1/Cho ñöôøng troøn (C) taâm O vaø ñieåm A khaùc O naém trong ñöôøng troøn moät ñöôøng thaúng thay ñoåi qua A nhöng khoâng ñi qua O caét (C) taïi M, N .Chöùng minh raèng ñöôøng troøn n[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THAØNH PHỐ Năm học 2002-2003.
Bài1:(4điểm).
Cho phương trình : (2 1) 2
x mx
m .
a/ Định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) b/ Định m để phương trình có hai nghiệm x1;x2thõa
2 2
1 x
x .
Baøi 2: (5điểm).
Giải phương trình hệ phương trình sau đây;
a/ 12 38
x x x x ; b/
7 8
2
2
xy y x
y x y x
; c/
1 1
1 1
y x
y x
Bài 3: (3điểm)
a/ Cho a > c, b > c , c > chứng minh : c(a c) c(b c) ab
b/ Cho x1,y1 Chứng minh
xy y
x
1
1
1
2
Bài 4: (3điểm).
Từ điểm a ngồi đường trịn ( o), kẻ tiếp tuyến AB , AC với đưòng tròn (B,C tiếp điểm ) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O)Tiếp tuyến cắt AB K
.Chứng minh D,B,O,K nằm đường tròn Bài 5: (2điểm).
Cho tam giác ABC vng A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng lưu động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ
Bài 6: (3điểm).
Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Qua A vẽ hai đường thẳng (d) (d’) đường thẳng (d) cắt (O) C cắt (O’) D , đường thẳng (d’) cắt (O) M cắt (O’) N cho AB phân giác góc MAD Chứng minh CD = MN
(2)Năm học 2002-2003.Thời gian : 150 phút Bài 1: (2điểm)
Cho biểu thức
x x x
x x x
x x
x
K ) 2003
1
1
1
( 2
2
a/ Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b/ Rút gọn biểu thức K
c/Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên Bài 2: (2điểm)
Cho hàm số : y= x + m (D ).Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : a/ Đi qua điểm A( 1; 2003)
b/Song song với đường thẳng x- y +3 = 0; c/ Tiếp xúc với parabol
4
x
y
Bài 3: (3điểm)
a/ Giải tốn cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật
b/ chứng minh bất đẳng thức :
2003 2002
2002 2003 2003
2002
.
Bài 4: (3điểm)
Cho tam giác ABC vng A Nửa đường trịn đường kính AB căùt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F
a/ Chứng minh CDEFlà tứ giác nội tiếp
b/ Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình ? Tại sao?
c/ Gọi r,r1,r2 theo thứ tự bán kính đường trịnnoij tiếp tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh
2 2 r r
r
(3)Bài 1: (3điểm)
Giải phương trình : x21 x2 x2 2x4
Bài 2: (3điểm).Chứng minh đẳng thức
a b a
b a b a b
a b
, với a,b trái dấu Bài 3: (3điểm)
Rút gọn 2(1 4)
3 14
3 ) 12
(
Bài 4: (3điểm)
Trong hình chữ nhật có diện tích p , hình chữ nhật có diện tích lớn ? Tìm diện tích
Bài 5: (4điểm)
Cho đường trịn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ tiếp tuyến AM,AN ;đường thẳng chứa đường kính song song với MN cắt AM, AN lầ lượt B ,C Chứng minh :
a/ Tứ giác MNCB hình thang cân b/MA.MB R2
c/K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến K cắt AM, AN lần lựot P, Q Chứng minh :
4
2 BC CQ
BP
Baøi 6: (4điểm)
Cho đường trịn (O)và đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) B đường tròn (O ) Gọi N điểm di động (d),kẻ tiếp tuyến NM ( M thuộc (O)
a/ Tìm quỹ tích tâm P đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB b/ Tìm quỹ tích tâm Q đường trịn nội tiếp tam giác MNB
ĐỀ THI VAØO 10 HỆ CHUN –TỈNH HÀ TÂY Năm học 2003-2004
Bài 1: (2điểm)
Cho biểu thức )
1 ( : )
1 (
x x x
x x x
x x
(4)1/ Rút gọn P ;
2/ Tìm x cho P< ; Bài 2: (1,5điểm)
Cho phươngtrình : (2 1)
m x m
mx
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thõa mãn : 22 2003
2
1 x
x
Baøi 3: (2điểm )
Một bè nứa trơi tự (với vận tốc vận tốc dòng nước )và ca nơ rời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng 144km quay bến A , lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A , cịn cách bến A 36 kmthì gặp bè nứa trơi nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước Bài 4: (3,5điểm )
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO , Đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB , Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác I ; K khác C), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx điểm N tia BM cắt Cx D
1/ Chứng minh bốn điểm A,C,M,D nằm đường tròn 2/ Chứng minh tam giác MNK cân
3/Tính diện tích tam giác ABD K trung điểm đoạn thẳng CI 4/Chứng minh K di động CI tâm đuường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm đường thẳng cố định
Bài 5: (1 điểm )
Cho a,b,c ba số khác không thõa mãn : acbc3ab0
Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm :
) )(
)(
( 2
bx c bx cx a cx ax b ax
ĐỀ THI VAØO 10 HỆ CHUYÊN –LÊ HỒNG PHONG -TỈNH NAM ĐỊNH Năm học 2003-2004
Bài : (1,5 điểm)
Cho phương trình :
x
(5)13
10 1 1
8
1 x x
x
P
Bài 2( điểm)
Cho biểu thức : Px 5 x(3 x) 2x.Tìm giá trị nhỏ , lớn P
3 0x
Bài 3: ( điểm )
a/Chứng minh không tồn số nguyên a,b,c cho : 2 2007
b c
a
b/ Chứng minh không tồn số hữu tỉ x,y, z cho :
2
y z x y z
x
Baøi :( 2,5điểm)
Cho tam giác ABC vng A Vẽ đường cao AH Gọi (O) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH đường trịn (O) lấy điểm M khác A Trên tiếp tuyến M đường tròn (O) lấy hai điểm Dvà E cho BD = BE = BA Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N
a/ chứng minh tứ giác BDNE nôị tiếp
b/ chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE đường tròn (O) tiếp xúc với
Bài ( điểm)
Có n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Hai điểm nối với đoạn thẳng ,mỗi đoạn thẳng tô màu xanh đỏ vàng Biết có đoạn màu xanh ,một đoạn màu đỏ , đoạn màu vàng ;khơng có điểm mà đoạn thẳng xuất phát từ có đủ ba màu khơng có tam giác tạo bỡi đoạn thẳng nối có ba cạnh màu
a/ Chứng minh không tồn ba đoạn thẳng màu xuất phát từ điểm
b/ Hãy cho biết có nhiều có điểm thõa mãn đề
ĐỀ THI VAØO 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA- T P HỒ CHÍ MINH Năm học 2003-2004
Bài 1: 1/ Chứng minh : phương trình
0 )
( )
( 2 3 4
b x a b x a b
(6)2/ Giải hệ phương trình
35 )1 ( )1 (
5
3 y
x
xy y x
Bài : 1/ Với số nguyên dương n, đặt 22 1; 22 1;
n n n
n n
n b
a
Chứng minh với n , an.bnchia hết cho va øan .bn không chia hết cho
2/tìm tất ba số nguyên dương đôi khác tích chúng tổng chúng
Bài 3: Cho tam giác ABC vng A có đường cao A1H AB,A1K AC.Đặt
, 1
1B x AC y
A
1/ Gọi r r’ bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC AHK Hãy tính tỉ số rr' theo x, y tìm giá trị lớn tỉ số
2/Chứng minh Tứ giác BHKC nội tiếp đường trịn Tính bán kính đường trịn theo x,y
Bài 4:
1/Cho đường tròn (C) tâm O điểm A khác O nắm đường tròn đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O
2/ Cho đường tròn (C) tâm O đường thẳng (D) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (D) Đường trịn đường kính IO căÉt (C) M,N Chứng minh MN qua điểm cố định
Baøi 5:
1/ Cho bảng vuông 4x ô.Trên ô hình vuông ,ban đầu người ta ghi 9số 1và số cách tùy ý (mỗi ô số ) Với phép biến đổi bảng cho phép chọn hàng hay cột hàng hay cột chọn ,đổi đồng thời số thành số1, số thành số Chứng minh sau số phép biến đổi hữu hạn , ta thể đưa bảng ban đầu bảng toàn số
2/Ở vương quốc “sắc màu kỉ ảo “ Có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ , 15 hiệp sĩ tóc vàng và, 17 hiệp sĩ tóc xanh Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác mà gặp tóc họ đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ : hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng Thì hai đổi sang tóc xanh ).Hỏi xảy trường hợp sau số hữu hạn lần gặp vương quốc “sắc màu kì ảo “ Tất hiệp sĩ có mùa tóc khơng?
ĐỀ THI VÀO 10 CHUN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG Năm học 2003-2004
(7)} ;
0 , ,
{
ax by x y x y
T Chứng minh số : va ab
b a
ab
2
đều thuộc tập T Bài 2: Ch o tam giác ABC ,D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh AB, AC Chứng minh đường phân giác góc B , đường trung bình song song với AB tam giác ABC đường thẳng DE đồng qui Bài 3;
1/ Giải hệ phương trình
85 ) )(
(
45 ) )(
(
2
2
y x y x
y x y x
2/ Tìm số hữu tỉ a,b,c cho số : c a c b b
a1, 1, 1 số nguyên dương
Bài : Tìm đa thức f(x) g(x) với hệ số nguyên cho : ) (
) (
g f
Bài Tìm số nguyên tố p để
p vaø
p laø số nguyên tố
Bài : Cho phương trình :
ax b
x có hai nghiệm x1 x2 Đặt
2
2
x x
x x u
n n n
(n số tự nhiên ) Tìm giá trị a,b cho đẳng thức :
n n
n n
n u u u
u 1 2 3 (1) Với số tự nhiên n từ suy un un1 un2
(8)KHÓA THI: 2002-2003 Bài 1: Rút gọn biểu thức :
5 10
5
3 10
5
A .
Bài 2: Gọi avà b hai nghiệm phương trình bậc hai :
x
x Chứng minh
rằng biểu thức P a b a3 b3,Q a2 b2 a4 b4vaR a2001 b2001 a2003 b2003,
laø
những số nguyên chia hết cho
Bài 3: 1/ Cho hệ phương trình )1(
. 4
4
1 2
2 2
2
m y xy x
xy x a/ Giải hệ phương trình m=7
b/ Tìm m cho hệ phương trình (1) cónghiệm
Bài : Cho hai đường trịn (C1);(C2) tiếp xúc ngồi với T hai đường tròn
này nằm đường tròn (C3)và tiếp xúc vơí (C3)tương ứng Mvà N tiếp tuyến chung T (C1);(C2)cắt (C3)tại P PM cắt (C1)tại điểm thứ hai Avà MN cắt (C1)tại điểm thứ hai B PN cắt (C2) điểm thứ hai D MNø cắt (C2) điểm thứ hai C
Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
Chứng minh đường thẳng AB , CD PT đồng qui
Bài :Một ngũ giác có tính chất : tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích tính diện tích ngũ giác
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP -TỈNH BẮC NINH KHĨA THI: 2002-2003
BÀI 1:1/ Tìm số tự nhiên x,y thõa mãn : 3026
y
x
(9)Bài 2: 1/ Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt lớn m :
x m
x
2/ Tìm giá trị a để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
0 ) (
4xx a x
3/Tìm x thõa mãn : 7x2 8x 10 x2 8x 10 2x
Bài : Cho đường trịn tâm O bán kính R dây cung AB cố định trương cung 1200
.Lấy C thay đổi cung lớn AB (C không trùng A B ); M cung nhỏ AB ( M không trùng Avà B) Hạ ME , MF thứ tự vng góc với AC BC
1/ Cho M cố định chứng minh EF qua điểm cố định C thay đổi 2/ Cho M cố định chứng minh giá trị MEAC MFBC không thay đổi C
thay đổi
3/ Khi M thay đổi hạ MK vuông góc với AB Hãy xác định vị trí M cho MK
AB MF
BC ME AC
đạt giá trị nhỏ
Bài : Cho tam giác ABC Lấy điểm M Tam giác cho MA 2;MB=2
(cùng đơn vị đo độ dài vớicạnh tam giác ); góc MAC 15 độ ( tia CM nằm hai