Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MÔN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức: Q  x3 x 1  a) Tìm x để Q xác định rút gọn Q b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Q + x Câu (2,0 điểm) Cho x   cos 450    18  16sin 450  tan 600 Tính giá trị biểu thức: T  20 x1982  11x11  2020 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình m 1   m (với m x 1 tham số) số dương Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: 2 x   x   x  11  Câu (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để A số nguyên tố, biết A  n3  n  n  Câu (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn: ab  ab ab Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC = a; CA = b Vẽ phân giác AD (D thuộc BC) Chứng minh rằng: AD  2bc bc    (α < 450) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, C a) Tìm giá trị α để CH = 3BH b) Chứng minh rằng: sin 2  2sin  cos  Câu (1,5 điểm) Cho số thực x, y, z thay đổi cho x  y  z  12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x  y  z  xy  yz  x  y  14 Câu 10 (1,5 điểm) Cho năm số nguyên dương đôi phân biệt cho số chúng khơng có ước ngun tố khác Chứng minh năm số tồn hai số mà tích chúng số phương -HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: , SBD: , Phịng thi: PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM I LƯU Ý CHUNG: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm thí sinh Khi chấm thí sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Thí sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Trong lời giải câu 7,8 thí sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày x   x    x    x   x     x   0.5 x3 x 1  0.25 Q xác định  Với x ≥1; x ≠ ta có Q   a)  Câu (3,0 điểm)   x  3   x 1   x  3   x 1     2 x 1   x  3  x 1  x 1  2    x 1  0.25 0.25  0.25 x 1  x 1  Với x ≥1; x ≠ Q  x   Với x ≥1; x ≠ 3, ta có P  Q  x  x  x   Câu (2,0 điểm) Điểm 0.25 0.25 Vì x ≥1; x ≠  x   b) nên P  x  x     Dấu “=” xảy x = 0.25 0.25 0.25 Vậy Pmin    x  0.25 x   cos 450  Ta có  64 3 2   18  16sin 450  tan 600   18  16   6 2 3   18    6 2 3 22 3 4   0.25 0.25   6 2 3 4   6 2 3   1   62 2   62 42   62      1   42  3 1   Thay x = vào T, ta T = 20.11982 + 11.111 + 2020 = 2051 Vậy T = 2051 ĐKXĐ: Đưa phương trình dạng (1-m)x=2 Nếu m=1 phương trình vơ nghiệm Nếu Câu (2,0 điểm) x  1 m nghiệm phương trình x   m  1 1 m Vậy nghiệm phương trình x  với m  1 1 m Để x   m  1 m  1 m  1  Phương trình có nghiệm dương    m  m  1  m  Vậy với m  ; m  1 phương trình có nghiệm dương 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Giải phương trình 2 x   x   x  11  2 x   x   x  11   2 x   x   x  11 ĐKXĐ: x  Câu (2,0 điểm) 0.25 0.25 0.25  x   x  x   x  11 0.25  2x2  5x    x x   2 2 x  x    x  x 0.25 0.25 x  x     x  12  x  11x  12  Đối chiếu điều kiện ta x  nghiệm phương trình Ta có, A  n3  n  n  0.25 0.25 0.25  n  2n  n  2n  n    n    n  n  1 Câu (1,5 điểm) 0.25 Do n   n  n  , với n  N Vậy A số nguyên tố n   n  n  số nguyên tố  n  A  13 (thỏa mãn) Vậy n = 3, A số nguyên tố ab  Ta có, với a, b  N * ab  ab  a  b 3 a + b số phương Vì  a  b  18 nên a  b  1; 4;9;16 Câu (1,5 điểm)    ab   a  b   ab , nên 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 + Với a + b = ta có ab  (loại) + Với a + b = ta có ab  (loại) + Với a + b = ta có ab  27 (thỏa mãn) + Với a + b = 16 ta có ab  64 (loại) Vậy số tự nhiên cần tìm 27 0.25 A E B D C 0.25 0.25 Qua D kẻ DE song song với AB, E ∈ AC Chứng minh ∆EAD cân E Suy AE =ED Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào ∆ABC ta có: Câu (2,0 điểm) AE ED EC AE    1 AC AB AC CA 1 bc hay AE(  )   AE  b c bc Suy ra: Trong tam giác ADE có AD < AE + ED  AD  2AE (đpcm)  AD  Câu (3,0 a 2bc bc A ED EC  AB AC 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 điểm) B H 2α M α C Xét tam giác ABH vuông H, ta có BH = AH.cotB = AH.tanα Xét tam giác ACH vng H, ta có CH = AH.cotα CH  3BH  AH cot   AH tan  0.25 0.25 0.25  tan  tan   tan    3    30 , Vậy   300 CH = 3BH  b 0.25 0.25 0.25 Kẻ trung tuyến AM Vì C = α < 450 nên C < B  AB < AC  H nằm B M theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ta M  AMB  2C  2 có, AM  MB  MC  BC , suy tam giác AMC cân 0.25 0.25 AB AC ; cos   BC BC AH Tam giác AHM vuông H, ta có sin 2  (1) AM AB AC AH BC AH AH Ta có sin  cos      (2) BC BC BC AM AM Tam giác ABC vng A, ta có sin   0.25 0.25 0.25 0.25 Từ (1) (2) suy sin2α = 2sinαcosα Ta có M  x  xy  y  y  yz  z  x  y   xy  x  y  0.25  (2 x  y )2  ( y  z )  x  y  32  xy  2.3x  2.3 y   x  y  y  z  x  y  3  (2 x  y ) ( y + z ) ( x  y  3)    5 1 111 (3 x  y  z  3)  5 Câu (1,5 điểm) Theo giả thiết, ta có 3x  y  z  12  3x  y  z    (3x  y  z  3)  81 Suy M  32 2 x  y  y  z  Dấu xảy :  y  z  x  y  3 x  y  z    Vậy M 2 x  y  z  x     x  z    y  3x  y  z  12 z     32  x  y  3, z  0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Gợi số cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 số khơng có ước số nguyên tố khác nên số có dạng  x y với xi, yi số tự nhiên Xét cặp số  x1; y1  ;  x2 ; y2  ;  x3 ; y3  ;  x4 ; y4  ;  x5 ; y5  cặp số nhận giá trị bốn trường hợp sau: (số chắn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số chẵn), (số lẻ; số lẻ) Nên theo ngun lí Dirichlet có cặp số nhận dạng giá trị Khơng tính tổng qt giả sử  x1; y1  ;  x2 ; y2  nhận giá trị dạng (số chẵn; số lẻ) Khi x1  x2 ; y1  y2 số chẵn nên a1a2  x y x y  x  x y  y số phương Do ta có điều phải chứng minh i Câu 10 (1,5 điểm) 1 2 2 Hết i 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ...PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 202 0-2 021 ĐỀ THI MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM I LƯU Ý CHUNG: - Đáp án trình bày cách... phải có làm thí sinh Khi chấm thí sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Thí sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong làm, bước... - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Trong lời giải câu 7,8 thí sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung