ĐÁP ÁN MƠN TỐN KHỐI A – THI THỬ ĐỢT – 2014 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x3 - 3x2 + * TXĐ: R * lim y = + Ơ , lim y = - Ơ x đ+Ơ x đ-Ơ * y = 3x - 6x y’ = Û x = 0, x = * Bảng BT: x y’ y -¥ + 0,25 0 - +¥ + +¥ -¥ * Trả lời: Khoảng đồng biến (-¥, 0), (2, +¥) Khoảng nghịch biến: (0, 2) Điểm cực đại: (0, 4) Điểm cực tiểu: (2, 0) * Vẽ đồ thị Tìm k để đường thẳng d: y = kx + k cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A(-1, 0), M, N MN £ 2 * Phương trình cho hồnh độ giao điểm: x3 - 3x + = k(x + 1) Û (x2 - 4x + - k)(x + 1) = 0,25 0,25 0,25 1đ x = -1 Û g(x) = x - 4x + - k = Đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A(-1, 0), M, N g(x) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ¹ -1 ìD ' = k > 0 * (1) Û [(x + 1)log2x - 3](log2x - 2) ³ Xét f(x) = (x + 1)log2x - < x £ Þ f(x) < x > Þ f(x) đồng biến f(2) = x f(x) + log2x - Vế trái + é0 < x £ Nghiệm (1) là: ê ëx ³ 1đ (1) 0,25 0,25 0 +¥ + + + 0,25 1đ Tính I = (2x + 1) ò0 x +1 ln(x +1)dx *I= 0,25 (2x + 1) ln(x + 1)dx ò0 x +1 ln(x +1)dx = ò0 4x ln(x +1)dx + ò0 x +1 0,25 A = ò 4x ln(x + 1)dx Đặt u = ln(x + 1) Þ du = dx x +1 x -1 2 11 x -1 A = 4[ ln(x + 1) - ò (x - 1)dx ] 20 dv = xdx Þv= 0,25 1 x2 = 4[- ( - x) ] 2 =1 1 ln(x + 1)dx ln (x + 1) B= ò = ò ln(x + 1)d(ln[x + 1]) = x +1 0 = ln 2 Vậy: I = + ln 2 0,25 0,25 http://megabook.vn/ Câu Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B Tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) đáy 600 Biết SA = 2a, BC = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC * Hình vẽ: S Gọi H trung điểm AC Þ SH ^ (ABC) Kẻ HI ^ BC Þ SI ^ BC Góc (SBC) đáy là: ÐSIH = 600 M a 15 SI = SC - IC2 = K C 3a Þ SH = SI × sin600 = H A a 15 HI = SI = I a 15 Þ AB = 2HI = B 1 5a 3 V = AB.BC.SH = 16 * Kẻ Ax song song với BC, HI cắt Ax K Kẻ IM vng góc với SK AK ^ (SIK) Þ AK ^ IM Þ IM ^ (SAK) 3a Tam giác SIK Þ IM = SH = Xét số thực a, b, c thõa mãn: a + b + c = 0; a + > 0; b + > 0; 2c + > a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P = + + a + b + 2c + a b c *P= + + a + b + 2c + 1 1 1 =1+1+ = -( + + ) 1+ a + b 4c + 2 + a + b 4c + 5 P£ - ( + )= -( + ) a + b + 4c + 2 - c 4c + 1 Xét f(c) = + với - < c < 2 - c 4c + 2 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 1đ 0,25 0,25 4 4[15c2 + 20c] = (2 - c)2 (4c + 2)2 (c - 2) (4c + 2)2 f’(c) = c = f’(c) = c f’(c) f(c) - - 2 + 0,25 http://megabook.vn/ 5 =0 2 Dấu = xảy a = b = c = Kết luận: maxP = PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC, phân giác góc A có phương trình x + y + = 0, đường cao kẻ từ B có phương trình: 2x - y + = Điểm M(1, -1) nằm đường thẳng AB Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết tam giác ABC có diện tích * (d): x + y + = (d’): 2x - y + = Kẻ MH ^ (d), MH cắt AC M’, H trung điểm MM’ uuuur r H(t, -2 - t), MH = (t – 1, -1 - t) ^ u(1, - 1) Þ t = Þ H(0, -2) Þ M’(-1, -3) uur AC qua M’ nhận vectơ u '(1, 2) làm pháp vectơ AC: x + + 2(y + 3) = Û x + 2y + = ì x + 2y + = ị ị A(3, -5) ợx + y + = x -1 y + AM: = Þ 2x + y - = -4 ì2x + y -1 = Tọa độ B: ị B(0, 1) ị AB = ợ2x - y + = | 3t + 15 | CẻAC ị C(-2t 7, t) ị h = d(C, AB) = é t = - Þ C1 (-1, - 3) 3| t +5| S(ABC) = ´ =9Þ ê ë t = - Þ C (7, - 7) Vậy: P £ Thử lại ta có C º