Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi học sinh giỏi cấp huyện có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Quảng Bình để ôn tập nắm vững kiến thức môn học. Mời các bạn tham khảo!
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 Mơn thi: TỐN LỚP THCS Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang 05 câu ĐỀ CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH:…………… Câu (2,0 điểm) x+2 11 + x x + + 1 − : x+2 x+2 +3 7− x x−3 x+2 +2 (với x > −2 x ≠ 7) a Rút gọn biểu thức A = + b Giải phương trình x + x − + x − x − = Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : y =ax + b (a ≠ 0) qua điểm A(1;4) cắt tia Ox, Oy B C (khác O ) a Viết phương trình đường thẳng ( d ) cho biểu thức OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ b Tính giá trị lớn biểu thức P = OB.OC BC Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng, cho hai điểm B, C cố định với = BC 2a (a > 0) A thay đổi cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm BC , đường thẳng qua A vng góc với AMC P Q Gọi D giao AM cắt đường phân giác góc AMB điểm MP với AB E giao điểm MQ với AC a Giả sử AC = AB , tính số đo góc BQC PD MP = b Chứng minh QE MQ c Tính giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACQ ABP theo a Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a+b b+c c+a + + ≤ 4 a+ b b+ c c+ a ( ) +( a −1 b ) +( b −1 c ) c −1 a Câu (2,0 điểm) a Số nguyên dương n gọi số điều hịa tổng bình phương ước dương (kể n ) ( n + 3) Chứng minh pq (với p, q số nguyên tố khác nhau) số điều hịa pq + số phương b Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn x + y = x + y + 42 xy -HẾT SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM LỚP THCS Đáp án gồm có 05 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án trình bày lời giải cho câu Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong câu, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm câu * Điểm tồn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất câu Nội dung Câu a Rút gọn biểu thức x+2 11 + x x + + 1 A= + − : x+2 x+2 +3 7− x x−3 x+2 +2 (với x > −2 x ≠ 7) b Giải phương trình Đặt 2,0 điểm x+4 x−4 + x−4 x−4 = x + = t (t > 0, t ≠ 3) ⇒ x = t − 0,25 Khi t t + 3t + 1 t (3 − t ) + t + 3t + − t + + : − = : t − 3t 2 t + − t t − t t − t 3(t + 3) t (t − 3) −3t = (3 − t )(3 + t) 2(t + 2) 2(t + 2) A= 1a −3 x + 2( x + + 2) Vậy A = 0,25 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ x+4 x−4 + x−4 x−4 = Ta có ⇔ x−4+4 x−4 +4 + x−4−4 x−4 +4 = 0,5 ⇔ ( x − + 2) + ( x − − 2) = 1b ⇔ Nhận xét x−4 +2 + x−4 +2 + x−4 −2 = x−4 −2 ≥ x−4 +2+2− x−4 = Đẳng thức xảy ( x − + 2)(2 − x − 4) ≥ ⇔ − x − ≥ (Do x − + > 0) 0,25 ⇔ x−4 ≤ 2⇔ x≤8 Đáp án Toán năm học 2020-2021 Page Kết hợp với điều kiện suy nghiệm phương trình ≤ x ≤ 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : y =ax + b (a ≠ 0) qua điểm A(1; 4) cắt tia Ox, Oy B C (khác O ) a Viết phương trình đường thẳng ( d ) cho biểu thức OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ OB.OC b Tính giá trị lớn biểu thức P = BC Do ( d ) qua điểm A nên a + b = ⇒ ( d ) : y = ax + − a a−4 Ta có B ;0 , C (0; − a ) theo a a − >0 ⇒a a−4 , OC= − a a Ta có OA + OB + OC nhỏ OB + OC nhỏ (vì OA khơng đổi) a−4 −4 −4 OB + OC = +4−a = 5+ + (−a) ≥ + (− a ) ≥ a a a OA + OB + OC nhỏ + 17 −4 − a = ⇔ a =−2 (do a < 0) a Vậy phương trình đường thằng ( d ) là: y = −2 x + OB= 2a 2,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Theo câu a với a < đường thằng ( d ) cắt tia Ox, Oy B C 17 (khác O ) qua điểm A(1;4) ⇒ OA = y C 2b O A H 0,25 d B x Gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng ( d ) , ta có BC 1 1 = + = ≥ = 2 2 2 OB OC OB OC OH OA 17 OB.OC ⇒ = P ≤ 17 BC Đẳng thức xảy H ≡ A , hay d ⊥ OA Vậy giá trị lớn biểu thức P 17 BC 2a (a > 0) Trong mặt phẳng, cho hai điểm B, C cố định với= A thay đổi cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm Đáp án Toán năm học 2020-2021 0,25 0,25 0,25 3,0 điểm Page BC ; đường thẳng qua A vng góc AM cắt đường phân giác góc AMC P, Q Gọi D giao điểm MP với AB E AMB giao điểm MQ với AC a Giả sử AC = AB , tính số đo góc BQC PD MP = b Chứng minh QE MQ c Tính giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACQ ABP theo a Q 0,25 A P E D 3a B H M C Ta có MA = MC ME phân giác góc AMC nên ME đường trung = 900 trực đoạn AC ⇒ QA = QC QEC MQ đường trung trực đoạn AC AM ⊥ AQ nên MC ⊥ QC Xét hai tam giác vuông ABC ECQ (cùng phụ góc QCE ) AB = EC (vì EC = AC = AB ) có ACB = EQC ⇒ ∆ABC = ∆ECQ ⇒ CQ = CB hay tam giác BCQ vng cân C, 0,25 0,25 0,5 = 450 BQC 3b Ta có MP, MQ đường phân giác góc AMC AMB nên MP ⊥ MQ Tương tự chứng minh câu a ta AD ⊥ MP, AE ⊥ MQ Áp dụng hệ thức tam giác vng APM với đường cao AD ta có PD.PM = PA2 (1) Áp dụng hệ thức tam giác vuông AQM với đường cao AE ta có QE.QM = QA2 (2) PD QM PA2 Từ (1) (2) suy = (3) QE PM QA2 Áp dụng hệ thức tam giác vng MPQ với đường cao MA Ta có PA.PQ = PM (4) QA.QP = QM (5) Đáp án Toán năm học 2020-2021 0,25 0,25 0,25 Page Từ (4) (5) suy PA PM = (6) QA QM PD MP Từ (3) (6) suy = QE MQ 3c ( ĐPCM ) 0,25 Vì MQ trung trực đoạn AC MP trung trực đoạn AB suy = CQ QA = , BP AP BCQP hình thang vng BP + CQ ) BC PQ.BC BC ( Do S BCQP= = ≥ = 2a (*) 2 AH BC AM BC Kẻ AH vng góc BC S ABC = ≤ = a (**) 2 Từ (*) (**) suy S ABP + S ACQ= S BCQP − S ABC ≥ 2a − a= a2 Đẳng thức xảy H ≡ M , khi tam giác ABC vuông cân A Vậy giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACQ ABP a 0,25 0,25 0,25 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = CMR: a+b b+c c+a + + ≤ 4 a+ b b+ c c+ a ( ) +( a −1 b ) +( b −1 c ) c −1 a b c a a b c (1) + + = + + a+ b b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a Thật vậy, xét b c a a b c + + − − − a+ b b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a 1,0 điểm Ta có = b− a+ c− b+ a− c=0 Ta chứng minh bất đẳng thức sau : Với x, y số thực a, b số x y ( x + y)2 + ≥ (*) dương , ta có a b a+b 2 Thật (*) ⇔ ( a + b ) ( bx + ay ) ≥ ab ( x + y ) ⇔ ( ay − bx ) ≥ (BĐT đúng) ( Áp dụng BĐT (*), ta có ) +( a −1 b ) +( b −1 c ) c −1 0,25 0,25 a ( a + b − 2) ( b + c − 2) ( c + a − 2) ≥ + + 2 b+ c c+ a a+ b ⇔ ( ) +( a −1 b ) +( b −1 c ) c −1 a ( ⇔ ) +( a −1 b ) +( b −1 c ) c −1 a Đáp án Toán năm học 2020-2021 0,25 1 c a b ≥ + + (2) 2 b + c c+ a a+ b a+ b+ c= 2) ( Từ (1) (2) suy 2 1 b+c c+a a+b ≥ + + 4 b + c c+ a a+ b 0,25 Page ⇔ + + ≤ 4 a+ b b+ c c+ a a+b b+c c+a ( ) +( a −1 b ) +( b −1 c ) c −1 a ( ĐPCM ) a Số nguyên dương n gọi số điều hòa tổng bình phương ước dương (kể n ) ( n + 3) Chứng minh pq (với p, q số nguyên tố khác nhau) số điều hịa pq + số phương b Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn 2,0 điểm x + y = x + y + 42 xy Ta có pq có ước dương 1, p, q pq Vì pq số điều hịa nên ta có + p + q + ( pq ) = 5a ( pq + 3) 0,25 ⇔ p + q= pq + ⇔ ( p − q )= ( pq + ) 0,25 Vì số phương nên từ đẳng thức suy pq + số phương (ĐPCM) 0,25 Gọi d = ( x, y ) ước chung lớn x y = x da = , y db với d , a, b ∈ * , ( a, b ) = Suy Ta có x + y = x + y + 42 xy ⇔ d ( a + b= ) d ( a + b2 + 42ab ) 0,25 ⇔ d ( a + b ) ( a − ab + b ) = a + b + 42ab ⇔ ( da + db − 1) ( a − ab + b ) = 43ab Đặt c = da + db − 1,(c ∈ ) 5b 43ab Ta viết lại a 2c − abc + b 2c = Từ suy b | ca a | cb ⇒ b | c a | c Do ( ab ) | c ⇔ = c mab, m ∈ * a − ab + b = ⇒ m ( a − ab + b ) = 43 ⇒ ( a − ab + b ) | 43 ⇒ 2 43 a − ab + b = , − ab = (a − b) ≥ TH1: a − ab + b = Suy a =b =1 ⇒ d =22 Do ( x, y ) = ( 22, 22 ) 43 TH2: a − ab + b = Do tính đối xứng x, y , ta giả sử x ≥ y ⇒ a ≥ b Do 43 = a − ab + b ≥ ab ≥ b ⇒ b ∈ {1, 2,3, 4,5,6} Thay b = a = d = suy ( x, y ) = (1,7 ) , ( 7,1) Thay b = 2,3, 4,5 , khơng tồn số nguyên dương a thỏa mãn 43 Thay b = a = d = (khơng thỏa mãn) 13 Thử lại, ta có cặp giá trị cầm tìm ( x, y ) = ( 22, 22 ) , (1,7 ) , ( 7,1) Đáp án Toán năm học 2020-2021 0,25 0,25 0,25 0,25 Page ...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 202 0-2 021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 Mơn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM LỚP THCS Đáp án gồm có 05 trang YÊU... câu Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong câu, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ... Đẳng thức xảy ( x − + 2)(2 − x − 4) ≥ ⇔ − x − ≥ (Do x − + > 0) 0,25 ⇔ x−4 ≤ 2⇔ x≤8 Đáp án Toán năm học 202 0-2 021 Page Kết hợp với điều kiện suy nghiệm phương trình ≤ x ≤ 0,25 Trong mặt phẳng tọa