cac van de lien quan den ham so bac ba

Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.. 4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ.. trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định[r]

Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc y = ax3 + bx2 + cx + d với a  có đồ thị (C).

I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị

1)

a > y’ = vô nghiệm  hàm số tăng R (luôn tăng)

2)

a < y’ = vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn

giảm)

3)

Hàm số khơng có cực trị



y

' 0



vô nghiệm

4)

a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngoài ta cịn có:

+ x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (, x1) (x2, +) + hàm số giảm (x1, x2)

5)

a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hồnh độ điểm uốn) Ta có:

+ hàm số giảm (, x1) (x2, +) + hàm số tăng (x1, x2)

II/ Cách viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Thực phép tính

y y

: '

-Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q

-Gọi

( ; )

x y

0 0 tọa độ điểm cực trị



y x

'( ) 0

0



từ suy

0

y



rx



q

-Kết luận

y rx q





đường thẳng qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để hàm số có cực trị)

III/ Giao điểm đồ thị với trục hoành : 1) C) cắt Ox điểm phân biệt















0

)

2

x(

y

).

1

x(

y

2

x,

1

x

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

2) Giả sử a > ta có: a) (C) cắt Ox điểm phân biệt > 





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thỏa

biệt

ân

nghiệm ph

2

coù

0

'y

b) (C) cắt Ox điểm phân biệt < 





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thỏa

biệt

ân

nghiệm ph

2

coù

0

'y

Tương tự a <

3) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách  y’ = có nghiệm phân

biệt y (x0) = Với x0 hoành độ điểm uốn

IV/ Biện luận số nghiệm phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = (1) (a  0) x

=  nghiệm (1).

Nếu x =  nghiệm (1), ta có

ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b 1x + c1)

nghiệm (1) x =  với nghiệm phương trình ax2 + b1x + c1 = (2) Ta có trường hợp sau:

1) (2) vơ nghiệm (1) có nghiệm x = 

2) (2) có nghiệm kép x =  (1) có nghiệm x = 

3) (2) có nghiệm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt

4) (2) có nghiệm x =  nghiệm khác  (1) có nghiệm

5) (2) có nghiệm kép  (1) có nghiệm

V/ Tiếp tuyến đồ thị : Gọi I điểm uốn Cho M  (C)

Nếu M  I ta có tiếp tuyến qua M Nếu M khác I ta có tiếp tuyến qua M

Biện luận số tiếp tuyến qua điểm N khơng nằm (C) ta có nhiều trường hợp

Ghi : Đối với hàm bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có: i) Nếu a > tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ ii) Nếu a < tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) họ đường thẳng (Dk) có phương trình

y = x3 + mx2 m y = kx + k +

PHầN I Trong phần cho m = Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

1) Gọi A B điểm cực đại cực tiểu (C) M điểm cung AB với M khác A, B Chứng minh (C) ta tìm hai điểm có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến M với (C)

2) Gọi  đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E 

với (C)

3) Tìm E  để qua E có ba tiếp tuyến với (C) có hai tiếp tuyến vng góc với

4) Định p để (C) có tiếp tuyến có hệ số góc p, trường hợp chứng tỏ trung điểm hai tiếp điểm điểm cố định

5) Tìm M  (C) để qua M có tiếp tuyến với (C)

PHầN I I.Trong phần cho tham số m thay đổi.

6) Tìm điểm cố định (Cm) Định m để hai tiếp tuyến hai điểm cố định vng góc

7) Định m để (Cm) có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 8) Định m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt

9) Định m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghịch biến (0, +) 10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hồnh độ tạo thành cấp số cộng

11) Tìm điều kiện k m để (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn

12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua điểm (-1, 1)

13)Chứng minh tiếp tuyến với (Cm) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn

Bài 2: Cho hàm số

y



x

3



3

mx

2



3(1



m x m

2

)



3



m

2 Viết phương trình đường thẳng qua cực trị hàm số

Bài 3: Tìm m để

f x

 



x

3



mx

2



7

x



3

có đường thẳng qua CĐ,

Bài 4: Tìm m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt :

3

)

1

(

3

)

1

4

(

3















x

m

x

m

x

m

y

Bài 5: Định m để

(

C

m

)

cắt trục Ox điểm

(

)

3

y

=

2x

-

3 m x

+

+

6mx 2

-Bài 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm

I

(1;2)

với hệ số góc k

(

k

 

3)

cắt đồ thị hàm số

3

3

4

y x





x



ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB

Bài 7:Tìm

m

để (Cm)

y x



3



3

mx

2



9

x



7

cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành CSC

Bài 8:Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số

1 ) ( 3

   

x mx m x

y điểm có hồnh độ x=-1 qua điểm

A(1; 2)

Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số

3

1

2

3

2

y



x



x



x

và cm tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Bài 10:

Viết pt tt đồ thị (

C)

1

2

3

3

y



x



x



x

, biết tt qua gốc

tọa độ

O

Bài 11: Cho hs y =

x - 3x + 2

3

Tìm M y = -2 cho từ kẻ đến

(C) hai TT vng góc nhau

Bài 12: Tìm m để đồ thị (C

m

)

y



x

3



(2

m



1)

x

2



m



1

tiếp xúc

với đường thẳng

y



2

mx m





1

CT vng góc với y 3x

biệt đối xứng với qua gốc toạ độ

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) họ đường thẳng (Dk) có phương trình

y = x3 + mx2 m y = kx + k +

PHầN I Trong phần cho m = Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

1) Gọi A B điểm cực đại cực tiểu (C) M điểm cung AB với M khác A, B Chứng minh (C) ta tìm hai điểm có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến M với (C)

