Nhằm giúp các em có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi môn Toán. Mời các em tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội, để củng cố lại kiến thức môn học, rèn luyện kỹ năng giải đề và nâng cao tư duy Toán học. Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao!
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN-THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN THI: TỐN 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) Giải phương trình cos x = 2sin x + 4cos x Câu (4,5 điểm) xy + x + y = x − y a Giải hệ phương trình : x y − y x − = x − y b Tính giới hạn I = lim x →1 2020(2021 − x ) − 2020 x −1 Câu (3,0 điểm) 15 3 a Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niu-tơn 2x − x b Cho đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 A30 Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh ( H ) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) u1 = Câu (3,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi: (n ) u + un+1 = n 2un + u −2 a Gọi ( ) dãy số xác định = n Chứng minh dãy số ( ) un + cấp số nhân lùi vô hạn b Tính giới hạn dãy số ( un ) Câu (5,0 điểm) a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N ( M khác S , C N khác S , D Gọi K AB BC − giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức T = có MN SK giá trị khơng đổi b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, mặt bên hình vng Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AA ', A ' C ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A ' B ' C ' mặt phẳng ( MNE ) Câu (2,0 điểm) ) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn xy yz zx + + xy + z yz + x zx + y Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh: ………………………………… … Số báo danh:…………… biểu thức: P = SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT - Câ u ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC: 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung Điể m Giải phương trình sau: cos x = 2sin x + 4cos x 2.5 cos x = 2sin x + 4cos x 2cos x − = 2(1 − cos x) + 4cos x 4cos x − 4cos x − = cos x = cos x = − + cos x = (vô nghiệm) 2 + k 2 , k + cos x = − x = 2 + k 2 , k xy + x + y = x − y a Giải hệ phương trình : x y − y x − = x − y 1.5 1.0 KL: Vậy phương trình có nghiệm x = 2.a (1) ( 2) 2.0 ĐK: x 1; y (1) xy + y + x + y = x − y y ( x + y ) + ( x + y ) = ( x − y )( x + y ) 0.5 ( x + y )( y + − x + y ) = x+ y =0 x = 2y +1 +) x + y = (Loại x 1; y ) +) x = y + vào (2) ta 0.5 (2 y + 1) y − y y = y + − y y ( y + 1) = y + ( y + 1)( y − 2) = y = −1 y = y = +) Với y = −1 ( L) +) Với y = x = (TM ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5;2 ) 0.5 0.5 2.b 2020(2021 − x ) − 2020 Tính giới hạn I = lim x →1 x −1 2,5 2020 ( 2021 − x ) − 2020 2020(2021 − x ) − 2020 I = lim = lim x→1 x→1 x −1 ( x − 1) 2020(2021 − x ) + 2020 1.0 ( = lim x→1 2020 (1 − x ) ( x − 1) ( 2020(2021 − x ) + 2020 ) = lim x→1 ( ) 2020 ( −1 − x ) 2020(2021 − x ) + 2020 ) = −2 1.5 = −1 15 3.a 3 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niutơn 2x − x 15 15 15 − k 3 3 x − = C15k ( x ) − x k =0 x 15 1.5 k = C15k 215− k ( −3) x 30−3k 0.5 k k =0 Hệ số x khai triển tương ứng với k thỏa mãn: 30 − 3k = k = 0.5 15 3 Hệ số x khai triển 2x − là: C157 28.(−3)7 = −C157 28.37 x 0.5 Cho đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 A30 Gọi X tập hợp tam 1.5 3.b giác có đỉnh đỉnh ( H ) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác ( H ) là: C303 = 4060 Số phần tử không gian mẫu n() = C4060 0.5 Gọi A biến cố: ’’Hai tam giác chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) ” +)Số tam giác có cạnh cạnh ( H ) : - Chọn cạnh đa giác ( H ) có C301 - Chọn 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh chọn ( H ) có C26 1 Số tam giác có cạnh cạnh ( H ) C30 C26 = 780 n( A) = C780 C780 247 P( A) = = C4060 6699 KL: Vậy xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) 247 6699 0.5 0.5 3.0 u1 = Cho dãy số ( un ) xác định bởi: (n ) un+1 = 7un + 2un + u −2 a Gọi ( ) dãy số xác định = n Chứng minh dãy số un + ( ) cấp số nhân lùi vô hạn b Tính giới hạn dãy số ( un ) Ta có: 7u n + −2 un +1 − 2un + 3u − un − +1 = = = n = = un +1 + 7un + + 9un + un + 2un + 1.0 u − 1.0 = Suy vn+1 = Vậy ( ) cấp số nhân với công bội q = , v1 = 3 u1 + Vì q nên ( ) cấp số nhân lùi vô hạn +) = v1.q Ta có = n −1 1 1 = 3 1 = 3 un − 2 + un = un + 1 − Do lim un = lim 5a n −1 n lim = 0.5 0.5 + =2 − Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt 2.0 phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N Gọi K giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức AB BC T= − có giá trị không đổi MN SK K S N M A Ta có D C B ( ) AB +) MN = ( ) ( SCD ) MN AB CD AB CD 0.5 SK = ( SAD ) ( SBC ) +) SK AD BC AD BC 0.5 Từ suy ra: 0.5 AB CD CS = = MN MN MS BC CM = SK SM 0.5 AB BC CS CM MS − = − = =1 MN SK MS SM MS Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, 3.0 5b mặt bên hình vng Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AA ', A ' C ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A ' B ' C ' mặt phẳng ( MNE ) *) Dựng thiết diện I A C M H B N 0.5 E C' A' F B' J Trên ( ACC ' A ') gọi NE AC = I ; NE CC ' = J AI=C'J= Trên ( ABC ) gọi IM BC = H BH = Trên ( BCC ' B ') gọi a a HJ B ' C ' = F FC '= Thiết diện ngũ giác MNEFH Tính diện tích thiết diện 1.0 a 0.5 a 3a 3a 3a 3a 18a 2 IH = 3MH = = ; HJ = ( ) + ( ) = ; IJ = 4 4 HIJ vuông H S MNI IM IN 2 = = = ; S IHJ IH IJ 3 S MNEFH = S IHJ − S MNI − S JEF S EFJ JE.JF 1 = = = S HIJ JI JH 3 3a 3a 3a 15 = S HIJ = = 3 4 16 0.5 0.5 Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn 2.0 xy + xy + z biểu thức: P = yz zx + yz + x zx + y Ta có: xy = xy + z xy = xy + z ( x + y + z ) Đẳng thức xảy Tương tự : 1 x y + ( x + z )( y + z ) x + z y + z xy 0.5 x y = x= y x+z y+z yz 1 y z + yz + x y + x z + x Đẳng thức xảy y = z 0.5 zx 1 z x + Đẳng thức xảy z = x zx + y z + y x + y P= xy + xy + z yz zx 1 x+ y y + z z + x + + + = yz + x zx + y x + y y + z z + x Dấu xảy x = y = z = Vậy Pmax = x = y = z = 0.5 0.5 Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định ... GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT - Câ u ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC: 202 0-2 021 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung Điể m Giải... chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) ” +)Số tam giác có cạnh cạnh ( H ) : - Chọn cạnh đa giác ( H ) có C301 - Chọn 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh chọn ( H ) có C26 1 Số tam giác có... un + ( ) cấp số nhân lùi vơ hạn b Tính giới hạn dãy số ( un ) Ta có: 7u n + −2 un +1 − 2un + 3u − un − +1 = = = n = = un +1 + 7un + + 9un + un + 2un + 1.0 u − 1.0 = Suy vn+1 = Vậy ( ) cấp số