Đang tải... (xem toàn văn)
hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân... Tính tích phân: Giải..[r]
(1)http://ebooktoan.com TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số b I f ( x)dx a Bài toán: Tính , *Phương pháp đổi biến dạng I ; , 1) Hàm x u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn Định lí Nếu ; , 2) Hàm hợp f (u (t )) xác định trên 3) u ( ) a, u ( ) b , b I f ( x)dx f (u (t ))u ' (t )dt thì a Ví dụ Hãy tính các tích phân sau: I x x 5dx J a) b) sin x 1 cos xdx Giải: a) Ta cú t x dt 3 x dx Khi x=0 thỡ t=5 Khi x=1 thỡ t=6 6 I x x 5dx dt t 1 1 (t ) t t t dt 35 1 10 6 sin x sin x J (sin x 1)d (sin x) 0 b) Ta có Ví dụ Hãy tính các tích sau: (2) http://ebooktoan.com a) x dx dx x b) x 2sin t , t ; 2 Giải: a) Đặt t Khi x = thì t = Khi x 2 thì Từ x 2sin t dx 2cos tdt x dx 4sin t 2cos tdt 4 cos tdt 0 x tan t , t ; 2 b) Đặt t Khi x 0 thì t 0 , x 1 thì dt x tan t dx cos t Ta có: dx dt dt t 2 x tan t cos t 0 0 Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát như: Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dạng a x , a x và x a (trong đó a là số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm thức, cụ thể là: Với x a sin t , t ; 2 a x , đặt 2 Với x a cos t , t 0; x a tan t , t ; a x , đặt 2 (3) http://ebooktoan.com x acott , t 0; x x a , đặt Với x a , t ; \ 0 sin t 2 a ; t 0; cos t *Phương pháp đổi biến dạng II \ 2 a; b Định lí : Nếu hàm số u u ( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn u (b) b I f ( x)dx cho f ( x)dx g (u ( x))u ( x)dx g (u )du thì ' a g (u)du u(a) I x x 5dx Ví dụ 3: Tính Giải: Đặt u ( x ) x Tacó u (0) 5, u (1) 6 6 2 10 I udu u u 6 5 5 35 9 Từ đó được: Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau phương pháp đổi biến dạng II: e2 a) x 1 dx dx x ln x b) e 2 dx (2 x 1) d) cos(3 x e) 4x dx x x 1 c) 2 ) dx Giải: a) Đặt u 2 x x 0 thì u 1 Khi x 1 thì u 3 Ta có du 2dx dx du Do đó: (4) http://ebooktoan.com x 1 dx u u du (3 1) 21 12 12 = 60 b)Đặt u ln x Khi x e thì u 1 Khi x e thì u 2 e2 Ta có du dx x 2 dx du ln u ln ln1 ln x ln x u e c)Đặt u x x Khi x 0 thì u 1 Khi x 1 thì u 3 Ta có du (2 x 1) dx Do đó: 3 4x 2du dx 2ln u 2(ln ln1) 2ln x2 x u d)Đặt u 2 x Khi x 1 thì u 1 Khi x 2 thì u 3 Ta có du 2dx dx du Do đó: dx du 1 ( 1) (2 x 1)2 u 2u 3 e)Đặt u 3x 2 x u thì 3, Khi Khi x Ta có 2 du 3dx dx du Do đó: 4 2 1 4 1 cos(3x )dx cos udu sin u sin sin 3 3 3 3 2 4 u thì 4 (5) http://ebooktoan.com 1 3 3 2 2.Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên b b u ( x)v ( x)dx u ( x)v( x) a a ' b b udv uv a a hay a; b thì: b v( x)u ' ( x)dx a b vdu a Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân phần sau: ' Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv uv dx cách chọn phần thích ' hợp f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v ( x)dx Bước 2: Tính du u dx và ' b v dv v ' ( x)dx b vdu vu ' dx Bước 3: Tính a a uv và b a Bước 5: Áp dụng công thức trên e x ln xdx Ví dụ 5: Tính dx du x u ln x v x Giải: Đặt dv xdx e e e x2 e2 x e e2 x ln xdx ln x xdx 1 2 4 1 Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: (6) http://ebooktoan.com ln x dx x5 a) Giải: a) Đặt xe x dx x cos xdx b) u ln x dv dx x5 2 c) e x cos xdx d) dx du x v x Do đó: 2 ln x ln x dx ln 15 ln dx 5 x 4x x 64 x 256 1 u x dv cos xdx b) Đặt du dx v sin x Do đó: x cos xdx x sin x u x x dv e dx c)Đặt 1 xe x dx xe x sin xdx cos x 2 0 du dx x v e Do đó: e x dx e e x u e x dv cos xdx d) Đặt e e 1 1 du e x dx v sin x e x cos xdx e x sin x 0 u1 e x dv sin xdx Đặt du1 e x dx v1 cos x e x sin xdx (7) http://ebooktoan.com e x cos xdx e e x cos x 0 e x cos xdx e e x cos xdx e x cos xdx e 1 *Cách đặt u và dv phương pháp tích phân phần b b P( x)e x dx a u dv b P( x)ln xdx a P(x) P ( x)cos xdx a lnx P(x)dx e x dx b e x cos xdx a P(x) cosxdx ex cosxdx Chú ý: Điều quan trọng sử dụng công thức tích phân phần là làm nào ' để chọn u và dv v dx thích hợp biểu thức dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần f(x) mà lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v ' dx là phần f(x)dx là vi phân hàm số đã biết có nguyên hàm dễ tìm Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân phần: P( x)Q( x)dx Nếu tính tích phân mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là ax hàm số: e , cos ax, ' du P ( x )dx u P ( x) dv Q( x)dx v Q ( x )dx sin ax thì ta thường đặt (8) http://ebooktoan.com P( x)Q( x)dx Nếu tính tích phân mà P(x) là đa thức x và Q(x) là du Q ' x dx u Q ( x) dv P ( x)dx v P ( x)dx hàm số ln(ax) thì ta đặt ax J e ax sin bxdx I e cos bxdx Nếu tính tích phân thì du ae ax dx u e dv cos bxdx v sin bx b ta đặt ax du ae ax dx u e dv sin bxdx v cos bx b đặt ax Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy kết tích phân cần tính II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: I dx ax bx c a 0 x ; ) (trong đó ax bx c 0 với Xét b 4ac I a x +)Nếu 0 thì dx b 2a tính (9) http://ebooktoan.com I +)Nếu thì (trong đó I dx a x x1 x x2 x1 , b b ; x2 2a 2a ) x x1 ln a x1 x2 x x2 dx dx I 2 ax bx c b a x a 4a +) Nếu thì x Đặt b tan t dx tan t dt 2 2a 4a a , ta tính I I b) Tính tích phân: (trong đó f ( x) mx n dx, ax bx c a 0 mx n ax bx c liên tục trên đoạn ; ) +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A và B cho: A(2ax +b) mx+n B = + 2 ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx+ c β +)Ta có I= β α β Tích phân β A (2ax +b) mx+n B dx= ❑ dx+ ❑ dx ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx +c α α ❑ A (2 ax+ b) ❑ax 2+ bx +c dx = A ln |ax 2+ bx +c|¿εβ α dx ax bx c Tích phân b I c) Tính tích phân P( x) dx Q ( x) a tính với P(x) và Q(x) là đa thức x (10) http://ebooktoan.com Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) thì dùng phép chia đa thức Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1 , , , n thì đặt An P( x) A A2 Q ( x ) x 1 x x n + Khi Q( x) x x px q , p 4q thì đặt P ( x) A Bx C Q( x) x x px q Q( x) x x với thì đặt + Khi P( x) A B C Q( x) x x x x 11 dx x2 5x Ví dụ Tính tích phân: Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng hệ số ta có thể tìm A, B cho: A x 5 x 11 B , x \ 3; 2 2 x 5x x 5x x 5x Ax A B x 11 , x \ 3; 2 x2 5x x 5x A 4 A B 11 A 2 B 1 x 5 x 11 , x \ 3; 2 2 Vậy x x x x x x (11) http://ebooktoan.com 1 x 11 2x dx dx 2 dx x 5x x 5x x 5x 0 Do đó 2ln x x x2 ln ln x 3 2 x x x x 3 nên ta có thể tính tích phân trên Cách Vì cách: Tìm A, B cho: x 11 A B , x \ 3; 2 x2 5x x x A B x A B , x \ 3; x 11 x2 5x x2 5x A B 4 A B 11 A 3 B 1 x 11 , x \ 3; 2 Vậy x x x x Do đó 1 x 11 dx dx dx x2 5x x 2 x 3 3ln x Ví dụ 8:Tính tích phân: dx x2 x 1 Giải: Do dx dx x2 x 1 1 x 2 1 ln x ln 0 (12) http://ebooktoan.com x Đặt 1 3 tan t , t ; dx tan t dt 2 3 dx x x 1 3 tan t dt 3 dt t 3 (1 tan t ) Vậy Ví dụ Tính tích phân: x3 dx x 1 Giải: 2 x3 x xdx dx x dx xdx 2 x 1 x 1 x 1 1 x2 1 ln x ln 2 0 Tích phân các hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: J sin x sin xdx a) ; K cos x(sin x cos x) dx b) ; c) Giải 4sin x M dx cos x (13) http://ebooktoan.com J a) 1 cos5 xdx cos9 xdx 2 1 sin x sin x 18 45 10 2 cos x(sin x cos x ) cos x sin x cos x 2sin x cos x b) Ta có cos x sin 2 x cos x 1 cos x cos x cos x cos x cos x cos5 x cos3x K cos x(sin x cos x)dx 1 cos xdx cos5 xdx co3 xdx 40 80 80 1 1 11 sin x sin x sin x 40 24 40 24 15 0 4sin x 4sin x sin x 4(1 cos x)sin x 4(1 cos x)sin x cos x cos x cos x c) M 2 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 2.2.1.Tính I dx asinx b cos x c Phương pháp: x 2dt t tan dx 1 t2 Đặt (14) http://ebooktoan.com 1 t2 2t cos x sin x t 1 t2 Ta có: và I dx asinx b cos x c 2dt c b t 2at b c đã biết cách tính dx 4cos x 3sin x Ví dụ 11 Tính x 1 x 2dt t tan dt tan dx dx 2 2 t Giải: Đặt 2dt dx dt 1 t2 2 1 t 2t cos x 3sin x t 3t 3 2 1 t 1 t x tan t 1 ln C ln C x t 2 tan 2 2.2.2 Tính I dx a sin x b sin x cos x c cos x d I dx a d sin x b sin x cos x c d cos x Phương pháp: dx cos x a d tan x b tan x c d dx t tgx dt I cos x Đặt dt a d t bt c d đã tính Ví dụ 12 Tính: I dx sin x 2sin x cos x 3cos x dx dx cos x I sin x 2sin x cos x 3cos x tan x tan x Giải:Ta có (15) http://ebooktoan.com dx t tan x dt cos x Đặt I dt t 2t 2.2.3 Tính dt t1 tan x ln C ln C tan x t 1 t 3 t I m sin x n cos x p dx a sin x b cos x c Phương pháp: +)Tìm A, B, C cho: m sin x n cos x p A a sin x b cos x c B a cos x b sin x C , x +) Vậy I m sin x n cos x p dx a sin x b cos x c = a cos x − b sin x dx = A dx+ B a sin x +b cos x+ c dx+C a sin x +b cos x +c Tích phân dx Tích phân a sin x+ b cos x+ c dx=ln|a sin x +b cos x +c|+C Tích phân Ví dụ 13 Tính: tính a cos x − b sin x dx a sin x+ b cos x+ c I tính cos x 2sin x dx 4cos x 3sin x Giải: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A và B cho: cos x 2sin x A 4cos x 3sin x B 4sin x 3cos x , x cos x 2sin x A 3B cos x A B sin x, x A 4 A 3B 1 3 A B 2 B (16) http://ebooktoan.com 4sin x 3cos x I dx x ln 4cos x 3sin x C 5 5 4cos x 3sin x 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa tích phân hàm lượng giác đơn giản (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R sin x,cos x dx , với R sin x,cos x là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân x 2dt t tan dx 1 t2 Trường hợp chung: Đặt 2t 1 t2 sin x ;cos x t 1 t2 Ta có Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R sin x,cos x là hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là R sin x, cos x R sin x,cos x thì đặt t tan x t cot x , sau đó đưa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t +) Nếu R sin x,cos x là hàm số lẻ sinx nghĩa là: R sin x,cos x R sin x,cos x thì đặt t cos x +) Nếu R sin x,cos x là hàm số lẻ cosx nghĩa là: R sin x, cos x R sin x,cos x thì đặt t sin x 3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 Dạng 1: Biến đổi tích phân vô tỉ I Ví dụ 14 Tính tích phân: Giải dx x 1 x (17) http://ebooktoan.com I 1 dx x 1 x 2 2 Giải: x Ví dụ 15:Tính tích phân x x 1 1 2 1 x dx x 1 x 3 0 x dx x2 x3 dx x2 ( x3 x x ) dx 21 15 3.2.Dạng 2: Biến đổi tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm Gồm: Đổi biến số t là toàn thức Viết biểu thức dạng bình phương đúng Ví dụ 15:Tính I = x √ 1− x2 dx Giải: 1 I = x √ 1− x2 dx= x ❑√ 1− x2 xdx Đặt t= Ta có: √ 1− x ⇔ t 2=1− x ⇔ x 2=1 −t xdx=-tdt, Khi x= thì t =1,khi x = thì t =0 Vậy I =− (1− t )t dt= ( t3 t5 − ¿= 15 ) 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối J x dx Ví dụ 16: Tính 2 (18) http://ebooktoan.com 2;2 Giải: Lập bảng xét dấu x trên đoạn x -2 + x 1 1 I x dx Do đó -1 2 1 x 1 dx 2 + 2 x dx x 1 1 dx x3 x3 x3 1 2 x x x 1 4 3 III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT a; a Khi đó 1.Cho hàm số y f ( x ) liên tục và lẻ trên đoạn a I f ( x )dx 0 a I Giải: Đặt x t dx − Do đó : I= Ví dụ 17: Chứng minh xdx 0 sin x π dt Khi x= thì t = - π , x t thì π =− I tdt − sin2 t π I Suy : 2I = Ta xdx 0 sin x a; a Khi đó 2.Cho hàm số y f ( x ) liên tục và chẵn trên đoạn a a I f ( x)dx 2 f ( x)dx a (19) http://ebooktoan.com a I f ( x)dx f ( x )dx Chứng minh : Ta có a a a f ( x)dx (1) 0 J f ( x) dx Ta tính cách đặt a 0 J f ( x)dx a x t t a dx dt a a f ( t )dt f (t )dt f ( x)dx (2) a 0 a a I f ( x)dx 2 f ( x)dx Thay (2) vào (1) ta a I Ví dụ 18: Tính tích phân: Ta có I Giải: x cos x dx sin x x cos x x dx dx 2 sin x sin x 2 cos x dx sin x f1 ( x) Do x sin x là hàm số lẻ trên ; 2 nên cos x cos x d (sin x ) dx dx sin x sin x (sin x 2) sin x ; nên ta có: cos x f ( x) sin x là hàm số chẵn trên và x dx 0 sin x sin x I ln ln sin x 2 Vậy (20) http://ebooktoan.com 3.Cho hàm số y f ( x ) liên tục và chẵn trên đoạn [ −α : α ] Khi đó α α I = −α Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ f (x) dx= f ( x)dx x −α a +1 dt= - dx at 1 t Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= a Khi x= - α thì t = α α Vậy ;x= α α I = −α thì t =- α α f (x) a t f (t ) at +1 −1 dx= dt= at +1 at +1 f (t )dt a x+ −α −α α α α ¿ f (t) dt+ −α −α α Suy I = −α f ( t) dt= f (x )dx + I at +1 −α α f (x) dx= f (x) dx x −α a +1 Ví dụ 19 : Tính tích phân: Giải:Đặt t= -x ⇒ x4 I x dx 1 dt= - dx Khi x= - thì t = ; x =1 thì t =-1 Vậy 1 x4 t4 2t I = x dx= − t dt= t t dt −1 +1 − +1 −1 +1 1 t4 dt= x dx − I t − +1 −1 ¿ t dt − −1 Suy 1 x5 1 I == x dx= ¿ = −1 −1 0; 4.Cho f(x) liên tục trên đoạn Khi đó f (sin x)dx f (cos x)dx Chứng minh: t x dx dt Đặt (21) http://ebooktoan.com t x , thì t = Khi x = thì f (sin x) dx Do đó f (sin( t )dt f (cos t )dt f (cos x)dx 0 Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức xf (sin x )dx 0;1 *Nếu f(x) liên tục trên thì 2 *Nếu f(x) liên tục trên 0;1 thì 2 xf (cos x)dx f (cos x)dx sin n x dx n n sin x cos x Ví dụ 20:Chứng minh: I= f (sin x)dx Giải : Tương tự trên ta có: I= sin n x cos n x dx dx n n sin n x cos n x sin x cos x +) Vậy I+J= sin n x cos n x dx dx sin n x cos n x sin n x cos n x sin n x dx n n sin x cos x Vậy I= =J x sin x dx cos x Ví dụ 21: Tính tích phân: (22) http://ebooktoan.com x t t dx dt Giải: Đặt x sin x dx cos x Khi đó t sin t dt cos t sin t t sin t dt dt 2 cos t cos t 0 sin x dx cos x x sin x dx cos x x sin x sin x 2 dx dx 2 cos x cos x 0 x sin x sin x 2 dx dx 2 cos x cos x 0 Vậy BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tính các tích phân sau π a ¿ I = π sin x dx √cos x + sin2 x ( ĐH-KA-2006) π c ¿ I = sin x+ sin x dx √1+3 cos x (ĐH-KA-2005) π sin x cos x e ¿ I = dx 1+ cos x (ĐH-KB-2005) π sin x −cos x g ¿ I = dx π √ 1+ sin x sin x − cos x+3 ¿ ¿ ¿ cos x ¿ π i ¿ I = ¿ Bài 2.Tính các tích phân sau b ¿ I = √ x sin √ x dx π d ¿ I = (2 x −1) cos2 x dx π f ¿ I = π h ¿ I = π π x dx 1+ cos x tan x dx cos x √ 1+cos x k ¿ I = x tan2 x dx (23) http://ebooktoan.com √3 x +2 x3 a ¿ I = dx √x +1 x+ c ¿ I = √ dx 1+ √ x +1 e ¿ I = x √ x −1 dx 2√ g¿I= √5 dx b ¿ I = 2 x (x +1) 1 d ¿ I = 1+ dx x x ( ) √3 f ¿ I = dx x √ x 2+ √3 dx x+ x h ¿ I = (| x+2|−|x −2|) dx −3 Bài Tính các tích phân sau 2 x a ¿ I =( x +1)e dx c ¿ I = dx 1+e x x +2 ¿ ¿ ¿ x2 ex ¿ f ¿ I = ln (x2 − x ) dx π h ¿ I = (e sin x +cos x )cos x dx e ¿ I = ¿ 0 g ¿ I = x (e x + √ x +1)dx −1 ln(1+ x ) dx x2 e x 3+ d ¿ I = ln x dx x b ¿ I = (24)