2) Gọi  đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E 

với (C)

3) Tìm E  để qua E có ba tiếp tuyến với (C) có hai tiếp tuyến vng góc với 4) Định p để (C) có tiếp tuyến có hệ số góc p, trường hợp chứng tỏ

trung điểm hai tiếp điểm điểm cố định 5) Tìm M  (C) để qua M có tiếp tuyến với (C)

PHầN I I.Trong phần cho tham số m thay đổi.

6) Tìm điểm cố định (Cm) Định m để hai tiếp tuyến hai điểm cố định vng góc

7) Định m để (Cm) có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 8) Định m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt

9) Định m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghịch biến (0, +)

10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hồnh độ tạo thành cấp số cộng 11) Tìm điều kiện k m để (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn

12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua điểm (-1, 1)

13)Chứng minh tiếp tuyến với (Cm) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn

Bài 2: Cho hàm số

y



x

3



3

mx

2



3(1



m x m

2

)



3



m

2 Viết phương trình đường thẳng qua cực trị hàm số

Bài 3: Tìm m để

f x

 



x

3



mx

2



7

x



3

có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với y 3x

Bài 4: Tìm m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt :

3

)

1

(

3

)

1

4

(

3















x

m

x

m

x

m

y

Bài 5: Định m để

(

C

m

)

cắt trục Ox điểm

(

)

3

y

=

2x

-

3 m x

+

+

6mx 2

-Bài 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm

I

(1;2)

với hệ số góc k

(

k

 

3)

cắt đồ thị hàm số

3

3

4

y x





x



ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB

Bài 7:Tìm

m

để (Cm)

y x



3



3

mx

2



9

x



7

cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành CSC

Bài 8:Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số

1 ) ( 3

   

x mx m x

y điểm có hoành độ x=-1 qua điểm

A(1; 2)

Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số

3

1

2

3

2

y



x



x



x

và cm tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Bài 10:

Viết pt tt đồ thị (

C)

1

2

3

3

y



x



x



x

, biết tt qua gốc

tọa độ

O

Bài 11: Cho hs y =

x - 3x + 2

3

Tìm M y = -2 cho từ kẻ đến

(C) hai TT vng góc nhau

Bài 12: Tìm m để đồ thị (C

m

)

y



x

3



(2

m



1)

x

2



m



1

tiếp xúc

với đường thẳng

y



2

mx m





1

Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số

y x



3



3

x

2



m

có hai điểm phân biệt

đối xứng với qua gốc toạ độ

Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc 3

y = ax3 + bx2 + cx + d với a  có đồ thị (C).

I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị

1)

a > y’ = vô nghiệm  hàm số tăng R (luôn tăng)

2)

a < y’ = vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) R (ln ln giảm)

3)

Hàm số khơng có cực trị



y

' 0



vô nghiệm

4)

a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngồi ta cịn có:

+ x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (, x1) (x2, +) + hàm số giảm (x1, x2)

5)

a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có:

+ hàm số giảm (, x1) (x2, +) + hàm số tăng (x1, x2)

II/ Cách viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Thực phép tính

y y

: '

-Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q

-Gọi

( ; )

x y

0 0 tọa độ điểm cực trị



y x

'( ) 0

0



từ suy

0

y



rx



q

-Kết luận

y rx q





đường thẳng qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để hàm số có cực trị)

III/ Giao điểm đồ thị với trục hoành : 1) C) cắt Ox điểm phân biệt





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thỏa

biệt

ân

nghiệm ph

2

coù

0

'y

b)(C) cắt Ox điểm phân biệt < 





























0

)

2

x

(

y

).

1

x

(

y

0

)

(

y

2

x

1

x

thỏa

biệt

ân

nghiệm ph

2

có

0

'y

Tương tự a <

3) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách  y’ = có nghiệm phân

biệt y (x0) = Với x0 hoành độ điểm uốn

IV/ Biện luận số nghiệm phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = (1) (a  0) x

=  nghiệm (1).

Nếu x =  nghiệm (1), ta có

ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b 1x + c1)

nghiệm (1) x =  với nghiệm phương trình ax2 + b1x + c1 = (2) Ta có trường hợp sau:

1) (2) vơ nghiệm (1) có nghiệm x = 

2) (2) có nghiệm kép x =  (1) có nghiệm x = 

3) (2) có nghiệm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt

4) (2) có nghiệm x =  nghiệm khác  (1) có nghiệm

5) (2) có nghiệm kép  (1) có nghiệm

V/ Tiếp tuyến đồ thị : Gọi I điểm uốn Cho M  (C)

Nếu M  I ta có tiếp tuyến qua M

Nếu M khác I ta có tiếp tuyến qua M















0

)

2

x(

y

).

1

x(

y

2

x,

1

x

biệt

ân

nghiệm ph

2

coù

0

'y

2) Giả sử a >

a) ta có (C) cắt Ox điểm phân biệt > 