Tài liệu tham khảo chuyên đề luyện thi Đại học: Bất đẳng thức - Huỳnh Chí Hào giúp các bạn học sinh có thêm tư liệu ôn tập, luyện tập để nắm vững được những kiến thức cơ bản chuẩn bị cho kỳ thi đạt kết quả tốt hơn.
Chun đề LTĐH Chuyên đề 5: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I Số thực dương, số thực âm: • Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x > • Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x < • Nếu x số thực dương x= 0, ta nói x số thực không âm, ký hiệu x ≥ • Nếu x số thực âm x= 0, ta nói x số thực không dương, ký hiệu x ≤ Chú ý: • Phủ định mệnh đề "a > 0" mệnh đề " a ≤ " • Phủ định mệnh đề "a < 0" mệnh đề " a ≥ " II Khái niệm bất đẳng thức: Định nghóa 1: Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a-b số dương, tức a-b > Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a > b ⇔ a−b > • Nếu a>b a=b, ta viết a ≥ b Ta có: a ≥ b ⇔ a-b ≥ Định nghóa 2: Giả sử A, B hai biểu thức số Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ B ", ký hiệu :A < B " A lớn hay B " ký hiệu A ≥ B " A nhỏ hay B " ký hiệu A ≤ B gọi bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói bất đẳng thức mà không rõ ta hiểu bất đẳng thức • Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức III Các tính chất bất đẳng thức : a > b Tính chất 1: ⇒a>c b > c Tính chất 2: a > b ⇔ a+c > b+c Hệ 1: a > b ⇔ a−c > b−c Hệ 2: a+c > b ⇔ a > b−c a > b Tính chất 3: ⇒ a+c > b+d c > d Tính chất 4: Hệ 3: ac > bc neáu c > a>b⇔ ac < bc neáu c < a > b ⇔ − a < −b 28 Chun đề LTĐH Hệ 4: Tính chất 5: Tính chất 6: Tính chất 7: Tính chất 8: Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn a b c > c neáu c > a>b⇔ a < b neáu c < c c a > b > ⇒ ac > bd c > d > 1 a>b>0⇔0< < a b * n a > b > 0, n ∈ N ⇒ a > b n a > b > 0, n ∈ N * ⇒ n a >nb Hệ 5: Nếu a b hai số dương : a > b ⇔ a2 > b2 Nếu a b hai số không âm : a ≥ b ⇔ a ≥ b2 IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : x x ≥ Định nghóa: x = ( x ∈ R) − x x < Tính chất : x ≥ , x = x , x ≤ x , -x ≤ x Với a, b ∈ R ta có : • a+b ≤ a + b • a−b ≤ a + b • a + b = a + b ⇔ a.b ≥ • a − b = a + b ⇔ a.b ≤ V Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : • a > 0, b > 0, c > • b−c < a < b+c • c−a < bb>c⇔ A> B >C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: a+b ≥ ab Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xãy a=b Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta coù : a1 + a2 + + an n ≥ a1 a2 an n Dấu "=" xãy a1 = a2 = = an 29 Chun đề LTĐH b Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn (ax + by )2 ≤ (a2 + b2 )( x + y ) Daáu "=" xãy ay = bx Tổng quát : Cho hai số (a1 , a2 , an ) vaø (b1 , b2 , , bn ) ta coù : (a1b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ (a12 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) a a1 a2 = = = n với quy ước mẫu tử b1 b2 bn 1 1 c) Bất đẳng thức bản: Cho hai số dương a,b ta có: ≤ ( + ) a+b a b Dấu "=" xãy a=b Dấu "=" xãy Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng phương pháp sau Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Ví du1ï: Chứng minh bất đẳng thức sau: a + b + c ≥ ab + bc + ca với số thực a,b,c a + b + ≥ ab + a + b với a,b Ví dụ 2: a3 + b3 a+b Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b ≥ , chứng tỏ rằng: ≥( ) 2 Ví dụ 3: Chứng minh x>0 ( x + 1) ( + + 1) ≥ 16 x x Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ bất đẳng thức biết dùng suy luận toán học để suy điều phải chứng minh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c, chứng minh : a + b + c < 2(ab + bc + ca) Ví dụ 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y = Chứng minh rằng: 4 + ≥5 x 4x Ví dụ 3: Cho x,y,z số dương Chứng minh rằng: 3x + y + z ≥ xy + yz + zx 1 Ví dụ 4: Chứng minh với mọi x,y dương ta có: x + y + + ≥ 2( x + y ) x y 30 Chun đề LTĐH Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c, chứng minh : ab(a + b − 2c) + bc(b + c − 2a ) + ca (c + a − 2b) ≥ Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví dụ6: Cho x,y,z xyz=1 Chứng minh : x + y + z ≥ x + y + z Ví dụ 7: Cho x, y, z > x+y+z=xyz Chứng minh : xyx ≥ 3 a+b+c a+b+c a+b+c Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : + + ≥9 a b c Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh : 1 x + y + z + + + ≥ 10 x y z Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh raèng : b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét tính chất hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với x > x2 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: cos x > − với x > Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 4: Với < x < π π sin x + tgx > x với x ∈ (0; ) , chứng minh 2 sin x +2 tgx > x +1 22 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh raèng + x3 + y3 1+ y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? 1 + + = Chứng minh : x y z 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Baøi 2: Cho x,y,z số dương thỏa mãn Bài 3: Với a,b,c ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab + bc + ca = abc , chứng minh rằng: b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ ab bc ca 31 ... biến đổi tương đương Phương pháp 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Ví du1ï: Chứng minh bất đẳng thức sau: a + b + c ≥ ab + bc + ca với số thực a,b,c a... tính chất hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với x > x2 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: cos x > − với x > Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 4: Với < x < π π sin x +... a.b ≤ V Baát đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : • a > 0, b > 0, c > • b−c < a < b+c • c−a < bb>c⇔ A> B >C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: