Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2018-2019 - Trường THPT Lưu Hoàng

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2018-2019 - Trường THPT Lưu Hoàng dành cho các bạn học sinh lớp 11 và quý thầy cô tham khảo giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu chuẩn bị ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn cũng như giúp quý thầy cô nâng cao kỹ năng biên soạn đề thi của mình. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn ­ Lớp: 11 (Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình sau:  x + x + 2013 = 2013 Câu 2 (3,0 điểm)  Cho phương trình  (2sin x − 1)(2co s x + 2sin x + m) = − 2cos x   (Với m là  tham số)     a) Giải phương trình với  m = 1    b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc  [ 0; π ] Câu 3 (5,0 điểm) a) Giải hệ phương trình:  x + y − 3x + y = 3x − y − x − y = b) Một người bỏ  ngẫu nhiên 4 lá thư  và 4 chiếc phong bì thư  đã để  sẵn địa chỉ   Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ Câu 4 (4,0 điểm). Cho  A, B, C là ba góc của tam giác ABC cos B + cosC sin B + sin C 2 sin A + sin B + sin C b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  M = cos A + cos B + cos 2C a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu:  sin A = Câu 5 (3,0 điểm)  Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1):   x + y = 13 , đường tròn  (C2):  ( x − 6) + y = 25 a) Tìm giao điểm của hai đường trịn (C1) và (C2) b) Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường  thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh SA =   a và vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vng b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x, K là hình chiếu của S trên DM. Tính  độ dài đoạn SK theo a và x. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK ­­­­­­­­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­­­­­ Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:   Số báo danh:  Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2: ĐÁP ÁN  THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Câu  Câu 1 Đáp án x + x + 2013 = 2013  ĐK  x −2013 Đặt   t = x + 2013   ( với t  t �0) � t = x + 2013 � t − x = 2013  Ta có hệ PT: x + t = 2013 t − x = 2013   � ( x + t )( x − t + 1) = Điểm 0,25 0,5 0,5 + Với x +t =0 ta được t  = ­x  � x + 2013 = − x  Giải ra ta được  x = − 8053  là  0,25 nghiệm +   Với   x   –   t   +1   =     ta     :   x   +1   =   t   � x + = x + 2013   Giải     ta   được  0,25 −1 + 8049  là nghiệm − 8053 −1 + 8049 Đáp số :  x = ,   x = 2    (2sin x − 1)(2co s x + 2sin x + m) = − 2cos x x=  Câu 2 a   ,   Với   0,25   m   =1   ta     phương   trình   :   (2sin x − 1)(2co s x + 2sin x + 1) = − 2cos x � (2sin x − 1).cos x =   π 5π + k 2π +  sin x = � x = + k 2π �x = 6 π π +  co s x = � x = + k 0,5 b,  Phương trình đã cho tương đương với :   (2sin x − 1)(2co s x + m − 1) = π 5π Với   sin x = � x = �x = �[ 0; π ] 0,25 6 1,5 0,5 0,25 Để   phương   trình     cho   có       nghiệm   thuộc   [ 0; π ]   phương   trình   :  0,25 1− m π 5π cos x =  vơ nghiệm hoặc có hai nghiệm   x = ; x = Từ đó ta được  m 3 v m =0   Câu 3 x + y − 3x + y = 3x − y − x − y = 0,25   x − 3x + y + y = x − 3x − = 3( x − x) − 2( y + y ) = y2 + y = �3 − 13 ��3 − 13 ��3 + 13 ��3 + 13 � ;0 � ;� ;4� ;� ;0 � ;� ;4� ; � � � � � � � � �� �� �� � Ta được nghiệm của hệ là :  � � 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5  Câu 4 ,  Tìm hệ  số  của   x trong khai triển sau:     � � nx + � n � �biết n là số  nguyên thoả  x3 � mãn hệ thức  2C + C = n − 20 n 2 n 2 Từ hệ thức   2Cn + C n = n − 20  Đk  n �2, n �Z � n − 3n − 40 = � n = �n = −5 Ta được  n= 8 thoả mãn  8 0,5 0,5 40 −14 k �3 � � � k =8 k 8− k Ta   có   :   � x + �= �2 x + �= C8 x   Khai   triển   chứa   x4m  x � � x � k =0 � 0,5 40 − 14k � = � k =   0,5 4  0,5 Vậy hệ số của x  là  C8 = 1792  Câu 5 a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu :  sin A = cos B + cosC sin B + sin C 0,5 A cos B + cosC A A � 2cos A = � cos A = �  là góc  0,5 � 2sin cos = Từ   sin A = 0,5 sin B + sin C 2 cos A 2 0,5 vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A sin sin A + sin B + sin C sin A + sin B + sin C � M + = +1   cos A + cos B + cos 2C cos A + cos B + cos 2C 3 M +1 = � cos A + cos B + cos 2C =  Biến đổi về  2 cos A + cos B + cos C M +1 cos 2C − cos C.cos ( A − B ) + − =0 M +1 � � � � � ∆ = cos ( A − B ) − � 1− 1− ��0 � � ��cos ( A − B) �1 � M +1� � M +1� �−1� M M +1 b, M = cos ( A − B) = M = �� cos C = cos ( A − B ) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A = B = C = 600 Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều (C1) có tâm O(0;0),bán kính  R1 = 13 0,25 0,25 0,25 0,25 (C2) có tâm I(6;0),bán kính  R2 = Giao điểm của (C1) và   (C2) là A (2;3) và B(2;­3).Với A có tung độ  dương nên   1,0 A(2;3)  Với A có tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x­2)+b(y­3)=0 hay  ax+by­2a­3b=0  Gọi  d1 = d (O, d ); d = d ( I , d ) 0,25 0,25 Yêu cầu bài toán trở thành: R − d = R − d � d − d = 12 2 2 2 2 b =0 (4a − 3b) (2 a + 3b) − = 12 � b + 3ab = � 2 b = −3a a +b a +b 0,25 *b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x­2=0 *b=­3a ,chọ a=1,b=­3,suy ra pt d là:x­3y+7=0 0,25 S 0,25 a, SA vng góc với mp(ABCD) nên SA vng góc với AB và AD. Vậy các tam  giác SAB và SAD vng tại A Lại có SA vng góc với (ABCD) và AB  Vng góc với BC  nến SB vng góc với BC A Vởy tam giác SBC vng tại C Tương tự tam giác SDC vng tại D b, Ta có BM =x nên CM = a­ x   ∆AKD : ∆DCM ˆ = 900 , DAK ˆ = CDM ˆ = DCM ˆ ) (vì có  AKD AK AD AD B � = � AK = DC DC DM DM =   a2 x − 2ax + 2a SK = SA2 + AK = a 0,25 0,25 0,25 D K M 0,25 0,25 C 0,25 0,25   Tam   giác   SAK   vuông     A   nên  0,25 0,25 x − 2ax + 3a   x − 2ax + 2a SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất  � =K� O x a SK nhỏ nhất  = ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ghi chú: ­ Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa                ­ Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác 0,25 0,25 ...ĐÁP ÁN ? ?THI? ?CHỌN HỌC? ?SINH? ?GIỎI LỚP? ?11? ?CẤP TRƯỜNG Mơn : TỐN Câu  Câu 1 Đáp án x + x + 2013 = 2013  ĐK  x −2013 Đặt   t = x... ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ghi chú: ­ Nêú? ?học? ?sinh? ?làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa                ­ Chỉ chấm bài hình khi? ?học? ?sinh? ?vẽ hình đầy đủ và chính xác 0,25 0,25  ... Đường thẳng d qua A có pt:a(x­2)+b(y­3)=0 hay  ax+by­2a­3b=0  Gọi  d1 = d (O, d ); d = d ( I , d ) 0,25 0,25 Yêu cầu bài? ?toán? ?trở thành: R − d = R − d � d − d = 12 2 2 2 2 b =0 (4a − 3b) (2 a + 3b) − = 12 � b + 3ab =