Chuyen de tu giac 2

Dùa vµo ®Þnh nghÜa h×nh thang vµ c¸c tÝnh chÊt cña h×nh thang ®Ó tÝnh to¸n theo yªu cÇu bµi to¸n 2.. Chøng minh r»ng:.[r]

Chuyên đề tứ giác

Chuyên đề tứ giác

Chuyên đề tứ giác

Chuyên đề tứ giác

Nhãm thùc hiÖn:

Nhãm thùc hiÖn:

Phạm Thị Duyên

Nguyễn Minh Chuyên Hoàng Thị Duyên

Phùng Thị H ờng D ơng Thị L ¬i

HÖ thèng lý thuyÕt

Tứ giác

2 Hình thang, hình thang cân, hình thang vuông Hình bình hành

4 Hình chữ nhËt H×nh thoi

1 Tø giác

1.1 Định nghĩa

T giỏc ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA hai đoạn thẳng không nằm đ ờng thẳng

B

C D

1.2 Tỉng c¸c góc tứ giác

ã Định lí: Tỉng c¸c gãc cđa mét tø gi¸c b»ng

 

 

 ˆ ˆ ˆ 360

ˆ B C D

A

D

C B

A ã Vẽ tứ giác ABCD

ã Dựa vào tổng ba góc tam giác ta tính đ ợc

2.1 Hình thang a) Định nghĩa:

Hỡnh thang hình có hai cạnh đối song song

A B

C D

H

Tứ giác ABCD có : AB // CD nên hình thang

b) Nhận xét:

- Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy

2.2 H×nh thang vuông

ã Định nghĩa: Hình thang vuông hình

thang cã mét gãc vu«ng.

 90

A

Trên hình ta thấy hình thang ABCD cã AB // CD, vµ

D C

B A

2.3 H×nh thang c©n

a) Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy nhau.

A B

C D



  



D A B

C

CD AB

ˆ ˆ

, ˆ ˆ

//

hoac

(đáy AB, CD)

b) Dấu hiêụ nhận biết

Định lí 3: Trong hình thang có hai đ ờng chéo bằng nhau là hình thang cân

T ú ta có dấu hiệu nhận biết hình thang cân nh sau:

Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy

3 Hình bình hành

3.1 nh ngha: Hỡnh bỡnh hnh tứ giác có các cạnh đối song song.

A B

C D

   

BC AD

CD AB

// //

- Các góc đối - Các cạnh i bng

- Hai đ ờng chéo cắt trung điểm đ ờng

Tứ giác ABCD hình bình hành

3.2 Tính chất

3.3 DÊu hiÖu nhËn biÕt

1 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành

2 Tứ giác có cạnh đối hình bình hành

3 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành

4 Tứ giác có hai góc đối song song hình bình hành

4 Hình chữ nhật

4.1 Định nghĩa:

Hình chữ nhật tứ giác có bốn

gãc vu«ng A B

C D

  



ˆ ˆ ˆ 90

ˆ B C D

A

Nh×n h×nh ta cã:

4.2 Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đ ờng chéo cắt cắt trung điểm đ ờng

4.3 Dấu hiƯu nhËn biÕt:

1 Tø gi¸c cã ba góc vuông hình chữ nhật Hình thang cân có góc vuông

hình chữ nhật

3 Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật

5 Hình thoi

5.1 Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh

ABCD hình thoi

Hình thoi có tính chất hình bình hành.

Định lí: Trong hình thoi có:

ã Hai đ ờng chéo vuông góc với

ã Hai đ ờng chéo đ ờng phân giác góc hình bình hành

5.3 DÊu hiƯu nhËn biÕt

1 Tø gi¸c cã bốn cạnh hình thoi

2 Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đ ờng chéo vuông góc

4 Hình bình hành có đ ờng chéo đ ờng phân giác góc hình thoi

6 Hình vuông

6.1 Định nghĩa: Hình vuông tứ giác có bốn góc vuông bốn cạnh

           DA CD BC AB 90 ˆ ˆ ˆ

ˆ B C D

A

Cho tø gi¸c ABCD ABCD hình vuông

D C

6.2 Tính chất: Hình vuông có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi

6.3 Dấu hiệu nhận biết:

1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vuông

2 Hình chữ nhật có hai đ ờng chéo vuông góc với hình vuông

3 Hình chữ nhật có đ ờng chéo đ ờng phân giác góc hình vuông

4 Hình thoi có góc vuông hình vuông

Hệ thống tập

1 Toán chứng minh tính toán

a) Chứng minh tứ giác hình thang:

