CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 11 1D3-1 ĐT:0946798489 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU HƠN PHẦN A CÂU HỎI Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: Bước 1, kiểm tra mệnh đề A n với n p Bước 2, giả thiết mệnh đề A n với số tự nhiên n k p phải chứng minh với n k Trogn hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai Câu Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n chia hết cho 7, n * '' * sau: Giả sử * với n k , tức 8k chia hết cho Ta có: 8k 1 8k 1 , kết hợp với giả thiết 8k chia hết suy 8k 1 chia hết cho Vậy đẳng thức * với n * Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp Câu Cho S n A S3 Câu Câu Câu 12 Cho S n A Sn 1 1 với n * Mệnh đề sau đúng? 1 2 3 n n 1 B S2 C S2 D S3 1 1 với n * Mệnh đề sau đúng? 1 2 3 n n 1 n 1 n B Sn n n 1 C Sn n 1 n2 D Sn n2 n3 1 Cho Pn 1 1 1 với n n Mệnh đề sau đúng? n n 1 n 1 n 1 n 1 A P B P C P D P n2 2n n 2n Với n * , hệ thức sau sai? n n 1 A n B 2n 1 n C 12 22 n n n 1 2n 1 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 D 22 42 62 2n 2n n 1 2n 1 Câu Với mối số nguyên dương n , đặt S 12 22 n2 Mệnh đề đúng? n(n 1)(n 2) n( n 1)(2n 1) A S B S n( n 1)(2n 1) n( n 1)(2n 1) C S D S Câu Đặt Tn (có n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? A Tn Câu Đặt Sn A Sn B Tn cos n 1 C Tn cos 2n 1 D Tn 1 ,với n * Mệnh đề đúng? 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) n 1 2(2n 1) B S n 3n 4n C Sn n 2n Câu 10 Tìm tất số nguyên dương n cho 2n 1 n 3n A n B n C n Câu 11 Tổng S góc đa giác lồi n cạnh, n , là: A S n.180 C S n 1 180 D Sn n2 6n D n B S n 180 D S n 3 180 Câu 12 Với n * , rút gọn biểu thức S 1.4 2.7 3.10 n 3n 1 2 A S n n 1 B S n n C S n n 1 D S 2n n 1 Câu 13 Kí hiệu k ! k k 1 2.1, k * Với n * , đặt Sn 1.1! 2.2! n.n ! Mệnh đề đúng? A Sn 2.n ! B S n n 1! C S n n 1 ! D Sn n 1! 2 Câu 14 Với n * , đặt Tn 12 22 32 2n M n 22 42 62 2n Mệnh đề đúng? T T T T 4n 4n 8n 2n A n B n C n D n M n 2n M n 2n Mn n 1 Mn n 1 Câu 15 Tìm số nguyên dương p nhỏ để n 2n với số nguyên n p A p B p C p D p Câu 16 Tìm tất giá trị n * cho n n A n B n n C n D n n 1 an b Câu 17 Với số nguyên dương n , ta có: , a , b, c 3n 1 3n cn 2.5 5.8 số nguyên Tính giá trị biểu thức T ab bc ca A T B T C T 43 D T 42 an Câu 18 Với số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 , a , b số n bn nguyên Tính giá trị biểu thức T a b A P B P C P 20 D P 36 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 19 Biết n an bn cn dn e, n Tính giá trị biểu thức M abcd e 1 A M B M C M D M Câu 20 Biết số nguyên dương n , ta có 1.2 2.3 n n 1 a1n b1n c1n d1 Tính giá trị biểu thức 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 a2 n b2 n c2 n d 3 * T a1a2 b1b2 c1c2 d1d D T 3 k k k Câu 21 Biết n , n, k số nguyên dương Xét mệnh đề sau: A T B T C M n n 1 n n 1 2n 1 n n 1 n n 1 2n 1 3n 3n 1 S1 , S2 , S3 S 30 Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B C D Câu 22 Với n , ta xét mệnh đề P : "7 n chia hết cho 2" ; Q :"7 n chia hết cho 3" Q :"7 n chia hết cho 6" Số mệnh đề mệnh đề : A B C D * Câu 23 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n n 1 ” Một học sinh trình bày lời giải toán bước sau: Bước 1: Với n , ta có: n ! 1! 2n1 211 20 Vậy n ! n 1 Bước : Giả sử bất đẳng thức với n k , tức ta có k ! k 1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n k , nghĩa phải chứng minh k 1 ! 2k k 1 n 1 k Bước : Ta có k 1! k 1 k ! 2.2 Vậy n! Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước với số nguyên dương n D Sai từ bước 1 an bn , a , b, c, d n số 1.2.3 2.3.4 n n 1 n cn dn 16 nguyên dương Tính giá trị biểu thức T a c b d : A T 75 B T 364 C T 300 D T 256 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 24 Biết Câu Câu Câu Chọn C Chọn D Thiếu bước kiểm tra với n , ta có 81 khơng chi hết cho 1 Nhìn vào Sn cho n , ta n n 1 1 1 Chọn C 1 2 3 Cách trắc nghiệm: Ta tính S1 , S2 , S3 Từ ta thấy quy luật từ nhỏ mẫu đơn vị Chọn B n dự đoán Sn Cách tự luận Ta có S1 , S2 , S3 n 1 Do với n , ta có S2 Câu Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Với n , ta S1 ĐT:0946798489 1 : 1.2 Giả sử mệnh đề n k k 1 , tức Ta có 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k 1 1 k 2k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 k 1 1 k 1 Suy mệnh đề với n k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k Câu Câu Câu Đáp án P2 1 n Vì n nên ta cho 1 n P3 1 1 Kiểm tra đáp án cho D thỏa Chọn D Bẳng cách thử với n , n , n ta kết luận Chọn D C Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học n * , ta có đẳng n(n 1)(2n 1) thức 12 22 32 n 1(1 1)(2.1 1) - Bước 1: Với n vế trái 12 , vế phải Vậy đẳng thức với n -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k , tức chứng minh (k 1) (k 1) 1 2(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3) 12 22 32 k (k 1) 6 Ta phải chứng minh đẳng thức với n k , tức chứng minh (k 1) (k 1) 1 2(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3) 12 22 32 k (k 1) 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k 1)(k 1)(2k 1) 12 22 32 k (k 1)2 (k 1)2 ( k 1)( k 1)(2k 1) k ( k 1)(2k 1) 6( k 1) ( k 1)( k 2)(2k 3) Mà ( k 1)2 6 (k 1)(k 2)(2k 3) Suy 12 22 32 k (k 1) Do đẳng thức với n k Suy có điều phải chứng minh Vậy phương án C Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thông qua số giá trị cụ thể n + Với n S 12 (loại phương án B D); + Với n S 12 22 (loại phương án A) Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Vậy phương án ĐT:0946798489 C Câu Đáp án B Ta chứng minh Tn cos n 1 Bước 1: Với n vế trái bằng phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: , vế phải cos 11 cos Vậy đẳng thức với n Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k , nghĩa Tk cos 2k 1 Ta phải chứng minh đẳng thức với n k , tức chứng minh Tk 1 cos Thật vậy, Tk 1 Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có Tk 1 Tk cos cos k 2 Vậy phương án B Mặt khác, cos Câu Đáp án k 1 2k 2 k 1 cos k nên Tk 1 2.2 cos k cos k 2 C Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện Với số nguyên dương k , ta có 1 1 (2k 1)(2k 1) 2k 2k 1 1 1 1 n Do đó: S n 1 2 3 2n 2n 2n 2n Vậy phương án phương án C Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n 1 (chưa loại phương án nào); Với n S1 1.3 1 (loại phương án A,B D Với n S2 1.3 3.5 Vậy phương án phương án C Câu 10 Đáp án D Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n 1, 2,3, 4, ta dự đoán 2n 1 n 3n, với n Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: -Bước 1: Với n vế trái 24 1 25 32, vế phải 42 3.4 28 Do 32 28 nên bất đẳng thức với n -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k 4, nghĩa 2k 1 k 3k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n k 1, tức phải chứng minh 2 k 1 1 k 1 k 1 hay 2k k 5k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k 1 k 3k Suy 2.2 k 1 k 3k hay 2k 2k 6k Mặt khác 2k 6k k 5k k k 42 16 với k Do 2k k 3k k 5k hay bất đẳng thức với n k Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D Câu 11 Đáp án B Cách 1: Từ tổng góc tam giác 180 tổng góc từ giác 360 , dự đoán S n 180 Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ cơng thức Cụ thể với n S 180 (loại phương án A, C D); với n S 360 (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) Câu 12 Đáp án A Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n Với n S 1.4 (loại phương án B C); với n S 1.4 2.7 18 (loại phương án D) Cách 2: Bằng cách tính S trường hợp n 1, S 4; n 2, S 18; n 3, S 48 ta dự đốn cơng thức S n n 1 Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết n 12 22 n2 Câu 13 n n 1 n n 1 2n 1 Ta có: S 12 2 n 1 n n n 1 Đáp án B Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n S1 1.1! (Loại phương án A, C, D) Cách 2: Rút gọn S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k k ! k 1 k ! k 1 k ! k ! k 1 ! k ! Suy ra: Sn 2! 1! 3! 2! n 1 ! n ! n 1 ! Câu 14 Đáp án A Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n T Với n T1 12 2 5; M 2 nên (loại phương án B, C, D) M1 Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: 2n 2n 1 4n 1 2n n 1 2n 1 T 4n Tn ; Mn Suy n M n 2n Câu 15 Đáp án B Dễ thấy p bất đẳng thức p p sai nên loại phương án D p Xét với p ta thấy p bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh n 2n với n Vậy p số nguyên dương nhỏ cần tìm Câu 16 Đáp án D Kiểm tra với n ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Kiểm tra với n ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n n , n Câu 17 Đáp án B 1 1 Cách 1: Với ý , có: 3k 1 3k 3k 3k 1 1 1 1 1 3n 1 3n 5 2.5 5.8 3n 3n 3n n = 3n 6n Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: a 1, b 0, c Suy T ab bc ca a b 2a b x b ; ; c 10 2c 3c 22 Giải hệ phương trình ta a 1, b 0, c Suy T ab bc ca Cách 2: Cho n 1, n 2, n ta được: Câu 18 Đáp án C k 1 k 1 Suy k2 k k n n n 2n 1 1 n 2 3 n 2n 2n 4n Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: a 2, b Suy P a b 20 a 3a 2 Cách 2: Cho n 2, n ta ; Giải hệ phương trình trren ta b 3b 2 a 2; b Suy P a b 20 Câu 19 Đáp án B Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: n n 1 n 2n3 n Cách 1: Sử dụng kết biết: n So sánh cách hệ số, 4 1 ta a ; b ; c ; d e 4 Cách 2: Cho n 1, n 2, n 3, n 4, n , ta hệ phương trình ẩn a , b, c, d , e Giải hệ 1 phương trình đó, ta tìm a ; b ; c ; d e Suy M a b c d e 4 Câu 20 Đáp án C Cách 1: Sử dụng tổng lũy thừa bậc bậc ta có: +) 1.2 2.3 n n 1 12 2 n 1 n n3 n n 3 Suy a1 ; b1 1; c1 ; d1 3 +) 1.2 2.5 3.8 n 3n 1 12 22 n 1 n n3 n Suy a2 b2 1; c2 d Do T a1a2 b1b2 c1c2 d1d Cách 2: Cho n 1, n 2, n 3, n sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm a1 ; b1 1; c1 ; d1 ; a2 b2 1; c2 d 3 3 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Do T a1a2 b1b2 c1c2 d1d Câu 21 Đáp án ĐT:0946798489 D n n 1 thấy có S3 sai Câu 22 Đáp án A Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh n chia hết cho Thật vậy: Với n 71 12 Giả sử mệnh đề với n k , nghĩa k chia hết ccho Ta chứng minh mệnh đề với n k , nghĩa phỉa chứng minh k 1 chia hết cho Ta có: k 1 k 30 Theo giả thiết quy nạp k chia hết k 1 k 30 chia hết cho Vậy n chia hết cho với n Do mệnh đề P Q Câu 23 Đáp án A Câu 24 Đáp án C 1 1 Phân tích phần tử đại diện, ta có: k k 1 k k k 1 k 1 k 1 Suy ra: 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n n n 3n 2n n 1 = n 1 n 4n 12n 8n2 24n 16 Đối chiếu với hệ số, ta được: a 2; b 6; c 8; d 24 Suy ra: T a c b d 300 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong ... k k 1? ?? , tức Ta có 1 k 1. 2 2.3 k k 1? ?? k 1 1 k 1. 2 2.3 k k 1? ?? k 1 1 k 1. 2 2.3 k k 1? ?? k 1? ?? k k k 1? ?? k 1 1 k 2k ... (k 1) (k 2)(2k 3) 12 22 32 k (k 1) 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k 1) (k 1) (2k 1) 12 22 32 k (k 1) 2 (k 1) 2 ( k 1) ( k 1) (2k 1) k... 1) (k 1) 1? ?? 2(k 1) 1? ?? (k 1) (k 2)(2k 3) 12 22 32 k (k 1) 6 Ta phải chứng minh đẳng thức với n k , tức chứng minh (k 1) (k 1) 1? ?? 2(k 1) 1? ??