Đang tải... (xem toàn văn)
Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.. 2..[r]
(1)LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 1 Khai phương tích : a 0 b0 : a b a b
Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với
2 Nhân bậc hai : a 0 b0 : a b a b
Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết
Ví dụ : Tính :
a) 49.100 b) 36.1,44.81 c) 20 d) 126 e) 1,47 0,75 f) 4,32 24 0,18 g) 16 7 2 h)
2 3 Bài giải
a) 49.100 49 100 7.10 70
b) 36.1,44.81 36 1,44 81 6.1,2.9 64,8
c) 5 20 5.20 5 22 5.2 10
d) 7 126 8 7.126.8 7.2.7.3 22 7 22 7.3.22 84
e) 1, 47 0,75 1, 47.0,75 3.0, 49.3.0, 25 3 0,72 2 0,52 3.0,7.0,5 1,05
f) 4,32 24 0,18 4,32.24.0,18 4,32
g) 16 7 2 2 74 2 2 72 28
h) 3 2 2 2 2 2 5 Ví dụ : Tính :
a) 3 2 3 2 3 b) 3
c) 132 122
d)
2
3 2
e) 289 64 f)1 2 1 2 3
Bài giải
a) 3 2 3 2 3 2 2 32 9.2 4.3 6
b) 3 5 5 5 15 .
c) 132 122 13 12 13 12 25 5
d) 3 2 2 32 3 2 2 32 3 2
(2)-e) 289 64 172 82 17 17 8 9.25 9 25 3.5 15
f)1 2 1 2 3 1 2 2 1 2 2 2 2
Ví dụ : a) So sánh 25 9 25
b) Chứng minh : a0,b0 : a b a b
Bài giải a) Ta có 25 9 2 342 34;
25 92 5 3 2 82 64 34 Suy 25 9 25 b) Ta có a0,b0 : a b 2 a b 2 a b a b;
a0,b0 : a b 2 a 22 a b b a b ab a b
Vậy : a0,b0 : a b a b
Ví dụ : Tính
a) A 4 8 2 2 2 2 2 2 b) B 10 24 40 60 Bài giải
a) A 4 8 2 2 2 2 2 2 4 2 23 2 2 2 2 2
A 4 2 22 2 22 2 2 2 2 2 22 2
b) B 10 24 40 60 10 3.23 2 53 2 3.52
B 2.3 2.5 3.5 2 3 52 2 3 Ví dụ : Rút gọn biểu thức
a) 22
4 ,
A x x x b) B 9a b2 2 4 ab a, 2,b
c) 18 20
12 18 80
C
d)
2
4
3
2
x D
x x
, tìm giá trị nhỏ D
Bài giải
a) 22 2 22 22 2
4 2.3 3
A x x x x x x ;
Khi x 2 A2 3 22 2 2 2 2 19 2
b)B 9a b2 4 ab 32a b2 4 ab 3a b2 4 ab
2
2, 3
(3)c)
2
2
2
3 18 20 2.3 3 2
2 12 18 80 2.3 2.3 2
C
d)
2 2
4 2
4 2 2
3 3
2
2 3
x x x
D
x x x
x x x x x
2
2
2
3
,
2
3
x
D x
x
x x
;
Mặt khác x2 2 2, x
2
1
, :
2
D x x
x
Biểu thức D đạt giá trị nhỏ *
, :
2
D x x x0 Ví dụ : Cho a0,b0,c0 :a b c ab bc ca
Bài giải 0, 0, :
a b c a b c ab bc ca 2a b c 2 ab bc ca a2 ab b b 2 bc c c 2 ca a 0
2 2 2
2 2
a ab b b bc c c ca a
2 2
0
a b b c c a
Ví dụ : Giải phương trình
a) 16x 8 b) 4x c) 9x 1 21 d) 1 x2 0
e) x 4 6 x x2 10x 27
f) x 2 4 xx2 6x11
Bài giải a) 16x 8 42x 8 x 8 x 2 x4
b) 4x 5 22x 5
2 x 5
2
x
4
x
c) 9x 1 213 x 21 x 7 x 49 x50
d) 1 x2 0 2 1 x2 0 1 x2 3 1 x 3;
1
x x
2
x x
Ghi nhớ :
2 2 2
0, :
2
a b a b
a b
e) x 4 6 x x2 10x 27
Điều kiện :
6
x x
4
x x
(4)-Mặt khác x2 10x27x2 2.5x25 2 x 52 2 2, x,(1)
2 2
2
4
4 6
1
2 2
x x
x x x x
2
x x
x 4 6 x 2, x: 4 x 6,(2)
Từ (1) (2) ta có :
2 10 27 2
4
x x
x x
2
5
4
x
x x
x5
f) x 2 4 x x2 6x 11
Điều kiện :
4
x x
2
x x
2 x
Mặt khác x2 6x11x2 2.3x9 2 x 32 2 2, x,(1)
2 2
2
2
2 4
1
2 2
x x
x x x x
2
x x
x 2 4 x 2, x: 2 x 4,(2)
Từ (1) (2) ta có :
2 6 11 2
2
x x
x x
2
3
2
x
x x
x3
LUYỆN TẬP
Bài tập : Tính a) 36.81 b) 64.2,89.0,0625 c) 48 d) 60 27 e) 0,025 144 f) 2, 45 40 1,62 g) 81 2 2 h)
2 7 Bài tập : Tính a) 2 3 3 5 b) 152 122
c) 2 2 2 2 d)
2 3 3
e) 12 27 3 f) 5 2 3 5 3 2
Bài tập : Khơng dùng máy tính, so sánh a) 10 2 b) 2 2
Bài tập : Tính : a) A2 40 12 2 75 48
b) B 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
c) C 4 5 48 10 3 d) D 6 2 3 2 12 18 128 Bài tập : Rút gọn biểu thức
a) A 9 8 x 16x22,x 5
(5)c) 24 12 20 18 27 45
C
d)
2
4
2
3
x D
x x
, tìm giá trị nhỏ D
Bài tập : Giải phương trình
a) 9x 6 b) x 5 c) x 0 d) 64x 1 40
e) 3 x2 15 0 f) x 1 3 x x2 4x6
g) 3 x 3 4 x x2 2x 6
h) x 1 2 x x2 4x7
LIÊN HỆ GIỮA CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 1 Khai phương thương : a b : a a
b b
Muốn khai phương thương a
b , a số khơng âm cịn b số dương, ta
khai phương số a số b lấy kết thứ chia cho kết thứ hai 2 Khai phương tích : a a : a a
b b
Muốn chia bậc hai số a không âm cho bậc hai số b dương, ta chia số
a cho số b khai phương kết đó.
Ví dụ : Tính : a) 25
121 b)
16 c) 999
111 d) 18 e) 14922 7622
457 384
f)
49
:
8 g) 2,5 14,4 h)
9
1 0,01 16 i) 5 3 : 15 k)a b : b ,b 0;a2 b 0
b a b
Bài giải a) 25 25
121 121 11 b)
9 25 25
1
16 16 16 4 c) 999 999
111
111 d)
2 1
18
18
e)
2
2
149 76 149 76
149 76 73.255 255 255 255
457 384 457 384 457 384 73.841 841 841 29
f) 49: 31 49 : 25 49 8 8 25 5
g) 2,5 14, 25 144 25 144 5.12 10 10 10 10 10
(6)
-h) 0, 014 16 45 25.49 49 49
16 16 100 16.9.100 16.9.4 16 24
i)
2
5
5 3 5 1
5 3 : 15 5
15 15
15
k)
2
2 2
2
2
0; : :
a b a b a b
a b b a b
b a b
b
b a b b b b
Ví dụ : Tính :
a) 27 12 : 3 b) 12 18
2
c) 2 : 72
1 2
d) 1 2
3 2
Bài giải
a) 27 12 : 3 3 3 2 2
3 3
b)
2
2 12 18
12 18 12 18 6
2 2 2
.
c)
2
2
1 2 2 2
1 2
: 72 : 72 : 72
1 2 2 1 2
2 : 72 2.2: 72 4 4
1 72
1 2 72 36
d)
3 2
1 2 2 2
3
3 2 3 2 2
Ví dụ : Phân tích thành thừa số
a) 22 33 b) 10 10 c) a 5a
d) a b a2 b2
e) a 1 a f) x y y x
g) a b a b h) , , ,a b x y 0 : ax by bx ay
Bài giải
a) 22 33 2.11 3.11 11 11 2 3 11 b) 10 10 5 10 2 5 2 2.52 5 5 2. c) a 5a a 2 a a a 5
(7)e) a 1 2 a a 2 a 12 a 1
f) x y y x x y y x x y x y
g) a b a b a 2 b 2 a b a b a b a b ;
a b a b a b1 a b
h) , , ,a b x y0 : ax by bx ay
ax by bx ay a x b y b x a y ;
ax by bx ay a x y b x y a b x y
Ví dụ : a) So sánh 25 16 25 16
b) Chứng minh : a b 0 : a b a b
Bài giải a) Ta có 25 16 2 9;
25 16 2 252 25 16 16225 2.5.4 16 9
a) Ta có a b 0 : a b 2 a b 2 a b a b0;
a b 2 a 2 a b b a ab b a b ab 0 đpcm Ví dụ : Rút gọn biểu thức
a) 2
A b)
B
c)
a a C
a
d) 5
D
e)
5
3
E
f)
2
27 48
a
F
g) G 12a2 4a2 b
h)
2
ab
H a b
a b
Bài giải
a)
2
2 2
2
2
2 2
A
b)
2
2 3
2 2 2 3 2
B
c)
2
1
1 1
a a a a
a a
C a
a a a
(8)
-d)
2
2
5 5
6
1
5 5
D
e)
2 2
3 2 3
5
1
3 3
E
f)
2
3
27
48 16
a
a a
F
g)
2
2
2 2
3
3 2.3.2
9 12a 4a a a a a
G
b b b b
h)
2
;
;
ab a b
ab ab
H a b a b
a b
a b ab a b
Ví dụ : Giải phương trình
a) 2x 50 0 b) 3x 3 12 27
c) 7 x 8 x x 11 d) 17 1 23 1 11 x 15 x e)
1
x x
f)
4 3 x x Bài giải
a) 2x 50 0 2x 25 0 x 0 x5 b)
3x 3 12 27 3x 1 2 3 3 x 5 x6
c) 7 x 8 x x 1156 7 x x x x 1156 15 x 11 15 x 56 11 15 x 45 x 3 x9
d) 17 1 23 1
11 x 15 x Điều kiện x 0 hay x1
17 23
11 11 x 15 15 x
4 23 17
1
15 x 11 x 15 11
23.11 17.15
15 11 x 15.11
44 45 253 254
15.11 x 15.11
x 1 2 x5
e)
x x
, điều kiện để
2
x x
có nghĩa
2 x x
2 x x
2 x x
1 x x x x
(9) x x x x
x1
(e) 22
1 x x x x
2 4 x x x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm
x
f) 3
x x
, điều kiện để
4
x x
có nghĩa :
4 x x
1 x x x x
x
4 3 x x 2 3 x x
4
1 x x
4 9 x x x x x
5
x : phương trình vơ nghiệm
Ví dụ : So sánh 12 11 11 10
Bài giải
Ta có
2
12 11 12 11 12 11 1
12 11
12 11 12 11 12 11
;
và
2
11 10 11 10 11 10 1 1
11 10
11 10 11 10 11 10 12 11
Vậy 12 11 11 10
Ví dụ : Chứng minh : 0, :
2
a b a b
a b
Bài giải Theo bất đẳng thức Cô-si 0, :
2
a b
a b aba b 2 ab
Cộng a b vào hai vế bất đẳng thức, ta có 2a b a b ab
2a b a 22 a b b 22a b a b2
2
2
a b
a b
Ví dụ : Chứng minh
2
2
a a b a a b
a b
2
2
a a b a a b
(10)
- 2
2
a a b a a b
a b
Đặt X a b a b
X2 a b a b2 a b a b 2a2 a2 b 2a a2 b
2 2
2
a a b
X a a b
2
2
a a b
a b a b ,(1)
Đặt Y a b a b
Y2 a b a b a b a b 2a a2 b 2a a2 b
2
2
a a b
Y a a b
2
2
a a b
a b a b ,(2)
Cộng vế tương ứng (1) (2), ta đpcm Ví dụ 10 : Cho
2
2
2
1
3 12
x x
y x x
x
a) Rút gọn y;
b) Tìm giá trị nguyên x để y có giá trị nguyên Bài giải
a)
2
2 2 2
2 2 2
2
1 4
3 12 12
x x x x x
y x x x x x
x x
;
2
2 2 2
2
2
2
2 1 1
6 3
x x x x
y x x x x
x x x
2 1 2 3 1
3 x x x
x y x
x x
;
2
1
3 x y x x x
x x
;
2 1 2 3 1
0 x x x
x y x
x x
b) Nếu x Z x 3 Z , để y Z x2 1 x 1 x x1;x1.
LUYỆN TẬP Bài tập : Tính :
a)
81 b) 1
49 c) 444
(11)e) 1652 1242 164
f) 4 3 : 12 g) 3,6 16,9 h) 3:
3
Bài tập : Tính :
a) 7 48 27 12 : 3 b) 14 15 :
1
c) 15 8 15 16,
5
a a a d) 15
7 10
Bài tập : Phân tích thành thừa số
a) 77 55 b) 5 c) 2m 3m
d) m2 4m 4 m2 4
e) m 3 3m f) a b b a
g) 1 3 5 15 h) 10 14 15 21
i) 35 14 15 j) 3 18 3
Bài tập : Dùng phép biến đổi thức so sánh 169 144 169 144
Bài tập : Rút gọn biểu thức a) 3
1
b)
a a
a
c) 3
d) 5
D
e)
5
3
E
f)
2
48 75
m
F
g)
2 9x 6x
G
a
h) 2
9
H m n
m mn n
Bài tập : Giải phương trình
a) 5x 45 0 b) 2x 8 18 50 98
c) 5 x1 3 x1 x 12 e)
x x
f)
5
x x
Bài tập : Áp dụng công thức
2
2
a a b a a b
a b
2
2
a a b a a b
a b
Tính : a) 3 3 b) 2 3 2 3
Bài tập : Cho
2
2
3 12
2
x x
y x x
x
a) Rút gọn y;