Bài tập đồ thị hàm số

tài liệu tham khảo cho sinh viên đang ôn thi đại học, cao đẳng chuyên môn toán học - Kỹ thuật giải một số bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số, Tài liệu tham khảo Bài tập đồ thị hàm số,Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau 1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x ...

Câu I 1) Khảo sát sỷồ biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x2 - x + x - 2) T×m trục Oy điểm từ kẻ đỷợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) 3) Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc víi parabol y = x2 + a C©u II Cho hệ phỷơng trình x + y + xy = m  2 x + y = m 1) Giải hệ với m = 2) Với giá trị m hệ có nghiệm? Câu III 1) Cho bất phỷơng trình x2 + 2x(cosy + siny) + Tìm x để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm với y 2) Giải phỷơng trình lỷợng giác sin x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + Câu IVa Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc, cho elip E) : x2 y2 = 1, + vµ hai ®ûêng th¼ng (D) : ax - by = 0, (D’) : bx + ay = 0, víi a2 + b2 > 1) Xác định giao điểm M, N (D) với (E), giao điểm P, Q cđa (D’) víi (E) 2) TÝnh theo a, b diƯn tích tỷỏ giác MPNQ 3) Tìm điều kiện a, b, để diện tích lớn 4) Tìm ®iỊu kiƯn ®èi víi a, b, ®Ĩ diƯn tÝch Êy nhỏ Câu IVb Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC với ba góc nhọn Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) A, lấy điểm M Dỷồng BNCM , BHCM Đỷờng thẳng KH cắt (d) N 1) Chỷỏng minh : BNCM 2) Chûáng minh : BM⊥CN 3) H·y chØ c¸ch dûång điểm M (d) cho đoạn MN ngắn _ Câu 1) Bạn đọc tự giải nhé! 2) Lấy A(0, b) điểm Oy Đờng thẳng qua A, với hệ số góc k có phơng trình : y = kx + b Ta cã y = x2 − x + 1 =x+ ; y' = − x −1 x −1 (x − 1)2 Hoành độ tiếp điểm đờng thẳng y = kx + b với đồ thị (C) nghiệm hệ   x + x − = kx + b   1 − =k  (x − 1)2 ⇒ x+  1  = 1 − x+ b x −  (x − 1)2  ⇒ bx2 − 2(1 + b)x + (1 + b) = (1) y b = : (1) trë thµnh −2x + = ⇔ x = y b ≠ : (1) cã nghiÖm ∆ ' = (1 + b)2 − b(1 + b) ≥ ⇔ b ≥ −1 (b ≠ 0) Thành thử điểm Oy từ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) điểm có tung độ b 3) Hoành độ tiếp điểm parabol y = x2 + a với đồ thị (C) nghiệm hệ :  x + x − = x + a o   1 − = 2x (x 1)2 Từ phơng trình thứ hai, suy : x(2x2 − 5x + 4) = ⇒ x = Thay vào phơng trình đầu đợc a = - Câu II Đặt S = x + y, P = xy, ta ®i ®Õn hƯ : S + P = m  S − 2P = m 1) Với m = ta đợc : S + P =  S − 2P = ⇒ P=5−S ⇒ S2 + 2S − 15 = ⇒ S = −5, S = Víi S = 5, ta có P = 10, loại điều kiện S2 4P không đợc nghiệm x = 2, y = 1, Víi S = 3, ta có P = đợc x = y = 2) Trong trờng hợp tổng quát, P = m - S ⇒ S2 + 2S − 3m = _ Để phơng trình có nghiệm, cần ph¶i cã : ∆ ' = + 3m ≥ ⇒ m ≥ − Khi ®ã gọi S1 S2 nghiệm : S1 = −1 − + 3m , S2 = −1 + + 3m a) Víi S = S1 ⇒ P = m − S1 , ®iỊu kiƯn S2 ≥ 4P trë thµnh (1 + + 3m)2 ≥ 4(m + + + 3m) ⇒ −(m + 2) + 3m , không đợc nghiệm m ≥ − ⇒ m + > b) Víi S = S2 ⇒ P = m S2 , điều kiện S2 4P trở thành : (−1 + + 3m)2 ≥ 4(m + − + 3m) ⇒ + 3m ≥ m + V× m + > 0, bình phơng hai vế bất phơng trình đến m2 8m ≤ m ≤ Cïng víi m ≥ suy đáp số : m Câu III 1) Hiển nhiên với x = bất phơng trình đợc nghiệm với y XÐt x > ⇒ cosy + sin y ≥ − + x2 2x Hµm f (y) = cosy + siny có giá trị lớn 2 , giá trị nhỏ , vËy ph¶i cã : 1+ x ⇒ x2 − 2x + ≥ ⇒ 2x ⇒ < x ≤ −1, x ≥ +1 XÐt x < ⇒ cosy + sin y ≤ − 1+ x ⇒ 2x ⇒ 2≤− + x2 ⇒ x2 + 2x + ≥ ⇒ x ≤ − − , 2x − +1 x < Tóm lại giá trị phải tìm : x , − + ≤ x ≤ − 1, | x | ≥ +1 , | x | ≤ −1 hay : 2) §iỊu kiƯn : x ≠ π + kπ ( k ∈ Z) Chia hai vế cho cos2 x ta đợc phơng trình tơng đơng : tg2 x(tgx + 1) = 3tgx(1 − tgx) + 3(1 + tg2 x) ⇔ tg2 x(tgx + 1) − 3(tgx + 1) = ⇔ (tgx + 1)(tg2 x − 3) =  tgx = −1 ⇔   tgx = ± +1≤ x π   x = − + kπ ⇔   x = ± π + kπ  ( k ∈ Z) Câu IVa Cần để ý đỷờng thẳng (D), (D) vuông góc với chúng có phỷơng trình tham số x = at' (D’) :   y = −bt'  x = bt (D) :   y = at 1) Thay biểu thức (D) vào phỷơng trình (E), ta đỷợc giá trị tham số t ứng với giao điểm M, N Từ suy chẳng hạn (do có trao đổi vai trò cña M, N):  M  6b 9a + 4b ,    , N   9a + 4b   ,-    , Q   4a + 9b   6a 6b 9a + 4b ,-   2  9a + 4b  ,   2  4a + 9b  6a Tû¬ng tù:  P  6a 4a + 9b 6b 6a 4a + 9b 6b 2) Tứ giác MPNQ hình thoi, với diện tích 72(a + b ) S = 2OM.OP = (9a + 4b )(4a + 9b ) (1) 3) Để ý phỷơng trình (D) (D) có dạng (hay đẳng cấp) ®èi víi a, b, tøc lµ thay cho a vµ b, ta viết ka kb với k Do vËy, cã thÓ coi r»ng a + b = Khi (1) trở thành S= 72 2 (4 + 5a )(4 + 5b ) = 72 36 + 25a b ≤ 72 = 12, dÊu = chØ cã thĨ x¶y ab = 0, tức a = b = (Khi cặp đỷờng thẳng (D) (D) trùng với cặp hệ trục tọa độ) 4) Vẫn víi gi¶ thiÕt a + b = 1, theo trªn ta cã S= 72 36 + 25a b V× 2|ab| £ a + b = suy a b £ , dÊu = chØ x¶y |a| = |b|, vËy S ³ 72 36 + 25 = 144 , 13 144 , x¶y |a| = |b|, tức cặp đỷờng thẳng (D), (D) cặp phân giác y x = hƯ 13 trơc täa ®é Oxy suy S = Câu IVb (Hình bên) 1) BK AC, BK ⊥ AM ÞBK⊥(ACM)ÞBK⊥CM Cïng víi BH ⊥ CM, suy (BKH) ⊥ CM Þ BN ⊥ CM 2) Do (BKH) CM ị KH CM Vậy K trực tâm tam giác CMN, ta đỷợc MK CN Cïng víi BK ⊥ CN Þ (BMK)⊥ CN Þ BM CN 3) Vì K trực tâm tam giác CMN, nªn AM.AN = AK.AC VËy M di chun d, tích AM.AN không đổi ị MN = = AM + AN nhá nhÊt AM = AN Khi ®ã AM = AK.AC, AM lµ ®ûêng cao tam giác vuông CMK, cạnh huyền CK, K điểm ®èi xøng cña K qua A _ C©u I 1) Giả sử phỷơng trình x2 + ax + b = có nghiệm x1 x2, phỷơng trình x2 + cx + d = cã nghiÖm x3 vµ x4 Chûáng tá r»ng 2(x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4) = = 2(b - d)2 - (a2 - c2)(b - d) + (a + c)2(b + d) 2) a, b, c lµ sè tïy ý thuộc đoạn [0 ; 1] Chỷỏng minh : a b c + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ b + c +1 a + c +1 a + b +1 Câu II 1) Giải phỷơng tr×nh sin3x + cos3x = - sin4x 2) k, l, m độ dài trung tuyến tam giác ABC, R bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh k+l+m 9R Câu III Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A(3, 0) parabol (P) có phỷơng trình y = x2 1) M điểm thuộc parabol (P), có hoành độ xM = a Tính độ dài đoạn AM, xác định a để AM ngắn 2) Chỷỏng tỏ đoạn AM ngắn nhất, AM vuông góc với tiếp tuyến M parabol (P) Câu IVa Cho hai số nguyên dỷơng p q khác TÝnh tÝch ph©n I = ∫ cospx cosqx dx _ Câu Va Cho hai đỷờng tròn (C1) x2 + y2 - 6x + = 0, (C2) x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = Xác định phỷơng trình đờng thẳng tiếp xúc với đỷờng tròn Câu IVb Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với đỷờng chÐo AC = 4a, BD = 2a, chóng c¾t O Đỷờng cao hình chóp SO = h Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lỷỳồt B, C, D 1) Xác định h để BCD tam giác 2) Tính bán kính r hình cầu nội tiếp hình chóp theo a h Câu Vb Hai góc nhọn A, B tam giác ABC thỏa mÃn điều kiện tg2A + tg2B = 2tg2 A+B Chûáng tá ABC tam giác cân C©u I 1) Đặt A = (x + x )(x + x )(x + x )(x + x ) Ta cã (x1 + x3)(x1 + x4) = x12 + x1 (x + x ) + x x = -(ax1 + b) - cx1 + d = (d - b) - (a +c)x1, (x + x )(x + x ) = (d - b) - (a + c)x , ®ã A = [(d - b) - (a + c)x ][(d - b) - (a + c)x ] = (d - b) + (a + c)(b - d)(x + x ) + (a + c) x x = = (b - d)2 - (a + c)(b - d)a + (a + c)2b Vai trò hai phỷơng trình nhỷ biểu thức A, nên ta còng cã: A = (b - d) - (a + c)(b - d)a + (a + c) b Cộng hai biểu thức A suy kết 2) Không giảm tổng quát xem a Ê b Ê c theo bđt Côsi ta cã a + b + + - a + - b  = (a + b + 1)(1 - a)(1 - b) £    Suy (1 - a)(1 - b) £ 1 - c Þ (1 - a)(1 - b)(1 - c) £ a + b + a + b + a b c + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ b + c +1 a + c +1 a + b +1 a b c - c £ + + + = a + b +1 a + b +1 a + b +1 a + b +1 Từ Câu II 1) Ta cã sin x + cos x £ sin x + cos x = 1, - sin x ³ VËy dÊu = xảy ta có đồng thêi sin x + cos x = π Û sinx = Þ x = + 2kπ (k Ỵ Z)   − sin x = 2) Giả sử k, l, m độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C thÕ th× 2k2 + a2 = b2 + c2 , b2 2l + = a + c2 , 2      Þ k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2) c2 2m + = a2 + b2 2 Mặt khác a + b + c = 4R (sin A + sin B + sin C), 4sin A + 4sin B + 4sin C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos C) = = + 4cosCcos(A - B) - 4cos C = + cos (A - B) - [2cosC - cos(A - B)] £ 9, suy ra: k + l2 + m2 9R ≤ k + l + m 9R 9R  k + l + m Nh vËy:  Þk+l+m£  ≤ ≤ 3 Câu III 1) Vì M thuộc P, nên M có tung độ a , vËy AM = (x M - x A ) + (y M - y A ) = a + (a - 3) Hµm f(a) =a + (a - 3) có đạo hµm f’(a) = 4a + 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a + 2a + 3), suy a = 1, f(a) đạt giá trị nhỏ Vậy đoạn AM ngắn M M (1 , 1) 2) Với M (1 , 1) đỷờng thẳng AM cã hÖ sè gãc y - yA k= M = - xM - xA V× P có phỷơng trình y = x ị y = 2x, nên M tiếp tuyến P có hệ sè gãc k’ = 2, suy tiÕp tuyÕn Êy vuông góc với đỷờng thẳng AM _ V× sinx = Þ x = p p + 2kp (k ẻ Z) ị5x = + 2kp ị sin5x = 2 m©u thn ìïsin x = -1 b) Hoặc ùớ ùùợsin 5x = Lập luận nhỷ trên, ta gặp mâu thuẫn Vậy phỷơng trình đà cho nghiệm 2) Tứ giác IAJB đ ợc nội tiếp đỷờng tròn đỷờng kính IJ = 2R Gọi O ^ ^ điểm IJ, đặt IOA = a, IOB = b ThÕ th× a b a b IA = 2Rsin , IB = 2Rsin , JA = 2Rcos , JB = 2Rcos 2 2 Tõ IA > IB suy JA < JB Ta định hỷớng đỷờng thẳng IJ theo hỷớng từ J đến I (Hình 71), lấy O làm gốc tọa độ, đặt OM = x ThÕ th× a b AM2 = R2 + x2 - 2Rxcosa = (R - x)2 + 4Rxsin2 , BM2 = R2 + x2 - 2Rxcosb = (R - x)2 + 4Rxsin2 2 V× sin a b a b > 0, < cos > sin < cos , nªn 2 2 a) nÕu x (I M phía O) AM2 BM2 ta có a a sin (R - x) + 4Rxsin 2 AM 2 = IA ; £ 1£ = b b BM IB sin (R - x) + 4Rxsin 2 b) nÕu x Ê (J M phía O) AM2 Ê BM2 ta có AM 1³ = BM a a cos 2 ³ = JA Tõ ®ã suy kÕt luËn b b JB - 4Rxcos cos 2 (R + x) - 4Rxcos (R + x) C©u IVa 1) k ≤ x nÕu k ≤ x ≤ k + vµ k k ≥ x nÕu k − ≤ x ≤ k ⇒ k +1 k ∫ xdx < k −1 ∫ kdx = k = k −1 k +1 ∫ kdx < k ∫ xdx k n  k +1  k  n  n +1    ⇒ xdx = xdx < k< xdx  = xdx     k =1 k −1 k =1 k  k =1  n n ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ 2) Ta cã : n xdx = x3/ ∫ n n +1 = n3/ vµ ∫ xdx = [(n + 1)3/ − 1] , n ®ã 3/ 2 < n k < [(n + 1)3/ − 1] 3 k =1 ∑ (*) a) Víi n = 100 vµ n = 99 ta cã : 100 ∑ k > 666,6 vµ k =1 b) Tõ (*) ⇒ n 2  n +  < k <  n3/ k =1  n   ∑ 99 ∑ k =1 3/ − k > 666 ⇒ 666,6 < 100 ∑ k < 666 + 10 = 676 k =1  n  ⇒ lim k= 3/  3/ n→∞ n n  k =1 ∑ C©u IVb 1) V = h(B + B'+ BB') = a h Đờng trung đoạn d = h2 + a2 a + 4h = VËy S toàn phần = a(5a + 4h + a ) 2) Hình cầu đờng kính OO' = h tiếp xúc với cạnh bên h chØ IJ = (IJ ⊥ AA' , I tâm hình cần) Dễ thấy AIA' vuông ë I, ®ã : IJ2 = JA'.JA = O'A'.OA = a h 2.a = a Tõ ®ã :   = a ⇒ h = 2a 2 3) S chám cÇu = πRh a SCC1 h1 O'K JA' = = = = = SCC2 h2 OK JA a 2 Ta cã :   4) V1 = πh12  R − h1   h   h h  7πh = π − =     162 ,       h  πh3 10 πh3 V2 = V − V1 = π   − =   162 81 _ Câu I Giải hệ phỷơng trình 2 ì ï ï x + y + 2xy = ù x+ y=4 ù ợ 2) Giải bất phỷơng trình x + Câu II 1) Giải phỷơng trình 8sinx = x+ < x + cosx sinx 2) Chøng minh r»ng nÕu tam giác ABC có cạnh a, b, c có diƯn tÝch b»ng 1, th× a4 + b4 + c4 16 Câu III 1) Với giá trị đối số x hàm số sau đạt giá trị nhá nhÊt: y = lg2x + lg x + 2 2) Xác định m để đồ thị cđa hµm sè y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + cắt trục hoành điểm với hoành độ lập thành cấp số cộng Câu IVa.Trong mặt phẳng cho đỷờng tròn x2 + y2 = R2 điểm M(xo, yo) nằm đỷờng tròn Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 MT2 với đỷờng tròn, T1, T2 tiếp điểm 1) Viết phỷơng trình đỷờng thẳng T1T2 2) Giả sử điểm M chạy đỷờng thẳng (D) cố định, không cắt đỷờng tròn đà cho : chứng minh đỷờng thẳng T1T2 qua điểm cố định ^ Câu IVb.Trong mặt phẳng (P) cho tam gi¸c OAB cã gãc AOB = a (0o < a < 90o), cạnh OA = a, OB = b (D) đỷờng thẳng vuông góc với (P) O Trên (D) lấy điểm C khác O Gọi H trực tâm tam giác CAB Qua H dựng đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (CAB), cắt (P) K 1) Chứng minh K trực tâm tam giác OAB, HK cắt (D) D : chứng minh AD vuông góc với BC, AC vuông góc với BD 2) Tính tích số OC.OD theo a, b, a Xác định C để tø diƯn ABCD cã thĨ tÝch nhá nhÊt 3) Khi C di động (D), chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đỷờng thẳng cố định C©u I  2  x + y + 2xy = 1)   x + y = (1) (2) §iỊu kiƯn : x ≥ 0, y ≥ Tõ (1) suy : xy ≤ Tõ (1) vµ (2) : (x + y)2 − 2xy + 2xy = ; x + y = 16 xy Dẫn tới phơng trình : (16 − xy)2 − 2xy + 2xy = Đặt 2t 64t + 256 + 2t = ⇔ xy = t , ≤ t ≤ 4.(4) t − 32t + 128 + t = ⇔ t − 32t + 128 = t (5) Với điều kiện(4), bình phơng vế phơng trình (5) ta đợc : t − 32t + 128 = 64 + t 16t t = Xét hệ phơng trình  x + y =   xy = (6) HÖ (6) cã nghiÖm x = y = 2) x + − x + < x (1) §iỊu kiƯn : x ≥ (2) Víi ®iỊu kiƯn (2) : x + − x + >  −3 + x >  Tõ (1) ⇒ 3x2 + 6x − > ⇔  −3 −  x < Kết hợp với điều kiện (2), nghiƯm cđa (1) lµ : x > 3−3 C©u II (1) + cosx sin x π §iỊu kiƯnn : x ≠ k , k ∈ Z (2) 2 (1) ⇔ 8sin x cosx = sin x + cosx 1) 8sin x = ⇔ 4(1 − cos2x) cosx = sin x + cosx ⇔ 3cosx − cos2x cosx − sin x = ⇔ π  cosx − sin x = cos3x ⇔ cos  x +  = cos3x 2 3  π   x + = 3x + 2kπ ⇔   x + π = −3x + 2kπ, k ∈ Z  π   x = + kπ ⇔  (3)  x = − π + kπ , k ∈ Z  12 Hai hä nghiÖm (3) tháa mÃn điều kiện(2) Vậy phơng trình (1) có nghiệm : π π π x1 = + kπ vµ x2 = − + k , k ∈ Z 12 2) Theo công thức Hêrông : 16 = (a + b + c) (a + b − c) (a + c − b) (b + c − a) = = [(a + b)2 − c2 ][c2 − (a − b)2 ] ≤ (a + b2 + 2ab − c2 )c2 (v× c2 − (a − b)2 ≤ c2 ) ≤ (2a + 2b2 − c2 )c2 = 2a c2 + 2b2 c2 − c4 ≤ a + b4 + c4 a = b2 = c2 a + b4 + c4 = 16 ⇔  ⇔ a = b = c a = b C©u III 1) XÐt y = lg2 x + lg2 x + (1) §Ỉt lg2 x = t , t ≥ ; (1) trë thµnh y(t) = t + 2t + t+2 (t + 1)(t + 3) > với t 0. hàm số y(t) đồng biến kho¶ng [ ; + ∞) (t + 2)2 1 Suy : f(t) ≥ f(0) = víi t Do hàm số (1) đạt giá trÞ nhá nhÊt : yo = xo = 2 Ta cã : y'(t) = 2) y = x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + (1) Xét phơng trình : x 2(m + 1)x2 + 2m + = (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm có hoành độ tơng ứng lập thành cấp số cộng phơng trình (2) có nghiệm lập thành cấp số cộng Điều xảy phơng trình bậc : t − 2(m + 1)t + 2m + = (3) cã nghiƯm d−¬ng t1, t tháa m·n ®iỊu kiƯn : t − t1 = t1 − (− t1 ), t > t1 hay t = t1 ⇒ t = 9t1 (4) Phơng trình (3) có nghiệm dơng khác : ∆ ' = (m + 1)2 − 2m − >   m > − 2m ⇒ (5) + >   2(m + 1) > m ≠  T×m m để nghiệm dơng t1 < t thỏa mÃn điều kiện (4) Theo định lí Viét : t1 + t = 2(m + 1)   t1t = 2m +  Tõ (4) ⇒ 10t1 = 2(m + 1)  9t1 = 2m + 9m2 − 32m − 16 =  Víi m1 = ; t1 = , t = ; m2 = − VËy m = hc m = − cÊp sè céng  m1 =  m2 = −4  ⇒  : t1 = , t = 9 đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm có hoành độ tơng øng lËp thµnh mét _ C©u IVa 1) Gi¶ sư T1 = (x1 , y1), T2 = (x2 , y2) Phỷơng trình tiếp tuyến T1 xx1 + yy1 - R2 = ;tiếp tuyến qua M(xo , yo), nªn ta cã xox1 + yoy1 - R2 = 0, (1) Tỷơng tự T2: xox2 + yoy2 - R2 = (2) Tõ (1) vµ (2) suy (x1 , y1) vµ (x2 , y2) nghiệm phỷơng trình xox + yoy - R2 = 0, phỷơng trình đỷờng thẳng T1T2 2) Giả sử đ ờng thẳng D có ph ơng trình tham số x = a + at y = b + bt (t ẻ R) Vì D không qua gốc tọa độ O, nên a a Þ ab - ba ¹ ¹ b b (cã thể chứng minh kết mạnh : D không cắt đỷờng tròn, nên (ab - ba)2 > (a2 + b2)R2) Nếu M(xo , yo) ẻ D, tồn t để xo = a + at yo = b + bt, đỷờng thẳng T1T2 có phỷơng tr×nh (a + at)x + (b + bt)y - R2 = Û (ax + by)t + (ax + by - R2) = Khi M chạy D, t thay đổi Đỷờng thẳng T1T2 qua điểm cố định (x , y) hệ phỷơng trình ax + by = _ ax + by = R2 cã nghiƯm nhÊt (x , y) V× hệ có định thức D= ab = ba - ab 0, a b nên có nghiệm nhÊt x = bR aR , y = ab - ba ba - a b Tãm l¹i : đỷờng thẳng T1T2 qua điểm cố định (x , y) Câu IVb 1) Dựng đỷờng cao AJ CI DABC, H giao điểm AJ CI Trong mặt phẳng (COI) dựng Hx ^ CI ị Hx ^ AB (vì AB ^ (COI)) ị Hx ^ (ABC) Hx cắt OI K ; AK cắt OB F HK ^ (ABC) ị HK ^ BC ị (AFJ) ^ BC ị Theo cách dựng AJ ^ BC BC ^ AF Þ (BCO) ^ AF Þ BO ^ AF (1) CO ^ AF V× AB ^ (BOI) Þ AB ^ OI (2) Tõ (1), (2) suy K trực tâm DABO ; D thuộc HK nên DA thuộc mặt phẳng (AFJ) Do BC ^ (AFJ) nên BC ^ AD.Chứng minh tỷơng tự ta cã AC ^ (BHK) Þ AC ^ BD ^ ^ ^ 2) HK ^ (ABC) Þ HK ^ CI Þ ODK = CIO phụ với OCI ị tam giác vuông DKO đồng dạng với tam giác vuông OD OK Þ OC.OD = OI.OK (3) ICO Û = OI OC Nhỷng tứ giác BIKF nội tiếp đỷờng tròn đỷờng kính BK, theo hệ thức lỷợng đỷờng tròn ta cã _ OB.OF = OI.OK (4) Tõ (3), (4) suy OC.OD = OB.OF = abcosa; VABCD = VCABO + VDABO = dt(ABO).(OC + OD) VËy VABCD nhá nhÊt Û (OC + OD) nhá nhÊt ; nhûng tích OC.OD không đổi nên (OC + OD)min OC = OD = abcos a, vËy minVABCD = 1 absina abcosa = absin a 3 abcos a 3) Mặt cầu ngoại tiếp ABCD cắt (BCD) theo đỷờng tròn ngoại tiếp BCD Đỷờng tròn cắt đỷờng OB B (Hình vẽ), theo hệ thức lỷợng đỷờng tròn ta có : OB.OB = OC.OD = abcosa Suy OB không đổi mà B B khác phía O nên B cố định Mặt cầu ngoại tiếp ABCD qua A ; B ; B cố định nên tâm thuộc đỷờng thẳng D vuông góc với mặt phẳng (A, B, B) tâm đỷờng tròn ngoại tiếp DABB Suy D cố định _ C©u I 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 2) Tìm điều kiện a b, cho đỷờng thẳng y = ax + b cắt đồ thị điểm khác A, B, C, với B trung điểm đoạn AC Câu II 1) Giải biện luận theo a, b, phỷơng trình cosax + cos2bx - cos(a + 2b)x = 2) Chøng minh r»ng nÕu tam gi¸c ABC tam giác tù, thì(1 + sin2A)(1 + sin2B)(1 + sin2C) > C©u III 1) Cho a = x2 + 2x + , b = x2 + , c = x2 + 4x + a) Với giá trị x a, b, c độ dài cạnh tam giác ? b) Chứng minh bán kính r đỷờng tròn nội tiếp tam giác đỷợc tính theo c«ng thøc r = (x - 2x - 1) (x + 6x + 7) ìx + y = a 2) Giải biện luận theo tham số a hệ phỷơng trình ùớ ùợ x + y = a Câu IVa Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(1, 1) HÃy tìm điểm B đỷờng thẳng y = 3, điểm C trục hoành, cho ABC tam giác C©u Va TÝnh tÝch ph©n I(m) = ị x - 2x + m dx Câu IVb Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, ngỷời ta lấy ®iĨm M víi AM = x (0 < x < a), nửa đỷờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) A, lấy điểm S cho AS = y > 1) Chøng minh r»ng nhÞ diện cạnh SB hình chóp S.ABCM nhị diện vuông 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) 3) Gọi I trung điểm đoạn SC, H hình chiếu vuông góc I lên CM Tìm tập hợp điểm H M chạy AD S chạy Ax _ C©u I 1) Đề nghị bạn hÃytự giải nhé! 2) Khi phỷơng trình x3 - 3x2 - 9x + = ax + b (1) phải có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 ®ã 2x2 = x1 + x3 (1) tỷơng đỷơng với:x3 - 3x2 - (9 + a)x + - b = (2) Vì đỷờng cong y1 = x3 - - 3x2 - (9 + a)x + - b nhËn ®iĨm n tâm đối xứng nên để có 2x2 = x1 + x3 cần thiết điểm uốn phải thuộc trục hoành (x2 hoành độ điểm uốn) y"1 = 6x - 6; y"1 = Û x2 =1, y1(1) = Þ -10 - a - b = ị a + b = -10 Điều kiện đủ : thay a = -(b + 10) vµo (2) ta cã: x3 - 3x2 - [9 - b - 10]x + - b = Ûx3 - 3x2 + (1 + b)x + - b = Û (x - 1) [x2 - 2x - + b] = (3) Để (3) có ba nghiệm phân biệt, đối víi f(x) =x2-2x-1+b, ta ph¶i cã: ìïD' = - b > ïí Û b Câu III 1) a) Để a, b, c tạo thành ba cạnh tam giác ta phải cã: 2x2 + 2x + > x2 + 4x + a+b>c b+c>a Û 2x2 + 4x + > x2 + 2x + Û 2x2 + 6x + > x2 + c+a>b x2 - 2x - > x2 + 2x + > x2 + 6x + > Gi¶i hƯ này, ta đỷợc : -Ơ < x < - - hc - + < x < b) Ta cã : r = p= S = p p(p - a) (p - b) (p - c) ; (*) p2 1 (a + b + c) = (3x2 + 6x + 9) = (x2 + 2x + 3); 2 p-a= (x + 2x + 3); p-b= (x + 6x + 7); p-c= (x - 2x - 1) Thế vào (*) đỷợc:r = (x - 2x - 1)(x + 6x + 7) hc + < x < +¥ _ 2) ThÕ y = a - x vào phỷơng trình thứ hệ, ta có: x4 + (x - a)4 = a4 Đặt t = x - ổ a a ửữ có ỗỗ t + ữữ ỗố 2 ữứ 4 ổ a ửữ + ỗỗ t - ữữ = a4 2t4 + 3a2t2 - a4 = ỗố ữ 2ứ Đặt t2 = z (z 0) ta có: 2z2 + 3a2z - a = (1) NÕu a = th× cã z1 = z2 = Þ t = Þ x = 0, y = Nếu a (1) cã hai nghiƯm: z1 < < z2 (Lo¹i z1); z2 = - 3a + 4a a a2 Þ t1,2 = ± = 4 Tõ ®ã hÖ cã hai nghiÖm x1 = 0, y1 = a vµ x2 = a, y2 = KÕt luËn : hƯ lu«n cã hai nghiƯm:x1 = 0, y1 = a vµ x2 = a, y2 = Câu IVa y Giả sử ta tìm đợc điểm B(xB ,3) đờng thẳng y = điểm C(xC ,0) trục hoành cho ABC Do đờng thẳng (AC) song song với trục tung trục hoành nên có phơng trình d B y = k (x − 1) + (k ≠ 0) A k −1 Tõ ®ã xC = k Gäi M(x M ,y M ) lµ trung điểm đoạn thẳng AC, ta có : M O C x 2k −   x M = 2k  y =  M V× đờng thẳng trung trực (d) đoạn thẳng AC qua M (d) (AC) nên (d) có phơng trình : 1 1 2k −  y = − (x − x M ) + hay y = −  x − + , k k 2k  Do B ∈ d nªn −5k + 2k − 1 2k −  x = = −  xB − hay + B 2k k 2k  Cuèi cïng AB = AC nên cách viết đẳng thức dới dạng tọa độ, ta đến phơng trình 25k + 22k − = ⇔ k = / Vậy, cặp điểm tơng ứng B, C tìm đợc đờng thẳng y = trục hoành để tam giác ABC :  −5k + 2k −   k −1  B ,3  , C  ,0    2k  k    víi k = / vµ k = − / Câu Va Đặt f(x) = x2 2π + m , ∆' = − m a) Khi ∆' ≤ hay m ≥ 1: Do f(π) ≥ 0, ∀x nªn ∫ ∫ I(m) = | f(x) | dx = f(x)dx = 0  x3 1 = (x2 − 2x + m)dx =  − x2 + mx  = m −     b) Khi ∆ ' > hay m < DÊu f(x) đợc cho kết x f(x) vµ ta cã : 1− 1− m + 1+ 1− m − + f(0) = m , − − m < < + − m Víi m ≤ : f (0) ≤ nªn − − m ≤ ; ≤ + − m vµ ta cã : f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ ; 1] 1 ∫ ∫ VËy 1(m) = | f(x) | dx = − f(x)dx = 0 −m Víi < m < : f(0) > nªn < − − m < , ®ã f(x) > 0, ∀x ∈ [0,1 − − m]  f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [1 − − m;1] 1− 1− m ∫ VËy I(m) = | f(x) | dx = x  =  − x2 + mx      ∫ ( x − x + m)dx + 1− 1− m  x  +  − + x2 − mx      (− x + x − m)dx = 1− 1− m ∫ 1− 1− m = 4(−m) − m + 3m − C©u IVb BC ⊥ SA  1)  ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊥ AD  S I B ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) 2) Gọi O giao điểm hai đờng chéo AC BD, kẻ MK // BD Vì BD AC   ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ MK ⊥ (SAC) BD ⊥ SA  K A C H O M H D Độ dài MK khoảng cách tõ M tíi (SAC) : x 2MK x MK AM = hay = ⇒ MK = OD AD a a 3) IO// SA ⇒ IO ⊥ (ABCD) ; IH MC OH MC (định lí ba đờng vuông góc) Vậy H nằm đờng tròn đờng kính OC mặt phẳng (ABCD) q1 h×nh 44 NhËn xÐt : Khi M ∈ AD, H OHH q1 , CH' cắt AD M' Chứng minh IH' CM' Điều hiển nhiên nhờ định lí đảo Đảo lại : lấy H' OHH định lí ba đờng vuông góc q1 Kết luận : Tập hợp hình chiếu H I CM lµ OHH ... I Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + m 1) Khảo sát sỷồ biến thiên vẽ đồ thị hàm số ỷỏng với m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng... tích (đơn vị diện tích) 3) Tìm m để đỷờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số điểm A, B với OA OB 4) Khảo sát sỷồ biến thiên vẽ đồ thị hàm số ỷỏng với m = Câu II 1) Chûáng minh r»ng nÕu < x £ y £ z,... _ Câu I Cho hàm sè y= x + mx - x 1) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (-Ơ ; 1), (1; +Ơ) 2) Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục tọa độ tam giác có diện