Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Quế Võ 1, Bắc Ninh

Xin giới thiệu đến các em học sinh Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Quế Võ 1, Bắc Ninh có hướng dẫn giải chi tiết. Nhằm giúp các em củng cố kiến thức môn Toán, ôn thi thật hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.

TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) Cho điểm  Pm  : y  x2  2mx  m2  m Biết  Pm  ln cắt đường phân giác góc phần tư thứ hai A , B Gọi A1 , B1 hình chiếu A , B lên Ox , A2 , B2 hình chiếu A , B lên Oy Tìm m để tam giác OB1 B2 có diện tích gấp lần diện tích tam giác OA1 A2 Câu (4 điểm) Giải phương trình 2sin x  cos x  7sin x    2cos x     y3  y  y  x  y  y   x   2.Giải hệ phương trình  2 x  3x   x   y  x  1   y  1 3x  Câu (4 điểm)  1 Chứng minh C2022   C   C  2 2022 2022 1  2 2021 2022 1011    C2022 1   C2022   C2022 2 2.Cho đa giác A1 A2 A2020 nội tiếp đường tròn tâm O , chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất để nhận tứ giác có cạnh cạnh đa giác Câu (2 điểm) Nhà anh A muốn khoan giếng sâu 20 mét dùng để lấy nước cho sinh hoạt gia đình Có hai sở khoan giếng tính chi phí sau: Cơ sở I: Mét thứ 200 nghìn đồng kể từ mét thứ hai trở đi, giá mét tăng thêm 60 nghìn đồng so với giá mét trước Cơ sở II: Mét thứ 10 nghìn đồng kể từ mét thứ hai trở đi, giá mét gấp lần so với giá mét trước Hỏi gia đình anh A để tiết kiệm tiền nên chọn sở để thuê, biết hai sở có chất lượng khoan Câu (6 điểm) 1.Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo BD AC vng góc với H AD  2BC Gọi M điểm nằm cạnh AB cho AB  AM , N trung điểm HC Biết B  1;  3 , đường thẳng HM qua điểm T  2;  3 , đường thẳng DN có phương trình x  y   Tìm tọa độ điểm A , C D S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB // CD, AB  2CD Các cạnh bên có độ dài Gọi O giao điểm AC BD I trung điểm SO Mặt phẳng   thay đổi qua I cắt SA, SB, SC , SD 1 1   2 M , N , P, Q Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  2 2SM 2SN SP SQ Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A1B1C1D1 , mặt phẳng   thay đổi song song với hai đáy lăng trụ Cho hình chóp cắt đoạn thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DA1 M , N , P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng có diện tích nhỏ Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc  Chứng minh bất đẳng thức a  b3  c  Giải phương trình   để tứ giác MNPQ ab bc ca  2  2 a b b c c a 2  2020 x   2020 x  1  2021x   2021x  1  2021x   2021x Hết HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM (Gồm có 06 trang) Câu I 2,0 điểm  Pm  : y  x Điểm NỘI DUNG  2mx  m  m Biết  Pm  ln cắt đường phân giác góc phần tư thứ hai điểm A , B Gọi A1 , B1 hình chiếu A , B lên Ox , A2 , B2 hình chiếu A , B lên Oy Tìm m để tam giác OB1 B2 có diện tích gấp lần diện tích tam giác Cho 2 2,0 OA1 A2 x  m x  m 1 Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x  2mx  m  m  x   2 0,5 *TH1: A  m ; m   A1  m ;0  ; A2  0; m  B  m  1; m  1  B1  m  1;0  ; B2  0; m  1 Khi SOB1B2  4SOA1 A2 0,75 m  1 2   m  1  .m    m  1 2  *TH2: B  m ; m   B1  m ;0  ; B2  0; m  0,75 A  m  1; m  1  A1  m  1;0  ; A2  0; m  1 Khi SOB1B2  4SOA1 A2 Vậy có giá trị II 4,0 điểm  m  2 2  m   m  1    m  2 2  Giải phương trình m thỏa mãn yêu cầu đề 2sin x  cos x  7sin x    2cos x  5  k 2 (*) Phương trình tương đương 2sin x  cos x  7sin x    2cos x   2sin 2x  cos 2x  7sin x  2cos x     2sin x  2cos x    2sin x  7sin x   Điều kiện: x     2,0 0,5 0,5  2cos x  2sin x  1   2sin x  1 sin x  3   2sin x     2sin x  1 sin x  2cos x  3    sin x  2cos x    Giải (1) :    x   k 2  sin x     x  5  k 2  2 Giải (2): sin x  2cos x  vô nghiệm   0,5 Đối chiếu điều kiện (*) phương trình có họ nghiệm x  Giải hệ phương trình   k 2  k    0,5   y3  y  y  x  y  y   x    2 x  3x   x   y  x  1   y  1 3x  Điều kiện: x  1  2 (*) 2,0 0,25 2  y  y    x   y    y  x  1    y  x   y    x  1   y  x    2 x    y    x   Thế y  x  vào phương trình (2) ta có: Phương trình (1)   0,5 x2  3x   x    x  1 x  1  x 3x  2  x  x   x   x  x  x   x 3x  2    x  3x    x  0,5 3x   x  x3  x  x  3x  3x   x 2 x   x  x    x  3 3x   x x  3x     x   x  3x    x    0 3x   x  x  3x     x  3x    3   x x 3    4  3x   x x  3x    Giải (3) ta x  1; x   Giải (4): phương trình x    0,25 x 0 3x   x x  3x      x   x 2   1  0 3x   x  x  3x       x x  3x  x  3x    3x  2  vơ nghiệm vế trái ln dương với x  3x   x Đối chiếu điều kiện (*) suy tập nghiệm hệ S  III 4,0 điểm  1 Chứng minh C2022 0,5 1;  ,  2;    C   C  2 2022 2022 2021 2022 1011    C2022 1   C2022   C2022 2 2,0 Ta có C   C   C    C   C   C    C    C    C    C     C    C  2022 2022 2 2022 2022 2022 2 2022 2021 2022 2022 2022 2022 2021 2022 1011 2022 2022 2022 1011  C2022 0,25 2022  xC2022  x 2C2022  x3C2022   x 2022C2022 1  x   C2022 2022 2021 2022  x 2021C2022  x 2020C2022  x 2019C2022   xC2022  C2022  x  1  x 2022C2022 2022 2020 2022 Hệ số x khai triển 1  x   x  1 2022 0,75 C   C   C   C    C   C  Mà 1  x   x  1  1  x    C  1 x 2022 2022 2022 2 2022 2022 2022 2020 2021 2022 2022 k 0 Hệ số x 2022  khai triển  x  2022 2022 2022 k k 2022 2k 0,5 C2022 1011 0,5 Vậy có điều phải chứng minh Cho đa giác A1 A2 A2020 nội tiếp đường tròn tâm O , chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất để nhận tứ giác có cạnh cạnh đa giác 2,0 Xác định khơng gian mẫu tính số phần tử không gian mẫu 0,5 2019 Xác định biến cố, ứng vỡi cạnh có C kẹo) tứ giác thỏa mãn toán n     C2020 (chia 2016 kẹo cho bạn mà bạn có 0,5 n  A  2020.C2019 0,5 Xác suất cần tìm 0,5 n  A 12 P  A   n    2017 IV 2,0 điểm Nhà anh A muốn khoan giếng sâu 20 mét dùng để lấy nước cho sinh hoạt gia đình Có hai sở khoan giếng tính chi phí sau: Cơ sở I: mét thứ 200 nghìn đồng kể từ mét thứ hai trở đi, giá mét tăng thêm 60 nghìn đồng so với giá mét trước Cơ sở II: mét thứ 10 nghìn đồng kể từ mét thứ hai trở đi, giá mét gấp lần so với giá mét trước Hỏi gia đình anh A để tiết kiệm tiền nên chọn sở để thuê, biết hai sở có chất lượng khoan Cơ sở I: Gọi un (nghìn đồng) số tiền chi phí khoan giếng mét thứ 2,0 n Theo giả thiết ta có u1  200 un1  un  60 0,5 Chứng minh dãy số un cấp số cộng có cơng sai d  60 Vậy số tiền toán cho sở I khoan giếng khoan giếng sâu 20 mét là: S20  u1  u2   u20  20u1  20.19 d  15400 (nghìn đồng) Cơ sở II: Gọi (nghìn đồng) số tiền chi phí khoan giếng mét thứ Theo giả thiết ta có v1  10 0,5 n vn1  0,5 Chứng minh dãy số cấp số nhân có cơng bội q  Vậy số tiền toán cho sở II khoan giếng khoan giếng sâu 20 mét là: S20  v1  v2   v20  v1 V 6,0 điểm q 20   24697 (nghìn đồng) q 1 Vậy gia đình anh A nên thuê sở I Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo 0,5 BD AC H AD  2BC Gọi M điểm nằm cạnh AB cho AB  AM , N trung điểm HC Biết B  1;  3 , đường thẳng HM qua điểm T  2;  3 , đường thẳng DN có phương trình x  y   Tìm tọa độ điểm A , C D vng góc với 2,0 C B N L H T M A D Ta có ABCD hình thang cân nên có hai đường chéo BD AC vng góc với H nên HB  HC, HA  HD 0,5 Ta đặt HB  HC  a, HA  HD  b  a,b   , đó: MB MA HA  HB  HA  HB AB AB 3 DN  DH  HC 1 1 2   Suy HM DN   HA  HB  DH  HC   HA.HC  DH HB   ab  ab  3 3 3    Do HM  DN Đường thẳng HM qua T  2; 3  vng góc với DN nên có phương trình là: 2x  y   HM  Gọi H  t ;2t    HM Theo định lí Talet ta có: HD  2HB , suy D  3t  2;6t  15 Mặt khác D  DN nên 0,5 HD AD   HD, HB ngược hướng nên HB BC 0,5 3t    6t  15    t   H  2;  3  D 8;  3 Nhận xét H  T , đường thẳng BD : y  3 Đường thẳng AC qua H vuông góc với BD có phương trình : x   x  x    N  2;0  x  y   y  Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình:  Vì N trung điểm HC nên C  2;3 0,5  xA    xA     A  2;  15  y A   4   3  y A  15  Mặt khác HA  4 HN   Vậy tọa độ ba điểm cần tìm A  2;  15 , C  2;3 , D 8;  3 S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB // CD, AB  2CD Các cạnh bên có độ dài Gọi O giao điểm AC BD I trung điểm SO Mặt phẳng   thay đổi qua I cắt SA, SB, SC, SD M , N , P, Q Tìm giá trị nhỏ 1 1   2 biểu thức T  2 2SM 2SN SP SQ 2 Cho hình chóp 2,0 0,5 Gọi K trung điểm AB, E trung điểm Ta có CD SA  SB  2SK SC  SD  2SE CD / / AB 3 Do:   EK  OK  SK  SE  (SK  SO) 2  AB  2CD  SO  SK  SE  SA  SB  2SC  2SD  2SK  4SE  6SO 2 SA SB 2SC 2SD  SN  SP  SQ  6SO  12SI  SM SM SN SP SQ SA SB 2SC 2SD     12 Suy Do M , N , P, Q đồng phẳng nên SM SN SP SQ 1 2     12 SM SN SP SQ  1 1   122     2   22  22  2  SM SN SP SQ   1 1   2  12  T= 2 2SM 2SN SP SQ Vậy T  12 SM  SN  SP  SQ  Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A1B1C1D1 , mặt phẳng   thay đổi song song với hai đáy lăng trụ cắt đoạn thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DA1 M , N , P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng   để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ 0,5 0,5 0,5 2,0 Giả sử mặt phẳng Do mặt phẳng   cắt cạnh AA1 , BB1 , CC1 , DD1 E, F , G, H   //  ABCD  nên ta có: AE  x,   x  1 ; S ABCD  S với S số Ta có S AA1 EM AM AE EQ A1 Q A1E Suy   x    1 x EF AB1 AA1 EH A1D A1 A Đặt  SEMQ SEFH  0,5 AE BF CG DH    AA1 BB1 CC1 DD1 EHGF S 0,5 EQ EM  x 1  x   SEMQ  x 1  x  SEFH EH EF Chứng minh tương tự ta có: SHPQ  x 1  x  SHGE ; SPGN  x 1  x  SHGF ; SNFM  x 1  x  SGFE Ta có S MNPQ 0,5  S   SEMQ  SPGH  SPGN  SNFM   S  x 1  x  SEFH  SHEG  SHGF  SGFE   S  x 1  x  2S  S 1  x  x  1 1 S  Ta có  x  x   x      S MNPQ  2 2  S Khi S MNPQ đạt giá trị nhỏ x  2 Vậy mặt phẳng   qua trung điểm cạnh AA1 , BB1 , CC1 , DD1 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn 0,5 abc  Chứng minh bất đẳng thức a  b3  c  ab bc ca  2  2 a b b c c a 2 1,0 Ta có   a  b   a  4a 3b  6a 2b  4ab3  b  a  b  2a 2b  4ab  a  ab  b   a  ab  b a  b ab 1a b   1     2 a b 4ab a b 4b a bc 1b c ca 1c a     Tương tự có      ; 1 2 c a 4a c  b c 4c b Do đó, cộng theo vế bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Schur giả thiết abc  ta bc ca   b  c c  a a  b   ab 3  2      2  b c   a b b c c a  4 a bc  b  c   ca  c  a   ab  a  b  bc  b  c   ca  c  a   ab  a  b    4abc 3 3 3   a  b  c  3abc    a  b  c  3 4 ab bc ca   3  2  1 Hay a  b  c   2   a b b c c a    a  b   4ab  a  ab  b   VI 2,0 điểm Mặt khác 1 0,25  a3  b3  c3   3.3  abc     ab bc ca   2  18 a  b b  c c  a   ab bc ca 3 Do a  b  c   2  2 a b b c c a Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Từ 0,5   suy a3  b3  c3  0,25 Giải phương trình  2020 x   2020 x  1  2021x   2021x  1  2021x   2021x VT    2020 x   2020 x     2020 x  0,25 x    2021x    2020 x     2021x     2020 x  2    2021x     2020 x   VT    2021x  2 VP  1  2021x   2021x  1  2021x   2021x  Vậy phương trình xảy  x  0,25 2  1  2021x  1  2021x   1  2021x 1  2021x      2021x    a   2021x  a  b  Thật vậy,   b   2021x  1  ab   2021x   a 2b  ab2   ab  ab  ab  ab 1  ab   , 1,0 0,25 0,25 Hết -Chú ý: - Các cách làm khác cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia sở tham khảo điểm thành phần đáp án ... chi phí khoan giếng mét thứ 2,0 n Theo giả thi? ??t ta có u1  200 un1  un  60 0,5 Chứng minh dãy số un cấp số cộng có cơng sai d  60 Vậy số tiền toán cho sở I khoan giếng khoan giếng sâu 20... đồng) số tiền chi phí khoan giếng mét thứ Theo giả thi? ??t ta có v1  10 0,5 n vn1  0,5 Chứng minh dãy số cấp số nhân có cơng bội q  Vậy số tiền toán cho sở II khoan giếng khoan giếng sâu 20 mét... 2021x  1  ab   2021x   a 2b  ab2   ab  ab  ab  ab 1  ab   , 1,0 0,25 0,25 Hết -Chú ý: - Các cách làm khác cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia sở