chứng minh tứ giác hình thang ta chứng minh có hai cạnh đối song song

b) Chứng minh hình thang hình thang vuông

Để chứng minh hình thang hình thang vuông ta chøng minh nã cã mét gãc b»ng 900.

c) Chứng minh hình thang hình thang cân

Để chứng minh hình thang hình thang cân ta sử dụng hai cách sau:

(1) Chứng minh có hai góc kề đáy (2) chứng minh có hai đ ng chộo bng

Dạng Toán chứng minh tính toán

I tính toán, Chứng minh hình thang

1.Ph ơng pháp:

1.2 Tính toán với hình thang

Da vo nh ngha hình thang tính chất hình thang để tính tốn theo u cầu tốn 2 Các ví dụ:

D C

A

B

Tø giác ABCD có BC = CD BD tia phân giác góc D Chứng minh ABCD hình thang

Tóm tắt

Tứ giác ABCD, BC = CD BD tia phân giác góc D ABCD hình thang

BCD có BC = CD BCD tam giác cân Giải

D B C 

 = CDB (1)

Theo giả thiết BD phân giác góc

góc CDB = gãc CBD (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: gãc CBD = gãc BDA

 BC // AD tứ giác ABCD hình thang (ĐPCM)

GT KL

D C

A

VD2 (Bài 15 trang 75 SGK_ toán tËp 1)

E D

C B

A

Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự điểm D vµ E cho AD = AE

a) Chứng minh BDEC hình thang cân

b) Tính góc hình thang cân đó, biết Túm tt:

GT

KL a BDEC hình thang c©n

b Tính góc hình thang cân

;

D AB E AC 

ABC, AB = AC;



; 50

AE AD A 

 

A 50

Gi¶i

a) Theo gi¶ thiÕt ta cã: AE = AD   ADE c©n A góc AED = góc ADE Mà  ADE cã

E D

A     = 1800 Suy ra: (1)

Theo giả thiết: ABC cân A

mà ABC cã    180  180 

EAD

A B C ACB

          ACB ABC   (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: AED ACB  DE BC//

(Có cặp góc đồng vị nhau) Suy ra: tứ giác BDEC hình thang

C B D B

C

E 

Mặt khác: hình thang BDEC có

(vì ABC cân A )

b) Trong ABC cã: A B C    180

A 50  ACB ABC 65 ECB DBC 65

mà hay

Vì CE // BD nªn  

 

180 180

CED ECB EDB ECB

  

  

mµ ECB DBC  65

  115

CED EDB

 

3 Các tập:

-Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 16

(trang 75), 17 (Trang 75), bµi 18 ( Trang 75), bµi 19 (trang 75)

-Bài tập SBT_Toán 8_Tập 1: 11

- Để tính tốn hình bình hành ta phải nắm vững định nghĩa hình bình hành, tính chất hình bình hành tính chất tứ giác

- §Ĩ chøng minh mét tứ giác hình bình hành ta sử dơng mét c¸c c¸ch sau:

(1) Chứng minh có cạnh đối song song (2) Chứng minh có cạnh đối

(3) Chứng minh có hai cạnh đối song song (4) Chứng minh có góc đối

(5) Chøng minh nã cã hai ® êng chéo cắt trung điểm đ ờng

II Tính tốn, chứng minh hình bình hành dạng đặc biệt

1.2 VÝ Dơ:

VÝ Dơ ( bµi 48 trang93_SGK_To¸n 8_TËp1):

Tø gi¸c ABCD cã E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?

Tóm tắt:

D C

A

B

G H

E

F

GT KL

Tø gi¸c ABCD, E AB, AE = EB

; ; ;

F BC BF FC G DC GC GD   

;

H AD DH AH

Tứ giác EFGH h×nh g×? V× sao?

Suy ra: HE đ ờng trung bình ABD

HE = BD/2 vµ HE//BD (1)

Trong BCD cã: BF = FC; CG = GD

Suy ra: FG đ ờng trung bình BCD

FG = BD/2 vµ FG //BD (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: HE = FG vµ HE//FG

 Tứ giác EFGH hình bình hành ( Theo cách (3))

D C

A

B

G H

E

F

Gi¶i:

VÝ Dơ ( Bµi 79 trang 68 _ SBT_Toán 8_ Tập 1)

Tính góc hình bình hành ABCD(hình vẽ), biết:

) 110 ;

) 20

a A

b A B

 

  

D C

B 110

D C

B 110

A

Gi¶i

a) Vì ABCD hình bình hành nên ta cã:

Suy ra: C 110

  180 110 70

B D     

Vậy hình bình hành ABCD có:    110 70 A C B D           A C B D

b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có: A B 180

mà theo giải thiết có A B 20

Suy

 100 ;  80

1.3 Các tập:

-Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 45 (trang 92), 47 (trang 93)

- Bài tập SBT_Toán 8_Tập 1: bµi 75 (trang 68), bµi 76 ( trang 68), bµi 83 (trang 69), bµi 84 (trang 69)

VËy hình bình hành ABCD có:

100 80

A C B D

Ví Dụ ( Bài 115 trang 72_SBT_Toán 8_TËp 1)

Cho tam giác ABC cân A, đ ờng trung tuyến BM, CN cắt G Gọi D điểm đối xứng với G qua M, gọi E điểm đối xứng với G qua N Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao?

2 Tính toán, chứng minh tứ giác hình chữ nhật 2.1 Ph ơng pháp:

- tớnh tốn hình chữ nhật ta phải nắm vững định nghĩa

hình chữ nhật, tính chất hình chữ nhật, định lý liên quan đến tính tốn…

- Để chứng minh tứ giác hình chữ nhật ta sử dụng cách sau:

Chứng minh có ba góc vuông

Chứng minh hình thang cân có góc vuông Chứng minh hình bình hành có góc vuông

Chứng minh hình bình hành có hai đ ờng chéo

*) Tãm t¾t:

GT ABC cân ABM, CN đ ờng trung tuyến BM giao CN t¹i G

D đối xứng với G qua M, E đối xứng với G qua N KL Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao?

Gi¶i:

D đối xứng với G qua M nên GD = 2GM G trọng tâm ABC  BG = GM Suy BG = GD

Chøng minh t ¬ng tù ta cã: CG = GE

Tø gi¸c BEDC có hai đ ờng chéo cắt trung điểm đ ờng nên hình bình hành (1)

Mặt khác : trung tuyến CN BM hai trung tuyến xuất phát từ hai đáy tam giác cân nên CN = NM  CG = GB  EC = BD (2)

Tõ (1) (2) Suy ra:

Tứ giác BEDC hình vuông ( Theo cách (4)) ĐPCM

M N

G E

B C

AD =? , AB = ?( làm tròn đến hàng đơn vị)

O

A B

D C

H

VÝ Dơ ( Bµi 116 trang 72_SBT_To¸n 8_TËp 1)

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đ ờng vng góc kẻ từ A đến BD Biết HD = cm, HB = cm Tính độ dài AD, AB ( làm trịn đến hàng đơn vị)

Tãm t¾t: GT

KL

ABCD hình chữ nhật

; ;

AH  BD HD  cm HB cm

Giải

Kẻ đ ờng chéo AC cắt BD O

Vì ABCD hình chữ nhật nên:

OA = OB = OC = OD = AC/2 = (cm) Ta cã OH = OD – HD = – = (cm) Vì AH BD OH = DH = cm

Tam giác AOD cân A  OA = AD = 4(cm)

áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABD ta có:BD2 = AB2 + AD2

 AB2 = BD2 – AD2 = 82 – 42 = 48  AB  48

7

AB  cm

VËy AD = cm,

O

A B

D C

- Để tính tốn yếu tố hình thoi ta phải nắm vững định nghĩa hình thoi, tính chất hình, …

- Để chứng minh tứ giác hình thoi ta cã thĨ sư dơng mét c¸c c¸ch sau:

(1) Chøng minh nã cã c¹nh b»ng

(2) Chøng minh nã hình bình hành có hai cạnh kề (3) Chứng minh hình bình hành có hai đ ờng chéo vuông

góc víi

(4) Chøng minh nã lµ hình bình hành có đ ờng chéo đ ờng phân giác góc

2.3 Các

tập- Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: bµi 61 (trang 99), bµi 64 :

(trang 100), bµi 65 (trang 100), bµi 76 (trang 106) - Bµi tập SBT_Toán 8_Tập 1: 114 (trang 72)

A B C D E H G F

3.2 VÝ Dô:

VÝ Dô ( 75 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)

Chng minh rng cỏc trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật đỉnh hình thoi

; ;

; ;

;

E AB AE EB

F BC BF FC

G DC GC GD

H AD AH HD

 

 

EFGH hình thoi

ABCD hình chữ nhật GT

KL

Theo gi¶ thiÕt cã: AE = EB; DH = HA

Suy ra: EH đ ờng trung bình tam giác ABD Suy ra: EH = BD/2 vàEH//BD (1)

Chøng minh t ¬ng tù cã: FG = BD/2 vµ FG//BD (2) Tõ (1), (2) Suy ra: EH = FG vµ EH // FG (*)

Theo gi¶ thiÕt cã: AE = EB BF = FC

Suy ra: EF đ ờng trung bình tam giác ABC

Suy ra: EF = AC/2 vµ EF //AC (3)

Chøng minh t ¬ng tù cã: HG = AC/2 vµ HG // AC (4) Tõ (3) vµ (4) Suy ra: EF = HG vµ EF//HG (**)

Tõ (*) vµ (**) suy tứ giác EFGH hình bình

hành ( theo cách (1) (2) (3) chứng minh hình bình hành)

A B

C D

E H

G

VÝ Dụ ( 74 trang106_SGK_Toán 8_Tập1)

Hai đ ờng chéo hình thoi cm 10cm Cạnh hình thoi giá trị giá trị sau: Vì ABCD hình chữ nhật nªn cã: AC = BD (5)

Tõ (1), (3), (5) suy ra: EH = EF mµ EH EF hai cạnh kề hình bình hành EFGH nên theo cách chứng minh (2) suy : EFGH hình thoi

( )6A cm B;( ) 41 ;( ) 164cm C cm D cm;( )9 ?

Gi¶i

O

10 A

C

áp dụng định lí Pitago tam giác vng AOD có: AD2 = AO2 + OD2 = 52 +42 = 41

Vậy đáp án (B) đáp án

41

AD cm

Vì đ ờng chéo hình thoi cắt trung điểm đ êng nªn OA = AC / = 10 / = 5cm

OD = BD /2 = 8/ = 4cm

3.3 Các tập

- Bài tập SGK_Toán 8_Tập 1: 77 (trang 106)

-§Ĩ chøng minh mét tø giác hình vuông ta sử dụng c¸c c¸ch sau:

(1) Chøng minh nã hình chữ nhật có hai cạnh kề

(2) Chứng minh hình chữ nhật có hai đ ờng chéo vuông góc với

(3) Chứng minh hình chữ nhật có đ ờng chéo đ ờng phân giác góc

(4) Chứng minh hình thoi có góc vuông (5) Chứng minh hình thoi có hai ® êng chÐo b»ng

Tãm t¾t

4.2 VÝ Dơ:

VÝ Dơ ( 144 trang 75_SBT_Toán 8_Tập1)

Cho tam giỏc vuụng ABC vuông A, đ ờng phân giác AD Gọi M, N theo thứ tự chân đ ờng vng góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh rng t

giác AMDN hình vuông B

A C D

N M

GT KL

ABC

AD phân giác 90

BAC  

;

DN  AC DM  AB

Suy ra: AMDN lµ hình chữ nhật ( theo cách (1) chứng minh hình ch÷ nhËt)

Hình chữ nhật AMDN có đ ờng chéo AD đồng thời đ ờng phân giác Suy AMDN hình vng ( theo

c¸ch (3)) §PCM    90 90 90 BAC DMA DNA       Tø gi¸c AMDN cã:

Ví Dụ ( 79 trang 108_SGK_Toán 8_Tập1

Một hình vng có cạnh 3cm Đ ờng chéo hình vng bằng: 6cm; 18cm cm cm;5 ;

-Bài tập SGK_Toán 8_TËp 1: bµi 82

(trang 108) , bµi 84 ( trang 109), bµi 85 (trang 109), bµi 86 (trang 109)

-Bài tập SBT_Toán 8_Tập 1: 145 (trang 75), bµi 146 (trang 75), 147 (trang 75), bµi 148

( trang 75), bµi 150 (trang 75), bµi 152 (trang 76) 18cm

áp đụng định lí Pitago cho tam giác vng ta có: đ

ờng chéo bình ph ơng tổng bình ph ơng hai cạnh góc vuông, áp dụng vào có 32 + 32 = 18,

4.3 Các tập

III NHữNG BàI TOáN TíNH TOáN, CHứNG MINH HỗN HợP CáC DạNG ĐặC BIệT CủA

Tứ GIáC

Dạng toán tính toán: Cách làm:

+ áp dụng định lí tổng ba góc tam giác

b»ng , tỉng c¸c gãc mét tø gi¸c b»ng

+ Dựa vào định lí pitago tam giác vng để tính cạnh, góc

GT KL

Cho ABCD, AB = 8cm BC = 7cm, AD = 4cm

CD = ?

A

D

C

B O

Giải:

Gọi O giao điểm cđa AC vµ BD

Ta cã: OC2  OD2  OB2  OA2 BC2  AD2

65

72  



VËy OB2 OA2 AB2 82 64

Suy OC2 OD2 1 hay CD2 1

Bài2: Cho ABC cân A, đ ờng trung tuyến AM Gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng vi M qua I

a Tứ giác AMCK hình gì? Vì sao?

b Tứ giác ABMK h×nh g×? V× sao? I

M

B C

K A

Tãm t¾t

GT

ABC cân A

Trung tuyn AM, IA=IC K i xứng với M qua I

Tõ (1) (2) suy ra: Tứ giác AMCK hình chữ nhật b) Theo câu a) ta có AK // MC suy AK // BM

AK = MC suy AK = BM (M lµ trung tuyÕn BC) Suy ra: Tứ giác ABMK hình bình hành

Tứ giác AMCK hình bình hành (dấu hiệu 5) (1) Mặt khác AM trung tuyến ABC cân A nên AM đ ờng cao hay AM  BC (2).

Bài 3: Cho hình vng ABCD Vẽ tia Cx tia phân giác đỉnh C Lấy M Cx Vẽ ME vng góc DC, MF vng góc BC a)Theo giả thiết ta có: IA = IC;

KI = IM

Gi¶i I

M

B C



a Tứ giác CEMF hình vuông b Tứ giác AHMG hình thoi

GT

ABCD hình vuông

Cx tia phân giác C

; ; ;

M Cx ME  DC MF  BC M  DC

H thuộc tia đối BC, DG = BH = ME KL a) CEMF l hỡnh vuụng

b) AHMG hình thoi

Gi¶i

a) Theo gi¶ thiÕt ta cã:

Suy tứ giác CEMF hình chữ nhật (dấu hiệu 1) (1) Mặt khác CM phân giác góc FCB

Vậy CEMF hình vuông (ĐPCM)

b) Theo giả thiết chứng minh ta có: DG=CE=BH=MF=ME

AB=AD=GE=FH

Xét tam giác vuông ABH, ADG, GEM, HFM có: AB = AD = GE = HF

BH = DG = EM = FM

  

90 ( )

90 ( )

90

E ME DC

F MF BC

FCE

  

  

-Bµi tập 1: SGK_Toán 8_Tập 1: 88 (trang 111) , bµi 89 ( trang 111)

-Bµi tËp 2: SBT_Toán 8_Tập 1: 159

(trang 77), 160 (trang 77), 161 (trang 77), bµi 162 ( trang 77), 163 (trang 77)

Các tập áp dơng:

Bài Cho tứ giác ABCD có hai đ ờng chéo vng góc, AB = 8cm, BC = 7cm, AD = 4cm Tính độ dài CD

Suy tam giác vuông

ABH = ADG = GEM = HFM (c.g.c) Suy ra: AH = AG = GM = HM

Bµi [SGK T67] Ta gọi tứ giác ABCD hình cã AB = AD, CB = CD

a) Chứng minh AC đ ờng trung trực BD

b) TÝnh gãc B vµ D biÕt r»ng,

B

C

D

A O

(H×nh vÏ 1)

 45 ;  60

A   C  

Dạng Các toán cực trị hình học

Các tốn cực trị hình học có dạng chung nh sau: Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình cho đại l ợng (nh độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, …) có giá trị lớn giá trị nhỏ

- Cách 1: Trong hình có tính chất đề bài, hình, chứng minh hình khác có giá trị (của đại l ợng phải tìm cực trị) lớn (hoặc nhỏ hơn) giá trị đại l ợng hình

Cách 2: Thay điều kiện đại l ợng đạt cực trị (lớn nhỏ nhất) điều kiện t ơng đ ơng, cuí dẫn tới điều kiện mà ta xác định đ ợc vị trí điểm để đạt cực trị

Các bất đẳng thức th ờng dùng để giải toán cực trị

1.Quan hệ đ ờng vuông góc đ ờng xiên

Quan hệ th ờng đ ợc sử dụng d ới dạng:

-Trong tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh vuông AH

VÝ Dơ 1:

Cho hình vng ABCD Hãy nội tiếp hình vng hình vng có diện tích nhỏ

H

D G C

F

E B

A

Gi¶i

Gọi EFGH hình vuông nội tiếp hình vuông ABCD Tâm hai hình vuông phải trùng điểm O

Ta có EFGH 2 2.2 2

EG FH OE OE

S    OE

OE OK (h»ng sè);

OE = OK 

E trïng K

Vậy diện tích EFGH nhỏ đỉnh E, F, G, H trung điểm cạnh hình vng ABCD

VÝ Dơ 2:

Trong hình bình hành có diện tích ® êng chÐo

khơng đổi, hình có chu vi nhỏ nhất?

d

B

D

C A

B'

Xét hình bình hành ABCD có BD cố định Diện tích hình bình hành khơng đổi nên diện tích tam

giác ABD khơng đổi, A chuyển động đ ờng thẳng d// BD

Cần xác định vị trí A d để BA + AD nhỏ

nhất Ta đổi phía BA d cách lấy B’ đối xứng với B qua d Khi B’ cố định,

BA + AD = B’A + AD



B’D (h»ng sè)



BA + AD nhá nhÊt B’A + AD nhá A giao điểm d đoạn BD

Khi AB = AD

2 Các bất đẳng thức đại số

Các bất đẳng thức th ờng đ ợc sử dụng là: - Bất đẳng thức lũy thừa bậc chẵn:

2

0

x



2

0

x





- Bất đẳng thức Cô-si:

(

x



y

)

2



4

xy

hay

x



y



2

xy

với x, y không âm,

ng thc xy x = y

(*)

- NÕu x + y lµ số - Nếu xy số

;

max

xy  x y

min

(x y )  x y

Để sử dụng bất đẳng thức đại số, ta th ờng đặt độ dài thay đổi x, biểu thị đại l ợng cần tìm cực trị biểu thức x, tìm điều kiện để biểu thức có cực trị

VÝ Dơ 3:

C¸c đ ờng chéo tứ giác ABCD cắt O TÝnh diƯn tÝch nhá nhÊt cđa tø gi¸c, biÕt SAOB = 4cm2, S

4 O A D C B

Tø gi¸c ABCD, AC BD O 

GT SAOB = 4cm

2, S

COD = 9cm

Min SABCD = ? KL

Gi¶i

Ký hiƯu nh h×nh vÏ Ta cã:

