THÔNG TIN TÀI LIỆU
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm có điều kiện Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý) 0dx C x n dx k dx kx C x n 1 C n 1 dx ln x C x 1 dx C x x sin x dx cos x C cosx dx sin x C (ax b)n dx (ax b)n 1 C. a n 1 1 dx ln ax b C ax b a 1 dx C. a ax b (ax b ) sin(ax b)dx cos(ax b) C a dx cot x C sin2 x sin(ax b) C a dx cot(ax b) C a sin (ax b ) dx tan x C cos2 x dx tan(ax b) C cos (ax b) a e x dx e x C a x dx ax C. ln a cos(ax b)dx eax b dx eax b C a a x dx a x C ln a ♦ Nhận xét Khi thay x (ax b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm a Một số nguyên tắc tính PP Tích đa thức lũy thừa khai triễn PP Tích hàm mũ khai triển theo công thức mũ 1 1 Bậc chẵn sin cosin Hạ bậc: sin2 a cos2a, cos2 a cos2a 2 2 PP Chứa tích thức x chuyển lũy thừa. Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số 1 f ( x ) xác định trên \ thỏa mãn 2 , f 1, f 1 Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng 2x 1 A ln15 B ln15 C ln15 D ln15 Lời giải Chọn C x dx ln x C f x f x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 , f C nên f 1 ln Với x , f 1 C nên f 3 ln Nên f 1 f 3 ln15 Với x Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x là một nguyên hàm của f x trên khoảng 1; thỏa x 1 mãn F e 1 Tìm F x A 2ln x 1 B ln x 1 C 4ln x 1 D ln x 1 Lờigiải Chọn B F x = dx C ln x C x 1 F e 1 Ta có C C Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x , x2 biết F 1 Giá trị của F bằng A ln C ln 2 B ln D ln 2 Lờigiải Cách 1: Ta có: f x dx dx ln x C , C x2 Giả sử F x ln x C0 là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F 1 Do F 1 C0 F x ln x Vậy F ln Câu (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F x là một nguyên hàm của hàm f x ; biết F Tính F 1 2x 1 A F 1 ln C F 1 2ln D F 1 ln Lời giải B F 1 ln Chọn D Ta có F x Do F 0 Vậy F x 1 2x 1dx ln 2x C ln 2.0 C C 1 ln 2x F 1 ln 2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu x (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số y trên ;0 thỏa mãn F 2 Khẳng định nào sau đây đúng? x x ;0 A F x ln B F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì. C F x ln x ln x ;0 D F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì. Lời giải x Ta có F x dx ln x C ln x C với x ;0 x Lại có F 2 ln C C ln Do đó F x ln x ln ln x x ;0 Vậy F x ln Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f x xác định trên R \ 1 thỏa mãn , f 2017 , f 2018 Tính S f 3 f 1 x 1 A S ln 4035 B S C S ln D S Lời giải dx ln x 1 C1 f x ln x 1 C1 Trên khoảng 1; ta có f ' x dx x 1 Mà f (2) 2018 C1 2018 f x Trên khoảng ;1 ta có f ' x dx dx ln 1 x C2 f x ln 1 x C2 x 1 Mà f (0) 2017 C2 2017 ln( x 1) 2018 Vậy f x ln(1 x) 2017 Câu x Suy ra f 3 f 1 x (Mã 105 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) e x x thỏa mãn F Tìm F x C F x e x x A F x e x x B F x e x x D F x 2e x x Lời giải Chọn A Ta có F x e x x dx e x x C Theo bài ra ta có: F C C 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x e2 x và F Giá trị của F ln 3 bằng A 2. C 8. Lời giải 1 1 F x e x dx e x C ; F C F x e x 2 2 2ln Khi đó F ln e 2 Câu B 6. D 4. (Sở Bình Phước 2019) Biết F x là một nguyên hàm của hàm số e2x và F 1 F là 2 A e 200 e 50 Lời giải B 2e 100 C D 201 Giá trị e 100 Chọn D Ta có e2 x dx 2x e C Theo đề ra ta được: F 201 201 e0 C C 100 2 1 2x 2 Vậy F ( x) e 100 F e 100 e 100 2 2 Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và: f x 2e2 x 1, x, f Hàm f x là A y 2e x x B y 2e x C y e x x D y e x x Lời giải Ta có: f x dx 2e 1 d x e x C 2x 2x Suy ra f x