Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Phân loại một số dạng tích phân đặc biệt gửi đến các bạn kiến thức về: Các phương pháp tính tích phân, tích phân một số hàm số thường gặp, tích phân một số hàm đặc biệt. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
http://ebooktoan.com TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số b Bài tốn: Tính I f ( x)dx , � a *Phương pháp đổi biến dạng I 1) Hàm x u (t ) có đạo hàm liên tục đoạn ; , Định lí Nếu 2) Hàm hợp f (u (t )) xác định ; , 3) u ( ) a, u ( ) b , b I � f ( x)dx � f (u (t ))u ' (t )dt a Ví dụ Hãy tính tích phân sau: a) I � x x 5dx b) J sin � x 1 cos xdx Giải: a) Ta cú t x � dt x dx Khi x=0 thỡ t=5 Khi x=1 thỡ t=6 6 dt t � x 5dx � �I x 1 1 (t ) t dt t t 35 1 2 � 10 6 � � b) Ta có J (sin x 1) d (sin x) � sin x sin x �2 �5 �0 � Ví dụ Hãy tính tích sau: http://ebooktoan.com a) � x dx b) dx x � � � ; �2 2� � Khi x = t = Khi x t Từ x 2sin t � dx 2cos tdt Giải: a) Đặt x 2sin t , t �� � x dx � � 4sin t 2cos tdt cos tdt 0 � � ; � �2 2� b) Đặt x tan t , t �� Khi x t , x t Ta có: x tan t � dx dx � x � dt cos t dt 2 tan t cos t � dt t � Chú ý: Trong thực tế gặp dạng tích phân dạng tổng quát như: Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dạng a x , a x x a (trong a số dương) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lượng giác để làm thức, cụ thể là: Với � � ; �2 2� � a x , đặt x a sin t , t �� 2 x a cos t , t � 0; http://ebooktoan.com � � ; � a x , đặt x a tan t , t �� �2 2� Với x acott , t � 0; x a , đặt x Với 2 x a � � , t �� ; \ 0 sin t �2 2� � � a � ; t � 0; \ � � cos t �2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u u ( x) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a; b ' cho f ( x)dx g (u ( x))u ( x)dx g (u ) du I b u (b ) a u (a ) f ( x)dx g (u )du � � Ví dụ 3: Tính I � x x3 5dx Giải: Đặt u ( x) x Tacó u (0) 5, u (1) 6 2 10 udu u u 6 5 6 Từ được: I 35 9 � Ví dụ 4: Hãy tính tích phân sau phương pháp đổi biến dạng II: e2 a) x 1 � d) dx (2 x 1)2 � dx dx b) x ln x e � 2 e) � cos(3 x c) 4x dx x2 x � 2 ) dx Giải: a) Đặt u x x u Khi x u Ta có du 2dx � dx du Do đó: http://ebooktoan.com u6 (3 1) = 60 x 1 dx u du 21 12 12 � � b)Đặt u ln x Khi x e u Khi x e u dx � Ta có du x e2 2 dx du ln u ln ln1 ln x ln x u � � e c)Đặt u x x Khi x u Khi x u Ta có du (2 x 1)dx Do đó: 3 4x 2du dx 2ln u 2(ln ln1) 2ln x2 x u � � d)Đặt u x Khi x u Khi x u Ta có du 2dx � dx du Do đó: dx du 1 ( 1) (2 x 1) 2 u 2u 3 � e)Đặt u x � 2 Khi x u , 3 Khi x 2 4 u 3 Ta có du 3dx � dx 2 4 2 1 � � 4 cos(3 x )dx cos udu sin u � sin sin � 3 3� 3� 3 � du Do đó: 4 � http://ebooktoan.com 1� 3� � � 3� 2 � 2.Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a; b thì: b b b u ( x )v ' ( x)dx u ( x)v( x) v( x)u ' ( x)dx a a a � � b b b hay udv uv vdu a a a � � Áp dụng công thức ta có qui tắc cơng thức tích phân phần sau: Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv uv ' dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại dv v ( x )dx ' Bước 2: Tính du u ' dx v b �� dv v ' ( x )dx b b ' vdu vu dx uv Bước 3: Tính a a a � � Bước 5: Áp dụng cơng thức e Ví dụ 5: Tính x ln xdx � dx � du � u ln x � � x �� Giải: Đặt � dv xdx x2 � � v � e e e x2 e2 x e e2 x ln xdx ln x xdx 1 2 4 1 � � Ví dụ 6: Tính tích phân sau: http://ebooktoan.com ln x dx x5 � a) b) � x cos xdx � x c) xe dx d) 0 � e x cos xdx dx � u ln x du � � � � x � Giải: a) Đặt � Do đó: � 1 dv dx � � v � x5 � 4x 2 2 ln x ln x dx ln � � 15 ln dx � � 5 � � x x x 64 4 x 256 � � 1 1 ux du dx � � � b) Đặt � Do đó: � dv cos xdx � v sin x � x cos xdx x sin x sin xdx cos x 2 0 � � ux du dx � � � Do đó: � x x dv e dx v e � � c)Đặt � � 1 xe x dx xe x e x dx e e x e e 1 0 � � � u ex du e x dx �� d) Đặt � dv cos xdx v sin x � � � e x cos xdx e x sin x e x sin xdx 0 � � � u1 e x du1 e x dx �� Đặt � dv1 sin xdx � v1 cos x � � http://ebooktoan.com � e x cos xdx e e x cos x e x cos xdx 0 � � � � � e x cos xdx e � e x cos xdx 0 e 1 *Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b b � P( x)e x dx a u dv � P( x)ln xdx a P(x) lnx P(x)dx e x dx b � P( x)cos xdx a b � P(x) cosxdx e x cos xdx a ex cosxdx Chú ý: Điều quan trọng sử dụng cơng thức tích phân phần làm để chọn u dv v ' dx thích hợp biểu thức dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv v ' dx phần f(x)dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân phần: Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x Q(x) � ax hàm số: e , cos ax, ' du P ( x )dx � u P( x) � � �� � dv Q ( x )dx � v Q ( x )dx � � � sin ax ta thường đặt http://ebooktoan.com Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x) đa thức x Q(x) � du Q ' x dx � u Q( x) � � �� hàm số ln(ax) ta đặt � dv P( x)dx � v P( x)dx � � � Nếu tính tích phân I � ax e cos bxdx � J e ax sin bxdx du ae ax dx � ue � � �� ta đặt � dv cos bxdx � v sin bx � � b ax du ae ax dx � ue � � �� đặt � dv sin bxdx � v cos bx � � b ax Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: I dx ax bx c � a �0 (trong ax bx c �0 với x � ; ) Xét b 4ac +)Nếu I dx � � b � tính a x � � � 2a � http://ebooktoan.com dx +)Nếu I , a x x1 x x2 � (trong x1 �I x x1 ln a x1 x2 x x2 +) Nếu Đặt x b b ) ; x2 2a 2a dx ax bx c � I dx ��� � � b � � a� �x � � �� � 2a � � 4a �� � � � b tan t � dx tan t dt , ta tính I 2 2a 4a a b) Tính tích phân: I � (trong f ( x ) mx n dx, ax bx c a �0 mx n liên tục đoạn ; ) ax bx c +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx n A(2ax b) B ax bx c ax bx c ax bx c +)Ta có I= Tích phân A(2ax b) ax bx c dx = Aln ax bx c Tích phân mx n A(2ax b) B dx dx dx 2 ax bx c ax bx c ax bx c dx tính ax bx c � http://ebooktoan.com 10 b c) Tính tích phân I P ( x) dx với P(x) Q(x) đa thức x Q ( x) � a Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1 , , , n đặt An P( x) A1 A2 Q ( x ) x 1 x x n + Khi Q ( x ) x x px q , p 4q đặt 2 P( x) A Bx C Q( x) x x px q + Khi Q ( x ) x x với đặt P ( x) A B C Q( x) x x x Ví dụ Tính tích phân: x 11 dx x2 5x � Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng hệ số ta tìm A, B cho: A x 5 x 11 B , x ��\ 3; 2 2 x x x 5x x x � Ax A B x 11 , x ��\ 3; 2 x2 5x x2 5x 2A � �A �� �� A B 11 �B � http://ebooktoan.com Vậy 11 x 5 x 11 , x ��\ 3; 2 2 x 5x x 5x x 5x Do � x 11 2x dx dx dx 2 x2 5x x x x 5x 0 � 2ln x x ln � x2 ln x3 Cách Vì x x x x 3 nên ta tính tích phân cách: Tìm A, B cho: x 11 A B , x ��\ 3; 2 x2 5x x x � A B x A B , x ��\ 3; 2 x 11 x2 5x x 5x �A B �A �� �� A B 11 �B � Vậy x 11 , x ��\ 3; 2 x 5x x x Do � � � 3ln x Ví dụ 8:Tính tích phân: 1 ln x ln 0 dx x2 x � Giải: x 11 dx dx dx x2 5x x 2 x 3 http://ebooktoan.com Do dx dx 2 x x 1 � � �x � � 2� � Đặt x Vậy 12 � � � tan t , t �� ; �� dx tan t dt 2 �6 � dx x2 x � 3 tan t dt 3 dt t 3 (1 tan t ) � Ví dụ Tính tích phân: � x3 dx x 1 � Giải: 2 x3 x � � dx x dx xdx � � x2 x � � � � xdx x2 � � 1 x2 1 ln x ln 2 0 Tích phân hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân Ví dụ 10: Hãy tính tích phân sau: a) J sin x sin xdx ; � b) K � cos x(sin x cos x) dx ; http://ebooktoan.com 13 4sin x c) M dx cos x � Giải a) J 1 cos5 xdx cos9 xdx � � 2 1 sin x sin x 18 45 10 2 � b) Ta có cos x (sin x cos x) cos x �sin x cos x 4 2 2sin x cos x � � � � � � cos x � sin x � cos x � cos x � cos x cos x cos x � � � � cos x cos5 x cos3 x � K cos x(sin x cos x)dx 1 cos xdx cos5 xdx co3 xdx 40 80 80 � � � 1 1 11 sin x sin x sin x 40 24 40 24 15 0 4sin x 4sin x sin x 4(1 cos x)sin x c) 4(1 cos x)sin x cos x cos x cos x � M 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác http://ebooktoan.com 2.2.1.Tính I 14 dx asinx b cos x c � Phương pháp: Đặt t tan x 2dt � dx 1 t2 2t 1 t2 Ta có: sin x cos x 1 t2 1 t2 I dx asinx b cos x c � Ví dụ 11 Tính 2dt biết cách tính c b t 2at b c � dx 4cos x 3sin x � Giải: Đặt t tan x 1� x� 2dt � dt � tan � dx � dx 2� 2� 1 t2 2dt dx dt 1 t2 2 1 t 2t cos x 3sin x t 3t 1 t2 1 t2 � � � x tan t 1 ln C ln C x t2 tan 2 2.2.2 Tính I dx a sin x b sin x cos x c cos x d � Phương pháp: I dx a d sin x b sin x cos x c d cos x � dx cos x a d tan x b tan x c d � Đặt t tgx � dt dx � I cos x dt tính a d t bt c d � http://ebooktoan.com Ví dụ 12 Tính: I Giải:Ta có I 15 dx sin x 2sin x cos x 3cos x � dx sin x 2sin x cos x 3cos x � Đặt t tan x � dt �I dt t 2t � dx cos x tan x tan x � dx cos x dt t 1 tan x ln C ln C tan x t 1 t 3 t � m sin x n cos x p dx a sin x b cos x c � 2.2.3 Tính I Phương pháp: +)Tìm A, B, C cho: m sin x n cos x p A a sin x b cos x c B a cos x b sin x C , x +) Vậy I � = A dx B m sin x n cos