Đề thi HSG năm 2011-2012 môn Toán lớp 7 – Trường THCS Đáp Cầu

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh Đề thi HSG năm 2011-2012 môn Toán lớp 7 – Trường THCS Đáp Cầu thuộc Phòng GD & ĐT Tp Bắc Ninh. Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận có kèm hướng dẫn và đáp án dành cho các bạn học sinh và giáo viên tham khảo.

PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI HSG NĂM 2011-2012 Mơn : Tốn lớp TRƯỊNG THCS ĐÁP CẦU Thời gian làm 120 phút Câu 1(3điểm): a) So sánh hai số : 330 520 b) Tính : A = 163.310  120.69 46.312  611 Câu 2(2điểm): Cho x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chứng minh rằng: x = y = z Câu 3(4điểm):: a) Tìm x biết : x 1 x  x  x     2009 2008 2007 2006 b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x y ; x1, x hai giá trị x; y1, y2 hai giá trị tương ứng y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 x1=2 , x 2= Câu 4(2điểm):: Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c Biết với a, b, c, d Z f (1)3; f (0)3; f (1) Chứng minh a, b, c chia hết cho Câu 5(3điểm):: Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100 a) Chứng minh x=-1 nghiệm củ A(x) b)Tính giá trị đa thức A(x) x = Câu 6(6điểm):: Cho tam giác ABC cân đỉnh A , cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = MN = NC Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh AM = AN AH  BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM AB = 5cm , BC = 6cm c) Chứng minh MAN > BAM = CAN -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Câu Nội dung 10   a)330   3  2   3.2.5.2  2.3 b) P   2    2.3 10  10    2710 ;520    12  2510  2710  330  520 11  12 10 212.310  310.212.5 1    212.312  211.311 211311  2.3  1 1.5đ 1.5đ 6.212.310 4.211.311   7.211.311 7.211.311 Vì x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy x y Điểm z y x z x z y x   ;  ;  1đ y x y z    áp dụng tính chất dãy tỉ số  z y z x x y z x yz    1 x  y  z y z x yzx 1đ x 1 x  x  x  x 1 x2 x 3 x4     1 1  1 1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006  x  2010 x  2010 x  2010 x  2010    2009 2008 2007 2006  x  2010 x  2010 x  2010 x  2010    0 2009 2008 2007 2006 a 1     x  2010         x  2010   x  2010  2009 2008 2007 2006  1đ 1đ Vì x, y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: b x1 y2 y y y y y y  y22 52 y  y               4 x2 y1 y1 3 94 13   3 1đ ) y12  36  y1  6 Với y1= - y2 = - ; 1đ Với y1 = y2= Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c 1đ ) f (0)3  c ) f (1)3  a  b  c 3  a  b 3 1 1đ ) f (1)  a  b  c 3  a  b    Từ (1) (2) Suy (a + b) +(a - b)   2a  a ( 2; 3) =  b Vậy a , b , c chia hết cho A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 a = - + + (-1) +1 +(-1) + (-1) + = ( có 50 số -1 50 số 1) Suy x = -1 nghiệm đa thức A(x) Với x= b 1 1 1 giá trị đa thức A =     98  99  100 2 2 2 1.5đ 1 1 1 1 1  A  (     98  99  100 ) =      98  99 2 2 2 2 2 1 1 1 1  A =(     98  99  100 ) +1 - 100  A  A   100 2 2 2 2  A 1 2100 A B M H N C K Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ suy AM =AM a Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ suy AHB =AHC= 90  AH  BC 2đ Tính AH: AH = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16  AH = 4cm b Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17  AM = 17 cm Trên tia AM lấy điểm K cho AM = MK ,suy AMN= KMB ( c- c 2đ g- c)  MAN = BKM AN = AM =BK Do BA > AM  BA > BK  BKA > BAK  MAN >BAM=CAN 2đ PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012 Mơn: TỐN Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: Tính giá trị biểu thức: (a  b )( x  y )  (a  y )(b  x) abxy ( xy  ay  ab  by ) Với a = ; b = -2 ; x = ; y = A= Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu < a1 < a2 < … < a9 thì: a1  a2   a9  a3  a6  a9 Bài 3: Có mảnh đất hình chữ nhật: A; B C Các diện tích A B tỉ lệ với 5, diện tích B C tỉ lệ với 8; A B có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27m B C có chiều rộng Chiều dài mảnh đất C 24m Hãy tính diện tích mảnh đất Bài 4: Cho biểu thức: A= 4x  3x  x  ; B= x2 x 3 a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên x để hai biểu thức có giá trị nguyên Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối tia BC CB lấy theo thứ tự hai điểm D E cho BD = CE a) Chứng minh tam giác ADE tam giác cân b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tia phân giác góc DAE c) Từ B C vẽ BH CK theo thứ tự vng góc với AD AE Chứng minh BH = CK d) Chứng minh đường thẳng AM; BH; CK gặp điểm PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH TRƯỜNG THCS ĐAP CẦU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012 Mơn: TỐN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Cách giải Bài (a  b)(  x  y)  (a  y )(b  x) abxy ( xy  ay  ab  by) a ( x  y)  b( x  y )  a (b  x)  y (b  x) = abxy ( xy  ay  ab  by) ax  ay  bx  by  ab  ax  by  xy = abxy ( xy  ay  ab  by ) ay  bx  ab  xy = abxy ( xy  ay  ab  by ) ( xy  ay  ab  by ) = abxy ( xy  ay  ab  by ) 1 = abxy 1 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = ta được: A = 1 3  (2)  1 Điểm TP Điểm toàn A= Ta có: < a1 < a2 < … < a9 nên suy ra: a1 + a2 + a3 < 3a3 (1) a4 + a5 + a6 < 3a6 (2) a7 + a8 + a9 < 3a9 (3) Cộng vế với vế (1) (2) (3) ta được: a1 + a2 + … + a9 < 3(a3 + a6 + a9) a  a   a9 Vì a1 + a2 + … + a9 > nên ta được:  a3  a6  a9 Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng mảnh đất A, B, C theo thứ tự SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC Theo ta có: SA S  ; B  ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = SB SC 24(m) Hai hình chữ nhật A B có chiều dài nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều rộng Ta có: S A rA r r r r 27 3    A B  A B  45 SB rB  rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC Hai hình chữ nhật B C có chiều rộng nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều dài Ta có: d C 7.24 SB dB     21 (m) = dA  dB = SC d C 8 0,5 0,5 0,5 2,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,5 0,25 4,5 Do đó: SA = dA.rA = 21 12 = 252 (m2) 0,5 SB = dB rB = 21 15 = 315 (m 2) SC = dC rC = 24 15 = 360 (m 2) 0,5 0,5 x  4( x  2)  1 =  4 x2 x2 x2 Với x  Z x -  Z Để A nguyên nguyên  x - ước x2 a) Ta có: A = Ta có: x - = x - = -1 Do đó: x = x = Vậy để A nguyên x = x = 0,5 0,25 0,5 3x  x  x( x  3)  2 =  3x  x 3 x3 x3 Với x  Z x -  Z Để B nguyên nguyên  x - ước x 3 Ta có: x - =  x - =  +) B = Do x = ; x = ; x = ; x = Vậy để B nguyên x = x = x = x = b) Từ câu a) suy ra: Để A B nguyên x = A  ABC có AB = AC GT DB = CE (D  tia đối CB; E H K  tia đối BC) M a)  ADE cân D B C E b) MB = MC, chứng minh AM O KL tia phân giác góc DAE c) BH  AD = H; CK  AE = K chứng minh: BH = CK Chứng minh: a)  ABC cân có AB = AC nên: C  C  Suy ra: D  CE Xét  ABD  ACE có: AB = AC (gt) D  CE (CM trên) DB = CE (gt) Do  ABD =  ACE (c - g - c)  AD = AE (2 cạnh tương ứng) Vậy  ADE cân A b) Xét AMD AME có: MD = ME (Do DB = CE MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trên) Do AMD = AME (c - c - c)  MAD  MAE 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy AM tia phân giác DAE c) Vì  ADE cân A (CM câu a)) Nên ADE  AED Xét BHD CKE có: BDH  CEK (Do ADE  AED ) DB = CE (gt)  BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn) Do đó: BH = CK d) Gọi giao điểm BH CK O Xét AHO AKO có: OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì BHD = CKE ))  AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vng) Do OAH  OAK nên AO tia phân giác KAH hay AO tia phân giác DAE Mặt khác theo câu b) AM tia phân giác DAE Do AO  AM, suy đường thẳng AM; BH; CK cắt O 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,75 ... & ĐT TP BẮC NINH TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012 Mơn: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tính giá trị... thẳng AM; BH; CK gặp điểm PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH TRƯỜNG THCS ĐAP CẦU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012 Mơn: TỐN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Cách giải Bài (a  b)(  x ... 1 1 2009 2008 20 07 2006 2009 2008 20 07 2006  x  2010 x  2010 x  2010 x  2010    2009 2008 20 07 2006  x  2010 x  2010 x  2010 x  2010    0 2009 2008 20 07 2006 a 1     x