Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp cho học sinh lớp 11CB có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh một số dạng toán trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập.
MỤC LỤC Phần 1: Mở đầu Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiêm cứu Phương pháp nghiên cứu .2 Phần 2: Nội dung Chương 1: Cơ sỡ lý luận Chương 2: Cơ sỡ thực tiễn .3 Chương 3: Biện pháp giải vấn đề Bài toán 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) .4 Bài tốn 2: Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α) Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) 11 Bài toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng (α) (β) song song 14 Bài tập rèn luyện .16 Phần 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài : Một môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất người lao động mơn học hình học khơng gian Giúp chon học sinh phát triển tư tưởng tượng Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên trình giảng dạy trường nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Qua nhiều năm giảng dạy mơn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt lập khn máy móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải toán lạ, tốn khó Từ lý tơi định nghiêm cứu viết nên sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp để giúp học sinh lớp 11 giải tốn hình học khơng gian” Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11CB có thêm số kỹ bản, phương pháp chứng minh số dạng tốn khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm làm tập Hy vọng với đề tài nhỏ giúp em học sinh có sở, phương pháp giải số toán bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11CB, cung cấp cho giáo viên số nội dung giảng dạy môn hình học khơng gian lớp 11 cách có hiệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh lớp 11A3 với 43 học sinh 11A5 với 41 học sinh trường THPT Đông Sơn năm học 2016 – 2017 Phạm vi nghiên cứu đề tài là: “ Chương 2: Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song ” sách giáo khoa hình học 11 ban Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy học; phân tích, so sánh, tổng hợp, đút rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp Phần 2: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận Khi giải toán chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, … Ta cần phải ý đến yếu tố khác : Vẽ tốt chưa? Cần xác định thêm yếu tố hình khơng? Để giải vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức liên quan đến toán, ….có giúp ta giải nhiều tốn mà khơng gặp khó khăn Ngồi ta cịn phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho dạng tốn: tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng Chương 2: Cơ Sở thực tiễn Qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy nhiều học sinh gặp toán chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian em học sinh khơng biết vẽ hình, cịn lúng túng, khơng phân loại dạng toán, chưa định hướng cách giải Trong tốn liên quan đến chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian có nhiều dạng tập khác nhau, chương trình hình học khơng gian 11 khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, bên cạnh thời lượng dành cho tiết luyện tập Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic không làm tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian Khi giải tốn hình học khơng gian giáo viên học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt; Học sinh quen với hình học phẳng nên học khái niệm hình khơng gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng tính chất hình học phẳng cho hình khơng gian; Một số tốn khơng gian mối liên hệ giả thiết kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng việ định hướng cách giải; Bên cạnh cịn có ngun nhân em chưa xác định động học tập Từ nguyên nhân mạnh dạn đưa số giải pháp nhằm nâng cao kỹ giải tốn hình học không gian cho học sinh lớp 11CB Chương 3: Biện pháp giải vấn Đề Để giải hình học tố theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh là: Vẽ hình – trực quan gợi mở tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực niềm say mê học tập học sinh Vẽ – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình học khơng gian : hình chóp; tứ diện; hình chóp đều; hình lăng trụ; hình hộp; hình hộp chữ nhật; ….; quan hệ song song hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng mặt phẳng,… Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý mơ hình không gian, phần mềm giảng dạy như: Cabir, GSP, … Dạy học theo chủ đề, dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt Bài tốn 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mặt phẳng A ∈ (α ) ∩ ( β ) Nếu AB = (α ) ∩ ( β ) B ∈ (α ) ∩ ( β ) Hình Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng Dựa vào định lý sau: (α ) ∩ (γ ) = a a / /b / / c * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu ( β ) ∩ (γ ) = b ng quy a, b, c đồ (α ) ∩ ( β ) = c a / /b * Hệ quả: Nếu a ⊂ (α ), b ⊂ ( β ) (α ) ∩ ( β ) = d Hình d / / a / /b d trù ng vớ ia d trù ng vớ ib Hình Hình a / /(α ) * Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu a ⊂ ( β ) (α ) ∩ ( β ) = b (α ) / / d * Hệ : Nếu ( β ) / / d (α ) ∩ ( β ) = a a // d a // b (hình 5) (hình 6) (α ) / /( β ) (γ ) ∩ ( β ) = b (hình 7) (γ ) ∩ (α ) = a a / /b * Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu Hình Hình Hình * Nhận xét: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Nếu hình vẽ có điểm chung ta chuyển sang cách hai ( dựa vào định lý hệ trên) * Ví dụ: Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm ngồi mp(α) Tìm giao tuyến mp sau: a) mp(SAC) mp(SBD) b) mp(SAB) mp(SCD) c) mp(SEF) mp(SAD) Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm giao tuyến Với câu c GV cần gợi ý cho HS phát điểm chung thứ hai Lời giải: a) Ta có S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1) ; F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ (SAC) ∩ (SBD) Từ (1) (2) suy : SF = (SAC) ∩ (SBD) b) Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (1) ; E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAB) ∩ (SCD) Từ (1) (2) suy : SE = (SAB) ∩ (SCD) c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD N Xét hai mp(SAD) (SEF) có: (2) (2) S ∈ (SAD) ∩ (SEF) ; N ∈ (SAD) ∩ (SEF) Vậy : SN = (SAD) ∩ (SEF) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang (AB // CD) a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAB) (SDC) Lời giải: a) Ta có S điểm chung thứ E ∈ AD E ∈ ( SAD) ⇒ E ∈ BC E ∈ ( SBC ) Suy SE = SAD) ∩ ( SBC ) a) Ta có S điểm chung thứ AB ⊂ ( SAB ) Lại có CD ⊂ ( SCD ) ⇒ ( SAB) ∩ ( SCD ) = Sx Sx // AB // CD AB // CD Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mp(IBC) (JAD) b) M điểm đoạn AB, N điểm đoạn AC Tìm giao tuyến mp(IBC) (DMN) Lời giải: a) Ta có: I ∈ AD ⇒ I ∈ (JAD) Vậy I điểm chung mp(IBC) (JAD) (1) Ta có: J ∈ BC ⇒ J ∈ (IBC) Vậy J điểm chung mp(IBC) (JAD) Từ (1) (2) ta có : IJ = (IBC) ∩ (JAD) b) Trong mp(ACD) có : CI cắt DN E Vậy E điểm chung hai mp(IBC) (DMN) (3) Trong mp(ABD) có : BI cắt DM F Vậy F điểm chung hai mp(IBC) (DMN) (4) Từ (3) (4) ta có : EF = (IBC) ∩ (DMN) Bài Cho hình chóp S.ABCD M,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng (α) qua MN song song với SA Dễ a Tìm giao tuyến (α) với (SAB) (SAC) TB b Xác định thiết diện hình chóp với (α) Khó c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang Giải a Tìm giao tuyến (α) với (SAB): M ∈ (α ) ∩ ( SAB) Ta có : α // SA SA ⊂ ( SAB) ⇒ (α) ∩ (SAB) = MP với MP // SA Tìm giao tuyến (α) với (SAC): Gọi R = MN ∩ AC A I D B J C A M I F E N D B S C Q P D A N M R B C R ∈ (α ) ∩ ( SAC ) Ta có : α // SA SA ⊂ ( SAC ) ⇒ (α) ∩ (SAC) = RQ với RQ // SA b Xác định thiết diện hình chóp với (α): b Đoạn chung (α) mặt phẳng (SAB) ;(SCD) ; (SBC) ;(ABCD) S.ABCD MP ; QN ; PQ ; MN Vậy nên thiết diện tứ giác MPQN c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang: MP // QN (1) (2) Ta có : MPQN hình thang ⇒ MN // PQ SA // MP MP//QN SA // QN Do : QN ⊂ ( SCD) Xét (1) ,ta có ⇒ ⇒ SA // QN SA //( SCD) BC = (ABCD) ∩ (SBC) Xét (2) ,ta có MN ⊂ (ABCD) PQ ⊂ (SBC) ( vơ lí ) ⇒ MN // BC PQ = α ∩ ( SBC ) Ngược lại, MN // BC MB ⊂ (α ) BC ⊂ ( SBC ) ⇒ MN // PQ Vậy để thiết diện hình thang MN // BC Bài tốn : Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α) Hình Hình Phương pháp : Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp(α) (hình 8) A∈ d A = d ∩ (α) A ∈ a ⊂ (α ) Tóm tắt : Nếu * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm a sau: - Tìm mp(β) chứa d cho mp(β) cắt mp(α) - Tìm giao tuyến a hai mp(α) mp(β) (hình 9) * Nhận xét : Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a chọn mp(β) cho phù hợp với yêu cầu toán trường hợp đường thẳng a chưa có hình vẽ Ví dụ : Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB AD cho AJ = AD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Nhận xét : - HS dễ dàng phát đường thẳng a đường thẳng BD - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song Lời giải : AD AI = AB , suy IJ không song song BD K ∈ IJ Gọi K = IJ ∩ BD ⇒ K ∈ BD ⊂ ( BCD ) Trong ∆ABD có : AJ = Vậy K = IJ ∩ (BCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Khơng nhìn đường thẳng nằm mp(SAC) để cắt BM - GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM mp(SBD) xác định giao tuyến 2mp(SBD) (SAC) Câu b) - HS gặp khó khăn khơng nhìn đường nằm mp(SBC) để cắt IM - GV cần hướng dẫn HS chọn mp phụ thích hợp chứa IM Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC tìm giao tuyến mp với mp(IJM) Có mp chứa SC? - GV hướng dẫn HS chọn mp cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi Lời giải: a) Ta có BM ⊂ (SBD) Xét mp(SAC) (SBD) có S điểm chung thứ (1) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O điểm chung thứ hai (2) Từ (1) (2) ⇒ SO = (SAC) ∩ (SBD) Trong mp(SBD) có BM cắt SO P Vậy P = BM ∩ (SAC) b) Ta có IM ⊂ (SAD) Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E điểm chung thứ hai ⇒ SE = (SAD) ∩ (SBC) Trong mp(SAE) có IM cắt SE F Vậy F = IM ∩ (SBC) c) Ta có SC ⊂ (SBC) Xét mp(IJM) (SBC) ta có : JF = (IJM) ∩ (SBC) Trong mp(SBE) có JF cắt SC H Vậy H = SC ∩ (IJM) Bài : Cho hình chóp S.ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền ∆SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mp(SBM) b) Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mp(SAC) d) Tìm giao điểm P đường thẳng SC mp(ABM), từ suy giao tuyến hai mp(SCD) (ABM) e) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(ABM) Lời giải : a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD N N ∈ SM N ∈ ( SBM ) ⇒ ⇒ ⇒ N = CD ∩ ( SBM ) N ∈ CD N ∈ CD b) Trong mp(ABCD), ta có: AC ∩ BD = O O ∈ AC O ∈ ( SAC ) ⇒ ⇒ ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBN ) O ∈ BN O ∈ ( SBN ) c) Trong mp(SBN), ta có BM cắt SO I Mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I = BM ∩ (SAC) d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI P Mà AI ⊂ (ABM) ⇒ P = SC ∩ (ABM) Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD K K ∈ PM K ∈ ( ABM ) ⇒ ⇒ ⇒ PK = ( ABM ) ∩ ( SCD) K ∈ SD K ∈ ( SCD ) (ABM) ∩ (ABCD) = AB, (ABM) ∩ (SBC) = BP (ABM) ∩ (SCD) = PK , (ABM) ∩ (SAD) = KA Vậy tứ giác ABPK thiết diện cần tìm Bài 4: (Khó) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải S a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) - Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SO - Tìm giao tuyến ( SBD ) (MNP) P M Ta có N∈MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ N ∈ (MNP) Q N ∈ SB mà SB ⊂ (SBD) ⇒ N ∈ (SBD) I D N ⇒ N điểm chung ( SBD ) (MNP) A P ∈ MP mà MN ⊂ (MNP) ⇒ P ∈ (MNP) O P ∈ SD mà SD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) C ⇒ P điểm chung ( SBD ) (MNP) ⇒ (MNP) ∩ (SBD) = NP B -Trong (SBD), gọi I = SO ∩ NP I ∈ SO I ∈ NP mà NP ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) Vậy: I = SO ∩ (MNP) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) - Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC - Tìm giao tuyến ( SAC ) (MNP) Ta có : M ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ M ∈ (MNP) e) Ta có : 10 M ∈ SA mà SA ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC) ⇒ M điểm chung ( SAC ) (MNP) I ∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) I ∈ SO mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I điểm chung ( SAC ) (MNP) ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = MI - Trong (SAC), gọi Q = SC ∩ MI Q∈ SC Q∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ Q ∈ (MNP) Vậy: Q = SC ∩ (MNP) Bài tập rèn luyện : Bài : Cho hình bình hành ABCD nằm mp(P) điểm S nằm mp(P) Gọi M điểm nằm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm đường thẳng SO với mp(CMN) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (CMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(CMN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Trong ∆SBC lấy điểm M, ∆SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(SAC) b) Tìm giao điểm SC với mp(AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AMN) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Gọi E điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(EMQ) (BCD) ; (EMQ) (ABD) c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mp(EMQ) Bài 4: Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD) Trên đoạn AB lấy điểm M ,Trên đoạn SC lấy điểm N (M, N không trùng với đầu mút) a) Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) * Phương pháp: (Định lí SGK trang 61) d ⊄ (α ) Tóm tắt: Nếu d / / a d // (α) a ⊂ (α ) Nhận xét: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác định GV cần làm cho HS biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp Ví dụ: Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ C' H A' B' I 11 C A B x a) Tìm giao tuyến hai mp(AB’C’) (ABC) b) Chứng minh CB’ // (AHC’) Lời giải: A ∈ ( AB ' C ') A ∈ ( ABC ) a) Ta có : ⇒A điểm chung (AB’C’) (ABC) B ' C '/ / BC Mà B ' C ' ⊂ ( AB ' C ') BC ⊂ ( ABC ) nên (AB’C’) ∩ (ABC) = Ax Ax // BC // B’C’ b) Ta có tứ giác AA’CC’ hình bình hành Suy A’C cắt AC’ trung điểm I đường Do IH // CB’ (IH đường trung bình ∆CB’A’) Mặt khác IH ⊂ (AHC’) nên CB’ // (AHC’) Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trọng tâm ∆ABD ∆ACD Chứng minh : A a) MN // (BCD) b) MN // (ABC) Lời giải : a) Gọi E trung điểm BD ; F trung điểm CD AM = (M trọng tâm ∆ABD) AE AN = (N trọng tâm ∆ACD) Trong ∆ACD ta có: AF AM AN = ⇒ MN / / EF Vậy AE AF Trong ∆ABD ta có: M N B E D F C Mà EF ⊂ (BCD) ⇒ MN // (BCD) b) Trong ∆BCD có : EF đường trung bình ⇒ EF // BC ⇒ MN // EF // BC ⇒ MN // (ABC) Bài 3: (Bài trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với (ADF) (BCE) b) Gọi M N trọng tâm ∆ABD ∆ABE Chứng minh : MM // (CEF) Lời giải: a) Ta có : OO’ // DF (OO’ đường trung bình ∆BDF ) Mà DF ⊂ (ADF) ⇒ OO’ // (ADF) Ta có : OO’ // CE (OO’ đường trung bình ∆ACE ) Mà CE ⊂ (BCE) ⇒ OO’ // (BCE) b) Gọi H trung điểm AB C D O A B O' F Ta có : HM HN = = HD HE C E D O M H A B 12 N O' F E ⇒ MN // DE mà DE ⊂ (CEFD) ≡ (CEF) Vậy MN // (CEF) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD (Dễ) a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) (TB) b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) (Khó) c Gọi G ,G trọng tâm ∆ABC ∆SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) Lời giải: S Q P A D N M B C a Chứng minh MN // (SBC):Ta có: Tương tự : MN ⊄ ( SBC ) ⇒ MN MN / / BC BC ⊂ ( SBC ) MN ⊄ (SAD) ⇒ MN MN / / AD AD ⊂ (SAD) / /(SBC ) / /(SAD) b Chứng minh SB // (MNP): Ta có : SB ⊄ (MNP) ⇒ SB / /(MNP) SB / / MP MP ⊂ (MNP) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD) MN // AD Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q ⇒ PQ = (MNP) ∩ (SAD) Xét ∆ SAD , Ta có : PQ // AD P trung điểm SA ⇒ Q trung điểm SD S Q P A D N G2 I G1 M C B 13 Xét ∆ SCD , Ta có : Ta có : QN // SC SC ⊄ (MNP) ⇒ SC / /(MNP) SC / / NQ NQ ⊂ ( MNP) c Chứng minh G1G2 // (SAB) : Xét ∆ SAI , ta có : ⇒ IG IG 1= = IA IS G1G2 // SA Do : G G ⊄ ( SAB) ⇒ G G / /(SAB) G G // SA SA ⊂ (SAB) Bài toán : Chứng minh hai mp(α) mp(β) song song * Phương pháp : (Định lí SGK trang 64) Tóm tắt : a, b ⊂ ( P ) Nếu a ∩ b = I (P) // (Q) a / /(Q), b / /(Q) * Nhận xét : Tương tự toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt chọn hai đường thẳng a, b ? Nằm mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát vấn đề tốn Ví dụ : Bài : Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD, AC cắt BD O Gọi M, N trung điểm SC, CD Chứng minh (MNO) // (SAD) Lời giải : Trong ∆SCD có MN đường trung bình ⇒ MN // SD mà SD ⊂ (SAD) ⇒ MN // (SAD) (1) Trong ∆SAC có MO đường trung bình ⇒ MO // SA mà SA ⊂ (SAD) ⇒ MO // (SAD) (2) Từ (1) (2) suy (MNO) // (SAD) Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh rằng: a) mp(ADF) // mp(BCE) b) mp(DEF) // mp(MM’N’N) Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh câu a, câu b GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét hai đường 14 thẳng AC BF nhau, từ gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM’ M’N’ song song với mp(DEF) dựa vào định lí Talét đảo Lời giải: a) Ta có: AF // BE ⊂ (BCE) AD // BC ⊂ (BCE) ⇒AF AD song song với mp(BCE) mà AF, AD ⊂ (ADF) Vậy : (ADF) // (BCE) b) Ta có: MM’ // AB mà AB // EF ⇒ MM’ // EF ⊂ (DEF) (*) AM ' AM (1) AN ' BN = = NN’ // AB ⇒ AD AC AF BF AM BN (3) = Mà AM = BN, AC = BF ⇒ AC BF AM ' AN ' = ⇒ M ' N '/ / DE ⊂ ( DEF ) (**) Từ (1), (2) (3) ⇒ AD AF Mặt khác : MM’ // CD ⇒ (2) Mà MM’, M’N’ ⊂ (MM’N’N) (***) Từ (*), (**), (***) ⇒ (DEF) // (MM’N’N) Bài 3: (Bài trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mp(BDA’) (B’D’C) song song b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 G2 hai tam giác BDA’ B’D’C Lời giải: BD / / B ' D ' ⇒ BD / /(CB ' D ') B ' D ' ⊂ (CB ' D ') A' D / / B 'C ⇒ A ' D / /(CB ' D ') B ' C ⊂ (CB ' D ') BD, A ' D / /(CB ' D ') ⇒ ( BDA ') / /(CB ' D ') Ta có : BD, A ' D ⊂ ( BDA ') a) Ta có: b) Ta có : CC’ // BB’ // AA’ CC’ = BB’ = AA’ nên AA’C’C hình bình hành Gọi I tâm hình bình hành AA’C’C Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’ ∩ A’O ; G2 = AC’ ∩ CO’ ⇒ G1 , G2 trọng tâm ∆AA’C CC’A’ ⇒A’G = 2G1O CG2 = 2G2O’ (*) Xét hai ∆BDA’ B’D’C có A’O CO’ hai trung tuyến nên từ (*) suy G1 , G2 trọng tâm ∆BDA’ ∆B’D’C Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC , ACD , ADB (G1G2 G3 ) //( BCD) (TB) a.Chứng minh : (Khó) b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD S 15 Lời giải : (G1G2 G3 ) //( BCD) a Chứng minh : Gọi M, N, L trung điểm cạnh BC, CD BD AG1 AG2 AG3 = = = AM AN AL ⇒ G1G2 // MN ; G2 G3 // NL A Ta có : ⇒ G1G2 // MN G2 G3 // NL MN ⊂ ( BCD) , NL ⊂ ( BCD) ; G3 G1 // LM G3 E ⇒ (G1G2 G3 ) //( BCD) G1 F G2 D L B Vậy : (G1G2 G3 ) //( BCD) b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) : BC //(G1G2 G3 ) Ta có : BC ⊂ ( BCD) G ∈ (G G G ) ∩ ( ABC ) G N M C ⇒ gt qua G1 // BC cắt AB AC E F Tương tự : (G1G2 G3 ) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD (G1G G3 ) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC tam giác ABC AG1 AF = = (1) AM AC EF AF = EF // BC ⇒ (2) BC AC AG1 EF = = Từ (1) (2), ta AM BC ⇒ EF = BC 2 Tương tự : FG = CD , GE = BD 3 2 2 ⇒ EF + FG + GE = BC + CD + GE = ( BC + CD + GE ) 3 3 Ta có : G1 F // MC ⇒ Diện tích thiết diện S EFG = ( EF + FG + GE ).( EF + FG − GE ).( EF + GE − FG ).( FG + GE − EF ) = ( BC + CD + DB ).( BC + CD − DB ).( BC + DB − CD ).(CD + DB − BC ) Vậy S EFG = S BCD 9 = S BCD Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA a) Xác định giao tuyến d hai mp (MBD) (SAC) Chứng tỏ d // mp(SCD) b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp (MBC) Thiết diện hình gì? 16 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi E điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao tuyến hai mp(SAC) (SBE) Tìm giao điểm BE với (SAC) b) Xác định thiết diện tạo hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABE) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SB, SC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Tìm giao điểm H đường thẳng AN mặt phẳng (SBD) b) Gọi I giao điểm AM DN Chứng minh SI // (ABCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC a) Tìm giao tuyến mp(ABM) mp(SBD) b) Gọi N giao điểm SD với mp(ABM).Chứng minh MN // mp(SAB) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O a) Xác định giao tuyến mp ( SAB ) (SCD) Gọi I trung điểm SA , tìm giao điểm IC mp(SBD) b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IBC) Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M, N hai điểm hai cạnh SA , SB cho AM = 2SM 3SN = SB a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC), (SAB) (SCD) b) Chứng minh MN song song với mp(SCD) Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy khơng song song Gọi M điểm nằm mặt phẳng (SCD) a) Tìm giao tuyến hai mặt (SAB) (SCD) b) Tìm thiết diện mặt phẳng (P) qua M song song với CD SA Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình bình hành Trên hai cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N cho: SM SN = SA SB a)Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : (SAC) (SBD) ; (ADN) (SBC) b) Chứng minh MN // (SCD) Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a Tìm giao tuyến (AB’C’) (ABC) b Chứng minh CB’ // (AHC’) 17 Phần 3: Kết luận kiến nghị Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đánh giá định tính Qua q trình giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm phương pháp chứng minh, lập luận chặt chẽ, lơgíc,…Ngồi cần giúp cho học sinh tư hình ảnh, rèn kỹ vẽ hình Từ giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt hơn, hiệu giảng dạy giáo viên nâng dần b) Đánh giá định lượng Kết thực nghiệm: Kết kiểm tra đánh giá sau ôn tập nội dung cho lớp 11CB năm học 2016-2017 lớp thực nghiệm 11A3, 11A4 tiến hành chấm sử lý theo phương pháp thống kê cho kết tốt Tỉ lệ Lớp Sỉ số Dưới TB Trên TB 11a3 43 38 11a4 45 43 Kết luận Xuất phát từ kinh nghiệm thân, từ thực tế nhiều năm giảng dạy trường THPT, thân đúc rút thành kinh nghiệm mong giúp cho học sinh có phương pháp giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm khó liên quan đến hình học khơng gian Phục vụ cho việc ôn thi học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 11A3, 11A4 - Trường THPT Đông Sơn 2, năm học 2016- 2017, hầu hết học sinh vận dụng phương pháp để giải nhanh trắc nghiệm khó đề thi phần liên quan đến quan hệ song song thiết diện mặt cắt Do thời gian có hạn nên đề tài chưa áp dụng rộng rãi chắn không tránh thiếu sót Vì mong góp ý q thầy giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện áp dụng phổ biến năm học tới Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI Thanh Hoá, ngày 26 tháng 04 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN 18 Nguyễn Thị Thu Thủy Vũ Thị Hằng 19 ... móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải toán lạ, tốn khó Từ lý tơi định nghiêm cứu viết nên sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp để giúp học sinh lớp 11 giải tốn hình học khơng gian? ??... dạn đưa số giải pháp nhằm nâng cao kỹ giải tốn hình học không gian cho học sinh lớp 11CB Chương 3: Biện pháp giải vấn Đề Để giải hình học tố theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức... đề tài nhỏ giúp em học sinh có sở, phương pháp giải số toán bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11CB, cung cấp cho giáo viên số nội dung giảng dạy mơn hình học khơng gian lớp 11 cách có hiệu Đối