x p dx = a sin x b cos x c a cos x b sin x dx dx C a sin x b cos x c a sin x b cos x c Tích phân dx Tích phân a cos x b sin x a sin x b cos x c dx ln a sin x b cos x c C Tích phân tính dx a sin x b cos x c tính Ví dụ 13 Tính: I cos x 2sin x dx 4cos x 3sin x � Giải: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A B cho: http://ebooktoan.com 16 cos x 2sin x A 4cos x 3sin x B 4sin x 3cos x , x cos x 2sin x A 3B cos x A B sin x, x � A � A 3B � � �� �� A B � �B � �2 4sin x 3cos x � I � dx x ln 4cos x 3sin x C � �5 4cos x 3sin x � � 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa tích phân hàm lượng giác đơn giản (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R sin x,cos x dx , với R sin x,cos x � hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta biết cách tính tích phân Trường hợp chung: Đặt t tan x 2dt � dx 1 t2 2t 1 t2 Ta có sin x ;cos x 1 t2 1 t2 Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R sin x,cos x hàm số chẵn với sinx cosx nghĩa R sin x, cos x R sin x,cos x đặt t tan x t cot x , sau đưa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t +) Nếu R sin x,cos x hàm số lẻ sinx nghĩa là: R sin x,cos x R sin x,cos x đặt t cos x +) Nếu R sin x,cos x hàm số lẻ cosx nghĩa là: R sin x, cos x R sin x,cos x đặt t sin x http://ebooktoan.com 17 3.Tích phân hàm vơ tỉ 3.1 Dạng 1: Biến đổi tích phân vơ tỉ Ví dụ 14 Tính tích phân: I dx x 1 x � Giải I dx x 1 x � 3 2� x x dx � x 1 x � 22 � 3� �0 � Ví dụ 15:Tính tích phân � x Giải: � x x dx x2 x 3dx x2 � ( x x x )dx 2 1 15 3.2.Dạng 2: Biến đổi tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm Gồm: Đổi biến số t toàn thức Viết biểu thức dạng bình phương Ví dụ 15:Tính I x x dx Giải: 1 I x x dx x x xdx 0 Đặt t= x t 1 x x 1 t Ta có: Vậy xdx=-tdt, Khi x= t =1,khi x = t =0 http://ebooktoan.com 18 t3 t5 2 I (1 t )t dt 15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 16: Tính J � x dx 2 Giải: Lập bảng xét dấu x đoạn 2;2 x -2 x 1 + 2 Do I � x dx 2 -1 1 1 + x 1 dx � x dx � x 1 dx � 2 2 1 1 �x �x �1 � x � �2 � x � �x � � x � �3 �2 � �1 �3 � III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 1.Cho hàm số y f ( x ) liên tục lẻ đoạn a; a Khi a I f ( x)dx � a Ví dụ 17: Chứng minh I xdx sin x � Giải: Đặt x t � dx dt Khi x= t = - , x t 2 Do : I= tdt I sin t http://ebooktoan.com 19 Suy : 2I = Ta I xdx sin x � 2.Cho hàm số y f ( x ) liên tục chẵn đoạn a; a Khi I a a a f ( x)dx f ( x)dx � � Chứng minh : Ta có I a a a a f ( x )dx f ( x)dx f ( x )dx (1) � � � Ta tính J f ( x)dx cách đặt x t �t �a � dx dt � a �J 0 a a a a 0 f ( x)dx f (t )dt f (t )dt f ( x )dx (2) � � � � Thay (2) vào (1) ta I a a a f ( x)dx f ( x) dx � � Ví dụ 18: Tính tích phân: I x cos x dx sin x � Giải: Ta có I � Do f1 ( x) x cos x dx sin x x hàm số lẻ sin x x dx sin x � � � ; nên � �2 2� � cos x dx sin