4

1

2

S OA S

S S S S

S OC S   (1)

Theo bất đẳng thức Cô-si: S3  S4 2 S S3 4 2 4.9 12

1 4 12 25

S S  S  S  S    

Ta cã:

2

3

max S 25(cm )  S S  SADC SBCD  AB CD//

* Chó ý: Tổng quát, thay a b, ta cã





Ví Dụ 4:

Giải ví dụ

c¸ch kh¸c a-x

x

H

D G C

F

E B

A

Giải

Xét hình vuông EFGH nội tiếp hình vu«ng ABCD, ta cã AE = BF = CG = DH Gäi AB = a, AE = x th×

EB = FC = DG = HA = a – x

2

min

2

2

a

a

S





x



E trung điểm AB

L u ý: Ta khí hiệu minS giá trị nhỏ S, maxS giá trị lớn S

2

2

2 2 2

(

)

4

2

2

2

2

;

2

2

2

x a

x

S

a

a

ax

x

a

a

a

C¸ch SEFGH nhá nhÊt



4

S

AEH lín nhÊt

( )

4

2

x a x

 lín nhÊt.  x a x(  ) lín nhÊt

Chú ý x a – x hai số d ơng có tổng khơng đổi (bằng a) nên tích chúng lớn vvà hai số

2

a

x a x

 



x



Khi

E lµ trung ®iĨm cđa AB

C¸c chó ý giải toán cực trị

1 Khi gii toán cực trị, nhiều ta cần biến đổi t ơng đ ơng điều kiện cực trị đại l ợng thành điều kiện cực trị đại l ợng khác

3 Khi giải tốn cực trị, có ta phải tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) tr ờng hợp, so sánh giá trị với để tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) c bi toỏn

Bài tập áp dụng

Bài 1. TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt cđa tø gi¸c ABCD, biÕt AB = AD = a, BC = CD = b

Bài 3. Trong hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = AH = CF = CG Xác định vị trí điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất, nếu:

AB = 40cm, BC = 20cm;

AB = a, BC = b (b < a < 3a)

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bố cạnh hình chữ nhật

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S Tìm diện tích nhỏ nhÊt cđa tø gi¸c EFGH cã

đỉnh lần l ợt thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình chữ nhật AE CG AB AH CF  ;  AD

Bài 6. Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm diện tích lớn hình thang có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vuông hai đáy song song với đ ờng chộo ca hỡnh vuụng

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có kích th ớc a b Tìm diện tích lớn hình chữ nhật

Bài Cho hình thang ABCD Tiềm điểm M thuộc miền nằm cạnh hình thang cho tổng khoảng cách từ M đến cạnh hình thang có giá trị nhỏ nht

Bài 9. Cho hình vuông ABCD điểm K nằm không trùng với tâm hình vuông Qua K dựng đ ờng thẳng cho cắt hình vuông thành hai phần có hiệu diện tÝch lµ lín nhÊt

a) Chøng minh r»ng CM.DN = a2 ;

b) Gäi K giao điểm NA MB Chứng minh MNK 90o

c) Các điểm E F có vị trí nh MN có độ dài nhỏ nhất?

Bài 11. Cho hình thang ABCD Dụng điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh đáy BC, AD cho phần chung hai tam giác AMD, BNC có diện tích lớn

Bài 12. Cho hình thang ABCD điểm N thuộc cạnh đáy AD Chứng minh điểm M thuộc cạnh đáy BC cho MB NA

MC  ND

hai  AMD, BNC cã diƯn tÝch lín

Bài 13. a) Trong hình chữ nhật chu vi, hình có diện tích lớn nhất?

b) Trong hình chữ nhật diện tích, hình có chu vi nhỏ nhất?

Bài 14. a) Trong hình thoi chu vi, hình có diện tích lớn nhất?

b) Trong hình thoi diện tích, hình có chu vi nhá nhÊt?

Bµi 15. Chøng minh r»ng:

Trong tứ giác chu vi, hình vuông cã diƯn tÝch lín nhÊt?