Chuyên đề 25 nguyên hàm đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25   TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm có điều kiện Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx  C    x n dx          k dx  kx  C   x n 1 C   n 1 dx  ln x  C   x 1 dx    C   x x    sin x dx   cos x  C      cosx dx  sin x  C       (ax  b)n dx  (ax  b)n 1 C.  a n 1     1 dx  ln ax  b  C   ax  b a     1 dx    C.  a ax  b (ax  b )     sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C   a    dx   cot x  C   sin2 x     sin(ax  b)  C   a dx   cot(ax  b)  C   a sin (ax  b )    dx  tan x  C   cos2 x     dx  tan(ax  b)  C   cos (ax  b) a    e x dx  e x  C      a x dx  ax C.  ln a     cos(ax  b)dx      eax b dx  eax b  C   a     a x  dx  a x  C    ln a ♦ Nhận xét Khi thay x (ax  b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm   a Một số nguyên tắc tính PP   Tích đa thức lũy thừa    khai triễn PP   Tích hàm mũ   khai triển theo công thức mũ 1 1   Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a 2 2 PP   Chứa tích thức x    chuyển lũy thừa.  Câu (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  1  f ( x )   xác  định  trên   \     thỏa  mãn  2 , f    1, f 1   Giá trị của biểu thức  f  1  f  3  bằng 2x 1 A  ln15 B  ln15 C ln15 D  ln15   Lời giải Chọn C  x  dx  ln x   C  f  x    f  x  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  , f     C   nên  f  1   ln   Với  x  , f 1   C   nên  f  3   ln   Nên  f  1  f  3   ln15 Với  x  Câu (Sở Phú Thọ 2019) Cho  F  x   là một nguyên hàm của  f  x    trên khoảng  1;   thỏa  x 1 mãn  F  e  1  Tìm  F  x    A 2ln  x  1    B ln  x  1  C 4ln  x  1   D ln  x  1  Lờigiải Chọn B F  x  =    dx  C  ln x   C   x 1 F  e  1   Ta có   C   C    Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   ,  x2 biết  F 1   Giá trị của  F    bằng  A  ln C  ln  2  B ln D ln  2  Lờigiải Cách 1:  Ta có:   f  x dx   dx  ln x   C , C     x2 Giả sử  F  x   ln x   C0  là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F 1    Do  F 1   C0   F  x   ln x   Vậy  F     ln   Câu (KTNL  GV  Thuận  Thành  2  Bắc  Ninh  2019)  Cho  F  x    là  một  nguyên  hàm  của  hàm  f  x  ; biết  F     Tính  F 1   2x 1 A F 1  ln    C F 1  2ln    D F 1  ln    Lời giải  B F 1  ln    Chọn D  Ta có  F x   Do  F 0   Vậy  F x   1  2x  1dx  ln 2x   C   ln 2.0   C   C    1 ln 2x    F 1  ln    2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu x (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  y   trên   ;0    thỏa mãn  F  2   Khẳng định nào sau đây đúng?   x   x   ;0      A F  x   ln  B F  x   ln x  C x   ;0   với  C  là một số thực bất kì.  C F  x   ln x  ln x   ;0   D F  x   ln   x   C x   ;0   với  C  là một số thực bất kì.  Lời giải  x Ta có  F  x    dx  ln x  C  ln   x   C  với  x   ;0    x       Lại có  F  2   ln  C   C   ln  Do đó  F  x   ln   x   ln  ln   x   x   ;0      Vậy  F  x   ln  Câu (THPT  Minh  Khai  Hà  Tĩnh  2019)  Cho  hàm  số  f  x    xác  định  trên  R \ 1   thỏa  mãn  ,  f    2017 ,  f    2018  Tính  S  f  3  f  1   x 1 A S  ln 4035   B S    C S  ln   D S    Lời giải dx  ln  x  1  C1  f  x   ln  x  1  C1   Trên khoảng  1;    ta có   f '  x  dx   x 1 Mà  f (2)  2018  C1  2018   f  x  Trên khoảng  ;1  ta có   f '  x  dx   dx  ln 1  x   C2  f  x   ln 1  x   C2   x 1 Mà  f (0)  2017  C2  2017   ln( x  1)  2018 Vậy  f  x    ln(1  x)  2017 Câu x   Suy ra  f  3  f  1    x  (Mã 105 2017) Cho  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  e x  x  thỏa mãn  F      Tìm  F  x  C F  x   e x  x  A F  x   e x  x  B F  x   e x  x  D F  x   2e x  x    Lời giải Chọn A Ta có  F  x     e x  x  dx  e x  x  C   Theo bài ra ta có:  F     C   C    2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   e2 x   và  F     Giá trị của  F  ln 3  bằng  A 2.  C 8.  Lời giải 1 1 F  x    e x dx  e x  C ; F     C    F  x   e x    2 2 2ln Khi đó  F  ln   e     2 Câu B 6.  D 4.  (Sở Bình Phước 2019) Biết  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  e2x  và  F    1 F    là  2 A e  200 e  50 Lời giải  B 2e  100 C D 201   Giá trị  e  100 Chọn D Ta có   e2 x dx  2x  e  C   Theo đề ra ta được:  F    201 201   e0  C   C  100   2 1 2x   2 Vậy  F ( x)  e  100  F    e  100  e  100   2 2 Câu 10 (Chuyên  Nguyễn  Trãi  Hải  Dương 2019)  Hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên     và:  f   x   2e2 x  1, x, f     Hàm  f  x   là  A y  2e x  x   B y  2e x    C y  e x  x    D y  e x  x    Lời giải Ta có:   f   x  dx    2e  1 d x  e  x  C   2x 2x Suy ra  f  x   e2 x  x  C   Theo bài ra ta có:  f      C   C  1.  Vậy:  f  x   e2 x  x    Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số  f  x   x  e x  Tìm một nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x    thỏa mãn  F    2019   A F  x   x  e x  2018   B F  x   x  e x  2018   C F  x   x  e x  2017   D F  x   e x  2019   Lời giải Ta có   f  x  dx    x  e dx  x  e  C   x x Có  F  x   là một nguyên hàm của  f  x   và  F    2019   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   F  x   x  e x  C   C  2019  C  2018   Suy ra    F    2019 Vậy  F  x   x  e x  2018   Câu 12 Gọi  F  x    là một nguyên  hàm  của  hàm  số  f  x   x ,  thỏa  mãn  F      Tính giá  trị  biểu  ln thức  T  F    F 1   F  2018   F  2019    A T  1009 C T  22019    B T  22019.2020   ln 22019    ln D T  22020    ln Lời giải x Ta có   f  x dx   x dx  C   ln F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   x , ta có  F  x   2x    C  mà  F    ln ln 2x   ln T  F    F 1   F  2018   F  2019     C   F  x   Câu 13 1 22020  22020      22   2018  22019     ln ln 2  ln   (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   sin x  cos x  thoả mãn  F    2 A F  x    cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x    cos x  sin x  D F  x   cos x  sin x    Lời giải Chọn C Có  F  x    f  x  dx    sin x  cos x  dx   cos x  sin x  C      Do  F     cos  sin  C    C   C   F  x    cos x  sin x    2 2 Câu 14 (Mã 123 2017) Cho hàm số  f  x   thỏa mãn  f '  x    sin x  và  f    10  Mệnh đề nào dưới  đây đúng? A f  x   x  cos x  15 B f  x   x  cos x  C f  x   x  cos x  D f  x   x  cos x    Lời giải Chọn C Ta có  f  x      sinx  dx  x  cos x  C   Theo giả thiết  f    10  nên   C  10  C    Vậy  f  x   x  cos x    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số  f  x   thỏa mãn  f   x    5sin x  và  f    10  Mệnh đề  nào dưới đây đúng?  A f  x   x  5cos x    B f  x   x  5cos x  15   C f  x   x  cos x    D f  x   x  cos x  10   Lời giải Ta có:  f  x    f   x  dx     5sin x  dx  x  cos x  C   Mà  f    10  nên   C  10  C    Vậy  f  x   x  cos x    Câu 16 (Liên  Trường  Thpt  Tp  Vinh  Nghệ  An  2019)  Biết  F  x    là  một  nguyên  hàm  của  hàm      f  x   cos 3x  và  F     Tính  F     2 9 32   A F      9 32 36     B F      C F      6 9 9 Lời giải sin x F  x    cos xdx  C     sin 3x   F     C  1   F  x   1    F    9 2 Câu 17 sin 36   D F      9       (Chuyên  Lê  Quý  Đôn  Quảng  Trị  2019)  Cho  F  x    là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f  x     Biết  F   k   k  với mọi  k   Tính  F    F    F      F 10    cos x 4  A 55.  Ta có   f  x  dx   B 44.  C 45.  Lời giải D 0.  dx  tan x  C   cos x        tan x  C0 , x    ;  F            3   tan x  C1 , x   ;  F  2     4     3 5   tan x  C2 , x   ;  F  Suy ra  F  x     2   4         17 19   tan x  C9 , x   ;  F         19 21     ;  tan x  C10 , x    F    4     0    C0   C0  1        C1   C1     2    C2   C0       9    C9   C9     10    C10  10  C10   Vậy  F    F    F      F 10   tan   tan   tan 2    tan10   44   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 18 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   x , thỏa mãn  F 0   Tính giá trị biểu thức  T  F    F 1  F     F  2019    ln A T  22020    ln B T  1009 22019    C T  22019.2020   Lời giải  D T  2019    ln Chọn A Ta có:  F  x    x dx  Theo giả thiết  F    2x  C   ln 20 2x    C   C   Suy ra:  F  x   ln ln ln ln Vậy  T  F    F 1  F     F  2019   20 21 22 22019       ln ln ln ln 1  22020 2020  20  21  22   2019       ln ln 1 ln Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số  “ Nếu   f  x  dx  F  x   C  thì   f  u  x   u '  x  dx  F  u  x    C ”.  Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm  I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích  f  x   g  u  x   u '  x  dx  thì ta thức hiện phép đổi biến số  t  u  x     dt  u '  x  dx  Khi đó:  I   g  t  dt  G  t   C  G  u  x    C   Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay  t  u  x    Đổi biến số với số hàm thường gặp b PP PP t       f (ax  b)n xdx     t  ax  b      n f ( x) f ( x)dx  n f ( x) a b b PP PP      f (ln x) dx   t  ln x      f (e x )e x dx   t  ex x a a b b PP PP      f (sin x) cos x dx   t  sin x      f (cos x )sin x dx   t  cos x a b a b      f (tan x) a  PP dx   t  tan x      f (sin x  cos x ).(sin x  cos x)dx  t  sin x  cos x cos x a    PP PP      f ( a  x ) x n dx   x  a sin t      f ( x  a ) m x n dx   x  a tan t      ax  dx PP      f  d x   x  a cos t      t  ax  b  cx  d   ( ax  b)(cx  d )    a x    s s  dx PP  x   t  ( a  bx ) a  bx      R  ax  b ,., k ax  b  dx  t n  ax  b      n n n Đổi biến số với hàm ẩn  Nhận dạng tương đối: Đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x)  Phương pháp: Đặt t  ( x ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số, b mà phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa  a b b f (u )du   f (t )dt     f ( x)dx   a a   Câu 19 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết  F  x   e x  x  là một nguyên hàm của hàm số  f  x   trên    Khi  đó   f  x  dx  bằng  A 2e x  x  C   B 2x e  x  C   2x e  x  C   Lời giải  D e2 x  x  C   C Chọn C Ta có:  F  x   e x  x  là một nguyên hàm của hàm số  f  x   trên     f  x  dx  Câu 20   1 f  x  d x  F  x   C  e x  x  C    2 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết  F  x   ex  x2  là một nguyên hàm của hàm số  f  x   trên    Khi  đó   f  x  dx  bằng  x A 2e  4x  C   B 2x e  x  C   2x C e  8x  C   D 2x e  x  C   Lời giải  Chọn B Ta có:  F  x   ex  x2  là một nguyên hàm của hàm số  f  x   trên     Suy ra:  f  x   F   x    ex  2x2   ex  4x  f  2x   e2 x  8x     f  x  dx    e x  x dx  Câu 21 2x e  x  C   (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết  F  x   e x  x  là một nguyên hàm của hàm số  f  x   trên    Khi  đó   f  x  dx  bằng  A 2x e  x2  C B e2 x  x  C C 2e x  x  C D 2x e  x  C   Lời giải Chọn A Ta có   f  x  dx  Câu 22 1 f  x  d  x     F  x   C    e2 x  x  C    2 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết  F  x   e x  x  là một nguyên hàm của hàm số  f  x   trên    Khi  đó   f  x  dx  bằng  A e x  x  C   B 2e x  x  C   2x e  x  C   Lời giải C D Chọn D Đặt  t  x  dt  2dx  dx  dt   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2x e  x  C   TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   1 1 f  x  dx   f  t  dt  F  t   C   et  2t   C  e x   x   C  e x  x  C   2 2 Câu 28 [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết   f  x  dx  sin x  ln x  C  Tìm nguyên hàm   f  x  dx ?  x  ln x  C   x C  f  x  dx  2sin  ln x  C     A  f  x  dx  sin B  f  x  dx  2sin 2 x  2ln x  C     D f  x  dx  2sin x  2ln x  C     Lời giải   Chọn C 1  cos x f 2x d 2x   ln  x   ln  C    2     f  x  d  x    cos x  ln  x   ln  2C   Ta có:   f  x  dx  sin x  ln x  C    f  x  dx   cos x  ln x  ln  2C   f  x  dx  sin x  ln x  C    Câu 46 [DS12.C3.1.D09.b] Cho   f (4 x) dx  x  3x  c  Mệnh đề nào dưới đây đúng?  A C  f ( x  2) dx  x2  x  C   B  f ( x  2)dx  x  f ( x  2) dx  x2  x  C   D f ( x  2) dx    x  C    x2  x  C    Lời giải  Chọn C Từ giả thiết bài toán   f (4 x) dx  x  3x  c   Đặt  t  x  dt  4dx  từ đó ta có  t2 t t f ( t )d t    c  f ( t )d t   3t  c        4 4 4 Xét   f ( x  2)dx   f ( x  2)d(x  2)  Vậy mệnh đề đúng là   f ( x  2)dx  Câu ( x  2) x2  3( x  2)  c   x  C   4 x2  x  C      [DS12.C3.1.D09.b] Cho  f  x  dx  x3  x  C0  Tính  I  xf x dx  x10 x  C 10 C I  x  x  C D I  12 x  A I  x  x  C B I  Lời giải  Chọn A    Ta có:  I  xf x dx  1 2 f  x  dx   x    x   C  x  x  C    2     Câu 23 (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f  x   x e x 1   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x3 x3 1 e  C    C  f  x  dx e  Câu 24 f  x  dx  A x3 1  C   D  f  x  dx 3e B  f  x  dx  e x3 1 x3 1  C    C   Lời giải 3 1 f  x  dx   x e x 1dx   e x 1d  x  1  e x 1  C   3 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của  f  x   sin x.esin x  là  2 A sin x.e sin x 1 esin x 1  C   B sin x   C   sin x C e esin x1  C   D sin x   C   Lời giải Ta có   sin x.e sin x dx   e sin x d  sin x   e sin x C   Câu 25 Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số  f  x   A C   x  3x  f  x  dx   1 x4  ln C 3x 36 x  B  f  x  dx   1 x4  ln C   3x 36 x  D  f  x  dx   1 x4  ln C   12x 36 x   f  x  dx   1 x4  ln C  12x 36 x  Lời giải  Chọn A Câu 26  4 x3 dx  x  3  x f  x  dx   dx   dx     dx   2 4 4 4 x  3x  x   x  3  x   x  3 12  x   x  3  dx dx 1  x4      ln  C   12   x 2 12  x  x  3 12x 36  x   (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tìm  hàm  số  F  x    biết  F  x    F      4 A F  x   ln x    B F  x   ln x     4 4 C F  x   ln x   1.  D F  x   4ln x   1.  Lời giải  Chọn C 1 4 Ta có:  F  x    d x   ln x   C   x 1 Do  F     nên  ln   1  C   C    4 Vậy:  F  x   ln x   1.                Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x3 dx   và  x4  NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Do đó  S   ln   1  2018  2018  ln 1   1   2017  2017   ln 2     Câu 67 (Sở  Phú  Thọ  -  2018)  Cho  hàm  số  f  x    xác  định  trên   \ 1;1   thỏa  mãn  f   x   ,  x 1  1 1 f  2   f     và  f     f     Tính  f  3  f    f    được kết quả   2 2 6 4 A ln    B ln    C ln    D ln    5 5 Lời giải   x 1 ln x   C1 x  1   x 1 1     C2   x  1.  Ta có  f  x    f   x  dx   dx     dx  ln x 1 x   x 1 x     x 1  C3 x  ln  x 1   f  2   f    ln  C1  ln  C3   C  C3    Khi đó         1  f     f    ln  C  ln  C  C2  2       3 Do đó  f  3  f    f    ln  C1  C2  ln  C3  ln    5   Dạng Nguyên hàm phần Cho hai hàm số  u  và  v  liên tục trên   a; b   và có đạo hàm liên tục trên   a; b   Khi đó:   udv  uv   vdu    b Để tính tích phân  I   f  x  dx  bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a Bước 1: Chọn  u, v  sao cho  f  x  dx  udv  (chú ý:  dv  v '  x  dx ).  Tính  v   dv  và  du  u '.dx   Bước 2: Thay vào cơng thức    và tính   vdu Cần phải lựa chọn  u  và  dv  hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được  v  và tích phân   vdu  dễ tính hơn   udv  Ta thường gặp các dạng sau  sin x  Dạng : I   P  x    dx , trong đó  P  x   là đa thức  cos x  sin x  Với dạng này, ta đặt  u  P  x  ,  dv    dx    cos x  Dạng : I    x  eaxb dx   Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  u  P  x  Với dạng này, ta đặt   , trong đó  P  x   là đa thức  ax  b dv  e dx Dạng :  I   P  x  ln  mx  n  dx   u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt     dv  P  x  dx sin x  x Dạng : I     e dx   cos x    sin x  sin x  u   u     Với dạng này, ta đặt   cos x   để tính   vdu  ta đặt   cos x      x x dv  e dx dv  e dx Câu 68 x (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f  x   x2    Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  g  x    x  1 f   x   là  A x2  2x   C   x2  B x2 x2   C   C x2  x  x2   C   D x2 x2   C   Lời giải Chọn B x2  x Tính  g  x     x  1 f   x  dx   x  1 f  x     x  1 f  x  dx    f  x  dx   x2   x2  x x 2 Câu 69  x dx  x 2 x2  x x2  x2   C  x2  x 2 x (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f  x   x2   C     Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  g  x    x  1 f   x   là A x2  x   C   B x3  C   C x2  x  2 x 3 x 3  C   D x 3 x 3 x2   C   Lời giải Chọn D Ta có    x  1 f   x  dx   x  1 f  x    Câu 70 x x3 dx  x2  x 3 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f ( x)  x x2   C     Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  g ( x )  ( x  1) f '( x )   A x2  x 1 2 x 1  C   B x 1  C   C x2  x   C   x 1 x 1 D x 1 x2   C   Lời giải Chọn D  u  x 1  du  dx Xét   g ( x ) dx   ( x  1) f '( x )dx Đặt      dv  f '( x)dx v  f ( x ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Vậy   g ( x ) dx  ( x  1) f ( x )   f ( x )dx   g ( x) dx    g ( x ) dx  ( x  1) x x2  x 1   g ( x) dx  Câu 71 x2   x   C   g ( x)dx  ( x  1) x  x 1 x2  x  x2 1 x2  x dx x 1 C  C   x (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f  x     Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  x 4 g  x    x  1 f   x   là  A x4  C   x2  x4 B x2   C   C x2  x  x2   C   D x2  x  Lời giải  Chọn B x x   x Ta có:  f  x   x2   f  x  x x2   x2  x 4  f  x   x  x    x 4 x2   x2 x x2   x2     x 4    Suy ra:  g  x    x  1 f   x   x f   x   f   x     g  x  dx    x f   x   f   x  dx   x f   x  dx   f   x  dx    4x  x 4 Xét:  I    dx   f   x  dx   4x  x 4  dx   Đặt  t  x   dt  xdx   Suy ra:  I   2dt   t  2dt t    t dt  t    C1  4  C1  t 4 x2   C1   và:  J   f   x  dx  f  x   C2   Vậy:   g  x  dx  4  x x 4 x 4 Cách 2:  g  x    x  1 f   x    C  x4 x2   C     g  x  dx    x  1 f   x  dx   u  x  du  dx  Đặt:     dv  f   x  dx v  f  x  Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x2   C   TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Suy ra:   g  x  dx   x  1 f  x    f  x   x2  x x 4 Câu 72  d  x2  4 2 x 4  x2  x  x  1 x  dx  x2   x4  x2   C  x2  x 4 x x2  dx    C   (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số  f  x   liên tục trên    Biết  cos 2x  là một nguyên hàm  của hàm số  f  x  e x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  f   x  e x  là:  A  sin x  cos x  C  B  sin x  cos x  C   C  sin x  cos x  C   D sin x  cos x  C   Lời giải Chọn C Do  cos x  là một nguyên hàm của hàm số  f  x  e x   nên f  x  e x   cos x   f  x  e x  2 sin x   Khi đó ta có   f  x  e x dx  cos x  C   u  f  x  du  f   x  dx  Đặt   x x   dv  e dx v  e Khi đó   f  x  e x dx  cos x  C   f  x  d  e x   cos x  C x x  f  x  e   f   x  e dx  cos x  C     f   x  e dx  2sin x  cos x  C   x Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số  f   x  e x  là   sin x  cos x  C   Câu 73 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f  x   x 1  ln x   là: A x2 ln x  3x B x2 ln x  x2 C   x ln x  3x  C D x2 ln x  x2  C   Lời giải Chọn D Ta có  f  x   x 1  ln x   F  x     x 1  ln x   dx   đặt   u   ln x  du  x  F  x   x 1  ln x    xdx  x 1  ln x   x  C  x ln x  x  C  dv  x  v  x  Câu 74 Họ các nguyên hàm của hàm số  f  x   x sin x  là  A F  x   x cos x  sin x  C B F  x   x cos x  sin x  C C F  x    x cos x  sin x  C D F  x    x cos x  sin x  C   Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  u  x du  dx Đặt      dv  sin xdx v   cos x Suy ra   x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C   Câu 75 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x.e x  là :  1  A F ( x)  e x  x    C   2  B F ( x )  C F ( x)  2e2 x  x    C   1  D F ( x )  2e x  x    C 2  2x e  x  2  C   Lờigiải du  dx u  x   Đặt   2x   2x dv  e v  e Câu 76   x.e x dx  2x 2x x.e   e dx   2   x.e x dx  1 2x 2x  x.e  e  C  e x  x    C   2  (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f  x    x  1 e x  là  A  x  3 e x  C   B  x  3 e x  C   C  x  1 e x  C   D  x  1 e x  C   Lời giải x Gọi  I    x  1 e dx   u  x  du  2dx Đặt      x x  dv  e dx v  e  I   x  1 e x  2 e x dx   x  1 e x  2e x  C   x  3 e x  C   Câu 77 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f ( x)  xe2 x ? A F ( x )  2x  1 e  x    C 2  C F ( x)  2e2 x  x    C B F ( x)  e x  x    C 1  D F ( x )  2e x  x    C 2  Lời giải Ta có  F ( x )   xe x dx   du  dx u  x   Đặt    2x   2x dv  e dx v  e  1 1 1  Suy ra  F ( x )  xe2 x   e2 x dx  xe x  e x  C  e x  x    C 2 2  Câu 78 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f  x   x 1  sin x   là  Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x2  x sin x  cos x  C   A x2  x cos x  sin x  C   C x2 B  x cos x  sin x  C   D x2  x sin x  cos x  C   Lời giải Ta có:   f  x  dx   x 1  sin x  dx   xdx   x.sin xdx   xdx   xd  cos x    = Câu 79 x2 x2  x cos x   cos xdx =  x cos x  sin x  C   2     (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Giả sử  F  x   ax  bx  c e x  là một nguyên hàm của hàm  số  f  x   x 2e x Tính tích  P  abc   A    B   C 5   Lời giải D 3   Chọn A  u  x  du  xdx Ta đặt:     x 2e x dx  x 2e x  2 xe x dx     x x  dv  e dx v  e u  x du  dx  Ta đặt:     x 2e x dx  x 2e x  xe x   e x dx   x  x   e x   x x dv  e dx v  e   Vậy  a  1, b  2, c   P  abc  4   Câu 80 Họ nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x(1  e x ) A  x  1 e x  x   B  x  1 e x  x   C  x   e x  x   D  x   e x  x   Lời giải  Ta có   x(1  e x )dx  2 xdx  2 xe x dx    ux du  dx  Gọi  I  2 x ln xdx  Đặt     x x dv  e dx  v  e Khi đó  I  xe x  2 e x dx   Vậy   x(1  e x )dx  2 xdx  xe x  2 e x dx  x  xe x  x  C   =  x   e x  x  C   Câu 81 Họ nguyên hàm của  f  x   x ln x  là kết quả nào sau đây?  x ln x  x  C   2 1 C F  x   x ln x  x  C   A F  x   Ta có  F  x    x ln x  x  C   1 D F  x   x ln x  x  C   Lời giải  B F  x   dx  du   u  ln x   x  f  x  dx   x ln xdx  Đặt   dv  xdx v  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Theo cơng thức tính ngun hàm từng phần, ta có:  1 1 F  x   x ln x   xdx  x ln x  x  C   2 Câu 82 (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tìm  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  f  x    3x  1 ln x   A C  f  x  dx  x  x  1 ln x  x3  C   B  f  x  dx  x  x  1 ln x  x3  x  C   D  f  x  dx  x ln x  x3  C    f  x  dx  x3 ln x  x3  x  C   Lời giải  Chọn C  Ta có  I    3x  1 ln xdx    u  ln x du  x dx Đặt      dv   3x  1 dx v    3x  1 dx  x  x  x3  I   x3  x  ln x    x  x  dx  x  x  1 ln x    x  1 dx x  x  1 ln x   x  C   x Câu 83 (Chuyên  Đại  Học  Vinh  2019)  Tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  f  x   x   trên  khoảng  sin x  0;    là  A  x cot x  ln  sinx   C   B x cot x  ln s inx  C   C x cot x  ln sinx  C   D  x cot x  ln  s inx   C   Lời giải Chọn A  F  x    f  x  dx   x dx   s in x u  x du  dx   Đặt     dv  s in x dx v   cot x d  sin x  x cos x   dx   x.cot x   cot xdx   x.cot x   dx   x.cot x   s in x sin x sin x   x.cot x  ln s inx  C  Với  x   0;    s inx   ln s inx  ln  s inx    Khi đó:  F  x    Vậy  F  x    x cot x  ln  s inx   C   Câu 84 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số y  3x  x  cos x  A x3   x sin x  cos x   C B x3   x sin x  cos x   C C x3   x sin x  cos x   C D x3   x sin x  cos x   C Lời giải Chọn A Ta có:  x  x  cos x  dx   x dx   x cos xdx Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    x dx  x  C1   x cos xdx   x.d  sin x   x.sin x   3sin xdx  x.sin x  3cos x  C2 Vậy  x  x  cos x  dx  x   x sin x  cos x   C Câu 85 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f  x   x  xe x  là  x   x  1 e x  C   B x   x  1 e x  C   5 C x  xe x  C   D x3   x  1 e x  C   Lời giải A Ta có:    x  xe x  dx   x dx   xe x dx   +)   x dx= x  C1   u  x du  dx    +) Đặt   x x dv  e dx v  e Suy ra:   xe x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  C2     x  1 e x  C2   Vậy    x  xe x  dx  x   x  1 e x  C   Câu 86 Cho hai hàm số  F  x  , G  x   xác định và có đạo hàm lần lượt là  f  x  , g  x   trên    Biết rằng    A  x  1 ln  x  1  x  C   C  x  1 ln  x  1  x  C   F  x  G  x   x ln x   và  F  x  g  x   2 2 2 x3  Họ nguyên hàm của  f  x  G  x   là  x2   D  x    1 ln  x   1  x B x  ln x   x  C   2  C   Lời giải Chọn C Ta có  F  x  G  x     F  x  G  x   dx    F   x  G  x   F  x  G   x   dx      F   x  G  x   dx  F  x  G  x     F  x  G  x   dx    x3   x ln  x  1     dx  x ln  x  1   x  1  ln  x  1  C    x 1   x  1 ln  x  1  x  C   Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số  f  x   x.e2 x  là  A F  x   2x  1 e  x    C   2  C F  x   2e2 x  x    C   B F  x   e x  x    C   1  D F  x   2e x  x    C   2  Lời giải  du  dx  ux   Đặt   x   2x dv  e dx v  e  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  F  x   x.e x  Câu 87 2x 1 1  e dx  x.e x  e x  C  e x  x    C    2 2  (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng?  A x x x  xe dx  e  xe  C   B x  xe dx  x2 x x e  e  C   C x x x  xe dx  xe  e  C   D x  xe dx  x2 x e  C   Lời giải Sử dụng công thức:   udv  u.v   vdu   Ta có:  xe x dx   xd  e x   xe x   e x dx  xe x  e x  C   Câu 88 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số  F  x  ,  G  x   xác đinh và có đạo hàm lần lượt là  f  x  ,  g  x    trên     Biết  F  x  G  x   x ln  x  1   và  F  x  g  x   x3   Tìm họ  nguyên hàm  của  x2  f  xG  x  C  x    1 ln  x   1  x  D  x A x2  ln x   x2  C 2    1 ln  x   1  x B x  ln x   x  C C 2 C Lời giải Ta có:   f  x  G  x  dx   G  x  d  F  x      G  x  F  x    F  x  d  G  x    G  x  F  x    F  x  g  x  dx     f  x  G  x  dx  x ln  x  1   x3 2x   dx  x ln  x  1    x   dx  x 1 x 1  d  x  1  x ln  x  1  x  ln  x  1  C x 1   x  1 ln  x  1  x  C x ln  x  1  x   2  x2  a    Tìm  nguyên  hàm  của  1 Câu 89 Cho  biết  F  x   x3  x    là  một  nguyên  hàm  của  f  x   x2 x g  x   x cos ax   A x sin x  cos x  C   C x sin x  cos C   1 x sin x  cos x  C   1 D x sin x  cos x  C   Lởi giải B Chọn C 2  x  1 Ta có  F   x   x      x x2 Do  F  x   là một nguyên hàm của  f  x  x   a x2  nên  a     g  x dx   x cos xdx   Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  u  x du  dx Đặt      dv  cos xdx v  sin x  g  x dx   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C   Câu 90  2x Họ nguyên hàm của hàm số  y   x  ln x  x  là  A x  x  ln x  x2  x  C   B x  x  ln x  x2  x  C   C  x  x  1 ln x  x2  x  C   D  x  x  1 ln x  x2  x  C       Lời giải  2x  x  ln x  1 dx    x  1 ln x dx   dx  I1  I   x x  u  ln x du  dx I1    x  1 ln x dx  Đặt    x   dv   x  1 dx v  x  x  Ta có:   I1   x  x  ln x    x  x  dx   x  x  ln x    x  1 dx x   x   x  x  ln x   x  C1 I   dx  ln x  C2   x  2x  x  ln x  x d x  I1  I   x2 x2   x  x  ln x   x  C1  ln x  C2   x  x  1 ln x   x  C 2 Dạng 4.2 Tìm ngun hàm có điều kiện  Câu 91 (Mã 104 2017) Cho  F  x   f  x  là một nguyên hàm của hàm số   Tìm nguyên hàm của  2x x hàm số  f   x  ln x  ln x   C x2 x  B  f   x  ln xdx  ln x  C x2 x2  ln x  2 x 2x D  f   x  ln xdx  ln x  C   x2 x2 A  f   x  ln xdx    C  f   x  ln xdx     C  Lời giải Chọn C Ta có:   f  x x dx  1  Chọn  f  x     x 2x dx  du  u  ln x    x Suy ra   f   x  ln x dx   ln x dx  Đặt      x dv  x dx v  1 x2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Khi đó:   f   x  ln x dx   Câu 92 ln x ln x 1   ln x dx     dx       C x x x 2x   x (Mã 105 2017) Cho  F  x    f  x  là một nguyên hàm của hàm số   Tìm nguyên hàm của  x 3x hàm số  f   x  ln x ln x  C x 5x ln x f   x  ln xdx     C x 3x ln x  C x 5x ln x f   x  ln xdx    C   x 3x A  f   x  ln xdx  B  f   x  ln xdx  C  D  Lời giải Chọn C Ta có  F  x   f  x x    f  x   x.F   x   x   x3    x3     x  f   x   3 x 4  f   x  ln x  3 x 4 ln x     Vậy   f   x  ln xdx   3 x 4 ln x dx  3 ln x.x 4 dx   Đặt  u  ln x; dv  x 4dx  du  dx x 3   ;v  x 3  ln x x4  ln x ln x  dx     x 4dx    C   Nên   f   x  ln xdx  3 ln x.x 4dx  3   3 x 3x  3x  x Câu 93 (Mã 110 2017) Cho  F  x    x 1 e x  là một nguyên hàm của hàm số  f  x  e2x  Tìm nguyên hàm  của hàm số  f   x  e2x A  f  xe 2x dx    x  e x  C C  f   x e 2x dx  2 x x e C 2x dx   x   e x  C 2x dx    x  e x  C B  f  xe D  f   x e Lời giải Chọn D  Theo đề bài ta có   f  x  e x dx   x  1 e x  C , suy ra  f  x  e x   x  1 e x   e x   x  1 e x    f  x   e x   x  1 e x  x.e x  f   x   1  x  e x   Suy ra  K   f   x  e x dx   1  x  e x dx   1  x  d  e x   e x 1  x    e x dx    x  e x  C Câu 94 Cho hàm số  f  x  thỏa mãn  f   x   xe x và  f    Tính  f 1   A f 1    B f 1  e   C f 1   e   D f 1   2e   Lời giải  Ta có:  f  x    f   x dx   x.e x dx   u  x  du  dx   f  x   x.e x   e x dx  x.e x  e x  C   Đặt    x x  dv  e dx v  e Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Theo đề:  f      1  C  C     f  x   x.e x  e x     f 1    Câu 95 (Chuyên  Đại  Học  Vinh  2019)  Cho  hàm  số  f  x    thỏa  mãn  f  x   f   x   e  x , x     và  f     Tất cả các nguyên hàm của  f  x  e x  là  A  x   e x  e x  C   B  x   e2 x  e x  C C.   x  1 e x  C   D  x  1 e x  C   Lời giải Chọn D  Ta có  f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x   f  x  e x    f  x  e x  x  C1     Vì  f     C1   f  x  e2 x   x   e x   f  x  e x dx    x   e x dx   u  x   du  dx  Đặt     x x dv  e dx v  e   f  x  e x dx    x   e x dx   x   e x   e x dx   x   e x  e x  C   x  1 e x  C   Câu 96 (Việt  Đức  Hà  Nội  2019)  Cho  hàm  số  y  f  x    thỏa  mãn  f '  x    x  1 e x ,  f      và   f  x dx   ax  b  e x  c  với  a, b, c  là các hằng số. Khi đó:  A a  b    B a  b    C a  b    Lời giải D a  b    Theo đề:  f '  x    x  1 e x  Nguyên hàm 2 vế ta được  x x x  f '  x  dx    x  1 e dx  f  x    x  1 e   e dx    f  x    x  1 e x  e x  C  xe x  C Mà   f     0.e0  C   C   f  x   xe x     f  x dx   xe x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  C   x  1 e x  C   Suy ra  a  1; b  1  a  b    Câu 97 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   xe  x  Tính  F  x   biết  F      A F  x     x  1 e x    B F  x    x  1 e  x    C F  x    x  1 e x    D F  x     x  1 e  x  Lời giải  u  x  du  dx Đặt      x x  dv  e dx  v   e Do đó   xe x dx   xe x   e x dx   xe x  e  x  C  F  x; C    F     e0  C   C   Vậy  F  x     x  1 e  x    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 98 (Sở  Quảng  Nam  -  2018)  Biết   x cos xdx  ax sin x  b cos x  C   với  a ,  b   là các  số  hữu tỉ.  Tính tích  ab ?  A ab    B ab    C ab     Lời giải D ab      du  dx u  x  Đặt      d v  cos xdx v  sin x  1 1 Khi đó   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C   2 1  a  ,  b    Vậy  ab    Câu 99 (Chuyên  Đh  Vinh  -  2018)  Giả  sử  F  x    là  một  nguyên  hàm  của  f  x   ln  x  3 x2   sao  cho  F  2   F 1   Giá trị của  F  1  F    bằng  A 10 ln  ln   Tính   ln  x  3 x2 B   ln   Lời giải C D ln  ln   dx   dx  u  ln  x  3 du    x3 Đặt      dx dv  v   x   x Ta có   ln  x  3 1 x dx dx   ln  x  3     ln  x  3  ln  C  F  x, C    x x x  x  3 x x3 1 1    Lại có  F  2   F 1    ln  C     ln  ln  C    2C  ln   3 3    1 10 Suy ra  F  1  F    ln  ln  ln  ln  2C  ln  ln   3 Câu 100 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi  g  x   là một nguyên hàm của hàm  số  f  x   ln  x  1   Cho  biết  g      và  g  3  a ln b   trong đó  a, b   là  các  số  nguyên  dương  phân biệt. Hãy tính giá trị của  T  3a  b   A T    B T  17   C T    Lời giải  D T  13   u  ln  x  1 du   Đặt   x 1   dv  dx v  x  x 1 dx   x  1 ln  x  1  x  C   x 1 Do  g     1ln1   C   C   g  x    x  1 ln  x  1  x    g  x    ln  x  1 dx   x  1 ln  x  1   Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Suy ra:  g  3  ln    ln  ln    a  1, b   3a  b  13   Câu 101 (Sở  Quảng  Nam  -  2018)  Biết   x cos xdx  ax sin x  b cos x  C   với  a ,  b  là  các  số  hữu  tỉ.  Tính tích  ab ?  A ab    B ab    C ab     Lời giải D ab      du  dx u  x  Đặt      d v  cos x d x  v  sin x 1 1 Khi đó   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C   2 1  a  ,  b    Vậy  ab      BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/   ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!                                     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489                    Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ...   et dt  et  C  e x 1  C 3 x3 1 Vậy   f  x  dx  e  C   Câu 33 (Chuyên? ?Lương Văn Chánh Phú Yên 2019)? ?Nguyên? ?hàm của hàm số  f  x   3x   là  A  f  x  dx   3x  1 3x  ... 30 x  3  (Chuyên? ?Hạ Long - 2018) Biết rằng trên khoảng   ;    , hàm số  f  x    có  2x  2  một  nguyên? ? hàm  F  x    ax  bx  c  x    ( a, b, c   là  các  số  nguyên) .  Tổng ...  x   x  1 x   x  x  Suy ra họ? ?nguyên? ?hàm của hàm số  f  x   Câu 54 x3  là  x  3x  2 (Chuyên? ? Lê  Quý  Dôn  Diện  Biên  2019)  Tìm  một  nguyên? ? hàm  F  x  của  hàm  số  b  x