x � x dx sin x � http://ebooktoan.com f ( x ) � � ; �nên ta có: � �2 2� cos x hàm số chẵn sin x cos x cos x d (sin x) dx dx 2 2 sin x sin x (sin x 2) sin x � 20 � � sin x Vậy I ln ln sin x 2 3.Cho hàm số y f ( x ) liên tục chẵn đoạn : Khi f ( x) I x dx f ( x)dx a 1 Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx at Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= at x -t Khi x= - t = ; x = t =- Vậy f ( x) a t f (t ) at I x dx t dt t f (t )dt a a a f (t ) f (t )dt t dt f ( x)dx I a 1 Suy f ( x) I x dx f ( x)dx a 1 x4 dx Ví dụ 19 : Tính tích phân: I x 1 � Giải:Đặt t= -x dt= - dx Khi x= - t = ; x =1 t =-1 http://ebooktoan.com 21 1 x4 t4 2t I x dx t dt t t dt 1 1 1 1 1 1` Vậy 1 t4 t dt t dt x dx I 1 1 1 1 1 x5 I x dx 1 Suy 1 �� Khi � 2� � 0; 4.Cho f(x) liên tục đoạn � 0 f (sin x )dx f (cos x )dx � � Chứng minh: Đặt t x � dx dt Khi x = t Do f (sin x)dx f (sin( t )dt � , x t = 2 � 0 f (cos t )dt f (cos x) dx � � Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có cơng thức *Nếu f(x) liên tục 0;1 � *Nếu f(x) liên tục 0;1 xf (sin x)dx �f (sin x)dx 2 2 �xf (cos x)dx �f (cos x)dx http://ebooktoan.com 22 n sin x Ví dụ 20:Chứng minh: I= dx sin n x cos n x � Giải : Tương tự ta có: I= sin x cos n x dx dx =J n n n n sin x cos x sin x cos x � +) Vậy I+J= Vậy I= � sin n x cos n x dx dx sin n x cos n x sin n x cos n x � n � sin n x dx n n sin x cos x � Ví dụ 21: Tính tích phân: x sin x dx cos x � Giải: Đặt x t �t � � dx dt t sin t dt x sin x dx Khi 2 cos x cos t � � sin t t sin t dt dt 2 cos t cos t 0 � � sin x x sin x dx dx 2 cos x cos x 0 � � x sin x sin x �2 dx dx 2 cos x cos x 0 � � http://ebooktoan.com 23 x sin x sin x 2 dx dx Vậy 2 cos x cos x 0 � � BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tính tích phân sau 2 sin x a) I cos x sin x ( ĐH-KA-2006) dx sin x sin x c) I cos x (ĐH-KA-2005) dx sin x cos x e) I dx cos x (ĐH-KB-2005) sin x cos x g )I sin x dx d ) I (2 x 1) cos x.dx x f )I dx cos x tan x h) I dx cos x cos x cos x i) I dx (sin x cos x ) Bài 2.Tính tích phân sau x 2x3 a) I k ) I x tan x.dx dx x2 1 2x 1 c) I dx x 0 dx b) I 2 x ( x 1) 1 1 d ) I 1 dx x x e) I x x 1dx g)I b) I x sin x dx x dx x2 dx f )I xx h) I x x dx 3 Bài Tính tích phân sau http://ebooktoan.com a) I ( x 1)e x dx dx c) I x 1 e x e x e) I dx ( x ) 0 g ) I x(e x x 1)dx 1 24 ln( x) b) I dx x e x3 1 d ) I ln x.dx x f ) I ln( x x).dx h) I (e sin x cos x) cos x.dx ... ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát... Trong thực tế gặp dạng tích phân dạng tổng quát như: Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dạng a x , a x x a (trong a số dương) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lượng giác để... dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv v ' dx phần f(x)dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân