Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Đề thi có 02 trang ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 11 Thời gian làm bài:180 phút,không kể thời gian phát đề Câu 1( 2,0 điểm) Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – = Câu 2( 2,0 điểm) Với n số nguyên dương thỏa mãn: 𝐶 + 𝐴 = 765 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển: (𝑥 + ) u  2012 Câu 3( 2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định sau:  (n  N*)  u n 1  2012u n  u n Tìm lim( u1 u u u     n ) u u3 u u n 1  Câu ( 2,0 điểm) Giải hệ phương trình  x  x (2  y)  x  y(2x  1)   2x  3xy   Câu ( 2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC Mặt phẳng   qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O D) song song với đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng   biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Câu ( 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A  3;1  , đỉnh C nằm đường thẳng  : x  y   Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE  CD , biết N  6; 2  hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD Câu (2,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên đoạn thẳng AD’ C’D lấy hai điểm M, N cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm hình bình hành ABB’A’ trung MN điểm cạnh BC Tính tỷ số A 'C Câu (2,0 điểm) Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có cách chọn ba số a,b,c khác từ dãy số để ba số lập thành cấp số cộng Câu (2,0 điểm) Một thợ thủ cơng muốn vẽ trang trí hình vng kích thước 4m x 4m , cách vẽ hình vng với đỉnh trung điểm cạnh hình vng ban đầu, tơ kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ) Quá trình vẽ tơ theo qui luật lặp lại lần Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ cơng hồn thành trang trí hình vng trên? Biết tiền nước sơn để sơn 1m2 50.000đ Câu 10 (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc  Chứng minh bất đẳng thức a  b3  c  ab bc ca  2  2 a b b c c a 2 -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Có 04 trang Câu Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN 10 Nội dung đáp án Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – = Phương trình cho tương đương với 3cos2x + 2cosx – = ⇔ 6cos2x + 2cosx – = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (𝑙) Câu cosx = ⇔ x = k2𝜋 , k ∈ Z Phhương trình có họ nghiệm Với n số nguyên dương thỏa mãn: 𝐶 + 𝐴 = 765 Tìm số hạng khơng chứa x ttrong khai triển: (𝑥 + ) 0,5 Ta có: 𝐶 + 𝐴 = 765 ⇔ n = 10 Xét số hạng Tk+1 = 𝐶 (𝑥 ) ( ) =𝐶 𝑥 0,75 0,25 Khai triển không chứa x ứng với 30 – 5k = ⇔ k = Số hạng cần tìm T7 = 𝐶 0,5 0,5 2,0 điểm u1  2012 Câu Cho dãy số (un) xác định sau:  u n 1  2012u n  u n u u u u Tìm lim(     n ) u u3 u u n 1 (n  N*) 2,0 điểm Ta có : u n 1  u n  2012u n  n Suy dãy (un )tăng 0,25 - Giả sử có giới hạn a : a  2012a  a  a   2012 (vô lý) nên limun =  0,75 un u 2n (u  u n ) 1   n 1  (  ) - ta có : u n 1 u n 1u n 2012u n 1u n 2012 u n u n 1 1 1 Vậy : S  lim(  ) 2012 n u1 u n 1 2012 0,5  x  x (2  y)  x  y(2x  1)  Giải hệ phương trình  2x  3xy   2,0 điểm Từ x  x (2  y)  x  y(2x  1)   (x  y)(x  1)  0,75 TH1: x = y vào pt : 5x    x  1  y  1 0,5 2 Câu Điểm 2,0 điểm 0,5 0,5 0,5 2 0,5   y  1 0,5 Vậy nghiệm hệ (1;1), ( 1; 1) 0,25 TH2: x = Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC Mặt phẳng   qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD 2,0 điểm ( M khác O D) song song với đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng   biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn S Q P E I B C O N M G A D Từ M kẻ hai đường thẳng song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB Q AB G, AC N Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC P Ta thiết diện ngũ giác GNPQE Gọi I trung điểm BC Tứ giác ADIC hình thoi, suy AC ⊥ ID Suy 0,25 0,25 AC ⊥ (SID) Suy SI ⊥ (ABCD) Ta có: SD  SI  ID  2a   x   Ta tính BD  a nên tính EG  NP  a  x , QM   a  , 3  GN  3x Tứ giác EGMQ MNPQ hai hình thang vng đường cao GM NM nên S MNPQE  x 3a  x  0,5  3 a a x  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A  3;1  , Max S MNPQE  Câu 0,75 đỉnh C nằm đường thẳng  : x  y   Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE  CD , biết N  6; 2  hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD 0,25 2,0 điểm Tứ giác ADBN nội tiếp   AND   ABD  ABD   ACD (do ABCD hình chữ   nhật) Suy AND  ACD hay tứ giác ANCD nội tiếp đường tròn, mà 0,75  ADC  900   ANC  900  AN  CN   Giả sử C  c  5; c  , từ AN CN   1  c     c    c   C 7;1  0,25 Tứ giác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE Đường thẳng NE qua N song song với AC nên có phương trình y   0,25 b   B  N  lo¹i    Giả sử B  b;   , ta có AB.CB   b2  4b  12    Câu 0,5 b  2  B  2; 2   Từ dễ dàng suy D  6;  0,25 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên đoạn thẳng AD’ C’D lấy hai điểm M, N cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm hình MN bình hành ABB’A’ trung điểm cạnh BC Tính tỷ số A 'C 2,0 điểm A' D' M B' C' N Q A B D C P Gọi P trung điểm BC, Q tâm hình bình hành ABB’A’ Xét tam giác A’BC, ta có PQ đường trung bình nên PQ || A’C suy MN ||A’C           Đặt AB  x , AD  y , AA '  z , AM  m AD ', C ' N  m C ' D Ta có          MN  MA '  AC '  C ' N  m AD '  x  y  z  nC ' D     0,25 0,,75             m y  z  x  y  z  n  x  z  1  n  x  1  m  y  1  m  n  z        A ' C  A ' B '  A ' D '  A ' A  x  y  z Do MN || A’C nên  m  1  n  k      MN  k A ' C  1  m  k  n  1  m  n   k    k     MN MN Do MN  A ' C   Vậy  A'C A'C  Câu      0,75 0,25 2,0 Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có cách chọn ba số a,b,c khác từ dẫy số điểm để ba số lập thành cấp số cộng Gọi cơng sai d ta có ba số a,b,c tương ứng a, a + d, a + 2d nên c - a= 2d => c= a 0,25 + 2d Mỗi cách chọn a cho số thỏa mãn, theo đề có: c ≤ 2019 => a ≤ 2019 – 2d Nếu d= a ≤ 2017, có 2017 cách chọn a, hay có 2017 cách chọn ba số a,b,c CSC Nếu d = a ≤ 2015 => có 2015 cách chọn ba số a,b,c lập thành cấp số cộng Nếu d = 1009 a ≤ nên có cách chọn ba số a,b,c Vậy số cách chọn ba số lập thành cấp số cộng 2017 + 2015 + … + = 1018081 Câu 0,25 1,0 0,5 2,0 Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí hình vng kích thước 4m x 4m , cách điểm vẽ hình vuông với đỉnh trung điểm cạnh hình vng ban đầu, tơ kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ) Quá trình vẽ tơ theo qui luật lặp lại lần Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ cơng hồn thành trang trí hình vng trên? Biết tiền nước sơn để sơn 1m2 50.000đ Gọi Si tổng diện tích tam giác tơ sơn màu lần vẽ hình vng thứ 1,0 i 1  i  5; i  N  S diện tích hình vng ban đầu Ta có: 1  1  1  S1   S  ; S   S  ; S3   S  ; S  2  2  2  1   S  ; S5  2  Tổng diện tích cần sơn :( + + S = + + )S = 1   S  2  (m2) Số tiền để người thợ thủ cơng hồn thành trang trí hình vng : 50000 = 387500đ 0,75 0,25 Câu 10 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc  Chứng minh bất đẳng thức a  b3  c  ab bc ca  2  2 a b b c c a 2 Ta có   a  b   a  4a 3b  6a 2b  4ab3  b  a  b  2a 2b  4ab  a  ab  b   0,75 a  ab  b a  b ab 1a b   1     2 a b 4ab a b 4b a 0,25 bc 1b c ca 1c a Tương tự có  2     ;      b c 4c b c a 4a c  Do đó, cộng theo vế bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Schur giả 0,5 thiết abc  ta bc ca   b  c c  a a  b   ab 3  2      2  b c   a b b c c a  4 a bc  b  c   ca  c  a   ab  a  b  bc  b  c   ca  c  a   ab  a  b    4abc 1   a  b3  c3  3abc    a  b3  c  3 4 bc ca   ab Hay a  b3  c3    2  1 2   a b b c c a  0,5 Mặt khác a3  b3  c3  3.3  abc       a  b   4ab  a  ab  b     ab bc ca   Từ 1   suy  a  b3  c   2  18 a b b c c  a   ab bc ca Do a  b3  c   2  2 a b b c c a Dấu đẳng thức xảy a  b  c  ... -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Có 04 trang Câu Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC... điểm để ba số lập thành cấp số cộng Gọi cơng sai d ta có ba số a,b,c tương ứng a, a + d, a + 2d nên c - a= 2d => c= a 0,25 + 2d Mỗi cách chọn a cho số thỏa mãn, theo đề có: c ≤ 2019 => a ≤ 2019... điểm ( M khác O D) song song với đường thẳng SD AC Xác định thi? ??t diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng   biết MD = x Tìm x để diện tích thi? ??t diện lớn S Q P E I B C O N M G A D Từ M kẻ hai đường