Để giải các phương trình dạng này,ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 đối với ẩn phụ đó (có thể n[r]
(1)Một số dạng phương trình lượng giác bản 1 Phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác
Trong mục này,ta xét phương trình có dạng : (phương trình bậc tan2x ),
hay (phương trình bậc )
Để giải phương trình dạng này,ta chọn biểu thức lượng giác thích hợp có mặt phương trình làm ẩn phụ quy phương trình bậc bậc ẩn phụ (có thể nêu khơng nêu kí hiệu ẩn phụ)
a) Phương trình bậc hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Giải phương trình sau :
1) ;
2) Giải 1)
2) Để ý :
Ta có
Vậy phương trình cho có nghiệm (riêng họ nghiệm thứ viết )
b) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác
Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
1) ;
2)
Giải
(2)Phương trình có hai nghiệm ,trong bị loại khơng thỏa mãn điều kiện
Do đó:
Vậy phương trình cho có nghiệm
2) Đặt ,ta có phương trình
Phương trình có hai nghiệm
Do
Vậy phương trình cho có nghiệm
Giải phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình Giải
(Phương trình vơ nghiệm )
Kết luận : Phương trình cho có nghiệm
(3)2 Phương trình bậc và
Trong mục này, nghiên cứu cách giải phương trình dạng ,
trong a,b c số cho với a khác b khác 0.Chúng gọi phương trình bậc
Sử dụng đẳng thức ,hãy giải phương trình
Để giải phương trình (a,b khác 0) ta biến đổi biểu thức
thành dạng dạng ( số
)
Ví dụ4: Giải phương trình (1) Giải
Ta có
Vậy (1)
Một cách tổng quát ta biến đổi biểu thức (a b khác 0)
thành dạng sau :
Do nên điểm M với tọa độ nằm
đường trịn lượng giác
Vậy có số để
Từ ta có
(4)Bằng cách biến đổi , , việc giải phương trình đưa giải phương trình lượng giác
CHÚ Ý
Nếu phép biến đổi trên,ta chọn số để ta
có
Ví dụ 5: Giải phương trình (2)
Giải Ta có :
Trong Do (2)
Với giá trị m phương trình có nghiệm
3 Phương trình bậc hai và
Trong mục ,chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình dạng
trong a,b c số cho, với hoặc Chúng gọi phương trình bậc hai
Để giải phương trình dạng này,ta chia hai vế cho (với điều kiện ) để đưa phương trình chia hai vế cho (với điều kiện ) để đưa phương trình
Ví dụ 6: Giải phương trình (3)
Giải
(5)Vậy chia hai vế (3) cho ,ta phương trình tương đương
Do
Vậy nghiệm phương trình (3)
Giải phương trình (3) cách chia hai vế cho
Nhận xét
1) Phương trình giải gọn
hơn cách đưa phương trình tích
Chẳng hạn,đối với phương trình ,ta có
2) Đối với phương trình
(4)
ta quy giải phương trình bậc hai cách viết d dạng
Chẳng hạn,đối với phương trình ,ta làm
sau :
Ngồi ta quy phương trình (4) phương trình bậc cách sử dụng công thức hạ bậc công thức nhân đôi :
(6)Giải phương trình bằng hai cách nêu trên.
4 Một số ví dụ khác
Thực tế,chúng ta cịn gặp nhiều phương trình lượng giác mà giải cần phải thực phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa chúng phương trình dạng quen thuộc.Trong mục này,chúng ta nêu số ví dụ đơn giản
Ví dụ 7: Giải phương trình (4)
Giải
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Ta có (4)
Kết luận : Phương trình cho có nghiệm (Dễ thấy họ nghiệm bao gồm họ nghiệm nên nói phương trình (4) có nghiệm )
Ví dụ 8: Giải phương trình (5)
Ta sử dụng cơng thức hạ bậc cơng thức biến đổi tổng thành tích Cụ thể ta có
(5)
(6)
Chú ý giải phương trình lượng giác,ta cần lưu ý đến điều kiện xác định để loại bỏ nghiệm ngoại lai
Ví dụ 9: Giải phương trình Giải
Với điều kiện ,ta có
Để nghiệm phương trình cho,các giá trị x phải thỏa mãn điều
(7)Để kiểm tra điều kiện này, ta làm sau :Các giá trị gồm có bốn họ (A) : (ứng với điểm A);
(B) : (ứng với điểm B); (A') : (ứng với điểm A'); (B') : (ứng với điểm B')
Bằng cách thử trực tiếp,dễ thấy họ (A) (A') thỏa mãn ,cịn (B) (B') khơng thỏa
mãn điều kiện ( Vậy phương trình có
nghiệm (hay cịn viết gọn )
hàm số (phương trình bậc đối lượng giác t phương trình lượng giác