuur  uuur  1  3 3 MN =  ;0; − ÷ ⇒ MN = MP =  2; ; ÷ ⇒ MP = Suy ra: 2 2  2 uuur  1  uuur  3  3 NP =  ; ;2 ÷ ⇒ NP = SM =  − ; ;0 ÷⇒ SM = 2   2  uuur  3  uur  1  3 SN =  0; ; − ÷⇒ SN = SP =  ;2; ÷ ⇒ SP =  2  2 Do MN = MP = NP = SM = SN = SP nên (Hiển nhiên S đồng phẳng với Nghianguyennhan78@gmail.com Câu 19: Cho hai điểm A(2;3;1), B(3; − 4;1) T = 2MA2 + MB đạt giá trị nhỏ ? SMNP tứ diện ( MNP ) ) Tìm điểm M thuộc trục Oy cho biểu thức Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo; Fb: Nguyễn Thanh Thảo Điểm M thuộc trục Oy nên tọa độ điểm uuur uuur M (0; y;0) ⇒ MA ( 2;3 − y;1) ; MB ( 3; −4 − y;1) Ta có 2 T = 2MA2 + MB =  2 + ( − y ) + 12  +  32 + ( − − y ) + 12  = y − y + 54     2  185 185  = 3 y − ÷ + ≥ 3 3  ổ2 ữ y = ị M ỗỗỗ0; ;0ữ ÷ ÷ 3 è ø Để T đạt giá trị nhỏ Câu 20: Cho hai điểm A(− 1;6;6), B(3; − 6; − 2) Tìm điểm M T = MA + MB đạt giá trị nhỏ ? thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho biểu thức Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo; Fb: Nguyễn Thanh Thảo Cách 1: Vì zA zB < nên A, B khác phía mặt phẳng ( Oxy ) Gọi N giao điểm AB ( Oxy ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 17 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Lấy P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian M Î (P ) ta có MA + MB ³ AB = NA + NB Dấu “=” xảy N Suy T = MA + MB º M nhỏ NºM hay điểm A, B, M thẳng hàng Cần tìm điểm M thỏa mãn: ìï - 1- x = - 3( - x) ìï x = ïï uuur uuur uuur ïï d ( A;(Oxy)) uuur ï MA = MB Û MA = - 3.MB Û í - y = - 3( - - y) Û íï y = - ïï ïï d ( B ;(Oxy)) ïï z = ïï z = ỵ ỵ Vậy ( ) M 2;- 3;0 Cách 2: Phương trình mặt phẳng ( Oxy ) z = Xét vị trí tương đối A, B mặt phẳng ( Oxy ) ta có: TA TB = ( − ) = − 12 < Vậy A, B khác phía mặt phẳng ( Oxy ) uuur AB = 1;- 3;- làm véc tơ phương, suy Đường thẳng AB qua A(− 1;6;6), nhận ( ) ìï x = - + t ïï ï y = - 3t í ïï AB có phương trình: ïïỵ z = - 2t Gọi N giao điểm AB ( Oxy ) , suy tọa độ điểm N nghiệm hệ: ìï x = - + t ïï ìï x = ïï y = - 3t ïï ïí ïï z = - 2t Û ïí y = - ïï ïï ïï z = ïïỵ z = ỵ Ta chứng minh Thật vậy, lấy T = MA + MB nhỏ Nº M M Î (P ) ta có MA + MB ³ AB = NA + NB Dấu “=” xảy N º M Vậy ( ) M 2;- 3;0 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 18 Mã đề SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 19 Mã đề ... Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P1-Vecto hệ trục toạ độ khơng gian HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN GIẢI PHẦN VECTO VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN lycan0984@gmail.com Bài Cho hai vectơ r...SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Bài Trong không gian P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian Oxyz cho điểm A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − ) , C (... nguyentuyetle77@gmail.com Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề ; SP Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu Cho vectơ P1-Vecto hệ trục toạ độ không gian r r r a = ( 1;1;1)