e2 x x C Theo bài ra ta có: f C C 1. Vậy: f x e2 x x Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x x e x Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 2019 A F x x e x 2018 B F x x e x 2018 C F x x e x 2017 D F x e x 2019 Lời giải Ta có f x dx x e dx x e C x x Có F x là một nguyên hàm của f x và F 2019 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 F x x e x C C 2019 C 2018 Suy ra F 2019 Vậy F x x e x 2018 Câu 12 Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x x , thỏa mãn F Tính giá trị biểu ln thức T F F 1 F 2018 F 2019 A T 1009 C T 22019 B T 22019.2020 ln 22019 ln D T 22020 ln Lời giải x Ta có f x dx x dx C ln F x là một nguyên hàm của hàm số f x x , ta có F x 2x C mà F ln ln 2x ln T F F 1 F 2018 F 2019 C F x Câu 13 1 22020 22020 22 2018 22019 ln ln 2 ln (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin x cos x thoả mãn F 2 A F x cos x sin x B F x cos x sin x C F x cos x sin x D F x cos x sin x Lời giải Chọn C Có F x f x dx sin x cos x dx cos x sin x C Do F cos sin C C C F x cos x sin x 2 2 Câu 14 (Mã 123 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x sin x và f 10 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A f x x cos x 15 B f x x cos x C f x x cos x D f x x cos x Lời giải Chọn C Ta có f x sinx dx x cos x C Theo giả thiết f 10 nên C 10 C Vậy f x x cos x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn f x 5sin x và f 10 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A f x x 5cos x B f x x 5cos x 15 C f x x cos x D f x x cos x 10 Lời giải Ta có: f x f x dx 5sin x dx x cos x C Mà f 10 nên C 10 C Vậy f x x cos x Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F x là một nguyên hàm của hàm f x cos 3x và F Tính F 2 9 32 A F 9 32 36 B F C F 6 9 9 Lời giải sin x F x cos xdx C sin 3x F C 1 F x 1 F 9 2 Câu 17 sin 36 D F 9 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x Biết F k k với mọi k Tính F F F F 10 cos x 4 A 55. Ta có f x dx B 44. C 45. Lời giải D 0. dx tan x C cos x tan x C0 , x ; F 3 tan x C1 , x ; F 2 4 3 5 tan x C2 , x ; F Suy ra F x 2 4 17 19 tan x C9 , x ; F 19 21 ; tan x C10 , x F 4 0 C0 C0 1 C1 C1 2 C2 C0 9 C9 C9 10 C10 10 C10 Vậy F F F F 10 tan tan tan 2 tan10 44 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x x , thỏa mãn F 0 Tính giá trị biểu thức T F F 1 F F 2019 ln A T 22020 ln B T 1009 22019 C T 22019.2020 Lời giải D T 2019 ln Chọn A Ta có: F x x dx Theo giả thiết F 2x C ln 20 2x C C Suy ra: F x ln ln ln ln Vậy T F F 1 F F 2019 20 21 22 22019 ln ln ln ln 1 22020 2020 20 21 22 2019 ln ln 1 ln Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số “ Nếu f x dx F x C thì f u x u ' x dx F u x C ”. Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f x dx , trong đó ta có thể phân tích f x g u x u ' x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t u x dt u ' x dx Khi đó: I g t dt G t C G u x C Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x Đổi biến số với số hàm thường gặp b PP PP t f (ax b)n xdx t ax b n f ( x) f ( x)dx n f ( x) a b b PP PP f (ln x) dx t ln x f (e x )e x dx t ex x a a b b PP PP f (sin x) cos x dx t sin x f (cos x )sin x dx t cos x a b a b f (tan x) a PP dx t tan x f (sin x cos x ).(sin x cos x)dx t sin x cos x cos x a PP PP f ( a x ) x n dx x a sin t f ( x a ) m x n dx x a tan t ax dx PP f d x x a cos t t ax b cx d ( ax b)(cx d ) a x s s dx PP x t ( a bx ) a bx R ax b ,., k ax b dx t n ax b n n n Đổi biến số với hàm ẩn Nhận dạng tương đối: Đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) Phương pháp: Đặt t ( x ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số, b mà phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa a b b f (u )du f (t )dt f ( x)dx a a Câu 19 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F x e x x là một nguyên hàm của hàm số f x trên Khi đó f x dx bằng A 2e x x C B 2x e x C 2x e x C Lời giải D e2 x x C C Chọn C Ta có: F x e x x là một nguyên hàm của hàm số f x trên f x dx Câu 20 1 f x d x F x C e x x C 2 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết F x ex x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên Khi đó f x dx bằng x A 2e 4x C B 2x e x C 2x C e 8x C D 2x e x C Lời giải Chọn B Ta có: F x ex x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên Suy ra: f x F x ex 2x2 ex 4x f 2x e2 x 8x f x dx e x x dx Câu 21 2x e x C (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x e x x là một nguyên hàm của hàm số f x trên Khi đó f x dx bằng A 2x e x2 C B e2 x x C C 2e x x C D 2x e x C Lời giải Chọn A Ta có f x dx Câu 22 1 f x d x F x C e2 x x C 2 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F x e x x là một nguyên hàm của hàm số f x trên Khi đó f x dx bằng A e x x C B 2e x x C 2x e x C Lời giải C D Chọn D Đặt t x dt 2dx dx dt Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2x e x C TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 1 f x dx f t dt F t C et 2t C e x x C e x x C 2 2 Câu 28 [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết f x dx sin x ln x C Tìm nguyên hàm f x dx ? x ln x C x C f x dx 2sin ln x C A f x dx sin B f x dx 2sin 2 x 2ln x C D f x dx 2sin x 2ln x C Lời giải Chọn C 1 cos x f 2x d 2x ln x ln C 2 f x d x cos x ln x ln 2C Ta có: f x dx sin x ln x C f x dx cos x ln x ln 2C f x dx sin x ln x C Câu 46 [DS12.C3.1.D09.b] Cho f (4 x) dx x 3x c Mệnh đề nào dưới đây đúng? A C f ( x 2) dx x2 x C B f ( x 2)dx x f ( x 2) dx x2 x C D f ( x 2) dx x C x2 x C Lời giải Chọn C Từ giả thiết bài toán f (4 x) dx x 3x c Đặt t x dt 4dx từ đó ta có t2 t t f ( t )d t c f ( t )d t 3t c 4 4 4 Xét f ( x 2)dx f ( x 2)d(x 2) Vậy mệnh đề đúng là f ( x 2)dx Câu ( x 2) x2 3( x 2) c x C 4 x2 x C [DS12.C3.1.D09.b] Cho f x dx x3 x C0 Tính I xf x dx x10 x C 10 C I x x C D I 12 x A I x x C B I Lời giải Chọn A Ta có: I xf x dx 1 2 f x dx x x C x x C 2 Câu 23 (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x e x 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x3 x3 1 e C C f x dx e Câu 24 f x dx A x3 1 C D f x dx 3e B f x dx e x3 1 x3 1 C C Lời giải 3 1 f x dx x e x 1dx e x 1d x 1 e x 1 C 3 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f x sin x.esin x là 2 A sin x.e sin x 1 esin x 1 C B sin x C sin x C e esin x1 C D sin x C Lời giải Ta có sin x.e sin x dx e sin x d sin x e sin x C Câu 25 Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f x A C x 3x f x dx 1 x4 ln C 3x 36 x B f x dx 1 x4 ln C 3x 36 x D f x dx 1 x4 ln C 12x 36 x f x dx 1 x4 ln C 12x 36 x Lời giải Chọn A Câu 26 4 x3 dx x 3 x f x dx dx dx dx 2 4 4 4 x 3x x x 3 x x 3 12 x x 3 dx dx 1 x4 ln C 12 x 2 12 x x 3 12x 36 x (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F x biết F x F 4 A F x ln x B F x ln x 4 4 C F x ln x 1. D F x 4ln x 1. Lời giải Chọn C 1 4 Ta có: F x d x ln x C x 1 Do F nên ln 1 C C 4 Vậy: F x ln x 1. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x3 dx và x4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó S ln 1 2018 2018 ln 1 1 2017 2017 ln 2 Câu 67 (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f x xác định trên \ 1;1 thỏa mãn f x , x 1 1 1 f 2 f và f f Tính f 3 f f được kết quả 2 2 6 4 A ln B ln C ln D ln 5 5 Lời giải x 1 ln x C1 x 1 x 1 1 C2 x 1. Ta có f x f x dx dx dx ln x 1 x x 1 x x 1 C3 x ln x 1 f 2 f ln C1 ln C3 C C3 Khi đó 1 f f ln C ln C C2 2 3 Do đó f 3 f f ln C1 C2 ln C3 ln 5 Dạng Nguyên hàm phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên a; b và có đạo hàm liên tục trên a; b Khi đó: udv uv vdu b Để tính tích phân I f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a Bước 1: Chọn u, v sao cho f x dx udv (chú ý: dv v ' x dx ). Tính v dv và du u '.dx Bước 2: Thay vào cơng thức và tính vdu Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn udv Ta thường gặp các dạng sau sin x Dạng : I P x dx , trong đó P x là đa thức cos x sin x Với dạng này, ta đặt u P x , dv dx cos x Dạng : I x eaxb dx Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 u P x Với dạng này, ta đặt , trong đó P x là đa thức ax b dv e dx Dạng : I P x ln mx n dx u ln mx n Với dạng này, ta đặt dv P x dx sin x x Dạng : I e dx cos x sin x sin x u u Với dạng này, ta đặt cos x để tính vdu ta đặt cos x x x dv e dx dv e dx Câu 68 x (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x x2 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g x x 1 f x là A x2 2x C x2 B x2 x2 C C x2 x x2 C D x2 x2 C Lời giải Chọn B x2 x Tính g x x 1 f x dx x 1 f x x 1 f x dx f x dx x2 x2 x x 2 Câu 69 x dx x 2 x2 x x2 x2 C x2 x 2 x (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x x2 C Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g x x 1 f x là A x2 x C B x3 C C x2 x 2 x 3 x 3 C D x 3 x 3 x2 C Lời giải Chọn D Ta có x 1 f x dx x 1 f x Câu 70 x x3 dx x2 x 3 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x) x x2 C Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g ( x ) ( x 1) f '( x ) A x2 x 1 2 x 1 C B x 1 C C x2 x C x 1 x 1 D x 1 x2 C Lời giải Chọn D u x 1 du dx Xét g ( x ) dx ( x 1) f '( x )dx Đặt dv f '( x)dx v f ( x ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy g ( x ) dx ( x 1) f ( x ) f ( x )dx g ( x) dx g ( x ) dx ( x 1) x x2 x 1 g ( x) dx Câu 71 x2 x C g ( x)dx ( x 1) x x 1 x2 x x2 1 x2 x dx x 1 C C x (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x 4 g x x 1 f x là A x4 C x2 x4 B x2 C C x2 x x2 C D x2 x Lời giải Chọn B x x x Ta có: f x x2 f x x x2 x2 x 4 f x x x x 4 x2 x2 x x2 x2 x 4 Suy ra: g x x 1 f x x f x f x g x dx x f x f x dx x f x dx f x dx 4x x 4 Xét: I dx f x dx 4x x 4 dx Đặt t x dt xdx Suy ra: I 2dt t 2dt t t dt t C1 4 C1 t 4 x2 C1 và: J f x dx f x C2 Vậy: g x dx 4 x x 4 x 4 Cách 2: g x x 1 f x C x4 x2 C g x dx x 1 f x dx u x du dx Đặt: dv f x dx v f x Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x2 C TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra: g x dx x 1 f x f x x2 x x 4 Câu 72 d x2 4 2 x 4 x2 x x 1 x dx x2 x4 x2 C x2 x 4 x x2 dx C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x liên tục trên Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x e x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x e x là: A sin x cos x C B sin x cos x C C sin x cos x C D sin x cos x C Lời giải Chọn C Do cos x là một nguyên hàm của hàm số f x e x nên f x e x cos x f x e x 2 sin x Khi đó ta có f x e x dx cos x C u f x du f x dx Đặt x x dv e dx v e Khi đó f x e x dx cos x C f x d e x cos x C x x f x e f x e dx cos x C f x e dx 2sin x cos x C x Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số f x e x là sin x cos x C Câu 73 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x x 1 ln x là: A x2 ln x 3x B x2 ln x x2 C x ln x 3x C D x2 ln x x2 C Lời giải Chọn D Ta có f x x 1 ln x F x x 1 ln x dx đặt u ln x du x F x x 1 ln x xdx x 1 ln x x C x ln x x C dv x v x Câu 74 Họ các nguyên hàm của hàm số f x x sin x là A F x x cos x sin x C B F x x cos x sin x C C F x x cos x sin x C D F x x cos x sin x C Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 u x du dx Đặt dv sin xdx v cos x Suy ra x sin xdx x cos x cos xdx x cos x sin x C Câu 75 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) x.e x là : 1 A F ( x) e x x C 2 B F ( x ) C F ( x) 2e2 x x C 1 D F ( x ) 2e x x C 2 2x e x 2 C Lờigiải du dx u x Đặt 2x 2x dv e v e Câu 76 x.e x dx 2x 2x x.e e dx 2 x.e x dx 1 2x 2x x.e e C e x x C 2 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x x 1 e x là A x 3 e x C B x 3 e x C C x 1 e x C D x 1 e x C Lời giải x Gọi I x 1 e dx u x du 2dx Đặt x x dv e dx v e I x 1 e x 2 e x dx x 1 e x 2e x C x 3 e x C Câu 77 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) xe2 x ? A F ( x ) 2x 1 e x C 2 C F ( x) 2e2 x x C B F ( x) e x x C 1 D F ( x ) 2e x x C 2 Lời giải Ta có F ( x ) xe x dx du dx u x Đặt 2x 2x dv e dx v e 1 1 1 Suy ra F ( x ) xe2 x e2 x dx xe x e x C e x x C 2 2 Câu 78 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x x 1 sin x là Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x2 x sin x cos x C A x2 x cos x sin x C C x2 B x cos x sin x C D x2 x sin x cos x C Lời giải Ta có: f x dx x 1 sin x dx xdx x.sin xdx xdx xd cos x = Câu 79 x2 x2 x cos x cos xdx = x cos x sin x C 2 (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Giả sử F x ax bx c e x là một nguyên hàm của hàm số f x x 2e x Tính tích P abc A B C 5 Lời giải D 3 Chọn A u x du xdx Ta đặt: x 2e x dx x 2e x 2 xe x dx x x dv e dx v e u x du dx Ta đặt: x 2e x dx x 2e x xe x e x dx x x e x x x dv e dx v e Vậy a 1, b 2, c P abc 4 Câu 80 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) x(1 e x ) A x 1 e x x B x 1 e x x C x e x x D x e x x Lời giải Ta có x(1 e x )dx 2 xdx 2 xe x dx ux du dx Gọi I 2 x ln xdx Đặt x x dv e dx v e Khi đó I xe x 2 e x dx Vậy x(1 e x )dx 2 xdx xe x 2 e x dx x xe x x C = x e x x C Câu 81 Họ nguyên hàm của f x x ln x là kết quả nào sau đây? x ln x x C 2 1 C F x x ln x x C A F x Ta có F x x ln x x C 1 D F x x ln x x C Lời giải B F x dx du u ln x x f x dx x ln xdx Đặt dv xdx v x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Theo cơng thức tính ngun hàm từng phần, ta có: 1 1 F x x ln x xdx x ln x x C 2 Câu 82 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 3x 1 ln x A C f x dx x x 1 ln x x3 C B f x dx x x 1 ln x x3 x C D f x dx x ln x x3 C f x dx x3 ln x x3 x C Lời giải Chọn C Ta có I 3x 1 ln xdx u ln x du x dx Đặt dv 3x 1 dx v 3x 1 dx x x x3 I x3 x ln x x x dx x x 1 ln x x 1 dx x x 1 ln x x C x Câu 83 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x x trên khoảng sin x 0; là A x cot x ln sinx C B x cot x ln s inx C C x cot x ln sinx C D x cot x ln s inx C Lời giải Chọn A F x f x dx x dx s in x u x du dx Đặt dv s in x dx v cot x d sin x x cos x dx x.cot x cot xdx x.cot x dx x.cot x s in x sin x sin x x.cot x ln s inx C Với x 0; s inx ln s inx ln s inx Khi đó: F x Vậy F x x cot x ln s inx C Câu 84 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số y 3x x cos x A x3 x sin x cos x C B x3 x sin x cos x C C x3 x sin x cos x C D x3 x sin x cos x C Lời giải Chọn A Ta có: x x cos x dx x dx x cos xdx Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x dx x C1 x cos xdx x.d sin x x.sin x 3sin xdx x.sin x 3cos x C2 Vậy x x cos x dx x x sin x cos x C Câu 85 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x x xe x là x x 1 e x C B x x 1 e x C 5 C x xe x C D x3 x 1 e x C Lời giải A Ta có: x xe x dx x dx xe x dx +) x dx= x C1 u x du dx +) Đặt x x dv e dx v e Suy ra: xe x dx xe x e x dx xe x e x C2 x 1 e x C2 Vậy x xe x dx x x 1 e x C Câu 86 Cho hai hàm số F x , G x xác định và có đạo hàm lần lượt là f x , g x trên Biết rằng A x 1 ln x 1 x C C x 1 ln x 1 x C F x G x x ln x và F x g x 2 2 2 x3 Họ nguyên hàm của f x G x là x2 D x 1 ln x 1 x B x ln x x C 2 C Lời giải Chọn C Ta có F x G x F x G x dx F x G x F x G x dx F x G x dx F x G x F x G x dx x3 x ln x 1 dx x ln x 1 x 1 ln x 1 C x 1 x 1 ln x 1 x C Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số f x x.e2 x là A F x 2x 1 e x C 2 C F x 2e2 x x C B F x e x x C 1 D F x 2e x x C 2 Lời giải du dx ux Đặt x 2x dv e dx v e Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 F x x.e x Câu 87 2x 1 1 e dx x.e x e x C e x x C 2 2 (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A x x x xe dx e xe C B x xe dx x2 x x e e C C x x x xe dx xe e C D x xe dx x2 x e C Lời giải Sử dụng công thức: udv u.v vdu Ta có: xe x dx xd e x xe x e x dx xe x e x C Câu 88 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x , G x xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f x , g x trên Biết F x G x x ln x 1 và F x g x x3 Tìm họ nguyên hàm của x2 f xG x C x 1 ln x 1 x D x A x2 ln x x2 C 2 1 ln x 1 x B x ln x x C C 2 C Lời giải Ta có: f x G x dx G x d F x G x F x F x d G x G x F x F x g x dx f x G x dx x ln x 1 x3 2x dx x ln x 1 x dx x 1 x 1 d x 1 x ln x 1 x ln x 1 C x 1 x 1 ln x 1 x C x ln x 1 x 2 x2 a Tìm nguyên hàm của 1 Câu 89 Cho biết F x x3 x là một nguyên hàm của f x x2 x g x x cos ax A x sin x cos x C C x sin x cos C 1 x sin x cos x C 1 D x sin x cos x C Lởi giải B Chọn C 2 x 1 Ta có F x x x x2 Do F x là một nguyên hàm của f x x a x2 nên a g x dx x cos xdx Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x g x dx x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C Câu 90 2x Họ nguyên hàm của hàm số y x ln x x là A x x ln x x2 x C B x x ln x x2 x C C x x 1 ln x x2 x C D x x 1 ln x x2 x C Lời giải 2x x ln x 1 dx x 1 ln x dx dx I1 I x x u ln x du dx I1 x 1 ln x dx Đặt x dv x 1 dx v x x Ta có: I1 x x ln x x x dx x x ln x x 1 dx x x x x ln x x C1 I dx ln x C2 x 2x x ln x x d x I1 I x2 x2 x x ln x x C1 ln x C2 x x 1 ln x x C 2 Dạng 4.2 Tìm ngun hàm có điều kiện Câu 91 (Mã 104 2017) Cho F x f x là một nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của 2x x hàm số f x ln x ln x C x2 x B f x ln xdx ln x C x2 x2 ln x 2 x 2x D f x ln xdx ln x C x2 x2 A f x ln xdx C f x ln xdx C Lời giải Chọn C Ta có: f x x dx 1 Chọn f x x 2x dx du u ln x x Suy ra f x ln x dx ln x dx Đặt x dv x dx v 1 x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó: f x ln x dx Câu 92 ln x ln x 1 ln x dx dx C x x x 2x x (Mã 105 2017) Cho F x f x là một nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của x 3x hàm số f x ln x ln x C x 5x ln x f x ln xdx C x 3x ln x C x 5x ln x f x ln xdx C x 3x A f x ln xdx B f x ln xdx C D Lời giải Chọn C Ta có F x f x x f x x.F x x x3 x3 x f x 3 x 4 f x ln x 3 x 4 ln x Vậy f x ln xdx 3 x 4 ln x dx 3 ln x.x 4 dx Đặt u ln x; dv x 4dx du dx x 3 ;v x 3 ln x x4 ln x ln x dx x 4dx C Nên f x ln xdx 3 ln x.x 4dx 3 3 x 3x 3x x Câu 93 (Mã 110 2017) Cho F x x 1 e x là một nguyên hàm của hàm số f x e2x Tìm nguyên hàm của hàm số f x e2x A f xe 2x dx x e x C C f x e 2x dx 2 x x e C 2x dx x e x C 2x dx x e x C B f xe