Bài tập đồ thị hàm số pot

Bài tập đồ thị hàm số ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= x-x+1 x-1 2 . 2) Tìm trên trục Oy các điểm từ đó có thể kẻ đỷợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C). 3) Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x 2 +a. Câu II. Cho hệ phỷơng trình xyxym xym ++ = += 22 1) Giải hệ vớim=5. 2) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm? Câu III. 1) Cho bất phỷơng trình x 2 + 2x(cosy + siny) + 1 0. Tìm x để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm đúng với mọi y. 2) Giải phỷơng trình lỷợng giác sin x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 2 Câu IVa. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc, cho elip E) : x 9 + y 4 22 =1, ________________________________________________________________________________ và hai đỷờng thẳng (D):ax-by=0, (D):bx+ay=0, với a 2 +b 2 >0. 1) Xác định các giao điểm M, N của (D) với (E), và các giao điểm P, Q của (D) với (E). 2) Tính theo a, b diện tích tỷỏ giác MPNQ. 3) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy lớn nhất. 4) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy nhỏ nhất. Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC với cả ba góc nhọn. Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm M. Dỷồng BN CM BH CM, .Đỷờng thẳng KH cắt (d) tại N. 1) Chỷỏng minh : BN CM 2) Chỷỏng minh : BM CN 3) Hãy chỉ cách dỷồng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất. ___________________________________________________________ Câu 1 1) Bạn đọc tự giải nhé! 2) Lấy A(0, b) là một điểm trên Oy. Đờng thẳng qua A, với hệ số góc k có phơng trình : y = kx + b. Ta có 2 xx1 1 yx x1 x1 + ==+ ; 2 1 y' 1 (x 1) = Hoành độ tiếp điểm của đờng thẳng y = kx + b với đồ thị (C) là nghiệm của hệ 2 1 xkxb x1 1 1k (x 1) +=+ = 2 11 x1 xb x1 (x 1) += + 2 b x2(1b)x(1b)0+ ++= (1) y b = 0 : (1) trở thành 2x + 1 = 0 1 x 2 = y b 0 : (1) có nghiệm khi 2 '(1b) b(1b)0= + + b 1 (b 0) Thành thử các điểm trên Oy từ đó có thể đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) là các điểm có tung độ b 1. 3) Hoành độ tiếp điểm của parabol 2 yx a =+ với đồ thị (C) là nghiệm của hệ : 2 o 2 1 xxa x1 1 12x (x 1) +=+ = Từ phơng trình thứ hai, suy ra : 2 x(2 x 5x 4) 0+= x = 0. Thay vào phơng trình đầu thì đợc a = - 1. Câu II. Đặt S = x + y, P = xy, ta đi đến hệ : 2 SP m S2Pm += = 1) Với m = 5 ta đợc : 2 SP5 S2P5 += = P = 5 S 2 S2S150+ = S = 5, S = 3. Với S = 5, ta có P = 10, loại vì điều kiện 2 S4P không đợc nghiệm đúng. Với S = 3, ta có P = 2 và đợc x2, y1, = = x1 y2. = = 2) Trong trờng hợp tổng quát, P = m - S 2 S2S3m0+ = . ___________________________________________________________ Để phơng trình có nghiệm, cần phải có : 1 '13m0 m 3 = + . Khi đó gọi 1 S và 2 S là các nghiệm : 1 S113m= + , 2 S113m= + + . a) Với 1 SS= 1 PmS= , điều kiện 2 S4P trở thành 2 (1 13m) 4(m1 13m)++ +++ (m 2) 2 1 3m+ + , không đợc nghiệm vì 1 m 3 m + 2 > 0. b) Với 2 SS= 2 PmS= , điều kiện 2 S4P trở thành : 2 ( 1 1 3m) 4(m 1 1 3m)+ + + + 21 3m m 2+ + . Vì m + 2 > 0, có thể bình phơng hai vế của bất phơng trình này và đi đến 2 0m 8m 0m8 . Cùng với 1 m 3 suy ra đáp số : 0 m 8. Câu III. 1) Hiển nhiên với x = 0 bất phơng trình đợc nghiệm