C1(-1, -3) Câu Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng (α): x + 2y - 2z + = (α) cắt ba trục tọa độ A, B, C Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ A, B, C, I * (α): x + 2y - 2z + = (α) cắt Ox A: y = z = Þ x = -6 Þ A(-6, 0, 0) Tương tự: B(0, -3, 0); C(0, 0, 3) * Gọi pt mặt cầu qua điểm OABC là: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz = (S) ì36 -12a = ìa = ï ï A, B, C Ỵ S nên ta có: í9 - 6b = Þ íb = / ï9 + 6c = ùc = - / ợ ợ ị (S): x2 + y2 + z2 + 6x + 3y - 3z = 3 Tâm K (S) là: K(-3, - , ) 2 ìx = - + t ï * I hình chiếu K lên (α) Þ IK í y = - / + 2t ïz = / - 2t ợ I ẻ () ị t - + 2(2t - 3 ) - 2( - 2t) + = 2 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 http://megabook.vn/ t= Câu 5 Þ I( - , - , ) 3 6 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Xét số tự nhiên có chữ số khác thuộc A Trong số nói lấy số Tính xác suất để số chia hết cho * Gọi số tự nhiên có chữ số khác là: abcde Chọn a có cách Chọn số cịn lại cú A 64 cỏch ị cú ì A 64 số * Trong số trên, số chia hết cho là: TH1: e = 0: chọn số lại có A 64 cách TH2: e = 5: chọn a có cách chọn số cịn lại có A35 cỏch ị cú A 64 + ì A35 Vậy, xác suất cần tìm P = A 64 + 5A 35 » 0,306 6A 64 PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trón (C): (x - 3)2 + y2 = điểm M(0, 3) Viết phương trình đường trịn (C1) tiếp xúc với đường trịn (C) tiếp xúc với trục tung M * (C) có tâm I(3, 0) R = (C1) tiếp xúc với Oy M Þ tâm I1(a, 3), a > 0, R1 = a TH1 Khi (C1) tiếp xúc ngồi với (C) Þ II1 = a + Þ (a - 3)2 + = (a + 2)2 Þ 10a = 14 Þ a = 7/5 Þ I1(7/5, 3) R1 = 7/5 49 Þ (C1): (x - ) + (y - 3)2 = 25 TH2 Khi (C1) tiếp xúc với (C) Þ I1I = | a - 2| Þ (a - 3)2 + = (a - 2)2 Þ a = Þ I1(7, 3) R1 = Þ (C1): (x - 7)2 + (y - 3)2 = 49 Câu Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): x - 2y + 2z + = (α) cắt ba trục tọa độ A, B, C Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm tọa độ A, B, C, H * (α) cắt Ox A: y = z = Þ x = -6 Þ A(-6, 0, 0) Tương tự B(0, 3, 0), C(0, 0, -3) Ta có: AB ^ OC, AB ^ HC Þ AB ^ (OHC) Þ AB ^ OH Tương tự: AC ^ OH Þ OH ^ (ABC) Þ H hình chiếu O lên (α) ìx = t r ï OH có vectơ phương n(1, - 2, 2) Þ OH í y = - 2t ïz = 2t ỵ 2 4 Þ H(- , , - ) 3 3 Tìm hệ số x khai triển của: f(x) = (1 – 2x(1 – x))8 * f(x) = (1 – 2x(1 – x))8 = [(1 - 2x) + 2x2] = C80 (1 - 2x)8 + C18 (1 - 2x)7 2x + C82 (1 - 2x)6 4x + C83 (1 - 2x)5 8x + … Kể từ số hạng thứ tư trở khai triển khơng chứa x5 Þ a5 = C80 C58 (-2)5 + C18 C37 (-2)3 + C82 C16 (-2) = -7616 http://megabook.vn/ H ẻ () ị t + 4t + 4t + = Þ t = Câu 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 1đ 0,25 0,50 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 ... 1? ? Tính I = (2x + 1) ị0 x +1 ln(x +1) dx *I= 0,25 (2x + 1) ln(x + 1) dx ò0 x +1 ln(x +1) dx = ò0 4x ln(x +1) dx + ò0 x +1 0,25 A = ò 4x ln(x + 1) dx Đặt u = ln(x + 1) Þ du = dx x +1 x -1 2 11 x -1 . .. phương n (1, - 2, 2) Þ OH í y = - 2t ïz = 2t î 2 4 Þ H (- , , - ) 3 3 Tìm hệ số x khai triển c? ?a: f(x) = (1 – 2x (1 – x))8 * f(x) = (1 – 2x (1 – x))8 = [ (1 - 2x) + 2x2] = C80 (1 - 2x)8 + C18 (1 - 2x)7... x -1 y + AM: = Þ 2x + y - = -4 ì2x + y -1 = Tọa độ B: í Þ B(0, 1) Þ AB = ỵ2x - y + = | 3t + 15 | CẻAC ị C (-2 t 7, t) Þ h = d(C, AB) = é t = - Þ C1 ( -1 , - 3) 3| t +5| S(ABC) = ´ =9Þ ê ë t = -