D f x e Lời giải Chọn D Theo đề bài ta có f x e x dx x 1 e x C , suy ra f x e x x 1 e x e x x 1 e x f x e x x 1 e x x.e x f x 1 x e x Suy ra K f x e x dx 1 x e x dx 1 x d e x e x 1 x e x dx x e x C Câu 94 Cho hàm số f x thỏa mãn f x xe x và f Tính f 1 A f 1 B f 1 e C f 1 e D f 1 2e Lời giải Ta có: f x f x dx x.e x dx u x du dx f x x.e x e x dx x.e x e x C Đặt x x dv e dx v e Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo đề: f 1 C C f x x.e x e x f 1 Câu 95 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x e x , x và f Tất cả các nguyên hàm của f x e x là A x e x e x C B x e2 x e x C C. x 1 e x C D x 1 e x C Lời giải Chọn D Ta có f x f x e x f x e x f x e x f x e x f x e x x C1 Vì f C1 f x e2 x x e x f x e x dx x e x dx u x du dx Đặt x x dv e dx v e f x e x dx x e x dx x e x e x dx x e x e x C x 1 e x C Câu 96 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x x 1 e x , f và f x dx ax b e x c với a, b, c là các hằng số. Khi đó: A a b B a b C a b Lời giải D a b Theo đề: f ' x x 1 e x Nguyên hàm 2 vế ta được x x x f ' x dx x 1 e dx f x x 1 e e dx f x x 1 e x e x C xe x C Mà f 0.e0 C C f x xe x f x dx xe x dx xe x e x dx xe x e x C x 1 e x C Suy ra a 1; b 1 a b Câu 97 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x xe x Tính F x biết F A F x x 1 e x B F x x 1 e x C F x x 1 e x D F x x 1 e x Lời giải u x du dx Đặt x x dv e dx v e Do đó xe x dx xe x e x dx xe x e x C F x; C F e0 C C Vậy F x x 1 e x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 98 (Sở Quảng Nam - 2018) Biết x cos xdx ax sin x b cos x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A ab B ab C ab Lời giải D ab du dx u x Đặt d v cos xdx v sin x 1 1 Khi đó x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C 2 1 a , b Vậy ab Câu 99 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Giả sử F x là một nguyên hàm của f x ln x 3 x2 sao cho F 2 F 1 Giá trị của F 1 F bằng A 10 ln ln Tính ln x 3 x2 B ln Lời giải C D ln ln dx dx u ln x 3 du x3 Đặt dx dv v x x Ta có ln x 3 1 x dx dx ln x 3 ln x 3 ln C F x, C x x x x 3 x x3 1 1 Lại có F 2 F 1 ln C ln ln C 2C ln 3 3 1 10 Suy ra F 1 F ln ln ln ln 2C ln ln 3 Câu 100 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x là một nguyên hàm của hàm số f x ln x 1 Cho biết g và g 3 a ln b trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T 3a b A T B T 17 C T Lời giải D T 13 u ln x 1 du Đặt x 1 dv dx v x x 1 dx x 1 ln x 1 x C x 1 Do g 1ln1 C C g x x 1 ln x 1 x g x ln x 1 dx x 1 ln x 1 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra: g 3 ln ln ln a 1, b 3a b 13 Câu 101 (Sở Quảng Nam - 2018) Biết x cos xdx ax sin x b cos x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A ab B ab C ab Lời giải D ab du dx u x Đặt d v cos x d x v sin x 1 1 Khi đó x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C 2 1 a , b Vậy ab BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... 4 x x2 dx C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho? ?hàm? ?số f x liên tục trên Biết cos 2x là một? ?nguyên? ?hàm? ? của? ?hàm? ?số f x e x , họ tất cả các? ?nguyên? ?hàm? ?của? ?hàm? ?số f x e... 1 x x x Suy ra họ? ?nguyên? ?hàm? ?của? ?hàm? ?số f x Câu 54 x3 là x 3x 2 (Chuyên? ? Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm một nguyên? ? hàm? ? F x của hàm? ? số b x , biết rằng ... 2sin x cos x C x Vậy tất cả các? ?nguyên? ?hàm? ?của? ?hàm? ?số f x e x là sin x cos x C Câu 73 (Đề? ?Tham Khảo 2019) Họ? ?nguyên? ?hàm? ?của? ?hàm? ?số f x x 1 ln x là: A x2
Ngày đăng: 01/05/2021, 17:10
Xem thêm: