Vấn đề 2. Ba điểm thẳng hàng

VÁN ĐỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Câu Email: phunghang10ph5s@gmail.com Cho hình bình hành ABCD có điểm M , I , N thuộc cạnh AB, BC , CD cho 1 AB, BI = kBC , CN = CD Gọi G trọng tâm tam giác BMN Xác định k để AI qua G 12 A B C D 13 11 13 AM = Lời giải Họ tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Chọn C Gọi E trung điểm MB Khi đó: AM = ME = EB uuur uuur Ta có: EG = EN uuu r uuur uuu r uuur ⇔ EA + AG = EA + AN uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur r uuur uuur  uuur uuur  uuu ⇔ AG = AE + AN ⇔ AG = AB + AC + CN = AB +  AC − AB ÷ = AB + AC 3 3 3  18 uur uuur Do BI = kBC điểm I nằm đoạn BC nên BI = k BC uuu r uur uuu r uuur uur uuu r uuur ⇔ BA + AI = k BA + AC ⇔ AI = ( − k ) AB + k AC ( ) ( ( ) 1− k k 18 = ⇔ ( − k ) = 3k ⇔ k = 5 11 18 Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho Do AI qua G nên A, I , G thẳng hàng Câu ) ⇔ AM = AB, AN = AC Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng BC lấy uuur uuur E Đặt BE = xBC Tìm x để A, O, E thẳng hàng Chọn C A B C Lời giải uuur uuur uuur Ta có: AO = AB + AC 9 13 D 11 uuur uuur uuur AE = (1 - x)AB + xAC uuur uuur A, E, O thẳng hàng Û AE = kAO uuur uuur k uuur k uuur 36 Û (1 - x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x = 13 13 Vậy x = giá trị cần tìm 13 Họ tên tác giả : Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng Email: thanhdungtoan6@gmail.com P , Q, R ABC I BC Ý tưởng: Cho tam giác , trung điểm Gọi điểm xác định bởi: uuur uuur uuur uur uuu r uuur AP = p AB, AQ = q AI , AR = r AC với pqr ≠ Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng 1 = + q p r Chứng minh Ta có uur uuur uuur q − p uuur q uuur uuur uuur  uuur uuur uuur PQ = AQ − AP = q AI − p AB = q AB + AC − p AB = AB + AC  2  uuu r uuu r uuur uuur uuur  PR = AR − AP = r AC − p AB  uuur uuu r Do đó, P, Q, R thẳng hàng tồn số thực m cho PQ = mPR ( ⇔ ) uuur uuur r q − 2mr uuur r q − p uuur q uuur q − p + 2mp uuu AB + AC = m r AC − p AB ⇔ AB + AC = 2 2 ( )  q − p + 2mp =0  uuur uuur ⇔ (vì AB, AC không phương)  q − 2mr =  Câu q  m = −  q q 1 2p ⇔ ⇔ 1− = ⇔ = + p 2r q p r m = q  2r Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC ; P điểm đối xứng với A qua B ; R điểm cạnh AC cho AR = AC Khi đường thẳng AR qua điểm điểm sau đây? A Trọng tâm tam giác ABC C Trung điểm AI B Trọng tâm tam giác ABI D Trung điểm BI Lời giải Đáp án: B uuur uuur  AP = AB ( p = )  Theo đề bài,  uuur uuur  2  AR = AC  r = ÷ 5   uuur uuur  2 Gọi G trọng tâm tam giác ABI , ta AG = AH  q = ÷ 3  1 1 + = + =3= Ta có p r q suy P, G, R thẳng hàng Câu (có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ trung điểm BH, cịn M chia AI theo tỷ số tính được) Cho ∆ABC có H trung điểm AB G ∈ AC : GC = AG Gọi F giao điểm CH BG Tìm điểm I BC cho I , F , A thẳng hàng uur uu r uu r uur uur uu r A IC = −2 IB B IB = −2 IC C IB = IC D IC = −3IB Lời giải Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD E trung điểm AD Khi đó, ta có: uuur r uuu FH = − FC Vận dụng định lý Menelauyt ∆HBC có A, F , I thẳng hàng AH IB FC IB = ⇔ ( −4 ) = IC AB IC FH IB ⇔ =− IC uur uu r Vậy IC = −2 IB ⇔ Câu Họ tên tác giả: Hoàng Thị Trà FB: Hoàng Trà Cho tam giác ABC I trung điểm BC Gọi M, N, P điểm xác định uuuu r uuur uuur uur uuu r uuur AM = m AB; AN = n AI ; AP = p AC , với mnp ≠ Tìm điều kiện m, n, p để M, N, P thẳng hàng A mp = mn + np B 2mp = mn + np C 2np = mn + mp D 2mn = mp + np Lời giải uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uur uuu r uuur MP = AP − AM = p AC − m AB AI = ( AB + AC ) Ta có uuuu Mà r uuur uuuu r uur uuu r MN = AN − AM = n AI − m AB uuuu r n uuu r uuur uuu r n uuur n uuur MN = ( AB + AC ) − m AB = ( − m) AB + AC 2 n n −m mnp ≠ Do nên M, N, Q thẳng hàng = ⇔ 2mp = mn + np −m p Chọn đáp án B Câu Nhận xét: Với toán việc cụ thể hóa ba số m,n,p cho thỏa mãn điều kiện ta toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Kết vận dụng vào để giải nhanh toán sau: Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác, I trung điểm BC, M N  uuur uuur CN = BC điểm xác định  uuur uuur r Gọi P giao điểm AC MN Tính tỉ số diện 3MA + MB =  tích tam giác ANP tam giác CNP A B Lời giải Ta có S ANP PA PA = Yêu cầu tốn dẫn đến tìm tỉ số SCNP PC PC Ta dễ dàng chứng minh M, N, G thẳng hàng uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r CN = BC ⇒ 2CN = GC − GB ⇔ 2(GN − GN ) = GC − GB uuur uuur uuur uuu r uuur ⇔ GN = GC − GB = − GA − 4GB Ta có uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur r ⇔ 2GN = −3GA − 4GB + 3MA + MB(vi3MA + MB = 0) uuur uuuu r ⇔ 2GN = 7GM C D Câu Vậy G, M, N thẳng hàng Mặt khác MN cắt AC P, nên M, G, P thẳng hàng uuuu r uuur Áp dụng kết G, M, P thẳng hàng theo câu vào ta có AM = m AB ⇒ m = uuur uur uuur uuur 4 2 AG = n AI ⇒ n = , AP = p AC Khi 2mp = mn + np ⇔ p = + p ⇔ p = , 7 3 S PA ANP =4 = Vậy SCNP PB uuur uuur uuur uuur Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: BD = BC ; AE = AC Điểm uuur a uuur a phân số tối giản) cho điểm B, K , E thẳng K AD thỏa mãn AK = AD (với b b hàng Tính P = a + b A P = 10 B P = 13 C P = 29 D P = Lời giải Chọn A uuur uuur uuu r uuur uuu r Vì AE = AC ⇒ BE = BC + BA(1) 4 uuur uuur uuur uuur uuu r Giả sử AK = x AD ⇒ BK = x.BD + (1 − x ) BA uuur uuur uuur uuur uuur x uuur uuu r BD + (1 − x ) BA Mà BD = BC nên AK = x AD ⇒ BK = 3 uuur uuu r Vì B, K , E thẳng hàng ( B ≠ E )nên có m cho BK = mBE r x uuur uuu r m uuur 3m uuu BA = BC + (1 − x ) BA Do có: BC + 4 r r 3m  uuu  m x  uuur  Hay  − ÷BC +  − x − ÷BA =  4   uuur uuu r Do BC ; BA không phương nên m 2x 3m − = 0;1 − x − = Từ suy x = ; m = 4 uuur uuur Vậy AK = AD Câu Email: themhaitotoanyp1@gmail.com uu r uur uur r Cho tam giác ABC, I điểm thỏa mãn: IA − IB + IC = uuu r uuu r uuur r K điểm thỏa mãn: KA + KB + 3KC = uuu r uuu r uuur r P điểm thỏa mãn: PA + mPB + nPC = Có cặp ( m, n ) , m, n ∈ Z , m, n ∈ [ −10;10] cho I , K , P thẳng hàng A B C D Lời giải Ta có PA = − m PB − n PC uu r uur uur r Có: IA − IB + IC = ⇔ PA − PI − PB − PI + PC − PI = ( ) ( ) ( ) ⇔ PI = PA − PB + PC ⇔ 5PI = ( − 2m − 1) PB + ( − 2n + 4) PC Có: uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur r uuur uuu r uuu r uuur KA + KB + 3KC = ⇔ PA − PK + PB − PK + PC − PK = ⇔ PK = PA + 2PB + 3PC uuur uuu r uuur ⇔ PK = ( −m + ) PB + ( − n + 3) PC ( ) ( ) ( ) I,K,P thẳng hàng PI ,6 PK phương ⇔ ( 2m + 1)( n − 3) = ( m + )( 2n − 4) ⇔ 2m − 5n = 11 Do ( m, n ) , m, n ∈ Z , m, n ∈ [ −10;10] nên ( m, n ) ∈ { ( −8; −1) , ( −3, −1) , ( 2,3) , ( 5, ) } (Fb: Lưu Thêm) Email : boyhanam@gmail.com Câu Bài em sưu tầm ! uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuur Cho tam giác ABC , M N hai điểm thỏa mãn: BM = BC − AB , CN = x AC − BC Xác định x để A , M , N thẳng hàng B − A C D − Lời giải Chọn D Ta có uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuur BM = BC − AB ⇔ AM = BC − AB ⇔ AM = − AC + 2BC uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur CN = x AC − BC ⇔ CA + AN = x AC − BC ⇔ AN = ( x + 1) AC − BC uuuu r uuur Để A, M , N thẳng hàng ∃k ≠ cho AM = k AN −1  k= uuur uuur uuur uuur   x + = −k  ⇔ Hay ( x + 1) AC − BC = k − AC + BC ⇔  −1 = 2k  x = −1   ( ) Huonghungc3@gmail.com Câu 10 Cho tam giác ABC có G trọng tâm, I trung điểm AG , lấy K thuộc cạnh AC cho uuur uuur AK = kAC Nếu B, I,K thẳng hàng giá trị k nằm khoảng?  1 A 0;   6  1 B  0; ÷  2 1 1 C  ; ÷ 5 3 Lời giải 1  D  ;1÷ 5  (Họ tên: Nguyễn Thu Hương Tên FB: Thu Hương) C N G K O B Chọn B Không giảm tính tổng qt: giả sử tam giác ABC có: A(0;0);B ( 6;0) ;C ( 0;6) G ( 2;2) ;I ( 1;1) uur uuur Gọi K ( 0;m) Khi đó: IB ( 5;- 1) ;K B ( 6;- m) Để B, I,K thẳng hàng : 5m = Û m = suy k = Họ tên: Trần Văn Luật Email: Tvluatc3tt@gmail.com FB: Trần Luật uuur uuuur Câu 11 Cho tam giác ABC , M điểm thuộc cạnh AC cho MA = −2.MC , N thuộc BM cho uuur uuuur uuu r uuur NB = −3 NM , P điểm thuộc BC Biết ba điểm A, N , P thẳng hàng PB = k PC Khẳng định sau đúng? 5 1       A k ∈  −3; − ÷ B k ∈  − ; −1÷ C  −1; − ÷ D  − ;0 ÷ 2 2       Lời giải Chọn B Ta có uuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur NB = −3NM ⇔ AB − AN = −3 AM − AN ⇔ AB + AM = AN ⇔ AN = AB + AC uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur PB = k PC ⇔ AB − AP = k AC − AP BC Do điểm thuộc nên P uuur uuu r uuur uuu r uuur k uuur ⇔ AB − k AC = ( − k ) AP ⇔ AP = AB − AC k −1 1− k ( ) ( ) h  = k = −2 uuur uuur 1 − k  ⇔ Ba điểm A, N , P thẳng hàng AP = h AN ⇔  h − h = =  − k Vậy k = −2 Họ tên: Hoàng Thị Kim Liên Email: lientiencl@gmail.com Facebook: Kim Liên Câu 12 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB cho r uur uur uuur uuur uuu uur MB = mMC , NC = nNA, PA = k PB Tính tích mnk để M, N, P thẳng hàng? A.1 B −1 C D −2 Lời giải Chọn A Ta có : uuur uuu r uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r MB = m BC ; BP = AB; BC = ( 1− m ) MC ; CN = n AC 1− m k −1 1− n uuur uuu r uuu r MN = −1 AB +  + n ÷AC 1− m  1− m 1− n  uuur uuu r uuu r MP =  −m − ÷ AB + m AC 1− m  1− m 1− k  Để M, N, P thẳng hàng ta có : −m m − 1− m ⇔ mnk = Câu 13 1− m 1− k = −1 n + 1− m 1− m 1− n (Email): thuhangnvx@gmail.com Câu 14 Cho hình bình hành ABCD gọi M trung điểm cạnh CD, N điểm thuộc cạnh AD cho AN = AD Gọi G trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC K Khi uuur m uuur m BK = BC ( tối giản) Tính S = m + n n n A S = 16 B S = 17 C S = 18 D S = 19 Lời giải ( Tên FB: Phùng Hằng ) Chọn B Ta có uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuu r AG = AE + AF = AN + AM + AG + AB 2 uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur ur uuu r ⇔ AG = AN + AM + AB = AD + AD + AC + AB = AD + AC + AB r uuur uuur uuur uuur uuur uuu = AD + AB + AD + AB = AD + AB uuur uuur uuur ⇒ AG = AB + AD ( ) ( ) ( ( uuur ) ) uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur Đặt BK = x.BC ⇒ AK = AB + BK = AB + xBC = AB + x AD k = uuur uuur uuu r uuur k uuu r 4k uuur  AD ⇔  Do A,G,K thẳng hàng AK = k AG ⇔ AB + x AD = AB +  x = Suy m = n Vậy S = 17 Email: builoiyka@gmail.com Câu 15 Cho hình thang ABCD có đáy AB , CD , CD = AB M , N điểm thuộc cạnh AD BC cho AM = 5MD , 3BN = NC Gọi P giao điểm AC MN ; Q giao điểm BD MN ; Khi A 386 B 385 PM QN a a + = , với phân số tối giản Khi a + b PN QM b b C 287 D 288 Lời giải Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui Chọn A Gọi E giao điểm AD BC Ta có A, trung điểm EC , ED uuuu r uuuu r uuur uuur Giả sử PM = xPN ; QN = yQM uuu r uuur uuuu r uuur r 11 uuu x uuur uuu r EM − xEN 11 EA − x EC = EA − EC Ta có EP = 10 = 6( 1− x) 10 ( − x ) 1− x 1− x Do P, A, C thẳng hàng nên Vậy 11 7x − = ⇔ 55 − 21x = 30 − 30 x ⇔ x = − 25 ( − x ) 10 ( − x ) PM 25 = PN uuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur EN − yEM EB − 11 y ED 11 y uuur = EB − ED Ta có EQ = 12 = 5( 1− y ) 12 ( − y ) 1− y 1− y Do Q, B, D thẳng hàng nên Vậy 11y − = ⇔ 84 − 55 y = 60 − 60 y ⇔ y = − 24 ( − y ) 12 ( − y ) QN 24 = QM Suy PM QN 341 + = ⇒ a = 341; b = 45 ⇒ a + b = 386 PN QM 45 Cách 2: Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMN với ba điểm thẳng hàng A, P, C , ta có PM CN AE PM PM 25 =1 ⇔ =1 ⇔ = PN CE AM PN 10 PN Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EMN với ba điểm thẳng hàng B, Q, D , ta có QN DM BE QN QN 24 =1 ⇔ =1⇔ = QM DE BN QM 12 QM Vậy PM QN 341 + = ⇒ a = 341; b = 45 ⇒ a + b = 386 PN QM 45 Email: datltt09@gmail.com Câu 16 Cho tam giác ABC, cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho AM = 3MC, NC = 2BN Gọi I giao điểm AN BN Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABN A S ABC = 110 B S ABC = 115 C S ABC = 125 D S ABC = 120 Lời giải Họ tên tác giả : Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy Chọn D uur uuur Giả sử AI = k AN ta có uur uuu r uuur uuu r BI − BA = k BN − k BA uur uuu r k uuur ⇒ BI = ( − k ) BA + BC (1) uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur Tương tự AM = AC ⇒ BM = BA + 3BC (2) k Vì B,I,M thẳng hàng nên từ(1) và(2) ta có − k = ⇔k= 10 Suy S ABN = 10 S BNI = 40 S ABC = 3S ABN = 120 (Có thể dùng định lý Menelauyt để tính tỷ số) Email: samnk.thptnhưthanh@gmail.com Câu 17 Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC cho MA = −2.MC , N thuộc BM cho NB = −3.NM , P thuộc BC cho PB = k PC Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng A k = B k = −2 C k = − D k = 2 Lời giải Họ tên: Nguyễn Khắc Sâm Facebook: Nguyễn Khắc Sâm Chọn B A M N B C P Ta có: ( ) NB = −3.NM ⇔ AB − AN = −3 AM − AN ⇔ AB + AM = AN ⇔ AN = 1 AB + AC (1) ( ) PB = k PC ⇔ AB − AP = k AC − AP ⇔ AB − k AC = (1 − k ) AP (k ≠ 1) ⇔ AP = k AB − AC 1− k 1− k ( 2) Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi: h  =  1 − k AP = h AN ⇔  ⇒ k = −2 − k = h   1− k ... trung điểm BC ; P điểm đối xứng với A qua B ; R điểm cạnh AC cho AR = AC Khi đường thẳng AR qua điểm điểm sau đây? A Trọng tâm tam giác ABC C Trung điểm AI B Trọng tâm tam giác ABI D Trung điểm. .. G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ trung điểm BH, cịn M chia AI theo tỷ số tính được) Cho ∆ABC có H trung điểm AB G ∈ AC : GC = AG Gọi F giao điểm CH BG Tìm điểm I BC cho I , F , A thẳng hàng uur... cho tam giác AMN với ba điểm thẳng hàng A, P, C , ta có PM CN AE PM PM 25 =1 ⇔ =1 ⇔ = PN CE AM PN 10 PN Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EMN với ba điểm thẳng hàng B, Q, D , ta có QN