Giai bai tap dai so bang kien thuc hinh hoc

Nhng nÕu c¸c em nhí ®Õn vËn dông nh÷ng kiÕn thøc nhá trong h×nh häc th× bµi to¸n sÏ trë nªn dÔ dµng h¬n... VËy A, B, C th¼ng hµng.[r]

Phần I: Lời nói đầu

Trong tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tơi tốn sau: Cho phơng trình : x2 – (m – 1)x + 2m – = 0.

Tìm m để nghiệm phơng trình kích thớc hình chữ nhật (trích câu c đề thi KSCL lớp năm học 2004 – 2005 huyện Yên Thành)

Khi gặp toán này, nhiều em lúng túng, bối rối khơng định hớng đợc cho phải giải toán hớng suy nghĩ nh nào, dẫn đến em không giải đợc tốn trên, có phải học sinh gặp toán đại số nghĩ đến kiến thức, công cụ môn đại số hay không? Nhng ta thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thớc hình chữ nhật số dơng nên câu hỏi tốn hiểu là: Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Với câu hỏi chắn tốn trở thành quen thuộc học sinh Nh cần lu tâm đến kiến thức nhỏ hình học tốn việc nhẹ nhàng Khơng tốn mà thực tế nhiều toán khác, học sinh gặp bỡ ngỡ Nhng em nhớ đến vận dụng kiến thức nhỏ hình học tốn trở nên dễ dàng Vì lý qua thời gian cơng tác giảng dạy ,tôi đúc rút kinh nghiệm “Khai thác kiến thức hình học vào giải số tập đại số”

PhÇn II: Néi dung

I.Nhận thức cũ thực trạng dạy học môn đại số nhà tr ờng : - Nhận thức cũ:

Đa số học sinh giải tập đại số thông thờng hay dùng kiến thức đại số làm cơng cụ.Trong số tập đại số cần lu ý đến kiến thức hình học giải đợc

Khi gặp toán đại số học sinh thờng sử dụng kiến thức đại số làm công cụ, nên dẫn tới nhiều toán học sinh gặp nhiều khó khăn, chí khơng giải đợc

- Giải pháp mới:

Để giải dễ dàng gặp dạng toán học sinh cần biết khai thác, vận dụng kiến hình học , sau xin giới thiệu số ví dụ II Các giải pháp:

1 Sử dụng điều kiện điểm nằm điểm lại.

- Ta biết điểm M nằm hai điểm A B MA + MB = AB (tức A, B, M thẳng hàng)

- Điểm M không nằm A B vµ chØ MA+ MB AB (tøc lµ A, B, M không thẳng hàng)

Ví dụ1:

Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

Lêi gi¶i:

Ta cã AB = ( 1 2)2 ( 3 3)2

   

 = 45=

AC = (3 2)2 (5 3)2 = 5

BC = (3 1)2 (5 3)2

 

 = 80=

Ta cã : AB + AC = 5+ 5=4 5=BC VËy A, B, C thẳng hàng

Nhận xét: Nhiều em học sinh gặp ví dụ bỡ ngỡ, lúng túng không biết chứng minh theo cách Nhng hình học học ta biết điểm A, B, C thẳng hàng xảy ba trờng hỵp:

AC = AB + BC AB = AC + BC

BC = AB+ AC

Từ kiến thức hình học dẫn ta suy nghĩ theo hớng tính độ lớn đoạn thẳng so sánh tổng đoạn thẳng với đoạn cịn lại Nh ta có lời giải thật ngắn gọn

Tõ vÝ dơ trªn ta chứng minh điểm không thẳng hàng nh vÝ dô sau: VÝ dô 2:

Lêi gi¶i:

MN = (2 1)2 (5 2)2

 

 = 10

NP = (1 0)2 (2 1)2

 

 =

MP = (2 0)2 (5 1)2 = 20

Từ ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP  khơng có điểm nằm hai điểm lại nên M, N, P không thẳng hàng

Và ta cần thay đổi chút có tốn nh ví dụ sau:

Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho ®iĨm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2) Chøng minh M lµ trung điểm AB

Lời giải.

Ta có: MA = (1 4)2 ( 2)2

    = 45 = MB = (7 4)2 (8 2)2

   = 45= AB = (1 7)2 ( 8)2

    = 180 =

Ta cã: + = hay MA + MB = AB Vậy điểm M nằm A B

Ta lại có: MA = MB = nên M trung điểm AB

Nh vy ch cn tính độ dài đoạn thẳng sử dụng điều kiện điểm nằm hai điểm lại ta giải đợc nhiều toán

2 Sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác. - Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC

- Nếu cho điểm A, B, C mặt phẳng toạ độ ta ln có AB AC + BC Bây ta áp dụng kiến thức hình học để giải số tốn

Ví dụ 4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc

(Đề thi chọn hsg toán thành phố HCM năm học 1999-2000) Lời giải:

Vì a, b, c cạnh tam giác nªn x, y, z > Ta cã: b =

2

y x

, c =

2

z y

, a =

2

x z

Bất đẳng thức tơng đơng với: xyz ( y x )( z y )( x z ) Mà (

2 y x )( z y )( x z )( 2 xy )(

2 yz )(

2

2 zx ) = xyz (áp dụng bất đẳng thức

C«si)

VËy: xyz (

2 y x )( z y )( x z

) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (®pcm)

ở để áp dụng đợc bất đẳng thức Cơsi phải lý luận để x, y , z > mà điều có đợc a, b, c cạnh tam giác

VÝ dô 5: Cho phơng trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0

Với a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh phơng trình vơ nghiệm

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002-2003) Lời giải:

 = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)]

Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác, nên: a – (b + c) < b – (a + c) < c – (a + b) < Vì vậy:

 = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < nên phơng trình vô nghiệm

Nhận xét : Bài sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác chứng minh đợc <

VÝ dơ 6: Víi a, b, c, d số dơng , chứng minh:

2 b

a  + c2d2  (ac)2(bd)2

Lêi gi¶i: y

chọn hệ trục tọa độ xOy Trên trục Ox chiều dơng, Q B lấy ON = a, MN = c trục Oy chiều dơng lấy d

OP = b, PQ = d Ta cã: P A OA = a2 b2

 b

AB = c2 d2

OB = (a c)2 (b d)2

 

 o a N c M x

Ta cã: OA + AB  OB

Nªn a2 b2

 + c2d2 (ac)2(bd)2 (Điều phải chứng minh)

Nhn xột: ví dụ ta biết với điểm A, B, C AB  AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức

Ta mở rộng bất đẳng thức thành bất đẳng thức tổng quát nhờ cách chứng minh tơng tự nh

Với x1, x2…xn y1, y2, …yn số dơng ta ln có bất đẳng thức sau:

2

1 )

(x y + (x2 y2)2+…+ (xn yn)2  (x1x2 xn)2(y1y2 yn)2

3 Sử dụng định lý Pitago.

- Cho tam giác ABC vng A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago)

- Nếu BC2 = AB2 + AC2 tam giác ABC vng A( định lý đảo định lý Pitago)

Vận dụng kiến thức vào ta có số tập sau Ví dụ 7: Cho đờng thẳng:

y = 3x- ( d1)

y =

3 

x + (d2 )

Chứng minh đờng thẳng vuông góc với (d2)

Hớng dẫn học sinh suy nghĩ: C Nếu đờng thẳng vng góc với tam giác ABC

Là tam giác vng Từ ta xác định tọa độ A, B, C A B (d1)

sau tính độ dài AB, AC, BC áp dụng định lý đảo định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vng

Lêi gi¶i:

Gọi A(x0;y0) giao điểm đờng thẳng ta có: y0 = 3x0 -

y0 =

1 

x0 +

Giải ta đợc: x0 = y0 = Vậy A (3;7)

Trªn (d2) lÊy C (6;6), trªn (d1) lÊy ®iĨm B (0;-2):

AC = (6 3)2 (6 7)2

 

 = 10

AB = (0 3)2 ( 2 7)2

  

 = 90

Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 hay tam giác ABC vuông A (Định lý đảo định

lý Pitago), nên đờng thẳng vng góc với

Nhờ kiến thức mà ta chứng minh đợc đờng thẳng y=ax+b vng góc với đờng thẳng y = cx + d ac =-1 nguợc lại nh ví dụ sau:

Ví dụ 8: Cho hai đờng thẳng: y = ax + b (a0) (d1)

y = cx +d (c0) (d2)

chøng minh r»ng: NÕu (d1) vu«ng góc với (d2) ac = -1

Lời giải:

Ta cã y = ax + b song song hc trïng víi y = ax (d3)

y = cx + d song song hc trïng víi y = cx (d4)

Ta cã nÕu (d1) vuông góc với (d2) ta có (d3) vu«ng gãc víi (d4)

(d3)

A

o B (d4)

Gọi O giao điểm (d3) (d4) dễ dàng ta tìm đợc O (0; 0) Trên (d3) lấy điểm khác O, ví dụ A(1; a)

Trên (d4) lấy điểm khác O,vÝ dơ B(1; c)

Vì (d3) vng góc với (d4) nên tam giác OAB vuông O, theo định lý Pitago ta có

OA2 + OB2 = AB2 hay a2 + + c2 + = (a – c)2 Từ ta có ac = -1.

Vậy: (d1) vuông góc với (d2) ac = -1 (§PCM)

4 Vận dụng định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hình học để giải.

Đó vận dụng trực tiếp định nghĩa dấu hiệu để giải tập đại số nh số ví dụ sau:

v

í dụ 9: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4) Chứng minh điểm A, B, C tạo thành tam giác vng cân

Lêi gi¶i:

AB = (5 2)2 (7 1)2

 

 =

AC = ( 4 2)2 (4 1)2

  

BC = ( 4 5)2 (4 7)2

  

 = 90

Ta cã: AB = AC = nên tam giác ABC cân A

Ta li cú: AB2 + AC2 = BC2 = 90 nên tam giác ABC vuông A( định lý đảo định lý

Pitago)

VËy tam giác ABC tam giác vuông cân A

Nhận xét: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình học, đó tam giác vng có cạnh nên ta tính độ dài cạnh để chứng minh tam giác cân sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để chứng minh tam giác vng

Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm: A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ; D (-2;2). Chứng minh ABCD hình bình hành

Lêi gi¶i:

Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định điểm A, B, C, D nh Ta có:

AB = (4 2)2 (21)2 = 13

CD = ( 4 2)2 ( 1 2)2

   

 = 13

AD = ( 2 4)2 (2 2)2

  

 =

CB = (4 2)2 (11)2 = 6

Ta cã: AB = CD = 13 ; AD = CB = nên ABCD hình bình hành

Nh vy bi ny gii đợc ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết hình bình hành Trong dấu hiệu nhận biết hình bình hành, ta sử dụng tứ giác có cặp cạnh đối hiệu Vì ta dễ dàng tính đ ợc độ dài đoạn thẳng

Ví dụ 11: Hai vật chuyển động đờng tròn, đờng kính 20cm Xuất phát cùng lúc, điểm Nếu chuyển động chiều sau 20s chúng gặp nhau, chuyển động ngợc chiều sau 4s chúng gặp Tính vận tốc vật (Bài tập 37 trang 24 toán tập II)

Lêi gi¶i:

Độ dài đờng trịn C =  d 3,14 x 20  62,8(cm.) Gọi x(cm/s), y(cm/s) vận tốc vật (x, y > 0)

Sau 4s chúng chuyển động ngợc chiều gặp tổng quảng đờng vật độ dài đờng tròn, nên: 4x + 4y = 62,8

Ta cã hÖ: 20x – 20y = 62,8 x= 9,42

 (tháa m·n ®iỊu kiƯn)

4x + 4y = 62,8 y = 6,28 VËy vËn tèc cđa vËt thø nhÊt lµ 9,42 cm/s

Vận tốc vật thứ 6,28 cm/s (Tính gần đúng)

Nh để giải ta phải sử dụng kiến thức hình học độ dài đ-ờng trịn

Ví dụ 12: Cho phơng trình: x2- 2(m-1)x+2m-7 = Tìm m nghim ca phng

trình kích thớc hình chữ nhật

(Trớch ý c đề thi KSCL lớp huyện Yên Thành năm học 2004 –

2005) Lêi gi¶i

 = (m-1)2- (2m-7) = (m-2)2 + > m

Nên phơng trình có nghiệm phân biệt

Để nghiệm phơng trình kích thớc hình chữ nhật phơng trình phải có nghiệm d¬ng

hay x1+x2= 2(m-1) >0 m >1



x1x2 = 2m – >0 m >3,5

vËy víi m > 3,5 th× nghiệm phơng trình kích thớc hình chữ nhật

Nhn xột: Tụi ó ôn tập cho học sinh câu nhng học sinh ngỡ ngàng, lúng túng khơng hiểu hai kích thớc hình chữ nhật nh nên khơng biết làm từ đâu Nhng ta cần lu ý chiều dài chiều rộng hình chữ nhật số dơng tốn đơn giản Nh ta cần tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm dơng đợc Từ ví dụ thay đổi chút ta có tốn hóc búa hơn, nh ví dụ 13 di õy:

5 Bài tập tổng hợp.

Ví dụ 13: Cho phơng trình : x2- 2(m-1)x +2m-7 =0 Tìm m để hai nghiệm phơng

trình kích thớc hình chữ nhật có độ dài đờng chéo 34

Lêi gi¶i:

Tơng tự lời giải nh trên, để hai nghiệm kích thớc hình chữ nhật m > 3,5

Để hai nghiệm kích thớc hình chữ nhật có độ dài đờng chéo 34

th× x12 + x22 = 34

 ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 34  [2(m-1)]2 - 2(2m-7) = 34  m2 – 3m – = 0

giải phơng trình ta có: m1 = -1 hc m2 =

đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = thỏa mãn điều kiện

Vậy với m = hai nghiệm phơng trình kích thớc hình chữ nhật có độ dài đờng chéo 34

ở ví dụ ngồi sử dụng kiến thức nh ví dụ cịn sử dụng đến kiến thức định lý Pitago

VÝ dơ 14: Cho a > c, b > c, c > Chøng minh r»ng:

( )

c a c + c b c(  )  ab C

(Đề thi HSG lớp TP HCM năm học 2002 – 2003)

Lêi gi¶i: a b c

A H B a c b c

Ta cã: a – c > 0; b c >

Đặt AC = a ; BC = b ; CH = c AH = a c BH = b c Ta cã: 2(SACH + SBCH) = 2SABC mµ 2SABC  ab

Do đó: c a c + c b c  ab

Nªn: c a c(  ) + c b c(  )  ab (®iỊu ph¶i chøng minh)

Ví dụ 15: Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (m-2)x +(m-1)y = (d) (trong đó m tham số) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng (d) lớn

Lêi gi¶i y A H

B O x Gäi A giao điểm (d) với trục tung Ta cho x = th× y=

1

m nªn OA =

1

m

Gọi B giao điểm (d) với trục hoành Ta cho y = x =

2

m nªn OB =

1

m

Khoảng cách từ gốc đến (d) OH Ta có tam giác OAB tam giác vuông với đ -ờng cao OH nên ta có:

2

1

OH =

1

OA +

1

OB hay

1

OH = (m-1)2+ (m-2)2= 2(m-3 2)2+

1

Nªn ta cã OH2  Vậy giá trị lớn cuả OH là: OH = 2 x¶y m= 3

2

Nh ta phải sử dụng kiến thức hình học sử dụng hệ thức tam giác vu«ng

III.Kết đạt đ ợc:

Qua q trình cơng tác giảng dạy có áp dụng “ Khai thác kiến thức hình học để giải số tập đại số” thực đối tợng lớp 9C , lớp 9D khơng áp dụng

Qua số tập dạng áp dụng kiến thức hình học vào giải tập đại số kết đạt đợc lớp nh sau:

Lớp Tổng số HS Số HS giải đợc Tỷ lệ Số HS không giải đợc Tỷ lệ

9C 40 30 75% 10 25%

9D 40 15 37,5% 25 62,5%

PhÇn III.: KÕt luận kiến nghị

cao Vì giải tốn cần nghiên cứu kỹ toán cần phải kết hợp nhuần nhuyễn hình học đại số để giải Trong dạy học cần lu ý cho học sinh biết khai thác vận dụng kiến thức hình học để giải tập đại số ngợc lại

giới thiệu giải số tập đại số có kết hợp kiến thức hình học, tất nhiên cịn nhiều dạng toán giải cần kết hợp kiến thức hình học để giải

Đề tài kinh nghiệm đúc rút q trình giảng dạy, mong đợc góp ý Hội đồng khoa học cấp để phát triển hồn thiện thêm

Yªn Thành, tháng năm 2009.

Ngời viết:

Lê Văn Tuấn

Tài liệu tham khảo

1 Sgk toán tËp

2 Nâng cao chuyên đề đại số ( Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, Vũ Dơng Thụy)

3 Tuyển tập đề thi mơn tốn THCS (Vũ Dơng Thụy, Lê Thống Nhất, Nguyễn Anh Quân)

4 Tổng hợp toán bất đẳng thức (Nguyễn Đức Tấn) Su tầm đề thi mạng