Hướng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng kiến thức hình học vào giải bài tập đại số
Trang 1Hướng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng kiến thức hình học vào giải bài tập đại số A - ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong trường phổ thơng mơn Tốn có một vị trí rất quan trọng Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tỐt các
môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Đồng thời môn
Tốn cịn giúp học sinh phát triển nhỮng năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn
luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho
học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân
Ở trường THCS, trong dạy học Tốn, cùng với việc hình thành cho học
sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải
các bài tốn có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn để trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải tốn là một hình thức chủ yếu của việc học tốn
Trong chương trình Toán THCS các bài toán rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh Ởở bậc học này Để giải
quyết các bài toán, người ta phải bằng các cách giải thơng minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các bài toán loại này Do đó, địi hỏi người học phải có
một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống
Vì vậy để giúp các em khắc phục được những khó khăn đó, tơi đã chọn
Trang 2Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài toán sau: Cho phương trình : xˆ - 2 (m - 1)x + 2m — 7 = 0
Tìm m để 2 nghiệm phương trình trên là các kích thước của một hình chữ nhật Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định
hướng được cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như
thế nào, dẫn đến các em không giải được bài tốn trên, có phải học sinh khi gặp bài toán đại số này đã nghĩ ngay đến những kiến thức, nhữỮng công cụ
trong môn đại số hay không? Nhưng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích
thước của hình chữ nhật là những số dương nên câu hỏi của bài tốn có thể hiểu là: Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm dương Với câu hỏi này thì chắc chắn bài tốn trên sẽ trở thành rất quen thuộc đối với học sinh Như vậy chỉ cần lưu tâm đến những kiến thức nhỏ của hình học trong bài tốn này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng hơn Khơng nhỮng bài tốn trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp cũng rất bỡ ngỡ Nhưng nếu các em nhớ đến vận
dụng những kiến thức nhỏ trong hình học thì bài toán sễ trở nên dễ dàng hơn Vì lý do đó cho nên qua mộit thời gian công tác giảng dạy ,tôi đã đúc rút kinh nghiệm về “Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số”
Qua nhiều biện pháp điều tra về việc giải bài toán đại số bằng kiến thức hình học ở hai lớp 9A và 9B, kết quả cụ thể thu được như sau:
Trang 3PHẦN II: NỘI DUNG
INhận thức cũ và thực trạng trong dạy học môn đại số trong nhà trường:
- Nhận thức cũ:
Đa số học sinh khi giải một bài tập đại số thông thường hay dùng các kiến thức đại số làm cơng cụ.Trong khi đó một số bài tập đại số cần lưu ý
đến các kiến thức hình học mới giải được - Việc làm cũ:
Khi gặp một bài toán đại số học sinh thường sử dụng các kiến thức đại
số làm công cụ, nên dẫn tới nhiều bài toán học sinh sẽ gặp rất nhiều khó
khăn, thậm chí khơng giải được
- Giải pháp mới:
Để giải quyết dễ dàng hơn khi gặp những dang bài toán này thì học
sinh cần biết khai thác, vận dụng các kiến của hình học , và sau đây xin giới thiệu một số ví dụ
II Các giải pháp:
1 Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại
- Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi MA + MB = AB (tức là A, B, M thẳng hàng)
- Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+MB AB (tức là A, B,
M không thẳng hàng)
Vi dul:
Trên mặt phẳng toa độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5) Chứng minh ba
Trang 4
Tacó AB = ,(-1-2)?+(-3-3)? =V45= 345 AC = J(3-2)?+(5-3)2 =V5
BC = J/G+1)?+(5+3)?=A/80= 45
Tacé: AB+ AC =3¥5+/5=45=BC Vay A, B, C thang hang
Nhận xét Nhiều em học sinh khi gặp vi dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng
không biết chứng minh theo cách nào Nhưng Ở trong hình học học ta biết 3
điểm A, B, C thẳng hàng khi xảy ra một trong ba trường hợp:
AC = AB+ BC AB = AC + BC
BC = AB+ AC
Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hướng 1a di tinh độ lớn các đoạn thẳng trên và so sánh tổng 2 đoạn thẳng với đoạn còn lại Như vậy ta có lời giải bài trên thật là ngắn gọn
Từ ví dụ trên ta có thể chứng minh 3 điểm không thẳng hàng như ví dụ sau: Vi du 2:
Trên mặt phẳng toa độ cho 3 điểm M(@2;5), N(1;2) , P(0;1) Chứng minh ba
điểm trên không thẳng hàng
MN = ,(2-1)+(-2) = M10
NP = ,(1-0)?+(2-1? = v2
Trang 5Từ đó tacó MN +NP zMP,NP+MP MN,MN+MP NP khơng có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nên M, N, P không thẳng hàng
Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài tốn mới như ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2) Chứng minh M là trung điểm của AB
Lời giải
Ta có: MA=_ j4-4+(-4-2)” = V45 = 35
MB = 4j-4+(8-2) = V45= 35
AB= \(-7+(4-8 = 180 = 65
Taco: 3/5 + 345 = 64/5 hay MA + MB = AB Vậy điểm M nằm
giỮa A và B
Ta lại có: MA = MB=3v5 nên M là rung điểm của AB
Như vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một
điểm nằm giữa hai điểm còn lại ta đã giải quyết được rất nhiều bài toán 2 Sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác
- Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC
- Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta ln cóAB_ AC
+ BC
Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài tốn Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác Chứng minh:
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)< abc
(Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999-
Trang 6Đặt x=a+b-c
y=b+c-a zZ=ct+a-b
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > Ö
x+y y+zZ z+x
C= =
Taco: b=
2” 2° 2
oe , + + +
Bat dang thức trên tương đương với: xyz <( - 5 + X 2 5 ˆ X ˆ 5 ° )
y+z Z+
Mà (Š22)(72“J(Ý2*)>(2/5⁄)(2 (97 J(2Ý) = xyz (áp dụng bất đẳng thức
Côsi)
y+z Zz+x
5 X 5 ) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)< abc (đpcm)
^ x+y
vay: xyz <("
Ở bài này để áp dụng được bất đẳng thức Cơsi thì phải lý luận để x, y, z > 0 mà điều này có được do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Ví dụ 5: Cho phương trình: xˆ + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0
Với a, b, c là đỘ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh phương trình trên vô nghiệm
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học
2002-2003)
Lời giải:
A = (a+b+}— 4(ab + ac + bc) = aˆ + bỶ + cˆ- 2ab — 2bc — 2ca
= a[a — (b + c)| + b[b — (a + c)] + c[c — (a + b)]
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên: a — (b + c) < 0
Trang 7Vì vậy:
A = a[a — (b + c)] + b{b — (a + c)] + c[c — (a + b)] < 0 nên phương trình
trên vơ nghiệm
Nhận xét Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới
chứng minh được A<0
Ví dụ 6: Với a, b, c, d là những số dương , chứng minh: va?+b? +Jc?+đˆ2 >4|(a+c)°+(b+đ)
Chọn hệ trục tọa độ xOy Trên trục Ox ở chiều dương, Q
B
lấy ON = a, MN = c trên trục Oy ở chiều dương lấy d
OP = b, PQ=d Ta có: P;} A OA = Va?+b? b AB = Vc? +a? OB = 4(a+e)?+(b+đ)? OaN c M x Ta Có: OA + AB 2 OB
Nên xa? +b? +c?+d? >-|(a+e)?+(b+d)” (Điều phải chứng minh)
Nhận xét: Ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì AB < AC +
BC nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên
Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng
quát nhờ cách chứng minh tương tự như trên
VỚI X¡, X; Xa Và Vi, Y2, .ya là nhỮng số dương thì ta cũng ln có bất dang thức sau:
Trang 8vŒ +yj” + (X, +ờ;)” + V(X, +ờ,)” 2 \J(X, + x, + +x.) +(y,+y; + +y,)°
3 Sử dụng định lý Pitago
- Cho tam giác ABC vuông tại A, ta c6 BC? = AB’ + AC’ (dinh ly Pitago)
- Nếu BC? = AB? + AC? thì tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý
Pitago)
Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau Ví dụ 7: Cho 2 đường thẳng:
y = 3x- 2 ( dị)
y= 7x78 (do)
Chứng minh 2 đường thẳng trên vng góc với nhau (d›)
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: C
Nếu 2 đường thẳng vng góc với nhau thì tam giác ABC `
La tam giác vuông TỪ đó ta sẽ xác dinh toa d6 A, B, C A B (di)
sau đó sẽ tính độ dài AB, AC, BC va áp dụng định lý đảo
định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông
Lời giải:
Gọi A(xo;yo) là giao điểm của 2 đường thẳng ta có: yo = 3xo - 2
Vọ = ạ Xe” 8
Giải ra ta đưỢC: xo = 3 va yo= 7 Vay A (337)
Trên (d;) lấy C (6;6), trên (d) lấy điểm B (0;-2):
Trang 9
AB =j(0—3)? +(_2-7)? = x90
BC = (0-6)? +(-2-6)? = 100
Ta cé: AC? + AB? = BC? = 100 hay tam giác ABC vuông tại A (Định lý
đảo định lý Pitago), nên 2 đường thẳng trên vng góc với nhau
Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh được rằng nếu đường thẳng
y=ax+b vng góc với đường thẳng y = cx + d thì ac =-1 và nguợc lại như
ví dỤ sau:
Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng: y =ax+b(a 0) (d:)
y=cx+d(c 0) (d:)
Chứng minh rằng: Nếu (d:) vng góc với (d: ) thì ac = -1 Lời giải:
Ta có y = ax + b song song hoặc trùng với y = ax (d:)
y = cx + dsong song hoặc trùng với y = cx (da)
Ta có nếu (d.) vng góc với (d; ) thì ta cũng có (d:) vng góc với (da )
(ds)
No B
Gọi O là giao điểm của (d;) va (d«) dé dang ta tim dudc O (0; 0) Trên (d:)
(d.)
lấy một điểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a)
Trang 10Vì (d;) vng góc với (d„ ) nên tam giác OAB vuông tại O, theo định lý Pitago tacó OA?+OBZ= AB” hay a+1+c2+1=(a-c) TỪ đó tacó ac = -1
Vậy: nếu (d;) vng góc với (d;) thì ac=-1 (DPCM)
4 Vận dụng các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết trong hình học để giải Đó là vận dụng ngay trỰc tiếp các định nghĩa các dấu hiệu để giải các bài tập
đại số như một sỐ ví dụ sau:
Ví dụ 9: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4)
Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông cân Lời giải:
AB = (5-2)? +(7-1)? = 35 AC =, (4-2)? + (4-1)? = 35 BC = J(-4-5)?+(4-7)? = /90
Ta Có: AB = AC =345 nên tam giác ABC cân tại A
Ta lại có: AB* + AC? = BC? = 90 nên tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý Pitago)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A
Nhận xét Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình
học, đó là tam giác vng có 2 cạnh bằng nhau nên ta sẽ đi tính độ dài các
cạnh để chứng minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để
chứng minh tam giác vng
Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho 4 điểm: A (4;2); B(2;-1); C (-4;-1) ;
D (-2;2) Chứng minh ABCD là hình bình hành
Lời giải:
Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định các điểm A, B, C, D như trên
Trang 11Ta có: AB = (4-2)? +(2+1)? = M13 CD = ,(-4+4 2)? +(-1-2)? = V13 AD = ,(-2-4)?+(2-2) =6 CB = J(-4-2)? +(-1+1)? =6
Ta có: AB =CD= A13 ; AD =CB =6 nên ABCD là hình bình hành
Như vậy ở bài này để giải được nó ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết
hình bình hành Trong các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, thì Ở bài này ta sử dụng tứ giác có cặp cạnh đối bằng nhau là hiệu quả nhất Vì ở đây ta dễ dàng tính được độ dài của các đoạn thẳng
Ví dụ 11: Hai vật chuyển động trên một đường trịn, đường kính 20cm Xuất phát cùng một lúc, cùng một điểm Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20s thì chúng gặp nhau, nếu chuyển động ngược chiều thì sau 4s chúng gặp nhau Tính vận tốc mỗi vật
(Bài tập 37 trang 24 toán 9 tập
I)
Lời giải:
Độ dài đường tron 1a C = 7d ~3,14 x 20 ~ 62,8(cm,)
Goi x(cm/s), y(cm/s) 14 van t6c cUa 2 vat (x, y > 0)
Sau 20s chúng chuyển động cùng chiều gặp nhau thì quãng đường vat di
nhanh hơn lớn hơn quãng đường đi được của vật còn lại chính là độ dài của đường trịn Nên ta có: 20x — 20y = 62,8
Sau 4s chúng chuyển động ngược chiều thì gặp nhau cho nên tổng
quảng đường đi của 2 vật là độ dài đường tròn, nên: 4x + 4y = 62,8
Trang 12Ta có hé: - 20x — 20y = 62,8 x= 9,42
{ — { (thỏa mãn điều kiện)
4x + 4y = 62,8 y=6,28
Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 9,42 cm/s
Vận tốc của vật thứ 2 là 6,28 cm/s (Tính gần đúng)
Như vậy để giải bài này ta phải sử dụng một kiến thức của hình học đó độ dài đường trịn
Ví dụ 12: Cho phương trình: x?- 2(m-1)x+2m-7 = 0 Tìm m để 2 nghiệm của
phương trình là kích thước của 1 hình chữ nhật
(Trích ý c bài 2 đề thi KSCL lớp 9 huyện Yên Thành năm học 2004 —
2005)
A =(m-1)*- (2m-7) =(m-2+5>0 Vm Nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt
Để 2 nghiệm của phương trình trên là các kích thước của hình chữ nhật thì phương trình trên phải có 2 nghiệm dương
Hay XIT†TX¿— 2(m-1) >0 m >1
{
1X2 = 2m — 7 >0 m >3,5
Vậy với m > 3,5 thì 2 nghiệm của phương trình trên sẽ là các kích thước của 1
hình chữ nhật
Nhận xét: Tôi đã tỪng ôn tập cho học sinh câu này nhưng học sinh rất ngỡ
ngàng, lúng túng không hiểu hai kích thước hình chữ nhật là như thế nào nên
Trang 13không biết bài làm từ đâu Nhưng ta chỉ cần lưu ý chiều dài và chiều rộng của
hình chữ nhật là những số dương thì bài toán sẽ đơn giản hơn Như vậy ta chỉ
cần tìm điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm dương là được Từ ví dụ trên nếu thay đổi một chút ta sẽ có bài tốn hóc búa hơn, như ví dụ 13 dưới
đầy:
5 Bài tập tổng hợp
Đó là vận dụng nhiều kiến thức hình học một lúc như các định nghĩa, các dấu hiệu, diện tích, định lý Pitago như một số bài tập sau:
Ví dụ 13: Cho phương trình : x?- 2(m-1)x +2m-7 =0 Tìm m để hai nghiệm
của phương trình là các kích thước của một hình chữ nhật có độ dài đường
chéo là v34
Lời giải:
Tương tự lời giải như trên, để hai nghiệm là các kích thước của hình chữ nhật thì m > 3,5
Để hai nghiệm này là các kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo là
V34
thì Xi + xX) = 34
eS (xi + x¿ }- 2xix: =34
© [2(m-1)P - 2(2m-7) =34
= mˆ- 3m—4 = 0
giải phương trình ta có: m; = -1 hoặc mạ =4
Đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m=4 thỏa mãn điều kiện
Vậy với m = 4 thì hai nghiệm của phương trình là các kích thước của hình
chữ nhật có độ dài đường chéo là x34
Trang 14Ở ví dụ này ngồi sử dụng kiến thức như ở ví dụ trên cịn sử dụng đến kiến thức nữa đó là định lý Pitago Ví dụ 14: Cho a > c, b > c, c > 0 Chứng minh rằng: Jc(a—c) + -jc(b—c) Jab C (Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm học 2002 - 2003) Lời giải: va Va vb ve Va-Cc —ÌA te ee Ta có:a-c>0;b-c>0
Dat AC = Va ; BC= Vb ; CH= Ve thi AH= Va-c va BH = Vb-c
Ta 6: 2(S scr + Sac) = 2S asc MA2S asc <Vab Do dé: ve Va-c + Ve Vb-c = Jab
Nên: Jc(a—c) + Je(b-c) Jab (điều phải chứng minh)
Như vậy ở bài toán này ta đã sử dụng định lý Pitago để khẳng định sự tồn tại
của cách dựng hình trên Ngoài ra bài này ta còn sử dụng đến cơng thức tính diện tích của tam giác
Ví dụ 15: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (m-2)x +(m-1)y = 1 (d) (trong đó m là tham số) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O
đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Lời giải yA
Trang 15B O x
+ 2 2 he ` 1 ˆ
Gọi A là giao điểm của (d) với trục tung Ta cho x = 0 thì y= m1 Hên OA =
—
Im-1{'
2 2 z 1
Gọi B là giao điềm của (d) với trục hoành Ta cho y = 0 thi x = ma nên OB =
i
lm —2|
Khoảng cách tlr g6c 0 dén (d) 14 OH Ta có tam giác OAB là tam giác vuông
với đường cao OH nên ta có:
Ôn 11
OH? OA' OB?
Nên tacó OH? 2 Vậy gia tri 16n nhat cua OH la: OH = J2 xảy ra khi m=
1 2
hay — >= (m-1)?+ (m-2)? = 2(m-5)*+ OH?
3
"
Như vậy ở bài này ta phải sử dụng kiến thức hình học là sử dụng hệ thức
trong tam giác vuông III.Kết quả đạt được:
Qua q trình cơng tác giảng dạy có áp dụng “ Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số” tôi đã thực hiện trên đối tượng lớp 9A , cịn lớp 9B thì không áp dụng
Kết quả thu được sau khi áp dụng đề tài này được thể hiện ở bảng sau:
15
Trang 16L 6p T ổng số GIÓI Khá TB 'Yêu- kém SL | % | SL % | SL | % | SL % SAB 72 06 | 8,3 | 18 | 25,0} 48 | 66,7| O 0
PHAN IIL: KET LUAN VA KIEN NGHI
Như vậy khi giải một số bài toán đại số nếu ta biết khai thác và van dụng hợp lý một số kiến thức hình học thì cơng việc giải toán sẽ đơn giản
hơn, mang lại hiệu quả cao hơn Vì vậy trong khi giải toán cần nghiên cứu kỹ bài toán và cần phải kết hợp nhuần nhuyễn giữa hình học và đại số để giải quyết Trong khi dạy học cần lưu ý cho học sinh biết khai thác và vận dụng
các kiến thức hình học để giải các bài tập đại số và ngược lại
Ở đây tôi chỉ mới giới thiệu giải một số bài tập đại số có kết hợp các
kiến thức hình học, tất nhiên còn nhiều dạng toán nữa khi giải cũng cần kết hợp các kiến thức hình học để giải
Đề tài này là nhỮng kinh nghiệm cỦa tôi đúc rút ra trong quá trình giảng dạy, rất mong được sự góp ý của Hội đồng khoa học cấp trên để có thể phát
triển hồn thiện thêm
TÀI LIÊU THAM KHẢO 1 Søk toán 9 tập 2
2 Nâng cao và các chuyên đề đại số 9 ( Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn
Việt Hải, Vũ Dương Thụy)
3 Tuyển tập đề thi môn toán THCS (Vũ Dương Thụy, Lê Thống Nhất, Nguyễn Anh Quân)
4 Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức (Nguyễn Đức Tấn)
Trang 175 Sưu tầm các đề thi trên mạng
6 Nâng cao và phát triển toán 9 (Vũ HỮu Bình)