với mọi y. Xét x > 0 2 1x cosy sin y 2x + + . Hàm f (y) = cosy + siny có giá trị lớn nhất bằng 2 , giá trị nhỏ nhất bằng 2 , vậy phải có : 2 2 1x 2x22x10 2x + + 0x 21< , x21+ . Xét x < 0 2 1x cosy sin y 2x + + 2 2 1x 2x22x10x21 2x + + + , 21x0+< . Tóm lại các giá trị phải tìm là : x21 , 21x 21+ , 21x+ hay : |x| 2 1+ , |x| 2 1 2) Điều kiện : xk 2 + ( k Z). Chia hai vế cho 2 cos x ta đợc phơng trình tơng đơng : 22 tg x(tgx 1) 3tg x(1 tgx) 3(1 tg x)+= + + 2 tg x(tgx 1) 3(tgx 1) 0+ += 2 (tgx 1)(tg x 3) 0+= tgx 1 tgx 3 = = xk 4 xk 3 = + = + ( k Z) ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Cần để ý rằng các đỷờng thẳng (D), (D) vuông góc với nhau và chúng có phỷơng trình tham số (D) : xbt yat = = (D) : xat ybt = = ' ' 1) Thay biểu thức của (D) vào phỷơng trình của (E), ta đỷợc các giá trị của tham số t ứng với các giao điểm M, N. Từ đó suy ra chẳng hạn (do có sự trao đổi vai trò của M, N): M 6b 9a + 4b , 6a 9a + 4b ,N - 6b 9a + 4b ,- 6a 9a + 4b 22 22 22 2 2 . Tỷơng tự: P 6a 4a + 9b ,- 6b 4a + 9b ,Q - 6a 4a + 9b , 6b 4a + 9b 22 22 22 2 2 . 2) Tứ giác MPNQ là hình thoi, với diện tích S = 2OM.OP = 72(a + b ) (9a + 4b )(4a + 9b ) 22 2222 . (1) 3) Để ý rằng các phỷơng trình của (D) và (D) có dạng thuần nhất (hay đẳng cấp) đối với a, b, tức là thay cho a và b, ta viết ka và kb với k ạ 0. Do vậy, có thể coi rằng a 2 +b 2 = 1. Khi đó (1) trở thành S= 72 (4 + 5a )(4 + 5b ) = 72 36 + 25a b 72 6 = 12, 22 22 dấu=chỉcóthểxảyrakhiab=0,tứclàhoặca=0hoặcb=0.(Khi đó cặp đỷờng thẳng (D) và (D) trùng với cặp hệ trục tọa độ). 4) Vẫn với giả thiết a 2 +b 2 = 1, theo trên ta có S= 72 36 + 25a b 22 suyraminS= 144 13 , xảy ra khi |a| = |b|, tức là cặp đỷờng thẳng (D), (D) là cặp các phân giác y x = 0 của hệ trục tọa độ Oxy. Câu IVb. (Hình bên) 1) BK AC, BK AM ịBK (ACM) ịBK CM. Cùng với BH CM, suy ra (BKH) CM ị BN CM. 2) Do (BKH) CM ị KH CM. Vậy K là trực tâm tam giác CMN, và ta đỷợc MK CN. Cùng với BK CN ị (BMK) CN ị BM CN. 3) Vì K là trực tâm tam giác CMN, nên AM.AN = AK.AC Vậy khi M di chuyển trên d, tích AM.AN không đổi ị MN==AM+ANnhỏnhất khi AM = AN. Khi đó AM 2 = AK.AC, AM là đỷờng cao trong tam giác vuông CMK, cạnh huyền CK, K là điểm đối xứng của K qua A. ________________________________________________________________________________ Vì 2|ab| Ê a 2 +b 2 = 1 suy ra a 2 b 2 Ê 1 4 , dấu = chỉ xảy ra khi |a| = |b|, vậy S 72 36 + 25 4 = 144 13 , 2(x 1 +x 3 )(x 1 +x 4 )(x 2 +x 3 )(x 2 +x 4 )= =2(b-d) 2 -(a 2 -c 2 )(b-d)+(a+c) 2 (b + d). 2) a, b, c là 3 số tùy ý thuộc đoạn [0 ; 1]. Chỷỏng minh : a b+c+1 + b a+c+1 + c a+b+1 + (1 - a)(1 - b)(1 - c) 1. Câu II. 1) Giải phỷơng trình sin 3 x + cos 3 x=2-sin 4 x. 2) k, l, m là độ dài các trung tuyến của tam giác ABC, R là bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh rằng k+l+m 9R 2 . Câu III. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A(3, 0) và parabol (P) có phỷơng trìnhy=x 2 . 1) M là một điểm thuộc parabol (P), có hoành độ x M = a. Tính độ dài đoạn AM, xác định a để AM ngắn nhất. 2) Chỷỏng tỏ rằng nếu đoạn AM ngắn nhất, thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol (P). Câu IVa. Cho hai số nguyên dỷơng p và q khác nhau. Tính tích phân I = 0 2 cospx cosqx dx . _____________________________________________________ __________ Câu I. 1) Giả sử phỷơng trình x 2 +ax+b=0cónghiệm x 1 và x 2 ,phỷơng trình x 2 +cx+d=0cónghiệm x 3 và x 4 . Chỷỏng tỏ rằng Câu Va. Cho hai đỷờng tròn (C 1 )x 2 +y 2 -6x+5=0, (C 2 )x 2 +y 2 -12x-6y+44=0. Xác định phỷơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với cả 2 đỷờng tròn trên. Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đỷờng chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắt nhau tại O. Đỷờng cao của hình chóp là SO = h. Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lỷỳồt tại B, C, D. 1) Xác định h để BCD là tam giác đều. 2) Tính bán kính r của hình cầu nội tiếp hình chóp theo a và h. Câu Vb. Hai góc nhọn A, B của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện tg 2 A+tg 2 B = 2tg 2 A+B 2 . Chỷỏng tỏ rằng ABC là một tam giác cân. _____________________________________________________ __________ ________________________________________________________________________________ Câu I.1)ĐặtA=(x 1 +x 3 )(x 1 +x 4 )(x 2 +x 3 )(x 2 +x 4 ) Ta có (x 1 +x 3 )(x 1 +x 4 )= x+x(x+x)+xx= 1 2 13 4 34 -(ax 1 +b)-cx 1 +d=(d-b)-(a+c)x 1 , (x 2 +x 3 )(x 2 +x 4 )=(d-b)-(a+c)x 2 , dođóA=[(d-b)-(a+c)x 1 ][(d-b)-(a+c)x 2 ]=(d-b) 2 + (a + c)(b - d)(x 1 +x 2 )+(a+c) 2 x 1 x 2 = =(b-d) 2 -(a+c)(b-d)a+(a+c) 2 b. Vai trò hai phỷơng trình là nhỷ nhau trong biểu thức của A, nên ta cũng có: A=(b-d) 2 -(a+c)(b-d)a+(a+c) 2 b. Cộng hai biểu thức này của A thì suy ra kết quả. 2) Không giảm tổng quát có thể xem a Ê b Ê c khi đó theo bđt Côsi ta có (a+b+1)(1 - a)(1 - b) Ê a+b+1+1-a+1-b 3 =1 Suy ra (1 - a)(1 - b) Ê 1 a+b+1 ị (1 - a)(1 - b)(1 - c) Ê 1-c a+b+1 Từ đó a b+c+1 + b a+c+1 + c a+b+1 + (1 - a)(1 - b)(1 - c) Ê a a+b+1 + b a+b+1 + c a+b+1 + 1-c a+b+1 =1 . Câu II.1)Tacósin 3 x + cos 3 x Ê sin 2 x + cos 2 x=1,2-sin 4 x 1. Vậy dấu = chỉ có thể xảy ra khi ta có đồng thời sin cos sin 33 4 1 21 xx x += = sinx = 1 ị x= 2 +2k (k ẻ Z). 2) Giả sử k, l, m là độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C thế thì [...]... cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích) 3) Tìm m để đỷờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm A, B với OA OB 4) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏng với m = 1 Câu II 1) Chỷỏng minh rằng nếu 0 < x Ê y Ê z, thì ta có : y( 1 1 1 1 1 ) + ( x + z )Ê( ) (x + z) + + y z z x x 2) Chỷỏng minh rằng với a, b là 2 số không âm,... 3x 2 3x(3x - 2) f(x) = có đạo hàm f(x) = , do vậy trên đoạn ; 1 có bảng biến thiên 2 2 4(3x - 1) 4(3x - 1) Hàm số 1 2 x f f 1 - 0 3 8 + 3 8 1 3 Vậy với V 1 1 3 x 1 thì 1 2 3 V 8 _ Câu I 1) Khảo sát sỷồ biến thiên của hàm số y = x 4 4x 3 2x 2 + 12x 1 2) Chỷỏng tỏ rằng đồ thị hàm số có một trục đối xỷỏng Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành Câu II 1)... cos (A + B) + 1 Trở về với điều kiện của bài toán : tg2 A + tg2 B = 2tg2 A+B 1 (tgA + tgB)2 2 2 (tgA tgB)2 0 tgA = tgB A = B _ Câu I Cho m là một số nguyên dỷơng, hãy tìm cỷồc trị của hàm số y = xm(4 - x)2 Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 Câu II 1) ABC là một tam giác bất kì Chỷỏng minh rằng với mọi số x ta đều có 1+ 1 2 x cosA + x(cosB... thể chứng minh rằng tập hợp các điểm H là phần t mặt cầu đỷờng kính OA nằm trong góc tam diện vuông Oxyz Cũng vậy vì J có thể chạy khắp góc vuông yOz mà AG = (2/3)AJ nên tập hợp các điểm G là phần tỷ mặt phẳng song song với yOz nằm trong góc tam diện Oxyz và cắt 1 OA tại A sao cho:OA = OA 3 _ Câu I Cho hàm số y= x 2 + mx - 1 x 1 1) Tìm m để hàm số đồng biến trên các... sinx + 3 sinx cosx Câu III 1) Giải và biện luận theo a, b phỷơng trình ax + b x- b = x- a x+a 2) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chỷỏng minh rằng: abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) 0 Câu IVa 1) Chỷỏng tỏ rằng hàm số F(x) = x ln(1 + x ) là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x) = x 1 + | x| _ 2) Tính tích phân e I= xln 2 xdx 1 Câu IVb Hình chóp... hình chóp  Câu I 1) Bạn đọc tự giải nhé! 2) Qua khảo sát, ta dự đoán rằng trục đối xứng của đồ thị là đỷờng x = 1 Thực vậy, đặt x = X +1 y = Y thì phỷơng trình ban đầu trở thành: Y = X 4 - 8X 2 + 6; hàm này là hàm chẵn, do vậy đồ thị nhận trục O 1 Y làm trục đối xứng Tìm giao với trục hoành : y = 0 Y=0 X 4 - 8X 2 + 6 = 0 ị X 1 ,2 ,3 ,4 = 4 ị x 1 ,2 ,3 ,4 =... _ Câu I Cho phỷơng trình (x - 3) (x + 1) + 4(x - 3) x +1 = m x-3 1) Giải phỷơng trình với m = -3 2) Với giá trị nào của m thì phỷơng trình có nghiệm ? Câu II 1) Cho hàm số y = x + x 2 - x + 1 Tìm miền xác định của hàm số ; tính đạo hàm và xét dấu của nó 2) Tìm a để hệ sau đây có nghiệm: 15x 2 11xy + 2y 2 = 7 x < y 2a 2 x + 3ay < 0 Câu III 1) Giải phỷơng trình log 3 (sin x 1 x - sinx) + log (sin... Vậy tập hợp các điểm K là phần của đồ thị 7 5 y = x 4 + 9x2 + 2 2 ứng với 3 < x < 3 , x 1 (xem Hình ) 0 Câu IVa 1) x y z + + = 1 a b c r 1 1 1 2) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến n = ; ; , đó cũng là vectơ chỉ phỷơng của đỷờng thẳng OH, suy ra a b c đỷờng thẳng OH có phỷơng trình tham số x= t t t , y = , z = a b c Điểm H ẻ (ABC) ứng với giá trị tham số. .. định lí Viet) (a 2 2)2 2 > 7 | a | > 5 (2) Kết hợp (1) và (2) đợc đáp số : |a| > 5 2) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi tồn tại các số : xo d , xo , xo + d (d 0) thỏa mãn (xo d)3 + a(xo d) + b = 0 , x3 + ax o + b = 0 , o (xo + d)3 + a(x o + d) + b = 0 Giải ra đợc xo = 0, b = 0, a < 0 tùy ý Khi đó 3 nghiệm là a , 0, Đáp số : b = 0, a < 0 tùy ý a Câu II Phơng trình đã cho tơng đơng với : (1... tiếp tuyến d tại M : a4 5 y = (x a)(2a 3 6a) + 3a 2 + 2 2 Do đó hoành độ các giao điểm của d và đồ thị là nghiệm của phơng trình : 1 4 5 a4 5 x 3x 2 + = (x a)(2a 3 6a) + 3a 2 + 2 2 2 2 Phơng trình này tơng đơng với : (x a)2 (x 2 + 2ax + 3a 2 6) = 0 3) Tiếp tuyến d cắt đồ thị tại 2 điểm P Q f(x) = x2 + 2ax + 3a 2 6 có 2 nghiệm khác nhau (và khác a) ' > 0 và f(a) . Bài tập đồ thị hàm số ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= x-x+1 x-1 2 . 2). Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2 +b 2 +c 2 =1.Chỷỏng minh rằng: abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) 0. Câu IVa. 1) Chỷỏng tỏ rằng hàm số F(x) = () xx+ln 1 là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x). hàm số y=x m (4-x) 2 . Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khim=1. Câu II. 1) ABC là một tam giác bất kì. Chỷỏng minh rằng với mọi số x ta đều có 1+ 1 2 x 2 cosA + x(cosB + cosC). 2)