Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.4 khối đa diện trình bày các kiến thức cơ bản về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức lượng trong tam giác thường và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!
BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN CHỦ ĐỀ 7.4 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN I HÌNH HỌC PHẲNG Các hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có: A B C M H BC = AB + AC AH BC = AB.AC AB = BH BC , AC = CH CB 1 = + , AH = HB.HC AH AB AC 2AM = BC Các tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng: Chọn góc nh α ọn α Chnhọn ọn góc cạ n cạnhh đđốốii đđii sinαα == sin ;; cạnnhh hhuyề uyềnn hhoọcïc cạ cạnnhh kkềề kkhô hônngg cạ cosαα == cos ;; cạnnhh hhuyề uyềnn hhưư cạ cạnnhh đđốốii đđoà oànn cạ tanαα == tan ;; cạnnhh kkềề kkeếtát cạ cạnnhh kkềề kkếếtt cạ cotαα == cot ;; cạnnhh đđốốii đđoà oànn cạ Cạnh huyền Cạnh đối α Cạnh kề Các hệ thức lượng tam giác thường: a Định lý cosin: A b + c2 − a ∗ a = b + c − 2bc cos A ⇒ cos A = 2bc a + c2 − b2 ∗ b = a + c − 2ac cos B ⇒ cos B = 2ac a + b2 − c2 2 ∗ c = a + b − 2ab cosC ⇒ cosC = 2ab b c a B C 2 b Định lý sin: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 1|THBTN BTN_7_2 Chuyên đề Hình học không gian A c a b c = = = 2R sin A sin B sinC (R là bá n kıń h đường trò n ngoaị tiế p ∆ABC) b R a B C c Cơng thức tính diện tích tam giác: A c 1 S ∆ABC = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 abc S ∆ABC = , S ∆ABC = p.r 4R p = p ( p − a )( p − b )( p − c ) b B C a p- nửa chu vi r- bán kính đường trịn nộ i tiếp d Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: A K AB + AC BC − 2 BA + BC AC ∗ BN = − ∗ AM = N B C CA2 + CB AB ∗ CK = − M Định lý Thales: A M N ∗ B AM AN MN = = =k AB AC BC AM = k = AB ∗ MN / /BC ⇒ C S ∆AMN S ∆ABC (Tı̉ diêṇ tıć h bằ ng tı̉ bıǹ h phương đồ ng dang) ̣ Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 2|THBTN BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian Diện tích đa giác: B a Diêṇ tı́ ch tam giá c vuông: Diêṇ tıć h tam giá c vuông bằ ng ½ tıć h canh ̣ gó c vuông C A b Diêṇ tı́ ch tam giá c đề u: Diêṇ tıć h tam giá c đề u: S ∆ Chiề u cao tam giá c đề u: h∆ B (canh) ̣ = đề u = đề u (canh) ̣ c Diêṇ tı́ ch hı̀ nh vuông và hı̀ nh chữ nhâṭ : Đường ché o hıǹ h vuông bằ ng canh ̣ nhân Diêṇ tıć h hıǹ h chữ nhâṭ bằ ng dà i nhân rông ̣ a h A C a O D C A d Diêṇ tı́ ch hı̀ nh thang: SHıǹ h Thang = (đá y lớn + đá y bé ) x chiề u cao a2 S = ∆ABC ⇒ a h= B A Diêṇ tıć h hıǹ h vuông bằ ng canh ̣ bıǹ h phương ⇒ S ∆ABC = AB.AC S HV = a ⇒ AC = BD = a D ⇒S = B C H e Diêṇ tı́ ch tứ giá c có hai đường ché o vuông gó c: Diêṇ tıć h tứ giá c có hai đường ché o vng gó c A bằ ng ½ tıć h hai đường ché o Hıǹ h thoi có hai đường ché o vuông gó c taị trung điể m củ a mỗ i đường (AD + BC ) AH B C ⇒ S H Thoi = AC BD D II CÁ C PHƯƠNG PHÁ P CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chứng minh đường thẳ ng song song với mặt phẳng : d ⊄ (α) d d ′ ⇒ d (α) (Định lý 1, trang 61, SKG HH11) d ′ ⊂ (α) (α) ⇒ d (α) (Hệ 1, trang 66, SKG HH11) d ⊂ (β ) (β ) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 3|THBTN Chuyên đề Hình học khơng gian BTN_7_2 d ⊥ d ' (α) ⊥ d ' ⇒ d (α) (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11) d ⊄ (α) Chứng minh hai mặt phẳng song song: (α) ⊃ a, a (β ) (α) ⊃ b, b (β ) ⇒ (α) (β ) (Định lý 1, trang 64, SKG HH11) a ∩b =O (Q ) ⇒ (α) (β ) (Hệ 2, trang 66, SKG HH11) (β ) (Q ) (α) (α) ≠ (β ) (α) ⊥ d ⇒ (α) (β ) (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11) (β ) ⊥ d Chứng minh hai đường thẳ ng song song: Á p dung ̣ lı́ sau ̣ môṭ cá c đinh Hai mặt phẳng (α), (β ) có điể m chung S và lầ n lươṭ chứa đường thẳ ng song song a,b thı̀ giao tuyến chúng qua điểm S song song với a,B S ∈ (α) ∩ (β ) (α) ⊃ a, (β ) ⊃ b ⇒ (α) ∩ (β ) = Sx ( a b) (Hệ trang 57, SKG HH11) a b Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β ) chứa a cắt (α) theo giao tuyến b b song song với a a (α), a ⊂ (β ) ⇒ b a (Định lý 2, trang 61, SKG HH11) (α) ∩ (β ) = b Hai măṭ phẳ ng cù ng song song với môṭ đường thẳ ng thı̀ giao tuyế n củ a chú ng song song với đường thẳ ng đó (α) (β ) ⇒ (P ) ∩ (β ) =d ′,d ′ d (Định lý 3, trang 67, SKG HH11) (P ) ∩ (α) = d Hai đường thẳ ng phân biệt cù ng vuông gó c với mô ṭ măṭ phẳ ng thı̀ song song với d ≠ d ′ d ⊥ (α) ⇒ d ⊥ d ′ (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11) d ′ ⊥ (α) Sử dung ̣ lı́ Talé t đả o, … ̣ phương phá p hıǹ h hoc̣ phẳ ng: Đường trung bıǹ h, đinh Chứng minh đường thẳ ngvng góc với mặt phẳng: Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng d ⊥ a ⊂ (α) d ⊥ b ⊂ (α) ⇒ d ⊥ (α ) a ∩ b = {O } Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 4|THBTN BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng d d ′ ⇒ d ⊥ (α ) d ′ ⊥ (α) Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (α) (β ) ⇒ d ⊥ α ( ) d ⊥ (β ) Định lý (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai măṭ phẳ ng cắ t cù ng vuông gó c với măṭ phẳ ng thứ ba thı̀ giao tuyế n củ a chú ng vuông gó c với măṭ phẳ ng thứ ba (α) ⊥ (P ) (β ) ⊥ (P ) ⇒ d ⊥ (P ) (α) ∩ (β ) = d Định lý (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai măṭ phẳ ng vng gó c đường thẳng nà o nằ m măṭ phẳ ng nà y và vuông gó c với giao tuyế n vuông gó c với măṭ phẳ ng kiA (α) ⊥ (P ) a = (α ) ∩ (P ) ⇒ d ⊥ (P ) d ⊂ (α ), d ⊥ a Chứng minh hai đường thẳ ng vng góc: Cách 1: Dùng định nghĩa: a ⊥ b ⇔ a, b = 900 ( ) ( ) Hay a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ⇔ a b = ⇔ a b cos a ,b = Cách 2: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song phải vng góc với đường b//c ⇒a ⊥b a ⊥ c Cách 3: Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mọ i đường thẳng nằm mặt phẳng a ⊥ (α ) ⇒ a ⊥ b b ⊂ (α ) Cách 4: (Sử duṇ g Đinh ̣ lý Ba đường vuông gó c) Cho đường thẳng b nằm mặt phẳng (P ) a đường thẳng khơng thuộc (P ) đồng thời khơng vng góc với (P ) Gọi a’ hình chiếu vng góc a (P ) Khi b vng góc với a b vng góc với a’ a ' = hchα (P ) ⇒ b ⊥ a ⇔ b ⊥ a ' b ⊂ (P ) Cách khác: Sử duṇ g hı̀ nh hoc̣ phẳ ng (nếu được) Chứng minh mp (α ) ⊥ mp (β ) : ( ) Cách 1: Theo định nghĩa: (α ) ⊥ (β ) ⇔ (α), (β ) = 900 Chứng tỏ gó c giữa hai măṭ phẳ ng bằ ng 90° Cách 2: Theo định lý (Trang 108 SGK HH11): Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 5|THBTN BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian III HÌNH CHÓ P ĐỀ U Đinh ̣ nghıã : Môṭ hı̀ nh chó p được goị là hı̀ nh chó p đề u nế u có đá y là môṭ đa giá c đề u và có chân đường cao trù ng với tâm củ a đa giá c đá y Nhâṇ xé t: S Hıǹ h chó p đề u có cá c măṭ bên là những tam giá c cân bằ ng Cá c măṭ bên taọ với đá y cá c gó c bằ ng Cá c canh ̣ bên củ a hıǹ h chó p đề u taọ với măṭ đá y cá c gó c bằ ng Hai hı̀nh chó p đều thường gặp: A a Hı̀nh chó p tam giá c đều: Cho hıǹ h chó p tam giá c đề u S ABC Khi đó : C O B Đá y ABC là tam giá c đề u Cá c măṭ bên là cá c tam giá c cân taị S Chiề u cao: SO Gó c giữa canh ̣ bên và măṭ đá y: SAO = SBO = SCO Gó c giữa măṭ bên và măṭ đá y: SHO AB AH , OH = AH , AH = 3 Lưu ý : Hıǹ h chó p tam giá c đề u khá c với tứ diêṇ đề u Tứ diêṇ đề u có cá c mặt là cá c tam giá c đề u Tứ diêṇ đề u là hı̀ nh chó p tam giá c đề u có caṇ h bên bằ ng caṇ h đá y b Hı̀nh chó p tứ giá c đều: Cho hıǹ h chó p tam giá c đề u S ABCD Tıń h chấ t: AO = Đá y ABCD là hıǹ h vuông Cá c măṭ bên là cá c tam giá c cân taị S Chiề u cao: SO S A I D O C B Gó c giữa canh ̣ bên và măṭ đá y: SAO = SBO = SCO = SDO Gó c giữa măṭ bên và măṭ đá y: SHO IV THỂ TÍ CH KHỐ I ĐA DIỆN S Thể tı́ ch khố i chó p: V = B.h B : Diêṇ tıć h măṭ đá y h : Chiề u cao củ a khố i chó p D A O B Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn C 6|THBTN BTN_7_2 Chuyên đề Hình học không gian A C’ Lưu ý : Lăng tru ̣ đứng có chiề u cao cũ ng là canh ̣ bên Tı̉ số thể tı́ ch: VS A′ B ′C ′ VS ABC = A’ B’ c a a b a S SA′ SB ′ SC ′ SA SB SC B’ A’ Hın ̀ h chó p cụt ABC A′B′C ′ h V = B + B ′ + BB ′ Với B, B ′, h là diêṇ tıć h hai đá y và chiề u cao ( C’ B’ a Thể tı́ ch hın ̀ h hô ̣p chữ nhâṭ : V = a.b.c C B A’ ⇒ Thể tıć h khố i lâp̣ phương: V = a A B Thể tı́ ch khố i lăng trụ: V = B.h B : Diêṇ tıć h măṭ đá y h : Chiề u cao củ a khố i chó p C C’ ) A B C B BÀI TẬ TẬP TRẮ TRẮC NGHIỆ NGHIỆM Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần độ dài đường cao khơng đổi thể tích S ABC tăng lên lần? A B C D Câu Có khố i đa diện đều? A B Câu B Số mặt đa diện D Số đỉnh đa diện Cho khố i đa diện { p; q} , số q A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Câu B Số mặt đa diện D Số mặt mỗ i đỉnh Tính thể tích khố i tứ diện cạnh a a3 A ⋅ 12 Câu D Cho khố i đa diện { p; q} , số p A Số cạnh mỗ i mặt C Số cạnh đa diện Câu C a3 B ⋅ C a a3 D ⋅ Cho S ABCD hình chóp Tính thể tích khố i chóp S ABCD biết AB = a , SA = a Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 7|THBTN BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian A a Câu a3 B a3 C a3 D Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC tam giác Tính thể tích khố i chóp S ABC biết AB = a , SA = a a3 A 12 Câu a3 B C a a3 D Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật Tính thể tích S ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a A a Câu B 6a B 2a a3 D ⋅ Thể tích khố i tam diện vng O ABC vng O có OA = a, OB = OC = 2a A 2a ⋅ B a3 ⋅ C a3 ⋅ D 2a Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vuông A, SA = 2cm , AB = 4cm, AC = 3cm Tính thể tích khố i chóp A 12 cm B 24 cm C 24 cm D 24cm3 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB = a, AD = 2a Góc SB đáy 450 Thể tích khố i chóp A a3 ⋅ B 2a ⋅ C a3 ⋅ D a3 ⋅ Câu 12 Hıǹ h chó p S ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA = a 3, AC = a Khi thể tıć h khố i chó p S ABCD là A a3 ⋅ B a3 ⋅ C a3 ⋅ D a3 ⋅ Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B Biết ∆SAB tam giác thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích khố i chóp S ABC biết AB = a , AC = a A a3 ⋅ 12 B a3 ⋅ C a3 ⋅ D a3 ⋅ Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Mặt bên ( SAB ) tam giác vuông cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết BD = a , AC = a A a3 B a3 ⋅ C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn a3 ⋅ 12 D a3 ⋅ 8|THBTN BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC Tính thể tích khố i chóp S ABC biết AB = a , AC = a , SB = a A a3 ⋅ a3 ⋅ B C a3 ⋅ D a3 ⋅ Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng 3a ( ABCD ) trung điểm H AD Tính thể tích khố i chóp S ABCD biết SB = A a3 ⋅ B a3 C a3 ⋅ Câu 17 Hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SD = D 3a ⋅ a 13 Hình chiếu S lên ( ABCD ) trung điểm H AB Thể tích khối chóp A a3 ⋅ a3 ⋅ B C a3 12 D a3 ⋅ Câu 18 Hıǹ h chó p S ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD 1200 Hình chiếu vng góc a S lên ( ABCD ) I giao điểm đường chéo, biết SI = Khi thể tıć h khố i chó p S ABCD là a3 a3 a3 a3 A ⋅ B ⋅ C ⋅ D ⋅ 9 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC , gọi M , N trung điểm SA, SB Tính t ỉ số A B ⋅ C D VS ABC VS MNC ⋅ Câu 20 Cho khố i chop O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm A’, B′, C ′ cho V 2OA′ = OA, 4OB′ = OB, 3OC ′ = OC Tính t ỉ số O A ' B 'C ' VO ABC A 12 B 24 C 16 D 32 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC Gọi (α ) mặt phẳng qua A song song với BC (α ) cắt SB , SC SM biết (α ) chia khố i chóp thành phần tích SB 1 B C D 2 M , N Tính t ỉ số A Câu 22 Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: A a3 ⋅ B a3 ⋅ C a3 ⋅ D a3 ⋅ Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình chữ nhật, A ' A = A ' B = A ' D Tính thể tích khố i lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a , AA ' = 2a Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 9|THBTN BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian A 3a B a3 C a3 D 3a 3 Câu 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vng A Hình chiếu A ' lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích khố i lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a , AA ' = 2a A a3 ⋅ B 3a ⋅ C a3 D 3a 3 Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ( ABCD ) trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khố i lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ABC = 1200 , AA ' = a A a a3 B ⋅ Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số A ⋅ B ⋅ a3 C ⋅ a3 D ⋅ VABB 'C ' VABCA ' B ' C ' C ⋅ D Câu 27 Cho khố i lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 ⋅ 12 B a3 ⋅ C a3 ⋅ D a3 ⋅ 12 Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu A′ lên ( ABC ) trung điểm I củ a BC Thể tích khố i lăng trụ A a3 ⋅ B a3 ⋅ C a3 ⋅ 12 D a3 ⋅ Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, BC = 2a, AB = a Mặt bên ( BB’C’C ) a3 A hình vng Khi thể tıć h lăng trụ B a3 C 2a 3 D a3 Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính t ỉ số VABCMN VABC A ' B ' C ' A B C D Câu 31 Cho khố i lăng trụ ABC A′B′C ′ Tỉ số thể tích khố i chóp A′ ABC khố i lăng trụ 1 1 A B C D Câu 32 Cho khố i lập phương ABCD A′B′C ′D′ Tỉ số thể tích khố i A′ ABD khố i lập phương là: 1 1 A B C D Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 10 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học không gian O B′ Ta có : OA′ OB ′ OC ′ = ; = ; = OA OB OC V OA′ OB′ OC ′ 1 1 ⇒ O A ′B ’ C ’ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = VO ABC OA OB OC 24 C′ A′ A C B Câu 21 Cho hình chóp S.ABC Gọi (α ) mặt phẳng qua A song song với BC (α ) cắt SB , SC M , N Tính tỉ số A SM biết (α ) chia khối chóp thành phần tích SB B C D 2 Hướng dẫn giải: S Ta có : MN //BC ⇒ SM SN = SB SC M V SM SN SM = Ta có: S AMN = VS ABC SB SC SB Ta có: N A VS AMN 1 SM = ⇒ = VS ABC SB C B Câu 22 Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: A a3 ⋅ B a3 ⋅ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D A' a3 ⋅ C' B' h = a a2 S = ⇒ V = h.S = a3 A C B Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình chữ nhật, A ' A = A ' B = A ' D Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a , AA ' = 2a A 3a3 B a3 C a3 Hướng dẫn giải: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D 3a3 19 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học không gian A' Gọi O giao điểm AC BD ABCD hình chữ nhật ⇒ OA = OB = OD Mà A′A = A′B = A′D nên A ' O ⊥ ( ABD ) (vì A ' O B' D' trực tâm giác ABD ) ∆ABD vuông A ⇒ BD = ⇒ OA = OB = OD = a C' AB + AD = 2a A ∆AA ' O vuông O ⇒ A ' O = B AA ' − AO = a O S ABCD = AB AD = a VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' O.S ABCD = 3a3 D C Câu 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vng A Hình chiếu A ' lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a , AA ' = 2a A a3 ⋅ B 3a3 ⋅ C a3 D 3a3 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) A' B' ABC tam giác vuông A ⇒ BC = AB + AC = 2a C' BC = a ∆A ' AH vuông H ⇒ AH = ⇒ A' H = S ∆ABC = A AA '2 − AH = a B a2 AB AC = 2 H C VABCA ' B ' C ' = A ' H S ABC = 3a Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ( ABCD ) trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ABC = 1200 , AA ' = a A a3 B a3 ⋅ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ A' Gọi H trọng tâm tam giác ABD ⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) B' C' D' Ta có: BAD = 1800 − ABC = 600 Tam giác ABD cân có BAD = 600 nên tam giác ABD A a ABD tam giác cạnh a ⇒ AH = H D ∆A ' AH vuông H ⇒ A ' H = S ABCD = S ABD = AA '2 − AH = B C a a2 a2 a3 = ; VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' H S ABC = 2 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 20 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số A ⋅ B VABB ' C ' VABCA ' B ' C ' ⋅ ⋅ Hướng dẫn giải: C D Ta có: BB ' C ' C hình bình hành 1 ⇒ SBB ' C ' = SBB ' C ' C ⇒ VA BB ' C ' = VA.BB ' C ' C 2 Ta có: VA A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C ' A' C' B' A ⇒ VA.BB ' C ' C = VABCA ' B ' C ' − VA A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C ' ⇒ VABB ' C ' C B V 1 = VABCA ' B ' C ' ⇒ ABB ' C ' = VABCA ' B ' C ' Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 ⋅ 12 B a3 ⋅ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ 12 C' A' B' h = BB ′ = a a2 S A′B′C ′ = ⇒ VA′BB′C ′ = A a3 BB ′.S A′B′C ′ = 12 C B Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu A′ lên ( ABC ) trung điểm I củ a BC Thể tích khối lăng trụ A a3 ⋅ B a3 ⋅ a3 ⋅ 12 Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ A' a 3 a ⋅ = A′I = AI tan ( 30 ) = a S ABC = ⇒ VABC A’ B’C ’ = A′I S ABC = B' C' a3 A B I C Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 2a, AB = a Mặt bên ( BB’C’C ) hình vng Khi thể tıć h lăng trụ A a3 B a3 C 2a 3 D a3 Hướng dẫn giải: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 21 | T H B T N BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian A' C' B' h = BB ′ = 2a 2 AC = BC − AB = a a2 AB AC = 2 ⇒ VABC A’B’C’ = BB ′.S ABC = a3 ⇒ S ABC = A C B VABCMN VABC A ' B ' C ' Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính tỉ số A B Hướng dẫn giải: C Ta có: BB ' C ' C hình bình hành ⇒ SBCMN = SBB ' C ' C ⇒ VA.BCMN = VA BB ' C ' C Ta có: VA A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C ' D A' B' C' M ⇒ VA.BB ' C ' C = VABCA ' B ' C ' − VA A ' B ' C ' = VABCA ' B ' C ' ⇒ VA.BCMN N A B V 1 = VABCA ' B ' C ' ⇒ A.BCMN = VABCA ' B ' C ' 3 C Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A′B ′C ′ Tỉ số thể tích khối chóp A′ ABC khối lăng trụ A B Hướng dẫn giải: C D A' C' B' 1 VA′ABC = AA′.S ABC = VABC A′B ′C ′ 3 VA′ABC ⇒ = VABC A′B′C ′ A C B Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ Tỉ số thể tích khối A′ ABD khối lập phương là: A B Hướng dẫn giải: C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D 22 | T H B T N BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian A' AA′.S ABD 1 = AA′ AB AD = AA′.S ABCD = VABCD A’ B’C ’D’ VA’ ABD ⇒ = VABCD A’ B’C ’D’ VA’ ABD = D' C' B' D A B C VẬN DỤNG THẤP Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABCD) α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α A 3h3 tan α B h3 3tan α 8h3 3tan α Hướng dẫn giải: S O M hA C D 3h3 tan α Gọi O tâm mặt đáy SO ⊥ mp ( ABCD ) Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD CD ⊥ SM ⊂ ( SCD) Ta có: CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD) ⇒ SMO = α CD = ( SCD ) ∩ ( ABCD) B V= D α C SABCD SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM Tam giác SOM vng tại O, ta có: tan α = ⇒ AB = SO h h = ⇒ OM = OM OM tan α 2h 4h Suy ra: B = SABCD = SO = h tan α tan α Vậy VS.ABCD = 4h h3 h = tan α 3tan α Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD 3a3 Hướng dẫn giải: A V = B V = 3a3 C V = AD ⊥ AB Ta có: ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA AD ⊥ SB 8a 3 D V = 4a3 S ⇒ SAB = 600 SABCD = 4a2 Xét tam giác SAB vng B, ta có: A D SB = AB tan 600 = 2a Vậy V = α 8a 3 4a2 2a = 3 2a B Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn C 23 | T H B T N BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B , BC = a , mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy góc 30° tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 3a3 B Hướng dẫn giải: V= Bh = SABC A’B’C’.AA’ BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A′B Do BC ⊥ AA′ A 3a3 C D 3a3 A’ C’ B’ BC ⊥ AB ⊂ ( ABC ) Và BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC ) BC = ( ABC ) ∩ ( A ' BC ) ( ) ( ) ⇒ ( ABC ), ( A ' BC ) = AB, A ' B = ABA ' Ta có: A S ∆A′BC = A′B.BC 2.S ∆A′BC 2.a ⇒ A′B = = = 2a BC a C 30o a B AB = A′B.cos ABA′ = 2a 3.cos 300 = 3a; AA′ = A′B.sin ABA′ = 2a 3.sin 300 = a 1 3a3 VABC A ' B ' C ' = B.h = S ABC AA′ = AB.BC AA′ = 3a.a.a = 2 Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' ( ABC ) trung điểm AB Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy góc 45° Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V = 3a3 16 B V = 3a3 3a3 C V = D V = 3a3 Hướng dẫn giải: A’ B’ Go ̣i H, M, I lầ n lượt là trung điể m củ a cá c đoa ̣n thẳ ng AB, AC, AM VABC A ' B ' C ' = S∆ABC A ' H Ta có IH là đường trung bıǹ h tam giác AMB , MB là trung tuyế n tam giác ABC IH // MB Do đó : ⇒ IH ⊥ AC MB ⊥ AC S ∆ABC = a C’ H A I B a M C AC ⊥ A ' H ⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I AC ⊥ IH AC ⊥ IH ⊂ ( ABC ) Mà : AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ A ' IH góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C ) ( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') = AC ( ABCD ) ⇒ A ' IH = 45° Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 24 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học không gian Trong tam giác A ' HI vuông ta ̣i H, ta có : tan 45° = = IH = A' H ⇒ A ' H = IH tan 45o HI a a a 3a MB = Vậy V = = 4 16 Câu 37 Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy ( ABC ) 600 , khoảng cách giữa hai đường thẳ ng SA và BC bằ ng A 3a a3 12 Thể tı́ch củ a khớ i chóp S ABC theo a B a3 18 a3 16 Hướng dẫn giải: C D a3 24 Go ̣i M là trung điểm củ a BC Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA, ( H ∈ SA) BC ⊥ AM Ta có: ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ MH BC ⊥ SO Do MH đường vng góc chung SA BC 3a Ta có: SM ⊥ BC ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA = 600 Đặt OM = x ⇒ AM = 3x, OA = x Suy MH = S ⇒ SO = OM tan 600 = x SA = ( x 3) 2 + ( 2x ) = x Trong △SAM ta có: SA.MH = SO AM 3a a ⇔ x = x 3.3 x ⇔ x = H C A a Khi đó: AM = 3x = = ⇒ AB = a 2 a O N 1 a a a = VS ABC = S∆ABC SO = 3 24 B Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC = 3a , BD = 2a , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) a Tính thể tıć h củ a khớ i chóp S ABCD theo a A a3 16 B a3 18 a3 Hướng dẫn giải C D Ta có tam giác ABO vuông O AO = a , BO = a Do AO = = tan 600 ⇒ ABO = 600 BO Suy ∆ABD Ta ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) có: ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO a3 12 S I D 2a C A O B Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 25 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian AB, K trung điểm BH, suy DH ⊥ AB DH = a ; OK / / DH OK = a DH = 2 Suy OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có: OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) ⇒ OI = d O; ( SAB ) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: a 1 = + ⇒ SO = 2 OI OK SO 1 1 a3 VS ABCD = S ∆ABCD SO = 4.S ∆ABO SO = .OA.OB.SO = 3 3 Câu 39 Cho hıǹ h chó p tứ giác S ABCD , O giao điểm AC BD Biết mặt bên hình chóp tam giác khoảng từ O đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a A 2a 3 B 4a 3 Goị M là trung điểm củ a CD , ∆SOM kẻ đường cao OH C 6a3 Hướng dẫn giải: A D 8a3 S ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH = a Đặt CM = x Khi OM = x , SM = x , SO = SM − x = x Ta có: SM OH = SO.OM a ⇔ x 3.a = x x ⇒ x = a A ⇒ CD = a 6, SO = a D M O B H x C 1 VS ABCD = S ABCD SO = CD SO = 6a a = 2a 3 3 Câu 40 Cho hıǹ h chó p tứ giác S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a AD = 3BC = 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc ( SCD ) ( ABCD ) 600 A 6a B 6a3 C 3a Hướng dẫn giải: Dựng AM ⊥ CD M D 3a3 S Ta có: SMA = 600 S ABCD = CD = AD + BC AB = 4a 2 ( AD − BC ) + AB = 2a S ACD S ACD = M 2S AM CD ⇒ AM = ACD = a 2 CD Ta có: SA = AM tan SMA = D A AB.BC = a 2 = S ABCD − S ABC = 3a S ABC = B C a VS ABCD = SA.S ABCD = 6a3 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 26 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 41 Cho hıǹ h chó p tứ giác S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a AD = 3BC = 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a A 6a3 B 6a C 3a Hướng dẫn giải: Dựng AM ⊥ CD M Dựng AH ⊥ SM H D 3a3 S a AD + BC AB = 4a = Ta có: AH = S ABCD CD = ( AD − BC ) H A + AB = 2a AB.BC = a 2 = S ABCD − S ABC = 3a D S ABC = S ACD M S ACD = 2S AM CD ⇒ AM = ACD = a CD Ta có: 1 = + ⇒ AS = 2 AH AM AS B AH AM AM − AH = C a VS ABCD = SA.S ABCD = 6a3 Câu 42 Cho lăng tru ̣ tam giá c ABC A ' B ' C ' có BB ' = a , gó c giữa đường thẳ ng BB ' và ( ABC ) bằ ng 60° , tam giá c ABC vuông taị C và gó c BAC = 60° Hın ̣ tâm củ a ̀ h chiế u vuông gó c củ a điểm B ' lên ( ABC ) trù ng với ∆ABC Thể tıć h củ a khố i tứ diêṇ A ' ABC theo a A 13a 108 B 7a 106 15a3 108 Hướng dẫn giải: 60° C D B' Goị M , N là trung điểm củ a AB, AC G là ̣ tâm củ a ∆ABC ( 9a 208 C' A' ) B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ', ( ABC ) = B ' BG = 600 1 VA ' ABC = S∆ABC B ' G = AC.BC B ' G Xét ∆B ' BG vuông taị G , có B ' BG = 600 ⇒ B 'G = B a (nửa tam giá c đề u) 60° M C G N A Đăṭ AB = x Trong ∆ABC vuông taị C có BAC = 600 AB ⇒ tam giác ABC là nữa tam giá c đề u ⇒ AC = = x, BC = x 3 3a Do G là ̣ tâm ∆ABC ⇒ BN = BG = Trong ∆BNC vuông taị C : BN = NC + BC Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 27 | T H B T N BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian 3a AC = 13 9a x 9a 3a ⇔ = + 3x ⇔ x2 = ⇒x= ⇒ 16 52 13 BC = 3a 13 2 3a 3a a 9a3 Vậy, VA ' ABC = = 13 13 208 Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) A 3a3 B a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3a3 28 3a3 Hướng dẫn giải: C D 3a3 16 A' C' Goị M là trung điểm củ a BC , ta có ( A ' AM ) ⊥ ( A ' BC ) theo giao tuyến A ' M Trong ( A ' AM ) kẻ OH ⊥ A ' M ( H ∈ A ' M ) B' ⇒ OH ⊥ ( A ' BC ) Suy ra: d ( O, ( A ' BC ) ) = OH = a a2 Xét hai tam giác vuông A ' AM OHM có góc A S ∆ABC = C H O M M chung nên chúng đồng dạng B a OH OM Suy ra: = ⇒ = A' A A'M A' A ⇒ A' A = a ⇒ = 2 A 'A A ' A + AM a 3 A ' A2 + a a a 3a3 Thể tích: VABC A ' B ' C ' = S∆ABC A ' A = = 4 16 VẬN DỤNG CAO Câu 44 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = NC Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối chóp A.BMNC S AMN Tính tỉ số A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 V1 V2 D V1 =3 V2 Hướng dẫn giải Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 28 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học không gian S VS AMN SM SN = ⋅ = ⋅ = ; VS ABC SB SC 3 Suy ra, N M VS AMN + VA.BMNC = VS ABC VA.BMNC =2 VS AMN C A B Câu 45 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = NC , P điểm cạnh SA cho PA = PS Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối tứ diện BMNP SABC Tính tỉ số A V1 V2 V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Hướng dẫn giải S ⋅ d ( N , ( SAB )) ⋅ S BMP VN BMP = ; VC SAB ⋅ d (C, (SAB )) ⋅ SSAB d ( N , ( SAB )) NS = = d (C, (SAB )) CS , S BPM = P N M 1 S BPS = ⋅ S SAB 2 VN BMP 1 = ⋅ = Suy ra, V C SAB C A B Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABCD) 45° , M , N P trung điểm cạnh SA, SB AB Tính thể tích V khối tứ diện DMNP A V = a3 B V = a3 C V = a3 12 D V = a3 Hướng dẫn giải Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 29 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian Ta có: SSMN SM SN = ⋅ = SSAB SA SB Tương tự, S SBNP S AMP = , = SSAB SSAB M S S 1 Suy MNP = (có thể khẳng định MNP = S SAB S SAB nhờ hai tam giác MNP BAS hai tam giác đồng dạng với tỉ số k = ) V Do D.MNP = (1) VD.SAB N A D 45° P O B C VD.SAB = VS DAB = VS ABCD (2) 1 4a3 1 4a3 a3 VS ABCD = SO.S ABCD = OP.tan 45°.S ABCD = (3) Từ (1), (2) (3): VDMNP = = 3 Câu 47 Cho lăng trụ ABC A′B ′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân B , AC = 2a ; cạnh bên AA′ = 2a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B ′C ′ A V = a B V = a3 C V = a3 2a3 D V = Hướng dẫn giải B' A' Vì ABC tam giác vng cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, HB = HA = HC = AC = a A′A2 − AH = 2a − a = a VABC A′B ′C ′ = A′H ⋅ S ABC = A′H ⋅ BH ⋅ AC = a3 C' a A′H = B A a a H a C Câu 48 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với Gọi G1 , G2 , G3 G4 trọng tâm mặt ABC , ABD, ACD BCD Biết AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 A 4a B a3 C 108a Hướng dẫn giải D 36a3 Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh VG1G2 G3G4 = VABCD 27 Thật vậy, ta có (G2 G3G4 ) (CBA) △G2G3G4 ) ∼△CBA (tỉ số đồng dạng k = ) SG2 G3G4 Từ đó: = k = SCBA Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 30 | T H B T N BTN_7_2 Chun đề Hình học khơng gian d (G1 , (G2 G3G4 )) = d (G4 , ( ABC )) D 1 = d ( D, ( ABC )) (do G4 M = DM ) 3 G3 G2 G4 A C G1 M B Suy VG1G2 G3G4 VABCD ⇒ VG1G2 G3G4 = = d (G1 , (G2 G3G4 )) SG2 G3 G4 1 ⋅ = ⋅ = d ( D, ( ABC )) SCBA 27 1 VABCD = ⋅ AB AC AD = 4a3 27 27 Câu 49 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m , BC = AD = 20m , BD = AC = 21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 360m3 B 720m3 Dựng tam giác MNP cho C, B, D trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam giác MNP nên BD = MN hay AC = MN Tam giác AMN vng A (do có trung tuyến nửa cạnh tương ứng), hay AM ⊥ AN Tương tự, AP ⊥ AN AM ⊥ AP C 770m3 Hướng dẫn giải D 340m3 A z x 11 21 20 y B M P 20 21 11 D C N Ta có S MBC 1 1 = SMNP , S NCD = SMNP , S BPD = S MNP Suy S BCD = SMNP 4 4 Từ đó, VABCD = VAMNP x + y = 4.202 AM AN AP Đặt x = ,y= ,z = Ta có y + z = 4.212 , m m m 2 x + z = 4.11 x = 160 1 suy y = 1440 ⇒ xyz = 1440 ⇒ VABCD = VAMNP = 360m3 z = 324 (AM, AN, AP đơi vng góc nên VAMNP = AM AN AP ) V= (a + b2 − c )(a − b + c )(−a + b + c ) 12 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 31 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vng; mặt bên ( SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) bằ ng 7a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = a3 B V = a3 C V = a D V = 3a3 Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho S Kí hiệu x độ dài cạnh đáy 3 x VS ABCD = x Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD) ; Ta có SH = Kẻ HL ⊥ SK (L ∈ SK ) L Suy HL ⊥ ( SCD) A d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) = HL = HS ⋅ HK HS + HK = 21 x D H K X B Theo gt, C 21 7a 3 3 x= ⇒ x = a Suy VS ABCD = x = (a 3)3 = a3 7 6 Câu 51 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = 2SM , SN = NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng (α ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số A V1 V2 B 4 Hướng dẫn giải C D Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm (α ) với đường thẳng BC , AC Ta có NP //MQ//SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng (QNC ) , ta hai khối chóp N SMQC N QPC VN SMQC Ta có: VB ASC = d ( N , ( SAC )) SSMQC ⋅ ; d (B, ( SAC )) SSAC S d ( N , ( SAC )) NS = = ; d (B, ( SAC )) BS S AMQ S ASC Suy VN QP C VS ABC M S SMQC AM = = = ⇒ S ASC AS VN SMQC VB ASC = = 10 ⋅ = 27 d ( N , (QP C )) SQPC ⋅ d (S, (A BC )) S ABC N C A NB CQ CP 1 2 ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = SB CA CB 3 27 V V V1 V1 V 10 4 N SMQC N QP C = + = + = ⇒ = ⇒ 5V1 = 4V2 ⇒ = V VB ASC VS ABC 27 27 V1 + V2 V2 = Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn Q P B 32 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = 408 B V = 680 C V = 578 Hướng dẫn giải D V = 600 Gọi J chân đường cao hình chóp S.ABC; H, K S L hình chiếu J cạnh AB, BC CA Suy ra, SHJ , SLJ SKJ góc tạo mặt phẳng ( ABC ) với mặt phẳng (S AB) , ( SBC ) ( SAC ) Theo giả thiết, ta có SHJ = SLJ = SKJ , suy tam giác vuông SJH , SJL SJK Từ đó, JH = JL = JK Mà J nằm tam giác ABC nên J z=17 y=9 K C A J z=17 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC y=9 H Áp dụng công thức Hê-rơng, ta tính diện tích S L x=8 tam giác ABC S = 204 x=8 B Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp ABC Ta có r= z K y C A S 204 = = Đặt x = BH = BL , y = CL = CK , p 34 z = AH = AK x + y = 17 Ta có hệ phương trình x + z = 25 y + z = 26 y z J L H x x B Giải ( x; y; z ) = (8;9;17) JB = JH + BH = 62 + 82 = 10 Ta có SBJ = ( SB, ( ABC )) = 45° , suy SJB tam giác vuông cân J SJ = JB = 10 Thể tích V khối chóp S.ABC V = SJ S ABC = 680 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 33 | T H B T N ... ABCD hình chóp Tính thể tích khố i chóp S ABCD biết AB = a , SA = a Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 7|THBTN BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian A a Câu a3 B a3 C a3 D Cho hình chóp... Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 14 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian S ∆ABC = S a2 ⇒ VS ABC = a3 12 C A B Câu Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình. .. ABC = SA ⋅ S ABC = cm3 3 C A B Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 15 | T H B T N BTN_7_2 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 11 Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB