Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 59: Một Công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho Công ty là 4,5 triệu đồng/quý và kề từ quý [r]
(1)TOÁN 11 CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II
TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III
DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong
(2)Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn cuốn giải tốn trọng tâm của lớp 11
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao về mơn Tốn đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định
Nội dung gồm phần
Phần Kiến thức cần nắm
Phần Dạng tập có hướng dẫn giải tập đề nghị Phần Phần trắc nghiệm có đáp án
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ cịn có những khiếm
khuyết Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp em học sinh
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899
Email: lsp0207@yahoo.com.vn lsp02071980@gmail.com
Chân thành cảm ơn Tác giả
Lư Sĩ Pháp Gv_Trường THPT Tuy Phong
(3)CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ƠN TẬP CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trang
§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trang
§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trang 11
§3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP Trang 18
ÔN TẬP CHƯƠNG I Trang 27
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 44
ĐÁP ÁN Trang 59
CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT
§1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Trang 60
§2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Trang 66
§3 NHỊ THỨC NIU-TƠN Trang 77
§4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Trang 83
§5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Trang 86
ÔN TẬP CHƯƠNG II Trang 93
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 103
ĐÁP ÁN Trang 116
Chương III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Trang 118
§2 DÃY SỐ Trang 125
§3 CẤP SỐ CỘNG Trang 134
§4 CẤP SỐ NHÂN Trang 141
ÔN TẬP CHƯƠNG III Trang 150
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Trang 155
(4)CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
-0O0 -
ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hằng đẳng thức lượng giác
sin2α+cos2α =1 tan sin ; ,
cos k k
α π
α α π
α
= ≠ + ∈ℤ
cot cos ; ,
sin k k
α
α α π
α
= ≠ ∈ℤ tan cot 1; ,
2
k k
π
α α = α ≠ ∈ℤ
2
1 tan ; ,
2
cos k k
π
α α π
α
+ = ≠ + ∈ℤ
2
1 cot ; ,
sin k k
α α π
α
+ = ≠ ∈ℤ
2 Các công thức lượng giác 2.1 Công thức cộng
cos(α β± )=cos cosα β ∓sin sinα β
sin(α β± )=sin cosα β±cos sinα β
tan( ) tan tan
1 tan tanα β α β
α β
±
± =
∓ , với α β, làm cho biểu thức có nghĩa
2.2 Cơng thức nhân đôi
sin 2α =2sin cosα α
cos2α =cos2α−sin2α =2 cos2α− = −1 2sin2α
2 tan
tan ; ,2 ,
2
1 tan k k
α π
α α α π
α
= ≠ + ∈
− ℤ
2.3 Công thức nhân ba
cos3α =4 cos3α−3cosα sin3α =3sinα−4sin3α
2.4 Công thức hạ bậc
cos2 cos2
2
α
α = + sin2 cos2
2
α α = −
tan2 cos2
1 cos2
α α
α
− =
+ , với α làm cho biểu thức có nghĩa 2.6 Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos cos cos cos
2
α β α β
α+ β = + − cos cos 2sin sin
2
α β α β
α− β = − + −
sin sin 2sin cos
2
α β α β
α + β = + − sin sin cos sin
2
α β α β
α− β = + −
, với α β, làm cho biểu thức có nghĩa 2.7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cos cos cos( ) cos( )
2
α β = α β+ + α β−
sin sin cos( ) cos( )
2
α β = − α β+ − α β−
sin cos sin( ) sin( )
2
α β = α β+ + α β−
(5)2.8 Công thức rút gọn
sin cos sin cos
4
π π
α + α = α+ = α−
sin cos sin cos
4
π π
α − α = α− = − α+
tan cot
sin
α α
α
+ = , với α làm cho biểu thức có nghĩa Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặt biệt
3.1 Hai góc đối ( cung đối) (α làm cho biểu thức có nghĩa)
cos(− =α) cosα sin(− = −α) sinα tan(− = −α) tanα cot(− = −α) cotα
3.2 Hai góc bù nhau( cung bù)(α làm cho biểu thức có nghĩa)
sin(π α− ) sin= α cos(π α− )= −cosα
tan(π α− )= −tanα cot(π α− )= −cotα
3.3 Hai góc phụ ( cung phụ)(α làm cho biểu thức có nghĩa)
sin cos
2
π α α
− =
cos π α2 sinα
− =
tan cot
2
π α α
− =
cot π α2 tanα
− =
3.4 Hai góc π(cung π),(α làm cho biểu thức có nghĩa)
sin(π α+ )= −sinα cos(π α+ )= −cosα
tan(π α+ ) tan= α cot(π α+ ) cot= α
3.5 Hai góc
π
(cung
π
),(α làm cho biểu thức có nghĩa)
sinπ α2+ =cosα
cos π α2 sinα
+ = −
tanπ α2+ = −cotα
cot π α2 tanα
+ = −
3.6 Cung bội (k∈ℤ, α làm cho biểu thức có nghĩa)
sin(α+k2 ) sinπ = α cos(α+k2 ) cosπ = α
tan(α+kπ) tan= α cot(α+kπ) cot= α
4 Bảng giá trị lượng giác góc (cung) đặt biệt α
HSLG
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
0 π6 π4 π3 π2
2 3π
3 4π
5 6π
π sinα
0
1
2 22 23 23 22
1
2
cosα
1 23 22
1
2
1
−
2
−
2
− -
tanα
0 33 || − - − 33
cotα
|| 33 − 33 - − ||
(6)§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NẮM
Hàm số y=sinx Hàm số y=cosx
• Có tập xác định ℝ
• Có tập giá trị −1;1 • Là hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hồn với chu kì T =2π
• Đồng biến khoảng
2 ;
2 k k
π π π π
− + +
nghịch biến
mỗi khoảng ;3 ,
2 k k k
π π π π
+ + ∈
ℤ
• Có đồ thị đường hình sin
• Có tập xác định ℝ • Có tập giá trị −1;1 • Là hàm số chẵn
• Là hàm số tuần hồn với chu kì
T = π
• Đồng biến khoảng
(− +π k2 ; 2π k π) nghịch biến khoảng (k2 ;π π +k2 ,π) k∈ℤ • Có đồ thị đường hình sin
Hàm số y=tanx Hàm số y=cotx
• Có tập xác định 1 \ ,
D = π +kπ k∈
ℝ ℤ
• Có tập giá trị ℝ • Là hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hồn với chu kì π • Đồng biến khoảng
; ;
2 k k k
π π π π
− + + ∈
ℤ
• Có đồ thị nhân đường thẳng ;
2
x= +π kπ k∈ℤ làm đường tiệm cận
• Có tập xác định D2 =ℝ\{kπ,k∈ℤ} • Có tập giá trị ℝ
• Là hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hồn với chu kì π • Nghịch biến khoảng
(kπ π; +kπ);k∈ℤ
• Có đồ thị nhân đường thẳng ;
x=kπ k∈ℤ làm đường tiệm cận B BÀI TẬP
Dạng Tập xác định hàm số
- Hàm số xác định với điều kiện
- Hàm số xác định hai hay nhiều điều kiện - Hàm số y=sin ;x y=cosx có tập xác định ℝ
- Hàm số y=tanxxác định cosx≠0; Hàm số y=cotxxác định sinx≠0
Lưu ý:
1
sin
2
u= ⇔ = +u π k π sin
2
u= − ⇔ = − +u π k π sinu= ⇔ =0 u kπ
cosu= ⇔ =1 u k2π cosu= − ⇔ = +1 u π k2π cos
2
u= ⇔ = +u π kπ
3
tan
4
u= ⇔ = +u π kπ tan
4
u= − ⇔ = − +u π kπ tanu= ⇔ =0 u kπ
cot
4
u= ⇔ = +u π kπ cot
4
u= − ⇔ = − +u π kπ cot
2
u= ⇔ = +u π kπ
- Hàm số y A
(7)- Hàm số y A
= xác định A>0
Bài 1.1 Tìm tập xác định hàm số sau: a) cos
sin
x y
x
+
= b) sin
cos
x y
x
+
= c) cos
1 cos x y x + =
− d) y= sin− x
HDGiải
a) Hàm số xác định sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈ℤ Vậy D=ℝ\{kπ,k∈ℤ} b) Hàm số xác định cos ,
2
x≠ ⇔ ≠ +x π kπ k∈ℤ Vậy \ ,
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
c) Hàm số xác định cos cos
x x
+ ≥
− Vì cos+ x≥0 nên điều kiện cos− x>0 hay cos− x≠ ⇔0 cosx≠ ⇔ ≠1 x k2 ,π k∈ℤ Vậy D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}
d) Vì − ≤1 sinx≤1 nên sin− x≥ ∀ ∈0, x ℝ Vậy D=ℝ
Bài 1.2 Tìm tập xác định hàm số sau:
a) tan
3
y= x−π
b) y cot x
π
= +
c) y tan 2x
π
= +
d) y=tanx+cotx
HDGiải
a) Hàm số xác định cos ,
3
x π x π π kπ x π kπ k
− ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈
ℤ
Vậy \ ,
6
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
b) Hàm số xác định sin ,
6 6
x π x π kπ x π kπ k
+ ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ − + ∈
ℤ
Vậy \ ,
6
D= − +π kπ k∈
ℝ ℤ
c) Hàm số xác định cos ,
3 12
k x π x π π kπ x π π k
+ ≠ ⇔ + ≠ + ⇔ ≠ + ∈
ℤ
Vậy \ ,
12
k
D= π + π k∈
ℝ ℤ
d) Hàm số xác định cos sin , sin
x k
x x k
x π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ ≠ ℤ
Vậy \ ,
2
k
D= π k∈
ℝ ℤ
Bài 1.3 Tìm tập xác định hàm số sau: a) cos
1
x y
x
=
− b) tan3
x
y= c) y = cot2x
d) sin 21
y
x
=
− e) y= cosx+1 f)
2 cos cos3 y x x = −
g) 2 2
sin cos y x x = − h) sin cos x y x − = + i) 3sin cos
x y x − = −
HDGiải
a) Ta có cos
x y
x
=
− xác định ℝkhi
1
1
x
x x
(8)Vậy tập xác định hàm số cos x y x =
− D=ℝ\ 1{ }
b) Hàm số tan
x
y= xác định cos 3 ,
3 2
x x
k x k k
π π π π
≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈ℤ
Vậy tập xác định hàm số \ 3 ,
D= π +k π k∈
ℝ ℤ
c) Tập xác định hàm số \ ,
k
D= π k∈
ℝ ℤ
d) Tập xác định hàm số D=ℝ\ 1;1{ }−
e) Ta có cosx+ ≥ ∀ ∈1 0, x ℝ Vậy tập xác định hàm số D=ℝ f) Ta có cosx−cos3x= −2sin sin( ) 4sinx − =x 2xcosx
Vậy tập xác định hàm số \ ,
k
D= π k∈
ℝ ℤ
g) Ta có sin2 x−cos2 x= −cos2x Vậy tập xác định hàm số \ ,
4
k
D= π + π k∈
ℝ ℤ
h) Ta có sin− x≥0,1 cos+ x≥0 Do hàm số xác định ∀ ∈x ℝ cosx≠ −1 Vậy tập xác định hàm số D=ℝ\{π +k2 ,π k∈ℤ}
i) Ta có 3sinx− <7 0, cosx− <5 nên 3sin 0, cos
x
x
x− > ∀ ∈− ℝ Vậy tập xác định hàm số D=ℝ
Bài 1.4 Tìm tập xác định hàm số sau:
a) y=cos x b) sin
1 x y x + =
− c)
1 cos2 cos
x y x − = +
d) cot
cos x y x = − e) cos tan x y x π − = + −
f) tan cot
1 sin
x x y x + = −
HDGiải
a) Ta có y=cos xxác định ℝ x∈ ⇔ ≥ℝ x Vậy tập xác định hàm số D=[0;+∞)
b) Ta có sin 1 x y x + =
− xác định ℝ
1
0 1
1
x x
x
x x
+ ∈ ⇔ + ≥ ⇔ − ≤ <
− ℝ −
Vậy tập xác định hàm số D= −[ 1;1)
c) Ta có cos2− x≥0,1 cos 2+ x≥ ∀ ∈0, x ℝ Vậy tập xác định hàm số D=ℝ d) Hàm số cot
cos
x y
x
=
− xác định
sin
;
cos
x x k
x k k
x x k
π π π ≠ ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ≠ ∈ ≠ ≠ ℤ
Vậy tập xác định hàm số D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}
e) Hàm số cos
1 tan x y x π − = + − xác định cos 6 ; tan 12
x x k
k x k x π π π π π π − ≠ ≠ + ⇔ ⇔ ∈ − ≠ ≠ + ℤ
Vậy tập xác định hàm số \ ;
6 12
D= π +kπ∪π +kπ k∈
(9)f) Hàm số tan cot sin
x x y
x
+ =
− xác định
cos
2
sin ;
sin
4
k
x x
x k
x k x
π π π
≠ ≠
⇔ ≠ ⇔ ∈
≠ ≠ +
ℤ
Vậy tập xác định hàm số \ ;
2
k
D= π∪π +kπ k∈
ℝ ℤ
Dạng Xét tính chẵn, lẻ hàm số
Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ hàm số y= f x( )
Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D tập đối xứng hay không, tức ∀x x, ∈D⇒− ∈x D (1) Tính f( )−x so sánh f( )−x với f x( ):
Nếu f( )− =x f x( ) f x( ) hàm số chẵn (2) Nếu f( )− = −x f x( ) f x( ) hàm số lẻ (3)
Do
Nếu điều kiện (1) không nghiệm f x( ) hàm số khơng chẵn, không lẻ D
Nếu điều kiện (2) (3) khơng nghiệm f x( ) hàm số không chẵn, không lẻ D Để kết luận f x( ) hàm số không chẵn, khơng lẻ D, ta cần tìm điểm x0
chof(−x0)≠ f x( )0 f(−x0)≠ −f x( )0
Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối HSLG
Bài 1.5 Xác định tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y cosx
x
= b) y = x – sinx c) y= cos− x
d) cos sin 2
y= + x π − x
e) y = sinx.cos
2
x + tanx f) y = sinx – cosx
g) y=sin3x−tanx h) tan cot
sin
x x y
x
+ =
HDGiải
a) Hàm số y f x( ) cosx x
= = có tập xác định D=ℝ\ 0{ } Ta có ∀x x, ∈D⇒− ∈x D cos( ) cos
( ) ( )
( )
x x
f x f x
x x
−
− = = − = −
− Vậy hàm số
cos
( ) x
y f x x
= = hàm số lẻ b) Hàm số lẻ
c) Là hàm số chẵn d) Là hàm số chẵn e) Là hàm số lẻ
f) Hàm số y= f x( ) sin= x−cosxcó tập xác định D=ℝ Lấy
6
x=π ta có : 3;
6 2 2
f π = − f −π = − −
Suy f f
π π
≠ −
Vậy hàm số y= f x( ) sin= x−cosx hàm số không chẵn, không lẻ g) Là hàm số lẻ
h) Là hàm số lẻ
Dạng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) có tập xác định D hai số M m
Nếu ∀ ∈x D f x, ( )≤M ∃x0 cho f x( )0 =Mthì M gọi GTLN hàm số y= f x( ) D kí hiệu
D
Max y=M
(10)hiệu
D
Min y=m
Chú ý:
− ≤1 sinx≤ ∀ ∈1, x ℝ sin≤ x≤ ∀ ∈1, x ℝ sin≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ
− ≤1 cosx≤ ∀ ∈1, x ℝ cos≤ 2x≤ ∀ ∈1, x ℝ 0 cos≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ
Bài 1.6 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau
a) y=2 cosx +1 b) y= −3 2sinx c) y= cos( + x)+1 d) 3sin y= x−π −
HDGiải
a) y=2 cosx +1 Điều kiện: cos 0 cos 1,
1 cos
x
x x
x
≥
⇔ ≤ ≤ ∀ ∈
− ≤ ≤
ℝ
Ta có: 0≤ cosx ≤ ⇔ ≤1 cosx≤ ⇔ ≤2 cosx ≤3 hay 1≤ ≤y Vậy: Max y= ⇔3 cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈
ℝ
ℤ
1 cos ,
2
Min y= ⇔ x= ⇔ = +x π kπ k∈
ℝ
ℤ b) y= −3 2sinx Tập xác định: D=ℝ
Ta có: − ≤1 sinx≤ ⇔ ≥ −1 2sinx≥ − ⇔ + ≥ −2 3 2sinx≥ − + ⇔ ≥ −2 2sinx≥1hay 5≥ ≥y
Vậy: sin ,
2
Max y= ⇔ x= − ⇔ = − +x π k π k∈
ℝ
ℤ
1 sin ,
2
Min y= ⇔ x= ⇔ = +x π k π k∈
ℝ
ℤ c) y= cos( + x)+1 Tập xác định: D=ℝ
Ta có: − ≤1 cosx≤ ⇔ ≤ +1 cosx≤ ⇔ ≤2 cos( + x)≤4
( ) ( )
⇔ ≤0 cos+ x ≤ ⇔ ≤2 cos+ x + ≤1 Vậy: Max y= ⇔3 cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈
ℝ
ℤ
1 cos ,
Min y= ⇔ x= − ⇔ = +x π k π k∈
ℝ
ℤ
Bài 1.7 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau
a) cos
3
y= π +x+
b) y cosx cos x π
= + −
c) y= −3 sinx
d) y=cos2x+2 cos 2x e) y= cos sin− 2x x f) sin2 x−cos 2x
HDGiải
a) Hàm số cos
3
y= π +x+
có tập xác định D=ℝ
Ta có: − ≤ π + ≤ ⇔ − ≤ π + ≤ ⇔ − + ≤ π + + ≤ +
1 cos 2 cos cos 3
3 x x x
π
⇔ ≤ + + ≤ ≤ ≤
1 cos 5
3 x hay y
Vậy: Max y=5
ℝ cos x x k2 ,k
π π π
+ = ⇔ = − + ∈
ℤ
1 Min y= −
ℝ
2
cos ,
3 x x k k
π π π
+ = − ⇔ = + ∈
(11)b) Hàm số cos cos
y= x+ x−π
có tập xác định D=ℝ
Ta có cos cos cos cos cos
3 6
x+ x−π= x−π π = x−π
Với x∈ℝ ta ln có: 3 cos 3
6
x π hay y
− ≤ − ≤ − ≤ ≤
Vậy: GTLN y 3, đạt đựơc cos ;
6
x π x π k π k
− = ⇔ = + ∈
ℤ
GTNN y − 3, đạt cos ;
6
x π x π k π k
− = − ⇔ = + ∈
ℤ
c) Hàm số y= −3 sinx có tập xác định D=ℝ
Ta có sin≤ x ≤ ⇔ − ≤ −1 2 sinx ≤ ⇔ ≤ −0 sinx ≤3 hay 1≤ ≤y
Vậy: GTLN y 3, đạt sinx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ GTNN y 1, đạt sin ,
2
x= ± ⇔ = ± +x π kπ k∈ℤ d) Hàm số y=cos2 x+2 cos2x có tập xác định D=ℝ
Ta có cos2 cos2 cos2 cos2 5cos2
2
x x
x+ x= + + x= + Với x∈ℝ ta ln có: 5cos2
2
x
+
− ≤ ≤
Vậy: GTLN y 3, đạt cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ GTNN y -2, đạt cos2 ,
2
x= − ⇔ = +x π kπ k∈ℤ e) Hàm số y= cos sin− 2x x có tập xác định D=ℝ
Ta có cos sin2 1sin 22
x x x
− = −
Vì sin 2≤ x≤1 nên 1sin 22 1sin 22 5
2 x 2 x hay y
− ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ≤ ≤
Vậy: GTLN y 5, đạt sin 22 x= ⇔0 sin 2x= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ GTNN y
2 , đạt
sin sin ,
4
k
x= ⇔ x= ± ⇔ = ± +x π π k∈ℤ f) Hàm số y=2sin2x−cos2x= −1 cos2x có tập xác định D=ℝ
Ta có − ≤ −1 cos2x≤3
Vậy: GTLN y 3, đạt cos2 ,
x= − ⇔ = +x π kπ k∈ℤ GTNN y -1, đạt cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ
Bài 1.8 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau:
a) y= +3 sin cosx x b) y= −4 cos2 x c) cos
y
x
= +
d) 2
5 sin
y
x
=
− e) ( )
2
1 sin
y= − x − f) y=4sin x
(12)a) GTLN y
2, đạt x k ,k π π
= + ∈ℤ
GTNN y
2, đạt x= − +π4 kπ,k∈ℤ b) GTLN y 4, đạt ,
2
x= +π kπ k∈ℤ
GTNN y 2, đạt x=k2π∨ = +x π k2 ,π k∈ℤ
c) Hàm số
3 cos
y
x
=
+ có tập xác định D=ℝ
Ta có cos cos 1 1
4 cos 2 cos
x x
x x
− ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
+ +
GTLN y 1, đạt x= +π k2 ,π k∈ℤ GTNN y
2, đạt x=k2 ,π k∈ℤ d) GTLN y
4, đạt x= +π2 kπ,k∈ℤ GTNN y
5, đạt đươc x=kπ,k∈ℤ
e) Hàm số y= sin− ( )x2 −1 có tập xác định D=ℝ Với x∈ℝ ta ln có: − ≤1 sin− ( )x2 − ≤1 1− Vậy GTLN y 1− , đạt 2 ,
2
x = − +π k π k≥
GTNN y −1 , đạt 2 ,
x = +π k π k>
f) Hàm số y=4sin x có tập xác định D=0;+∞) Trên D ta có: − ≤4 4sin x ≤4 Vậy: GTLN y 4, đạt ,
2
x = +π k π k≥
GTNN y 4− , đạt ,
x = − +π k π k≥
Bài 1.9 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau:
a) y=sin4 x−cos4 x b) y=sin4x+cos4 x
c) y=sin2x+2sinx+6 d) y=cos4 x+4 cos2 x+5
HDGiải
a) y=sin4 x−cos4 x=(sin2x−cos2x)(sin2x+cos2x)= −cos2x Mặt khác: − ≤1 cos2x≤1
GTLN y 1, đạt ,
x= +π kπ k∈ℤ GTNN y −1, đạt x=kπ,k∈ℤ
b) sin4 cos4 (sin2 cos2 )2 2sin2 cos2 1sin 22
y= x+ x= x+ x − x x= − x Mặt khác 1 1sin 22
2≤ −2 x≤
GTLN y 1, đạt ,
k
(13)GTNN y
2, đạt ,
k
x= +π π k∈ℤ
c) Ta có y=sin2x+2sinx+ =6 (sinx+1)2+5 Mặt khác: 5≤(sinx+1)2+ ≤5
GTLN y 9, đạt ,
x= +π k π k∈ℤ GTNN y 5, đạt ,
2
x= − +π k π k∈ℤ
d) Ta có y=cos4 x+4 cos2x+ =5 (cos2x+2)2 +1 Mặt khác: 5≤(cos2 x+2)2+ ≤1 10
GTLN y 10, đạt x=kπ,k∈ℤ GTNN y 5, đạt ,
2
x= +π kπ k∈ℤ
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.10 Tìm tập xác định hàm số sau
a) tan
1 tan
x y
x
=
+ b)
1 cot
y
x
=
+ c)
3sin 3cos
6 x y
x π + =
− +
d) sin
1 cos x y
x π =
− +
e) cos9 cot cos9
x
y x
x +
= +
+ f)
sin cos
x y
x
=
+ g)
tan
1 sin
x y
x
− =
+ + h)
2 cot 1 sin3
x y
x
− =
− +
Bài 1.11. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhật hàm số sau a) y= cos2+ x−5 b) 4 5cos 3
3 y= + x+π
c) y= −2 2sin 5+ x d)
2
1
cot
y
x
= +
+
e) 3sin
3 y= − x−π
f)
1 8sin
(14)§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Phương trình sinx=m (1)
Nếu m >1: phương trình (1) vơ nghiệm
Nếu m ≤1: Nếu α nghiệm phương trình (1), nghĩa sinα =m
2
sin ;
2
x k
x m k
x k
α π π α π = +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
Nếu số đo α cho độ thì:
0
0
360
sin ;
180 360
x k
x m k
x k
α α = +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
Nhận thấy, một công thức nghiệm của phương trình lượng giác khơng được dùng đồng thời hai
đơn vịđộ radian
Chú ý:
i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện: 2
sin m
π α π α
− ≤ ≤
=
ta viết α =arcsinm
Khi đó: π
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
arcsin
sin ,
arcsin
x m k
x m k
x m k
ii) Các trường hợp đặc biệt
• m= −1 , phương trình sinx= −1 có nghiệm = − +π ,π ∈ℤ
x k k
• m=0 , phương trình sinx=0 có nghiệm x=kπ;k∈ℤ
• m=1 , phương trình sinx=1 có nghiệm ;
x= +π k π k∈ℤ
iii) Tổng quát: π
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
2
sin sin ,
2 u v k
u v k
u v k
2 Phương trình cosx=m (2)
Nếu m >1: phương trình (2) vơ nghiệm
Nếu m ≤1: Nếu α nghiệm phương trình (2), nghĩa cosα =m
α π α π = +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
2
cos ,
2
x k
x m k
x k
Nếu số đo α cho độ thì: α α = +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
0 360
cos ,
360
x k
x m k
x k
Chú ý:
i) Nếu α thoả điều kiện 0≤ ≤α π cosα = m ta viết α = arccosm Khi pt (2) có nghiệm : x= ±arccosm k+ ;π k∈ℤ
ii) Các trường hợp đặc biệt m∈{ }0; 1±
• cos
2
x= ⇔ = +x π kπ ,k∈ℤ
• cosx= − ⇔ = +1 x π k2π,k∈ℤ
(15)iii) Tổng quát: π π = +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
2
cos cos ,
2 u v k
u v k
u v k
3 Phương trình tanx=m(3) Điều kiện: ,
x≠ +π kπ k∈ℤ
• Nếu α nghiệm phương trình (3), nghĩa làtanα =m tanx= ⇔ = +m x α kπ;k∈ℤ
• Nếu số đo α cho độ tanx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ
• Nếu α thảo mãn điều kiện
2
π α π
− < < tanα =m ta viết α = arctanm Lúc nghiệm phương trình (3) là:x=arctanm k+ π,k∈ℤ
• Các trường hợp đặc biệt biệt m∈{ }0; 1±
tanx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ
tan
4
x= − ⇔ = − +x π kπ,k∈ℤ
tan
4
x= ⇔ = +x π kπ,k∈ℤ
• Tổng qt : tanu=tanv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ Phương trình cotx=m (4) Điều kiện: x≠kπ,k∈ℤ
• Nếu α nghiệm phương trình (4), nghĩa làcotα =m cotx= ⇔ = +m x α kπ,k∈ℤ • Nếu số đo α cho độ cotx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ
• Nếu α thảo mãn điều kiện 0< <α π cotα =m ta viết α =arccotm Lúc nghiệm phương trình (4) là:x=arccotm k+ π,k∈ℤ
• Tổng qt : cotu=cotv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ
Chú ý: Kể từđây, ta qui ước rằng nếu một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có chứa k mà khơng giải thích thêm ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ
Ghi nhớ công thức nghiệm phương trình lượng giác
Với u=u x v( ), =v x( ) u v, làm cho biểu thức có nghĩa, k∈ℤ
1/ sin sin
2 u v k
u v
u v k
π
π π
= +
= ⇔
= − +
2 / cos cos
2 u v k
u v
u v k
π π = +
= ⇔
= − +
3 / tanu=tanv⇔ = +u v kπ / cotu=cotv⇔ = +u v kπ
B BÀI TẬP Dạng Giải phương trình lượng giác
- Các công thức nghiệm bốn phương trình lượng giác - Cung đối cung bù
Bài 2.1 Giải phương trình sau: a) sin
2
x= b) sin
x= − c) sin
3
x= d) sin sin
5
x π π x
− = +
e) sin 100
2
x
+ = −
f)
1 sin
6
x π
+ = −
g)
2
sin
3
x π
− =
h)
1 sin
3
x π
− =
HDGiải
a) Ta có: sin 300 sin
2
π
= = Phương trình cho tương đương với:
2
6
sin sin ,
5
2
x k x k
x k
x k x k
π π π π
π
π π
π π π
= + = +
= ⇔ ⇔ ∈
= − + = +
(16)Vậy phương trình có nghiệm là: ; ,
6
x= +π k π x= π +k π k∈ℤ b) Ta có: − = − π = −π
sin sin
2 3 (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào _ sin(− = −α) sinα ) Phương trình cho tương đương:
π π π π π = − + ⇔ = − ⇔ ∈ = + ℤ
sin sin ,
3 2
3
x k
x k
x k
c) Vì
3< nên có số α để
2
sin arcsin
3
α = ⇒α = Do đó:
2
sin sin sin
3 x k x x x k α π α π α π = + = ⇔ = ⇔ = − + hay arcsin , arcsin x k k x k π π π = + ∈ = − + ℤ d) π π π π π π π π π π π π π − = + + = + − = + ⇔ ⇔ ∈ − = − + + = + ℤ
2 2
5 5
sin sin ,
5 2 2
5 3
x x k x k
x x k
k
x x k x
e) x= −800+k7200 x=4000+k720 ;0 k∈ℤ f)
6
x= − +π kπ ;
x= +π kπ k∈ℤ
g) ;
2
k
x= +π π k∈ℤ
h) ; ,
18 54
k k
x= π + π x= π + π k∈ℤ
Bài 2.2. Giải phương trình sau: a) cos
2
x= b) cos = −1
x c) cos =4
x d) −π = π +
cos cos
6
x x
e) cos 3( 450)
x− = f) −π = −
3
cos
2
x
g) −π = −
3
cos
2
x
h) cos
3 x π − =
HDGiải
a) Ta có: cos
2
π
= Phương trình cho tương đương với:
2
cos cos ,
4 x k x k x k π π π π π = + = ⇔ ∈ = − + ℤ
Vậy phương trình có nghiệm ,
x= ± +π k π k∈ℤ
b) Ta có: cos cos cos2
2 3
π π π π
− = − = − =
(Áp dụng cung bù_ cos(π α− )= −cosα) Phương trình cho tương đương với: cos =cos2π ⇔ = ±2π + ,π ∈ℤ
3
x x k k
c) Vì 4<1
5 nên có số α để α = ⇒α =
4
cos arccos
(17)α π α α π = + = ⇔ = ⇔ = − +
cos cos cos
5
x k
x x
x k hay
π π = + ∈ = − + ℤ arccos ,
arc os
5
x k
k
x c k
d) π π π π π π π π π π π π − = + + = + − = + ⇔ ⇔ ∈ − = − + + = − + ℤ
6 12
cos cos ,
6 3 2
6 24
x x k x k
x x k
x x k x k
e) ( − )= ⇔ ( − )= ⇔ − = + ⇔ = + ∈
− = − + = +
ℤ
0 0 0
0 0
0 0 0
3 45 30 360 25 120
3
cos 45 cos 45 cos30 ,
2 45 30 360 120
x k x k
x x k
x k x k
f) π π π π π π π π π π π π π − = + = + − = − ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ − = − + = − + ℤ
3 11
2
3 2 4 3 18 3
cos cos cos ,
2 2 3 2
2 18
x k k x x x k x k k x
g) −π = − ⇔ − = +π π π ⇔ = π + π ∈
ℤ
3
cos ,
2 6
x x
k x k k
h) Vì
2> nên phương trình cho vơ nghiệm
Bài 2.3. Giải phương trình sau: a) tanx= b) tan
3
x= − c) tan tan
4 x x
π
− =
d) ( )
0
tan 15
3
x− = e) tan
2 x=
HDGiải
a) tan tan tan ,
3
x= ⇔ x= π ⇔ = +x π kπ k∈ℤ
b) tan tan tan ,
3 6
x= − ⇔ x= −π ⇔ = − +x π kπ k∈
ℤ
c) tan tan 2 ,
4 12
k
x x x x k x k
π π π π π
− = ⇔ − = + ⇔ = − ∈
ℤ
d) tan( 150) tan( 150) tan 300 150 300 1800 450 180 ,0
x− = ⇔ x− = ⇔ −x = +k ⇔ =x +k k∈ℤ
e) tan 2 arctan1 1arctan1 ,
2 2 2
k
x= ⇔ x= +kπ ⇔ =x + π k∈ℤ
Bài 2.4. Giải phương trình sau: a) cot
3
x= b) cotx= − c) cot cot
4 x x
π
− =
d) ( )
0
cot x−15 = e) cot 3 x=
HDGiải
a) cot cot cot ,
3 3
x= ⇔ x= π ⇔ = +x π kπ k∈ℤ
b) cot cot cot ,
6
x= − ⇔ x= −π⇔ = − +x π kπ k∈
ℤ
c) cot cot 2 ,
4 12
k
x x x x k x k
π π π π π
− = ⇔ − = + ⇔ = − ∈
ℤ
(18)Bài 2.5 Giải phương trình sau:
a) sin3
cos3
x
x− = b)
2 cot tan
5
x= π c) (sinx+1 cos2)( x− 2)=0
d) tan 12
12π x
+ = −
e)
2
sin cos3
3
x π x
+ =
f) ( )
0
tan 45 tan 180
2
x x+ − =
HDGiải
a)Điều kiện : cos3x≠1 Ta có sin 3x= ⇔0 3x=kπ
Do điều kiện, giá trị k=2 ,m m∈ℤbị loại, nên (2 1) (2 1) ,
x= m+ π ⇔ =x m+ π m∈ℤ Vậy nghiệm phương trình (2 1) ,
3
x= m+ π m∈ℤ b) Nghiệm phương trình là: ,
30
x= π +kπ k∈ℤ c) Nghiệm phương trình là:
2
x= − +π k π ,
x= ± +π kπ k∈ℤ d) Nghiệm phương trình là: ,
144 12
k
x= − π + π k∈ℤ
e) sin cos3 cos3 cos
3
x π x x x π
+ = ⇔ − + =
Vậy nghiệm phương trình:
; ,
24 12
k
x= − π + π x= π +kπ k∈ℤ
f) Với ĐKXĐ phương trình, ta có tan 2( x+450)=cot 45( 0−x) tan 1800 tan
2
x x
− = −
nên
( ) ( )
+ − = ⇔ − − =
0 0
tan 45 tan 180 cot 45 tan
2
x x
x x
( )
⇔ − = − ⇔ = + ∈
ℤ
0 0
tan tan 45 30 120 ,
2
x
x x k k
Dạng Tìm nghiệm phương trình khoảng, đoạn
- Giải phương trình tìm nghiệm thỏa khoảng đề cho
Bài 2.6 Giải phương trình sau khoảng cho: a) sin
2
x= − với 0< <x π b) cos( 5)
2
x− = với − < <π x π c) tan 2( x−150)=1 với −1800 < <x 900 d) cot
3
x= − với
2 x
π − < <
HDGiải
a)
2
1 6 12
sin ,
2 7
2
6 12
x k x k
x k
x k x k
π π π π
π π π π
= − + = − +
= − ⇔ ⇔ ∈
= + = +
ℤ
Xét điều kiện 0< <x π, ta có
• 1 1
12π kπ π 12 k 12 k
< − + < ⇔ < < + ⇒ = ( Do k∈ℤ) Vì : 11 12
x= π
•
12 k k
π π π
< + < ⇒ = Vì vậy: 12
(19)Vậy: 11 12
x= π 12
x= π
b)
5
3 6 6
cos( 5) ,
2
5
6
x k x k
x k
x k x k
π π π π π π π π − = + = + + − = ⇔ ⇔ ∈ − = − + = − + + ℤ
Xét điều kiện − < <π x π, ta có:
•
6 k k
π
π π π
− < + + < ⇒ = − Do vậy, có 11
x= − π
•
6 k k
π
π π π
− < − + + < ⇒ = − Do vậy, có 13
x= − π
Vậy: 11
6
x= − π 13
x= − π
c) tan 2( x−150)= ⇔1 2x=150+450+k1800 ⇔ =x 300+k90 ,0 k∈ℤ Xét điều kiện −1800 < <x 900, ta có
• 1800 300 900 900 2 1 { 2, 1,0}
3
k k k
− < + < ⇔ − < + < ⇔ ∈ − −
Vậy nghiệm phương trình là: x= −150 ,0 x= −600 x=300
d) cot ,
9
3
k
x= − ⇔ = − +x π π k∈ℤ Xét điều kiện
2 x
π
− < < , ta có:
• { }1;0
2
k
k
π π π
− < − + < ⇔ ∈ −
Vậy nghiệm phương trình là:
x= − π
9
x= −π
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.7 Giải phương trình sau:
1 ( 0)
sin 30
2
x− = − sin
6 x π
+ = −
2
sin
3
x π
− =
4 sin 3
x= sin sin
4
x π π x
− = −
3 sin x π − = −
7 ( )
cos 60
2
x
− = − cos 100
2
x
+ = −
2
cos
3 x π − =
10 cos 2( 5)
x− = 11 cos cos
4
x 3π x π
− = +
12 cos 4( x+1250)= −1 13 tan 2( x+600)= −
14 cot
9
x π
− = −
15 ( )
0
cos 135
x− =
16 cot 2
3 x π − = −
17 sin(9o−9 )x =0
18 sin
3 x π − = −
Bài 2.8. Giải phương trình sau: sin
2
x= với 0≤ ≤x 2π cos
x= với 0≤ ≤x 2π cos
3
x π
+ =
với x
π π
(20)4 cos 3
π
− + + = x
với
2 x
π π
− ≤ ≤
5 cos 45( − +x) =0
với 0
180 ;340
x∈
6 sin
2
x π
+ =
với − ≤ ≤π x π
7 3cos 0, 37 ;30
4 x x
π π
+ − = ∈
8 sin 5x+ 3=0 với
( 90 ;180 ]
x∈ − ° °
9 sin
6 x π
+ + =
đoạn
[−2 ;π π]
Bài 2.9. Giải phương trình sau:
1 sin 3x−cos5x=0 tan3 tanx x=1
3 cos3
sin3
x x− =
4 sin3x+sin 5x=0 cot cot 3x x=1
6 sin tan
4
x x−π =
7 cot tan
9 x= − π + x
(21)§3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
Phương trình Cách giải
1 Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác, f x( ) biểu thức lượng giác
Đặt ẩn phụ t= f x( ) đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn phụ từđó suy ngược lại nghiệm x
Khi đặt t = sinx hay t = cosx, điều kiện t ≤1
Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác định tanx cotx
2 Phương trình bậc sinx cosx có dạng: asinx b+ cosx=c a,( 2+b2 ≠0) ( )
Thực bước sau: B1: Kiểm tra
• Nếu a2+b2 <c2 phương trình (2) vơ nghiệm
• Nếu a2+b2 ≥c2, ta thực tiếp B2 B2 Chia hai vế phương trình (2) cho a2+b2 Từ áp dụng cơng thức cộng đưa phương trình (2) phương trình lượng giác dạng:
sinu=sinv hay cosu=cosv
B BÀI TẬP
Dạng Giải phương trình bậc hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at+ =b 0,a≠0
- Một số phương trình biến đổi đưa phương trình bậc
- Từ phương trình cho đưa phương trình lượng giác giải
Bài 3.1. Giải phương trình sau:
a) cos 3( x−600)+ =1 b) −π+ =
2sin
6
x
c) + + =
0
3 tan 20
4
x
d) −π + =
3 cot
3
x
HDGiải
a) cos 3( −600)+ = ⇔1 cos 3( −600)= − ⇔1 cos 3( −600)=cos1200
x x x
0 0 0
0 0 0
3 60 120 360 90 120
,
3 60 120 360 20 120
x k x k
k
x k x k
− = + = +
⇔ ⇔ ∈
− = − + = +
ℤ
b) −π + = ⇔ −π = − ⇔ −π = −π
3
2sin sin sin sin
6 6
x x x
2
6 12
,
2
6
x k x k
k
x k x k
π π π π π
π π π π π π
− = − + = − +
⇔ ⇔ ∈
− = + + = +
ℤ
c) + + = ⇔ + = −
0
3 tan 20 tan 20
4 3
x x ( )
⇔ + = −
0
tan 20 tan 30
4
(22)⇔ +200 = −300+ 1800 ⇔ = −2000 + 720 ,0 ∈ℤ
x
k x k k
d) −π + = ⇔ −π = − ⇔ −π = −π
3 cot cot cot cot
3 3
x x x
π π π π π
⇔ − = − + ⇔ = + , ∈ℤ
3 6
x k x k k
Bài 3.2 Giải phương trình sau:
a) tan 2x+ =3 b) cos(x+300)+2 cos 152 =1
c) cosx− 0= d) 8cos2 sin cos 4x x x=
HDGiải
a) tan tan tan tan
3
k x+ = ⇔ x= − ⇔ x= −π⇔ = − +x π π
(lưu ý ĐK: cos2x≠0) Vậy, nghiệm phương trình là: ,
6
k
x= − +π π k∈ℤ
b) cos(x+300)+2 cos 152 = ⇔1 cos(x+300)= −1 cos 152 ⇔cos(x+300)= −cos300
( 0) 0
0
120 360
cos 30 cos150 ;
180 360
x k
x k
x k
= +
⇔ + = ⇔ ∈
= − +
ℤ
Vậy, nghiệm phương trình là:x=1200+k3600 x= −1800+k3600,k∈ℤ
c) cos cos
2
x− = ⇔ x= ⇔ = ± +x π k π
d) 8cos2 sin cos sin8 32 ,
2
32
k x
x x x x k
k x
π π π π
= +
= ⇔ = ⇔ ∈
= +
ℤ
Vậy, nghiệm phương trình
32
k
x= π + π
32
k
x= π + π , k∈ℤ
Bài 3.3 Giải phương trình sau:
a) cos2x – sinx – = 0 b) cosx.cos2x = + sin2x.sinx c) 4sin cos cos2x x x= −1 d) tanx = 3cotx
HDGiải
a) cos2x−sinx− = ⇔ −1 2sin2x−sinx− =1 π
π π π π
=
=
⇔ + = ⇔ ⇔ = − + ∈
=
= +
ℤ
sin
sin (2sin 1) 1 ,
6 sin
2 7
2
x k x
x x x k k
x
x k
Vậy, phương trình có nghiệm x=kπ,
x= − +π k π
x= π +k π với k∈ℤ b) cos cos2x x= +1 sin sin 2x x⇔cos cos2x x−sin sin 2x x=1
2
cos3 ,
3
k x x π k
⇔ = ⇔ = ∈ℤ Vậy, phương trình có nghiệm ,
k
x= π k∈ℤ
c) 4sin cos cos2 sin ,
8
k
(23)d) tanx=3cotx Điều kiện sin ≠ ⇔ ≠0 π , ∈ℤ
k
x x k
Ta có tan tan2 tan ,
tan
x x x x k k
x
π π
= ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈ℤ
So với điều kiện, phương trình có nghiệm ,
x= ± +π kπ k∈ℤ
Dạng Giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác
- Phương trình dạng
0,
at + + =bt c a≠
- Một số phương trình biến đổi đưa phương trình bậc hai
- Từ phương trình cho đưa phương trình lượng giác giải - Lưu ý điều kiện tốn (nếu có)
Bài 3.4 Giải phương trình sau:
a) 2sin2x+5sinx− =3 b) cot 32 x−cot 3x− =2 c) cos2 x−2 1( )+ cosx+ 0= d) 5tanx−2 cotx− =3
HDGiải
a)Đặt sinx = t ( với t ≤1(*)), ta phương trình 2 1 1, 2
t + − = ⇔ =t t t = − (không thỏa (*))
Với:
π π π π
= +
= ⇒ = ⇔ ∈
= +
ℤ
1 sin 6 ,
2 2
6
x k
t x k
x k
Vậy, phương trình cho có nghiệm là:
x= +π k π
x= π +k π ,k∈ℤ
b)Điều kiện: sin 3x≠0(*) Đặt t = cot3x, ta phương trình t2− − = ⇔ = −t t 1,t=2
Với = −1⇒cot = − ⇔ = +1 π π, ∈ℤ
4
k
t x x k
Với =2⇒cot = ⇔ =2 cot 2+ π , ∈ℤ
3
k
t x x arc k ,k∈ℤ So với (*),vậy phương trình cho cáo nghiệm
4
k
x= +π π cot
3
k
x= arc + π ,k∈ℤ c)Đặt t = cosx, ( với t ≤1), ta phương trình 2 1( )2 1 1, 2
2
t − + t+ = ⇔ =t t =
Do đó: ( )
1
cos
2
4 cos 2 cos
2 2
cos
4
x x k
x x
x k
x
π π π π
= = ± +
− + + = ⇔ ⇔
= ± +
=
,k∈ℤ
Vậy, phương trình cho có nghiệm
x= ± +π k π
x= ± +π k π ,k∈ℤ d)Điều kiện sin 2x≠0, ta có tanx≠0
2
5tan cot 5tan 5tan 3tan
tan
x x x x x
x
(24)tan
4
2 2
tan arctan
5 5
x k x
x x k
π π
π
= +
=
⇔ ⇔
= − = − +
,k∈ℤ
So với ĐK, phương trình cho có nghiệm
x= +π kπ arctan
x= − +kπ
, k∈ℤ
Bài 3.5 Giải phương trình sau:
a) cos2 x−3cosx+ =1 b) cos2x+sinx+ =1
c) tan2x− +( )1 tanx+ =1 d)cos 4( x+600)−5cos 2( x+300)+ =4
HDGiải
a) Phương trình cho có nghiệm x=k2π
x= ± +π k π , k∈ℤ b) Phương trình cho có nghiệm
2
x= − +π k π , k∈ℤ c) Phương trình cho có nghiệm
4
x= +π kπ
x= +π kπ, k∈ℤ
d) cos 4( x+600)−5cos 2( x+300)+ = ⇔4 cos 22( x+300)−5cos 2( x+300)+ =3
( )
( )
0
0 0
0
cos 30
2 30 360 15 180
3 cos 30
2
x
x k x k
x
+ =
⇔ ⇔ + = ⇔ = − +
+ =
, k∈ℤ
Dạng Phương trình bậc sin cos - Phương trình có dạng asinx b+ cosx=c a,( 2+b2 ≠0)
- B1: Kiểm tra
• Nếu a2+b2 <c2 phương trình vơ nghiệm • Nếu a2+b2 ≥c2, ta thực tiếp B2
- B2 Chia hai vế phương trình cho a2+b2 Từ áp dụng cơng thức cộng đưa phương trình phương trình lượng giác dạng: sinu=sinv hay cosu=cosv
Bài 3.6 Giải phương trình sau:
a) sinx−cosx=1 b) 2sin3x+ cos3x= −3 c) 3cosx+4sinx= −5
d) 5sin 2x−6 cos2 x=13 e) 2sin 2x−2 cos2x= f) sin sin2
x+ x=
HDGiải
a) sin cos 2sin sin
6 2
x k
x x x x
x k
π π
π π
π π
= +
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔
= + , k∈ℤ
b) 2sin3 cos3 3 2sin3 5cos3 3 sin sin3( cos cos3 )
3
x x x x α x α x
+ = − ⇔ + = − ⇔ + = −
Trong
đó sin 2;cos
3
α = α = Dó đó: cos 3( )
3
k
x−α = − ⇔ =x α π+ + π , k∈ℤ c) x= + +π α k2π ,k∈ℤ α số thoả mãn cos
5
(25)e) 24
x= π +kπ 13 24
x= π +kπ, k∈ℤ f) sin sin2 2sin cos2
2
x+ x= ⇔ x− x= , với cos2x≠0, ta có tan 1arctan1
2 2
x= ⇔ =x +kπ ,
k∈ℤ
Bài 3.7 Giải phương trình sau:
a) sinx= sin 5x−cosx b) 1
sin 2x+cos2x =sin 4x
c) sin 5x+ cos5x=2sin 7x d) cos5x−2 cos3x+sin 5x=0
HDGiải
)sin sin cos sin cos sin
16
sin sin ;
4
8
a x x x x x x
k x
x x k
k x
π π π
π π
= − ⇔ + =
= +
⇔ + = ⇔ ∈
= +
ℤ
b)ĐKXĐ: sin 4x≠0,
ta có: 1 sin cos2
sin cos2 sin
4
x k
x x
x x x x k
π π π =
+ = ⇔ + = ⇔
= +
, k∈ℤ
Cả hai nghiệm không thoả điều kiện tốn Vậy, phương trình cho vơ nghiệm
c) sin cos5 2sin sin sin 16 ;
3
18
x k
x x x x x k
k x
π π π
π π
= +
+ = ⇔ + = ⇔ ∈
= +
ℤ
) cos5 cos3 sin cos5 sin cos3 12
cos cos3 ,
6
48
d x x x x x x
x k
x x k
k x
π π π
π π
− + = ⇔ + =
= +
⇔ − = ⇔ ∈
= +
ℤ
Bài 3.8 Giải phương trình sau:
a) 4sinx−3cosx=5 b) 3cos sin
x+ x=
c) 3sin 2x+2 cos2x=3 d) 2sin 2x+3cos2x= 13 sin14x
HDGiải
a)
2
x= + +α π k π , k∈ℤvới α thoả mãn sin 3;cos
5
α = α = b) x= ± +α β k2π,k∈ℤ cos ,sin
21 21
α = α = cos 21
β =
c) ,
2
x= − +π α kπ x= +π kπ, k∈ℤ cos ,sin
13 13
α = α =
d) ,
12 16
k k
x= α + π x=π α− + π ,k∈ℤ cos ,sin
13 13
α = α =
Bài 3.9 Giải phương trình sau:
a) sin sin 5x x=sin3 sin 4x x b) cos sin 5x x=cos2 cos4x x
(26)HDGiải
a) sin sin =sin3 sin ⇔ 1(cos3 −cos ) (=1 cos −cos7 )
2
x x x x x x x x
cos3 cos ,
2
x k
k
x x k x k
x
π π
π =
⇔ = ⇔ ⇔ = ∈
=
ℤ
b) cos sin cos2 cos4 cos cos2
3
x k
k
x x x x x x k x
x
π π
π =
= ⇔ = ⇔ ⇔ =
=
, k∈ℤ
c) Phương trình cho có nghiệm
2
k x= π
14
k
x= π + π , k∈ℤ ) sin sin sin 2sin3 cos 2sin3 cos3
3
sin3 3
sin3 (cos cos3 ) ,
cos cos3
2
d x x x x x x x
k
x k
x x
x x x x k k
x x k
x k
x
π
π π
π π
+ = ⇔ =
=
=
=
⇔ − = ⇔ ⇔ = ⇔ ∈
=
=
=
ℤ
Bài 3.10 Giải phương trình sau:
a) sin sin 7x x=sin sin 5x x b) sin cos3x x=sin cos7x x
c)cos cos3x x−sin sin 6x x−sin sin 6x x=0 d)sin sin sin sin3x + x x−sin sinx x=0
HDGiải
a) sin sin sin sin 1(cos6 cos8 ) (1 cos2 cos8 ) cos6 cos2
2
x x= x x⇔ x− x = x− x ⇔ x= x
Vậy, nghiệm phương trình cho
k
x= π , k∈ℤ
b) sin cos3 sin cos7 1(sin sin ) (1 sin16 sin ) sin sin16
2
x x= x x⇔ x+ x = x+ x ⇔ x= x
Vậy, nghiệm phương trình cho
k x= π
24 12
k
x= π + π , k∈ℤ c) cos cos3x x−sin sin 6x x−sin sin 6x x=0
( )
⇔1 cos4 +cos2 −cos +cos8 −cos2 +cos10 =0
2 x x x x x x
Vậy, nghiệm phương trình cho
x= +π kπ
18
k
x= π + π , k∈ℤ d)sin sin sin sin3x + x x−sin sinx x=0
( )
⇔sin sin 5+1 cos −cos7 +cos3 −cos =0
x x x x x
sin sin 5x x sin sin 2x x sin (sin 4x x sin ) 0x
⇔ + = ⇔ + =
Vậy, phương trình cho có nghiệm ,
2
k k
x= π x= π
x= ± +π k π, k∈ℤ
Bài 3.11 Giải phương trình sau: a) sin2 sin 22 sin 32
2
x+ x+ x= b) sin 32 x+sin 42 x=sin 52 x+sin 62 x c) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2 d) cos 32 cos 42 cos 52
2
(27)e) 8cos4 x= +1 cos 4x f) 3cos 22 x−3sin2x+cos2x=0
HDGiải
a) Ta có sin2 sin 22 sin 32 1(cos2 cos cos6 ) 2
x+ x+ x= − x+ x+ x Do phương trình cho tương
đương với cos2x+cos4x+cos6x= ⇔0 cos4x+2 cos4 cos2x x= ⇔0 cos (1 cos2) 0x + =
Vậy, phương trình cho có nghiệm
8
k x= +π π
3
x= ± +π kπ , k∈ℤ b) Dùng công thức hạ bậc, rút gọn ta được:
cos6x+cos8x=cos10x+cos12x⇔2 cos cosx x=2 cos11 cosx x
Vậy, phương trình cho có nghiệm ,
2
k k
x= π x= π , k∈ℤ c) Phương trình cho có nghiệm ,
2
k x= +π kπ x= +π π
10
k
x= π + π , k∈ℤ d) Phương trình cho có nghiệm
16
k x= π + π
3
x= ± +π kπ , k∈ℤ
e) Sử dụng công thức cos2x= +1 cos2x cos 4+ x=2 cos 22 x để biến đổi đưa phương trình bậc hai đối cos2x Vậy, phương trình cho có nghiệm
3
x= ± +π kπ , k∈ℤ f) Phương trình cho có nghiệm
2
x= +π kπ x= ± +α kπ ,k∈ℤ, cos2 α =
Bài 3.12 Giải phương trình sau:
a) sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x=0 b) cos tan 3x x=sin 5x
c) sin sin2 12
sin sin
x x
x x
− = − d) 8sin
cosx+sinx = x
HDGiải
a) Ta có: sin 2− x=(sinx−cos ) ;2 cos2x x=2 cos( 2x−sin2 x)= −2(sinx−cos )(sinx x+cos )x
1 sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x= ⇔0 (sinx−cos )(1 sinx − x−3cos ) 0x =
sin cos 3cos sin
x x
x x
=
⇔
+ =
Vậy, phương trình cho có nghiệm
4
x= +π kπ arccos 10
x= ±α +k π, k∈ℤ
Trong cos ,sin
10 10
α = α = b)Điều kiện cos3x≠0
( ) ( )
cos tan3 sin cos sin3 cos3 sin
1 sin 4 sin 2 sin8 sin 2 sin8 sin 4 2
2
12
x x x x x x x
k x
x x x x x x
k x
π π π
= ⇔ =
=
⇔ + = + ⇔ = ⇔
= +
,k∈ℤ
So với điều kiện, nghịêm phương trình cho:
2
k x= π
12
k
x= π + π , k∈ℤ c)Điều kiện sinx≠0
( )
2
2
1 1
sin sin sin sin
sin sin sin sin
x x x x
x x x x
− = − ⇔ − + − =
(28)2 sin
sin (1 sin )
sin
x
x x
x
−
⇔ − + = (1 sin ) sin( 1) 0 sin 2
2 sin
x
x x x k
x
π π
=
⇔ − + = ⇔ ⇔ = ± +
= −
, k∈ℤ
So với điều kiện, nghiệm phương trình cho: 2
x= ± +π k π, k∈ℤ d)Điều kiện sin 2x≠0
−
+ = ⇔ + = ⇔ + =
3 8sin 3 sin cos 8sin cos 3 sin cos 8.1 cos2 cos
cos sin
x
x x x x x x x x
x x
⇔ sinx+cosx=4 cosx−4 cos2 cosx x⇔ sinx−3cosx= −2(cosx+cos3 )x
π
⇔ − = ⇔ = − ⇔ = +
1
cos sin cos3 cos3 cos sin cos3 cos
2
x x x x x x x x
6 ; 12 x k k k x π π π π = + ⇔ ∈ = − +
ℤ ( thoảđiều kiện sin 2x≠0)
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 3.13 Giải phương trình sau
1 cot 2x+ =3 2 π + + =
tan 12
12 x 2sin3x+ sin 6x=0
4 sin 3( x−1200)+ 3=0
5 cos
2 x π + − =
6 tan 3( x−450)+ =1
Bài 3.14. Giải phương trình sau
1 cos2x−3cosx= −1 sin 42 x+3sin 4x− =1 3. ( )
6sin 2x− +8 3 sin2x+4 0= 2cos 22 cos
3
x π x π
− − − − =
2
2sin 3sin
4
x π x π
− − − + =
6 cos 42 x−7 cos 4x− =4 sin 42 x+9 sin 4x− =5
8
tan 4tan
3
x π x π
+ − + + =
( )
2
3 tan x− +1 tanx+ =1 10 4cos2x−2 1( )+ cosx+ 0= 11 sin2x+7 sinx− =4 12 3cos 22 x−7 cos 2x+ =4
Bài 3.15. Giải phương trình sau
1 cos2x+ sinx− =1 cosx= sin 7x−sinx 3 cos5x+sin 5x=2 cos3x 2sin(x+100)− 12cos(x+100)=3 3cos8 2sin4 cos4x− x x=−sin2x−cos2x
6 3sin cos
2
x− x= −
7 cos3x+3 sin 2x=8cosx
8 3 sin 3cos
2 x x − =
9 sin 7x−cos 7x= − 10 cos 5x−sin 5x=
11 3sin 3cos
3 x x
π π
− − − =
12 6cos 3x 2sin 3x
π π
− + − =−
13 sin 2x−cos 2x= 14 sin 2x− cos 2x= 15 sin 4x−cos 4x= −
Bài 3.16. Giải phương trình sau
3
sin cos 3sin cos 4sin 2sin
x x x x x
x
+ − − =
−
2 ( ) ( )
2
1 sin cos cos sin 1 2sin cos
+ + +
= +
x x x x
x x
(29)4 (2 cos sin 4) sin cos sin
x x
x
x x
−
=
−
2
1
sin4 cos
2 x+ x=
cos (cos sin ) cos cos
x x x
x x
+ − =
− sin 2x+2 cosx=0
8
2
sin2 4sin 2sin (1 cos ) 2cos
x x x x
x
+ + − =
−
9 5sin8x−2sin sin3x x−2sin2x+ =1
10
3 cos3 2sin2 cos 8sin2 cos sin
2
sin
x
x x x x x
x
+ − − +
= 11
2 2
cos 6sin cos
2 0 cos3
x x x
x
+ − −
= +
12
2
4sin6x−8sin5 cosx x−2cos x+ =1
13 2 2
cos 3x+cos 5x=sin 4x+sin 6x
14 (cos sin )(1 sin2 ) cos sin tan
x x x x x
x
− + − − =
+ 15
(sin cos )(1 sin2 ) cos sin cot
x x x x x
x
− + + + =
(30)ÔN TẬP CHƯƠNG I
Phần I Áp dụng công thức lượng giác
Thực tính, rút gọn, chứng minh
Bài Nội dung Bài Nội dung
1 Tính giá trị lượng giác góc α , biết: a) sin
5
α = −
2
π π α< < b) cosα =0,8
2π α π< < c) tan 13
8
α =
2
π α
< < d) cot 19
7
α = −
π α π< <
2 Tính giá trị lượng giác góc α , biết:
a) cos
4
α = −
2
π π α< < b) sin
3
α =
π α π< < c) tan
3
α =
2
π α
< < d) cot 14
9
α = −
2π α π< < Tính giá trị biểu thức sau:
a) cos2 2sin 1tan( 15 ) 2cos60
A= α+ α+ α+ + α biết
0 30 α=
b) B=2sin 600+3cos 300+tan 450 c) C=cot 300+2sin 600−2cos 300 d)
2
2 sin 30 cos 30
D=
−
e) E=3sin90 2cos0 3cos60 10cos1800+ 0− 0+
4 Tính giá trị biểu thức sau:
a) A=sinx+cos tanx x, biết cos
x=
b) (sinx+cosx)(sinx−cosx), biết tanx=2
c) cot
cot tan
x C
x x
=
− , biết
0
3
sin ,(0 90 )
5
x= < <x
d) tan
1 tan a D a + =
− , biết
0
3
cos ,(90 180 )
5
a=− < <a
e) 2 2
sin sin cos cos
E
x x x x
=
− + , biết
1 tan
4
x=
5 Rút gọn biểu thức sau: a) A= +(1 sinx)tan2x(1 sin− x)
b) B= −(1 sin2 x)cot2 x+ −1 cot2 x c) C= −1 sin2 x−cos2x
d) D=cos2α+cos2α.cot2α e)
2
1
tan tan
tan tan
E α α
α α = + − − f)
1 cos cos
1 cos cos
F α α
α α
− +
= −
+ −
g) 2
(1 tan )cos (1 cot )sin G= + x x+ + x x h) H =(tanx+cotx) (2− tanx−cotx)2
6 Chứng minh đẳng thức sau: a) sin cos
1 cos sin
a a
a a
− = +
b) sin cos
1 cos sin sin
a a
a a a
+
+ =
+ c)
2 2
2
sin cot sin cot
1 sin tan sin tan
x x x x
x x x x
+ + = + + d)
2 2
2 sin
tan cos sin tan
cos α β α α β β + = + e) 2
1 sin sin
4 tan
1 sin sin
x x x x x + − − = − + f)
2 2
1 tan
sin cos tan
x
x x x
+ =
(31)7 Rút gọn biểu thức sau:
a) A= +(1 cotα)sin3α+ +(1 tanα)cos3α b)
2
2
sin cos
cot a B α α + − = c) 2 2 sin tan cos cot
C α α
α α
− =
−
d) ( )
2
sin cos
cot sin cos
D α α
α α α
+ −
=
−
8
Cho tan
α = , tính giá trị biểu thức sau:
a) sin cos
sin cos
A α α
α α + = − b) 2 2
2 tan 12 sin cos cos sin sin cos cos
B α α α α
α α α α
+ +
=
+ −
c) sin2 cos 2
sin cos
C α α
α α
=
−
Biết sin
α =
π α π< < Tính a) tan 3cot
cos tan
A α α
α α − = + b) 2 cos cot tan cot B a α α α + = − 10
Biết tanα−3 cotα =6
π π α< < Tính a) A=sinα+cosα
b) sin tan cos cot
B α α
α α
− =
+ 11 Cho tanα =3, tính giá trị biểu thức
sau:
a) sin 3cos sin cos
A α α
α α
+ =
− b) 3sin3 cos3
5sin cos
B α α
α α
− =
+
12 Khơng dùng máy tính Hãy tính:
a)
0
4 sin 70 sin10
A= −
b) B=cos140+cos1340+cos1060
c) 0 0
sin18 sin 54
C= −
d) 0 0
sin10 cos10
C= −
13 Chứng minh đẳng thức sau: a) (sinx+cosx)2 = +1 sin cosx x b) (sinx−cosx)2 = −1 sin cosx x c) sin4 x+cos4x= −1 2sin2xcos2 x
d) sin6x+cos6 x= −1 3sin2xcos2 x
e) tan2 x−sin2x=sin2 x.tan2x
f) cot2 x−cos2x=cos2x.cot2x
14 Chứng minh rẳng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a) A=cos4 x+sin2 x.cos2 x+sin2 x
b) B=(sinx+cosx) (2− sinx−cosx)2 c) C=cos6x+sin6 x+3sin2x.cos2 x
d) D=2 cos( 6x+sin6x) (−3 sin4x+cos4x) e) e=2 cos( 4x+sin4x+sin cos2x 2x) (2−sin8x+cos8x) 15 Cho A, B, C ba góc tam giác ABC
Chứng minh rằng:
a) sin cos
2
A+ =B C
b) cos sin
2
A+ =B C
16 Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) sin(A B+ )=sinC
b) cos(A B+ )= −cosC
17 Chứng minh nếu A, B,C ba góc của tam giác thì:
a) sin sin sin cos cos cos
2 2
A B C
A+ B+ C =
b) sin 2A+sin 2B+sin 2C=4 sinAsinBsinC c) cos cos cos 4sin sin sin
2 2
A B C A+ B+ C= +
d) cos2A+cos2B+cos2C= − −1 4cos cos cosA B C
18 Cho A, B, C ba góc của tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) sin cos3 A B C A= − + +
b) cos sin
2 A B C C= + +
c) cosC= −cos(A B+ +2C)
d) tan tan
2
A B+C=
(32)19 Chứng minh A, B,C ba góc tam giác thì:
a) sin2A+sin2B+sin2C= +2 2cos cos cosA B C
b) sin 22 A+sin 22 B+sin 22 C= −2 2cos2 cos2 cos2A B C
c) cos2A+cos2B+cos2C= −1 2cos cos cosA B C
d) cos 22 A+cos 22 B+cos 22 C= +1 2cos2 cos2 cos2A B C
20 Chứng minh A, B,C ba góc tam giác thì:
a) tanA+tanB+tanC =tan tan tanA B C b) tan tan tan tan tan tan
2 2 2
A B B C C A
+ + =
c) cot cotA B+cotBcotC+cotCcotA=1 d) cot cot cot cot cot cot
2 2 2
A+ B+ C= A B C 21 Chứng minh điều kiện cần đủ đề tam
giác ABC cân A sin sin cos
A B C =
22
Cho tan tan cot A
B+ C= Chứng minh tam giác ABC cân
23
Cho sin cos cos sin sin B C A B C + =
+ Chứng minh tam giác ABC vuông
24
Cho sin cos cos
sin cos cos
A B C
B C A
+ =
+ Chứng minh tam giác ABC vuông hoặc cân
Thực tính:
Bài Nội dung Bài Nội dung
1
Biết sin( )
π α+ = − Tính
( ) ( )
cos 2π α− , tan α−7π
sin
2π α
−
2 Cho α góc mà tanα =2 Tính
3 sin sin 3cos P α α α = +
Cho góc ;
2
π α∈ π
mà
sin cos
2 2
α − α =
Tính sin 2α
4
Cho góc ;3
2
π α∈π
mà
9 cos
41
α = − Tính tan π α +
Cho α góc mà sin
α = Tính
(sin 2sin )cos
P= α+ α α
6
Cho góc ;
2
π α∈ π
mà
1 sin
5
α = Tính sin π α +
7 Cho α góc mà
sin cos ;
5
π α+ α = < <α Tính tanα
8 Cho a, b thỏa mãn tan(a b+ =) 3, tan tana b=2. Tính
( sin 2) ( )
cos cos
a P
a b a b
=
+ −
9
Cho
2
π α
< <
sin 2sin
2
π α+ − =α
Tính tan
4 π α +
10 Cho α góc mà cotα =2 Tính
3 cos sin 3cos P α α α = +
11 Cho tanα =3 Tính
3
3 cos sin 3cos
2 cos 5sin
P α α α
α α
+ +
=
−
12
Cho góc α thỏa mãn cos sin
α− α = Tính tan cot
A= α+ α 13
Cho sin cos
x+ x= Tính sin cos sin A= x x− x
14
Biết sin
α = Tính giá trị biểu thức
(1 3cos )(2 3cos )
(33)15 Cho gócα thỏa mãn hệ thức
π α π< < sin
α = Tính tan tan A α α = + 16
Biết sin 2
α = Tính P=sin4α+cos4α
17
Cho
4 x π
< <
x− =y π Tính
(1 tan )(1 tan )
P= − x + y
18
Cho
π α π< < sin
α= Tính P=sin 2α−cos 2α 19
Biết sin( )
π α+ = − Tính
( ) ( )
cos 2π α− , tan α−7π
sin
2π α
−
20 Tính ( )( )
1 3sin cos
P= + x + x , biết
cos
3 x= −
21
Cho tan
α = Tính
2 sin cos A α α +
= 22 Cho cos
5
α = −
π α π< < Tính
(1 tan )cos P= + α π −α
23
Biết cos
α = Tính sin sin cos P= α α+ α
24
Cho sin 2α −6 cosα =0
2
π α
< < Tính
( ) ( )
cos sin 2015 cot 2016
2
A= π α− + π α− − π α+
Phần II Phương trình lượng giác
Bài 1. Giải phương trình sau
a) 2sin 2− x=0 b) cos
3 x π + − =
c) tan 200 3
x
− + =
d) 4sin cos cos2x x x=1
e) 2sinx− sin 2x=0 f) tan sinx x+ sin( x− tan 2x)−3 0=
g) (2sin 1) (2 2sin sin)
x+ − x+ x− =
h)
3
8cos x− =1
HDGiải
a) 2sin sin sin sin ;
2
3
x k
x x x k
x k π π π π π = + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈ = + ℤ b) 4
2 cos cos cos ;
3 4
6 x k x x k x k π π π π π π π = − + + − = ⇔ + = = ⇔ ∈ = − + ℤ
c)Điều kiện : x≠1350+k2700
0 0 0
2
2 tan 20 tan 20 tan( 30 ) 15 270 ,
3
x x
x k k
− + = ⇔ − = − = − ⇔ = − + ∈
(34)d) 4sin cos cos2 sin ,
8
k
x x x= ⇔ x= ⇔ = +x π π k∈ℤ
e)
sin 2
2
2sin sin 2 ,
cos 2
2 4
x x k
x x k
x x k
π π π π = = + − = ⇔ ⇔ ∈ = = ± + ℤ
f)Điều kiện
4
k x≠ +π π
( )
tan sin sin tan 3 (sin 3)(tan 3)
tan
6
x x x x x x
k
x x π π
+ − − = ⇔ − + =
⇔ = − ⇔ = − +
g) (2sin 1) (2 2sin sin)
x+ − x+ x− =
2sin 1
6
sin ;
5 2 7
sin 2
2 6
x x k
x k x x k π π π π + = = − + ⇔ ⇔ = − ⇔ ∈ + = = + ℤ
h) 8cos3 cos2 cos ,
2
cos cos
x
x x x k k
x x π π − = − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ± + ∈ + + = ℤ
Bài Giải phương trình sau
a) cos cos3x x=cos5 cos 7x x b) sin cos7x x=sin13 cos17x x
c) cos2 cos5x x=cos7x d) sin sin3x x=cosx
e) sin sin 5x x=sin11 sin13x x f) sin sin sin3 1sin 4
x x x= x
HDGiải
Dùng cơng thức biến đối tích thành tổng tìm nghiệm phương trình
a) cos cos3 cos5 cos cos cos12 ,
8
k x
x x x x x x k
k x π π = = ⇔ = ⇔ ∈ = ℤ
b) sin cos7 sin13 cos17 sin10 sin30 10 ,
40 20
k x
x x x x x x k
k x π π π = = ⇔ = ⇔ ∈ = + ℤ
c) cos2 cos5 cos7 cos3 cos ,
5
k x
x x x x x k
k x π π = = ⇔ = ⇔ ∈ = ℤ
d) sin sin3 cos cos( ) cos ;
6
k x
x x x x x k
k x π π π π π = + = ⇔ − = ⇔ ∈ = + ℤ
e) sin sin sin11 sin13 cos8 cos24 , 16
k x
x x x x x x k
(35)f) sin sin sin3 1sin sin cos ;
2
k x
x x x x x x k
k x
π π π
= +
= ⇔ = ⇔ ∈
=
ℤ
Bài Giải phương trình sau:
a) cos+ x+cos2x=0 b) cosx+cos2x+cos3x+cos 4x=0
c) sinx+sin 2x+sin3x+sin 4x=0 d) sinx+sin 2x+sin3x= +1 cosx+cos2x
e) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2 f) sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos2x
HDGiải
a)1 cos cos2 cos (cos 1) cos ,
cos 2
x x k
x x x x k
x
x k
π π π π
= = +
+ + = ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈
= −
= + ℤ
b)cosx+cos2x+cos3x+cos4x= ⇔0 cos2 cosx x+2 cos3 cosx x=0
5
2 cos (cos2 cos3 ) cos cos cos
2
x x
x x x x
⇔ + = ⇔ =
cos 2
5
cos ,
2 5
2
cos
2
x k
x
x k
x k
x x k
π π π π π π
= +
=
⇔ = ⇔ = + ∈
= +
=
ℤ
c) Phương trình có nghiệm
2
,
2
k x
x k k
x k
π π π
π π
=
= + ∈
= − +
ℤ
2
)sin sin sin3 cos cos2 2sin cos sin 2 cos cos
cos (2 cos 1)(2sin 1)
d x x x x x x x x x x
x x x
+ + = + + ⇔ + = + =
⇔ + − =
Vậy, nghiệm phương trình , 2 , , ,
2 6
x= +π kπ x= ± π +k π x= +π k π x= π +k π k∈ℤ e) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x= ⇔2 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0
Vậy, nghiệm phương trình , , ,
2 10
k k
x= +π kπ x= +π π x= π + π k∈ℤ f) sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos2x⇔(2sinx+1)(sinx−sin ) 0x =
Vậy, nghiệm phương trình , , , ,
6 3
k
x= − +π k π x= π +k π x=k π x= +π π k∈ℤ
Bài Giải phương trình sau:
a) sin3x+cos3x=cosx b) sin cos33x x+cos sin33x x=sin 43 x c) sin cos3 cos sin3
4
x x− x x= d)2 cos3 x+sin cosx x+ =1 2(sinx+cos )x
e)cos3x−sin3 x=sinx−cosx f)(2sinx+1 3cos4)( x+2sinx− +4) cos2 x=3
HDGiải
3 3 3
) sin cos cos sin cos cos sin cos (cos 1)
a x+ x= x⇔ x+ x− x= ⇔ x+ x x− =
3 sin
sin sin cos ;
sin cos
4
x k x
x x x k
x x x k
π π π =
=
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈
− = = +
(36)b) Ta cần ý: sin3 3sin 4sin3 sin3 1(3sin sin3 )
α = α − α ⇒ α = α− α
( )
3
cos3 cos 3cos cos cos3 3cos
4
α = α− α ⇒ α = α− α Từ sin cos33 cos sin33 sin 43 3sin sin 43
4
x x+ x x= x⇔ x= x
3
3sin 4sin sin12
12
k
x x x x π
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
( )
3 2 1
) sin cos cos sin sin cos sin cos sin
4 4
sin ;
8
c x x x x x x x x x
k x x π π k
− = ⇔ − = ⇔ − =
⇔ = − ⇔ = − + ∈ℤ
3
2
) cos sin cos 2(sin cos ) cos cos sin cos 2sin cos (cos 1) sin cos 2sin cos sin sin cos 2sin sin cos (1 2sin ) 2sin (1 2sin )(sin cos 1)
d x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
+ + = + ⇔ − + + − =
⇔ − + + − = ⇔ − + + − =
⇔ − + − = ⇔ − + =
2
1 2sin sin 6 ;
2
sin cos 2
6 x k x x k x x x k π π π π = + − = ⇔ ⇔ = ⇔ ∈ + = = +
ℤ ( sin cosx x+ =1 vơ nghiệm )
e) cos3 sin3 sin cos 1sin 2 sin( cos )
2
x− x= x− x⇔ x+ x− x = ⇔ = +x π kπ
(Vì
1sin 2 2 0 x+ = vô nghiệm) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 ) 2sin 3cos 2sin 4 cos
2sin 3cos 2sin 4(1 sin )
2sin 3cos 2sin 4sin
2sin 3cos 2sin (1 2sin )(1 2sin )
2sin 3cos4 2sin 2sin 2sin 3cos4
f x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
+ + − + = ⇔ + + − + − − = ⇔ + + − + − = ⇔ + + − + − + = ⇔ + + − + − = ⇔ + − =
sin 2 ;
2 6
cos
2
x k
x
x k k
x k x π π π π π = − + = − ⇔ ⇔ = + ∈ = = ℤ
Bài Giải phương trình sau:
a) 2sinx+cotx=2sin 2x+1 b) tan2x(1 sin− 3x)+cos3x− =1
c) cot cos22 sin
x x
x
−
+ = d) 6sin cos3 5sin cos
2 cos2
x x
x x
x
− =
e) tan2 cos sin x x x + = + f)
2 tan cos
x
x
+ =
HDGiải
a) Với kiện sinx≠0, ta có 2sinx+cotx=2sin 2x+ ⇔1 2sin2x+cosx=4sin2xcosx+sinx (2sin sin)( cos 2sin cos ) 2sin (1)
sin cos 2sin cos (2) x
x x x x x
x x x x
− =
⇔ − − − = ⇔
− − =
(37)Giải (1):
2
2sin ;
5 2
6
x k
x k
x k
π π π π
= +
− = ⇔ ∈
= +
ℤ
Giải (2): sinx−cosx−2sin cosx x=0 , đăt t=sinx−cosx⇒−2sin cosx x= −t2 1với t ≤
2
sin cos 2sin cos t
2
x− x− x x= ⇔ + − = ⇔ =t t − + ( thoả điều kiện t ≤ 2)
Suy ra: sin cos cos arccos
2 2 2 2 2
x− x= − + ⇔ x+π = − ⇔ = − ±x π − +k π
,k∈ℤ
b) Với điều kiện cosx≠0, ta có
( ) ( ) ( )
2 3 3
tan x sin− x +cos x− = ⇔1 sin x sin− x +cos x cos x− =1
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 3
2
1 cos sin sin cos
(1 sin )(1 cos ) cos sin sin sin cos cos
(1 sin )(1 cos ) sin cos sin cos sin cos sin cos
(1 sin )(1 cos )(sin cos )(sin cos sin cos )
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ − − − − − =
⇔ − − + + + − + + + =
⇔ − − + − + − =
⇔ − − − + + =0
1 sin (1)
1 cos (2)
sin cos (3) sin cos sin cos (4)
x x
x x
x x x x
− =
− =
⇔
− =
+ + =
Phương trình (1) khơng thoả điều kiện cosx≠0
Giải phương trình (4), ta đặt t=sinx+cosx với t ≤
Vậy, nghiệm phương trình: , , ; ,
4
x= +π kπ x=k π x= ± +π α m π k m∈ℤ với cos 2 α = −
c) Với điều kiện sin 2x≠0, ta có cot cos22 sin 22 sin cos2 cos2 sin
x
x x x x x
x
−
+ = ⇔ + = −
( )
2
1 sin cos2 sin cos2 cos cos2 sin cos2 cos2 cos2 sin
x x x x x x x x
x x x
⇔ − − − = ⇔ − − =
⇔ − − =
Vậy, nghiệm phương trình , ; ,
4
k
x= +π π x= − +π πl k l∈ℤ (Chú ý loại nghiệm không thoả điều kiện)
d) Với điều kiện cos2x≠0, ta có 6sin cos3 5sin cos 6sin cos3 5sin cos cos2
x x
x x x x x x
x
− = ⇔ − =
3
6sinx cos x 10sin cosx x 3sinx cos x 5sin cosx x
⇔ − = ⇔ − − =
Với cosx≠0, chia hai vế cho cos2 x ta phuơng trình tanx Nhưng nghiệm phương trình khơng thoả điều kiện cos2x≠0
Vậy, phương trình cho vơ nghiệm
e) Các nghiệm phương trình , ;
4
x= +π k π x= +π kπ k∈ℤ ( viết
2
2 cos tan
1 sin
x x
x
− =
− )
f) Với điều kiện cosx≠0, đặt cos
t
x
= , ta có 2t2− + =3 0t Vậy, nghiệm phương trình ,
(38)Bài Giải phương trình sau:
a) 3sin3x− cos9x= +1 4sin 33 x b) 8sin sinx+cosx = x
c) tanx−3cotx=4 sin( x+ cosx) d) 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x
e) 2 sin 1
4 sin cos
x
x x
π
+ = +
f)
3
sin x+cos x=sinx−cosx
HDGiải
a)3sin3x− cos9x= +1 4sin 33 x⇔(3sin3x−4sin 33 x)− cos9x=1
⇔sin − cos9 = ⇔1 1sin − 3cos9 =
2 2
x x x x
2
1 18 9
sin ;
3
54
k x
x k
k x
π π
π
π π
= +
⇔ − = ⇔ ∈
= +
ℤ
b)Điều kiện sin 2x≠0, ta có 8sin sin cos 8sin2 cos sinx +cosx = x⇔ x+ x= x x cos2
3 sin cos cos sin cos cos cos2 cos
2
3 sin 3cos 2(cos cos3 ) cos sin cos3
x
x x x x x x x x
x x x x x x x
−
⇔ + = ⇔ + = −
⇔ − = − + ⇔ − =
6
cos3 cos ;
3
12
x k
x x k
k x
π π π
π π
= +
⇔ = + ⇔ ∈
= − +
ℤ
c)Điều kiện sin 2x≠0,
( ) 2 ( )
tanx−3cotx=4 sinx+ cosx ⇔sin x−3cos x=4sin cos sinx x x+ cosx
( )( ) sin cos (1)
sin cos sin cos 2sin
sin cos 2sin (2)
x x
x x x x x
x x x
+ =
⇔ + − − = ⇔
− − =
Giải (1) (2), nghiệm phương trình cho ,
3
k x= − +π kπ x= π + π
d) 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x⇔ sin 2x+( )2 cos2− x= −3 2
Phương trình vơ nghiệm ( ) ( ) ( )
2 2
2 + 1− < −3
e)Điều kiện sin 2x≠0, ta có 2 sin 1 2(sin cos )sin cos sin cos
4 sin cos
x x x x x x x
x x
π
+ = + ⇔ + = +
sin cos 4
(sin cos )(2sin cos 1) ;
2sin
4
x k
x x
x x x x k
x
x k
π π π π
= − +
+ =
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
=
= − +
ℤ (thoả điều kiện)
f) sin3x+cos3x=sinx−cosx⇔sin (1 sin ) cosx − 2x − x−cos3x=0
2 cos (sin cosx x x cos ) 0x
⇔ − − =
2
cos (1)
sin cos cos (2)
x
x x x
=
⇔
− − =
(39)Giải (1) (2), phương trình (2) vơ nghiệm Nghiệm phương trình ,
x= +π kπ k∈ℤ
Bài Giải phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2006 - 2007) a)
2
sin cos cos
2
x x
x
+ + =
b)
2
2sin 2x+sin 7x− =1 sinx c) (1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x d) ( )
6
2 cos sin sin cos 2sin
x x x x
x
+ −
= −
e) cot sin tan tan
2
x x+ x + x =
f) cos3x+cos2x−cosx− =1
HDGiải
a) Phương trình cho tương đương với: sin cos cos
6
x x x π
+ + = ⇔ − =
Vậy, nghiệm phương trình: , ,
2
x= +π k π x= − +π k π k∈ℤ
b) Phương trình cho tưong đương với sin 7x−sinx+2sin 22 x− = ⇔1 cos4 2sin3x( x− =1)
Vậy, nghiệm phương trình: , , ,
8 18 18
k k k
x= +π π x= π + π x= π + π k∈ℤ c) Phươngt trình cho tương đương với
2
(sinx+cos )(1 sin cos ) (sinx + x x = x+cos )x ⇔(sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x − x − x =
Vậy, nghiệm phương trình: , , ,
4
x= − +π kπ x= +π k π x=k π k∈ℤ d)Điều kiện: sin
2
x≠ (*) phương trình cho tương đương với:
( 6 )
2
3
2 sin cos sin cos sin sin
4
3sin sin sin ,
4
x x x x x x
x x x x π kπ k
+ − = ⇔ − − =
⇔ + − = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ
Do điều kiện (*) nên nghiệm phương trình: ,
x= π + m mπ ∈ℤ e)Điều kiện: sin 0,cos 0,cos
2
x
x≠ x≠ ≠ (*) phương trình cho tương đương với: cos cos sin sin
cos sin 2 2 4 cos sin 4 sin 2
sin cos cos sin cos
2
x x
x x
x x x
x x
x
x x x
x
+
+ = ⇔ + = ⇔ =
So với (*), nghiệm phương trình: , ,
12 12
x= π +kπ x= π +kπ k∈ℤ f) Phương trình cho tương đương với
2
2sin sinx x 2sin x sin (sin 2x x sin ) 0x sin (2 cosx x 1)
− − = ⇔ + = ⇔ + =
Vậy, nghiệm phương trình: 2 , ,
x= ± π +k π x=kπ k∈ℤ
(40)a) 1 4sin
sin sin
2
x x
x
π π
+ = −
−
b) sin3x− cos3x=sin cosx 2x− sin2 xcosx c) 2sin cos2x( + x)+sin 2x= +1 cosx d) sin3x− cos3x=2sin 2x
HDGiải
a)Điều kiện sinx≠0 sin
x π
− ≠
Phương trình cho tương đương với:
( ) ( )
1 1
2 sin cos sin cos 2
sinx cosx x x x x sin cosx x
+ = − + ⇔ + + =
So với điều kiện, nghiệm phương trình là: ,
4
x= − +π kπ x= − +π kπ ,
x= π +kπ k∈ℤ b) Phương trình cho tương đương với:
( 2 ) ( 2 ) ( )
sin cosx x−sin x + cos cosx x−sin x = ⇔0 cos2 sinx x+ cosx =0
Vậy, nghiệm phương trình là: , ,
4
k
x= +π π x= − +π kπ k∈ℤ c) Phương trình cho tương đương với:
2
4sin cosx x+sin 2x= +1 cosx⇔(2 cosx+1)(sin 2x− =1)
Vậy, nghiệm phương trình: 2 , ,
3
x= ± π +k π x= +π kπ k∈ℤ
d) Phương trình cho tương dương với: 1sin3 3cos3 sin sin sin
2 x x x x x
π
− = ⇔ − =
Vậy, nghiệm phương trình là: 2 , ,
3 15
k
x= π +k π x= π + π k∈ℤ
Bài Giải phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2009) a) (1 2sin )cos
(1 2sin )(1 sin )
x x
x x
− =
+ − b)
3 sinx+cos sin 2x x+ cos3x=2(cos 4x+sin )x
c) (1 2sin ) cos+ x x= +1 sinx+cosx d) cos5x−2sin3 cos2x x−sinx=0
HDGiải
a)Điều kiện sin 1,sin
x≠ x≠ − (*)
− = ⇔ − = + −
+ −
(1 2sin )cos
3 (1 2sin )cos 3(1 2sin )(1 sin ) (1 2sin )(1 sin )
x x
x x x x
x x
π π
π π
π π
= +
⇔ − = + ⇔ + = − ⇔ ∈
= − +
ℤ
2
cos sin sin cos2 cos cos ,
3
18
x k
x x x x x x k
k x
So với (*), nghiệm phương trình ,
18
k
(41)2
(1 2sin )sin cos sin cos3 cos4 sin cos2 cos sin cos3 cos4
2
sin3 cos3 cos4 cos cos4 ,
6
42
x x x x x x
x x x x x x
x k
x x x x x k
k x
π π π
π π
− + + =
⇔ + + =
= − +
⇔ + = ⇔ − = ⇔ ∈
= +
ℤ
c) Phương trình tương đương với (sinx+1)(2sin 2x− =1)
Vậy, nghiệm phương trình: , , ,
2 12 12
x= − +π k π x= π +kπ x= π +kπ k∈ℤ d) Phương trình cho tương đương với
− + − = ⇔ −1 =
3 cos5 (sin sin ) sin cos5 sin sin
2
x x x x x x x
π π π
π π
= +
⇔ − = ⇔ ∈
= − +
ℤ
18
sin sin ,
3
6
k x
x x k
k x
Bài 10 Giải phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2010)
a)
(1 sin cos2 sin)
4
cos
1 tan 2
x x x
x x
π
+ + +
=
+ b) (sin 2x+cos2 cosx) x+2 cos2x−sinx=0 c) sin 2x−cos2x+3sinx−cosx− =1 d) cos5 cos3 8sin( cos)
2
x x
x x
+ − =
HDGiải
a)Điều kiện cosx≠0 tan+ x≠0
(1 sin cos2 sin)
4
cos
1 tan 2
x x x
x x
π
+ + +
=
+ sin x (1 sinx cos2x) (1 tan cosx) x
π
⇔ + + + = +
(sin cos )(1 sin cos2 ) sin cos cos sin cos2 cos
x x
x x x x x x x
x
+
⇔ + + + = ⇔ + =
2
2sin x sinx
⇔ − − = ⇔ sinx=1(loại) sin
x= −
2
x π k π
⇔ = − + ;
x= π +k π k∈ℤ
b) (sin 2x+cos2 cosx) x+2 cos2x−sinx= ⇔0 2sin cosx 2x−sinx+cos2 cosx x+2 cos2x=0
cos2 sinx x (cosx 2)cos2x cos2 (sinx x cosx 2)
⇔ + + = ⇔ + + =
cos2x
⇔ = ;
4
x π kπ k
⇔ = + ∈ℤ( sinx+cosx+ =2 (vô nghiệm))
c) sin 2x−cos2x+3sinx−cosx− = ⇔1 2sin cosx x−cosx− −(1 2sin2 x)+3sinx− =1
⇔ − + + =
− =
⇔
+ + =
(2sin 1)(cos sin 2) 2sin
cos sin
x x x
x x x
Phương trình: sinx+cosx+ =2 vơ nghiệm
Phương trình: 2sinx− =1 0⇔sin = ⇔ = +1 π 2π
2
x x k ;
6
(42)d) cos5 cos3 8sin( cos)
2
x x
x x
+ − =
2
2 cos 4x 8sin 2x 4sin 2x 8sin 2x
⇔ + − = ⇔ − + =
3 sin
2
x
⇔ = ( vô nghiệm) sin
2 12
x= ⇔ =x π +kπ ; 12
x= π +kπ k∈ℤ
Bài 11 Giải phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2011) a) sin 2cos2 sin sin
1 cot
x x
x x x
+ + =
+ b) sin cosx x+sin cosx x=cos2x+sinx+cosx
c) sin 2 cos sin
tan
x x x
x
+ − − =
+ d)
2
cos 4x+12sin x− =1
HDGiải
a)Điều kiện sinx≠0 (*) Phương trình cho tương đương với:
( )
( )
2
1 sin cos2 sin 2 sin cos sin cos2 2 cos
cos (1)
cos cos sin
cos sin (2)
x x x x x
x x x
x x x x
x x
+ + =
⇔ + + =
=
⇔ + − = ⇔
+ − =
Giải (1): cos ,
2
x= ⇔ = +x π kπ k∈ℤ (thoả mãn (*))
Giải (2): cos sin sin ,
4
x+ x= ⇔ x+π = ⇔ = +x π k π k∈
ℤ (thoả mãn (*))
Vậy, phương trình có nghiệm:
x= +π kπ; ,
x= +π k π k∈ℤ b) sin cosx x+sin cosx x=cos2x+sinx+cosx
( )
( ) ( )
( )( )
sin cos2 sin cos cos2 sin cos
cos2 sin cos sin
sin (1)
sin cos2 cos
cos2 cos (2)
x x x x x x x
x x x x
x
x x x
x x
⇔ + + = + +
⇔ − + − =
− =
⇔ − + = ⇔
+ =
Giải (1): sin ,
2
x= ⇔ = +x π k π k∈ℤ
Giải (2): cos2 cos cos( ) ,
3
x= − x= π−x ⇔ = +x π k π k∈ℤ Vậy, phương trình có nghiệm:
2
x= +π k π ; ,
3
x= +π k π k∈ℤ c)Điều kiện cosx≠0,tanx≠ (*)
+ − − = ⇔ + − − =
+
sin 2 cos sin 0 sin 2 2 cos sin 1 0
tan
x x x
x x x
x
( ) ( ) ( )( )
⇔2 cos sinx x+ −1 sinx+ = ⇔1 sinx+1 cosx− =1 π π
π π
= − = − +
⇔ ⇔ ∈
=
= ± +
ℤ
sin
2 ;
1
cos 2
2 3
x x k
k x
x k
So với (*) Vậy, nghiệm phương trình: ,
(43)d) cos 4x+12sin2x− =1
( )
2
2 cos 2x cos2x cos 2x 3cos2x
⇔ − + − − = ⇔ − + =
cos2x
⇔ = (vô nghiệm) cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ Vậy, nghiệm phương trình: x=kπ,k∈ℤ
Bài 12 Giải phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2012)
a) sin 2x+cos2x=2 cosx−1 b) cos( x+ sin cosx) x=cosx− sinx+1
c) sin3x+cos3x−sinx+cosx= cos2x d) cos2x+sinx=sin3x
HDGiải
a) sin 2x+cos2x=2 cosx− ⇔1 ( sinx+cosx−1 cos) x=0
2
cos
;
3 sin cos 2
2
x k x
x k k
x x
x k
π π π
π π
= +
=
⇔ ⇔ = ∈
+ − =
= +
ℤ
Vậy nghiệm phương trình cho
x= +π kπ,x=kπ 2
x= π +k π(k∈ℤ) b) cos( x+ sin cosx) x=cosx− sinx+ ⇔1 cos2x+ sin 2x=cosx− sinx
2 2
3
cos cos ;
3
3
x k
x x k
x k
π π
π π
π
= +
⇔ − = + ⇔ ∈
=
ℤ
Vậy nghiệm phương trình cho 2
x= π +k π
x=k π (k∈ℤ) c) sin3x+cos3x−sinx+cosx= cos2x⇔(2sinx+2 cosx− cos2) x=0
cos2 ( )
4
k
x= ⇔ = +x π π k∈ℤ
2sin cos cos 2
4 12 12
x+ x− = ⇔ x−π = ⇔ =x π +k π hoặc x= −π +k π
(k∈ℤ)
Vậy nghiệm phương trình cho
4
k
x= +π π , 12
x= π +k π 12
x= − π +k π (k∈ℤ) d) cos2x+sinx=sin3x⇔2 cos2x+sinx−sin3x= ⇔0 cos2x−2 cos2 sinx x=0
cos2 4 2
2 cos2 (sin 1) ( )
sin 2
2
x k x
x x k
x
x k
π π π π
= +
=
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈
=
= +
ℤ
Vậy nghiệm phương trình cho
4
x= +π kπ 2
x= +π k π (k∈ℤ)
Bài 13 Giải phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2013) a) tan 2 sin
4
x x π
+ = +
b)
2 sin 5x+2 cos x=1
c) sin3x+cos2x−sinx=0 d) cos sin
2 x x
π
− + =
(44)HDGiải
a)Điều kiện cosx≠0 Phương trình cho tương đương với:
( ) ( )( ) sin cos
sin
1 sin cos sin cos cos
cos cos
x x
x
x x x x x
x x
+ =
+ = + ⇔ + − = ⇔
− =
sin cos ,
4
x+ x= ⇔ = − +x π kπ k∈ℤ
cos ,
3
x− = ⇔ = ± +x π k π k∈ℤ
So với điều kiện, nghiệm phương trình là:
4
x= − +π kπ ,
x= ± +π k π k∈ℤ
b) sin cos2 sin cos2 cos cos2
2
x+ x= ⇔ x= x⇔ x+π = x
2
5 2
6
2 ,
2
5 2
2 14
x k
x x k
k
x x k x k
π π
π π
π π π π
= − +
+ = +
⇔ ⇔ ∈
+ = − + = − +
ℤ
Vậy nghiệm phương trình là:
6
x= − +π k π ,
14
x= −π +k π k∈ℤ
c) sin3 cos2 sin cos2 sin cos2 cos2 2sin( 1) cos2 2sin
x
x x x x x x x x
x
=
+ − = ⇔ + = ⇔ + = ⇔
+ =
cos2 ,
4
k
x= ⇔ = +x π π k∈ℤ
2
2sin ,
7
x k
x k
x k
π π π π
= − +
+ = ⇔ ∈
= +
ℤ
Vậy nghiệm phương trình là:
4
k
x= +π π ,
x= − +π k π ,
x= π +k π k∈ℤ d)
2
cos sin sin sin sin sin( ) 3 ,
2 2
x k
x x x x x x k
x k
π π
π π
=
− + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ ∈
= + ℤ
Vậy nghiệm phương trình là:
k
x= π x= +π k2 ,π k∈ℤ
Bài 14 Giải phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2014)
a) sinx+4 cosx= +2 sin 2x b) sin( x−2 cosx)= −2 sin 2x
HDGiải
a) sinx+4 cosx= +2 sin 2x⇔sinx+4 cosx= +2 2sin cosx x⇔(sinx−2 cos)( x− =1)
sinx− = ⇔2 sinx=2: Phương trình vơ nghiệm
cos cos ,
2
x− = ⇔ x= ⇔ = ± +x π k π k∈ℤ Vậy nghiệm phương trình cho: ,
3
x= ± +π k π k∈ℤ
(45)sinx− 0= : Phương trình vơ nghiệm
cos cos ,
2
x+ = ⇔ x= − ⇔ = ±x π +k π k∈ℤ
Vậy nghiệm phương trình cho ,
x= ± π +k π k∈ℤ
Bài 15 Giải phương trình sau: (THPTQG 2015, 2016) a) Cho góc αthỏa mãn π α π< <
2
3 sin
5
α = Tính tan 2 tan
A α
α
= +
b) Tính giá trị biểu thức P= −(1 3cos 2α)(2 3cos 2+ α), biết sin
α = c) Giải phương trình: sin2x+7 sinx− =4
HDGiải
a) Ta có:
2
2 16
cos sin
5 25
α = − α = − =
Vì π α π2 < < nên
4 cos
5 α = − Khi suy ra: tan
4
α = − Vậy: 2 2
3
tan 4 12
1 tan 3 25
1
A α
α
−
= = = −
+
+ − b) Ta có:
2
2
cos 2 sin
3
α = − α = − =
Vậy: (1 3cos )(2 3cos ) 3.1 3.1 14
9 9
P= − α + α = − + =
c)
sin
2 sin sin 1
sin x
x x
x = −
+ − = ⇔
=
Với sinx= −4⇒ phương trình vơ nghiệm
Với
2
1
sin ,
5
2
x k
x k
x k
π π
π π
= +
= ⇔ ∈
= +
ℤ
Giải phương trình
Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình
1
cos sin
4 x− x−π=
2 3 sin 2x+cos 2x=sinx+ 3 cosx
sin sin
3
x π π x
+ + − =
4
1 sin 2+ x=2cos x
5 2 cos( − x)cosx= 3 sin 2x sin cos 3x x=sin 2x
7
1 sin sin cos
2
x x
x
− = −
8
sin cos
4 x− x−π=
9
sin cos sin
2
x π x x
+ + − =
10 2sinx−sin 2x=2sin cosx x
(46)13
sin cos3
3
x π x
− + =
14
2 cos4 cos cos sin
2
x x− π + x= x
15
cos sin
2 x x
π
+ − =
16 sin cos3x x−cos2x=cos sin 3x x
17 sin 2sin 22 sin 7 1
x+ x= x+ 18 2 cos4 cos cos 3 sin 5
2
x x− π + x= x
19 sinx+4 cosx= +2 sin 2x 20 2 sin( x−2 cosx)= −2 sin 2x 21 sin 5 2 cos2 1
x+ x= 22 sin 3x+cos2x−sinx=0
23
cos sin
2 x x
π
− + =
24
1 tan 2 sin
x x π
+ = +
25 3 sin2x+cos2x=2cosx−1 26 2 cos( 3 sin cos) cos 3 sin 1
x+ x x= x− x+
27 sin3x+cos3x−sinx+cosx= 2 cos2x 28 cos2x+sinx=sin 3x
29 cos4x+12sin2x− =1 0 30 (sin 2x+cos2 cosx) x+2 cos2x−sinx=0 31
( )
5
4cos cos 8sin cos
2
x x
x x
+ − = 32 sin 2x−cos2x+3sinx−cosx− =1
33 sin2 cosx x+sin cosx x=cos2 sinx+ x+cosx 34 3 cos5x−2sin3 cos2x x−sinx=0 35 (1 2sin ) cos2 1 sin cos
x x x x
+ = + + 36 sin3x− 3 cos3x=2sin2x 37 2sin cos2x( + x)+sin 2x= +1 cosx 38 cos3x+cos2x−cosx− =1
39
sin cos cos
2
x x
x
+ + =
40 2sin 22 sin 7 1 sin
x+ x− = x
41 cos3x+cos2x−cosx− =1 42 cosx+cos2x+cos3x+cos 4x=0
43 sinx+sin 2x+sin 3x+sin 4x=0 44 3sin3 3 cos9 1 4sin 33
x− x= + x
45 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x 46 1 3
8sin sinx+cosx = x
47 sin3x+cos3x=sinx−cosx 48 9 15
sin 3cos 2sin
2
x π x π x
+ − − = +
49 2sinx− 2 sin 2x=0 50 cos+ x+cos2x=0
51
3 sin cos sin x+ x= x+π
(47)CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tính giá trị biểu thức cos cos7 12 12
P= π π
A
4
P= B
4
P= − C
2
P= D
4 P=
Câu 2: Giải phương trình sin( x−2 cosx)= −2 sin x
A ,
4
x= ± π +k π k∈ℤ B. ,
4
x= ± +π kπ k∈ℤ
C ,
4
x= ± π +k π k∈ℤ D ,
4
x= ± π +kπ k∈ℤ
Câu 3: Tìm tập xác định hàm số y=6 tan3x−4 cot x
A. \ ,
6 k
D= π k∈
ℝ ℤ B. D=(0;+∞)
C. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ} D. D=ℝ
Câu 4: Cho biết tanx= −3 Tính giá trị biểu thức
2
2
sin 3sin cos cos
sin
+ − +
=
+
x x x x
K
x
A
3 = −
K B 11
6 =
K C
7 = −
K D 14
23 = K
Câu 5: Tìm tập nghiệm S phương trình sinx−cosx= −
A ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k B ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k
C. ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k D. ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k
Câu 6: Tìm số nghiệm phương trình sin3 cos
x
x+ = có số nghiệm thuộc đoạn 2 ; π π
A.5 B.6 C.4 D.2
Câu 7: Giải phương trình sin
6
x π
+ =
A. x=kπ ,
2
x= +π kπ k∈ℤ B
3
x= +π kπ ,
2
x= − +π kπ k∈ℤ
C. ,
6
x= +π kπ k∈ℤ D. ,
2
x= +π k π k∈ℤ
Câu 8: Gọi A B C, , ba góc nhọn tam giác thỏa tan 1,tan 1,tan
2
A= B= C= Tính tổng
S= + +A B C
A. S=30 B. S=60 C. S=45 D. S=120
Câu 9: Giải phương trình cos 3( 600) 2 x− =
(48)C. x=350+k1800 x= +50 k180 ,0 k∈ℤ D. x=350+k3600 x= +50 k360 ,0 k∈ℤ
Câu 10: Tìm tập xác định hàm số y= sin− x+ sin + x
A. D=ℝ B. \ ,
2
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
C. \ ,
2 k
D= π k∈
ℝ ℤ D. D= − 1;1
Câu 11: Kí hiệu M giá trị lớn hàm số: y=sin4 x+cos 4x Tìm M
A
2
M = B M =1 C M=0 D. M =2
Câu 12: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số cos2 x y=
A.
2
T =π B T =8 π C. T =2 π D. T =4 π
Câu 13: Giải hương trình sin4 cos4
4− 4=2
x x
A ,
3
π π
= ± + ∈ℤ
x k k B ,
3
π π
= ± + ∈ℤ
x k k
C 4 ,
3
π π
= ± + ∈ℤ
x k k D ,
3
π π
= ± + ∈ℤ
x k k
Câu 14: Giải phương trình cos3x+cos2x−cosx− =1
A , ,
3
k
x= π +kπ x= π k∈ℤ B 2 , ,
3
x= ± π +k π x=kπ k∈ℤ
C 2 , ,
3
x= π +k π x=k π k∈ℤ D. , ,
3
x= +π k π x=k π k∈ℤ
Câu 15: Cho góc α thỏa mãn
π α π< < sin
α = Tính giá trị biểu thức tan 2 tan
P α
α
= +
A 12
25
P= − B
3
P= − C 25
12
P= − D 12
25 P=
Câu 16: Cho góc α thỏa mãn sin
α = Tính giá trị biểu thức P= −(1 3cos2α)(2 3cos2 + α)
A. P= −4 B 14
9
P= − C 19
4
P= D 14
9 P=
Câu 17: Cho hai hàm số f x( ) sin 2= x g x( ) cos3= x Mệnh đề ?
A. f x( ) g x( ) hàm số lẻ B. f x( )là hàm số lẻ, g x( ) hàm số chẵn
C. f x( ) g x( ) hàm số chẵn D. f x( )là hàm số chẵn, g x( ) hàm số lẻ
Câu 18: Cho góc α mà sin
α = Tính P=(sin 4α+2sin 2α)cos α
A 225
128
P= B 10
11
P= C 128
225
P= D 225
128 P= −
Câu 19: Tìm số nghiệm phương trình sin
4 x π
+ =
thuộc đoạn π π;2
(49)Câu 20: Kí hiệu m giá trị nhỏ hàm số: y=sinx+ cosx Tìm m
A. m= − B. m=1 C. m= − D. m= −2
Câu 21: Tìm tập xác định hàm số 3tan sin
x y
x
− =
+
A. D=ℝ\{π+kπ,k∈ℤ} B. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}
C. \ ,
2
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ D. \ ,
2
D= − +π k π k∈
ℝ ℤ
Câu 22: Tìm chu kì tuần hồn T hàm số cos cos
2
x x
y= +
A. T =8 π B. T =4 π C. T =12 π D. T =6 π
Câu 23: Kí hiệu m giá trị nhỏ hàm số: sin sin y= x+ x+ π
Tìm m
A
2
m= B. m= −1 C. m= −2 D. m=0
Câu 24: Giải phương trình cos sin
2 x x
π
− + =
A
3
x= +π kπ ,
3
x= − π +kπ k∈ℤ B
3 k
x= π x=k2 ,π k∈ℤ
C
3 k
x= π hoặcx= +π k2 ,π k∈ℤ D
3 k
x= π x= +π kπ,k∈ℤ
Câu 25: Giải phương trình cos x= −
A. ,
3
x= ± +π k π k∈ℤ B. ,
3
x= ± +π kπ k∈ℤ
C ,
3
x= ± π +kπ k∈ℤ D 2 ,
3
x= ± π +k π k∈ℤ
Câu 26: Tìm chu kì tuần hồn T của hàm số cos y= x−π
A. T =10 π B. T =5 π C
5
T = π D.
5 T =π
Câu 27: Giải phương trình tanx=
A. ,
3
x= +π k π k∈ℤ B. ,
x= +π kπ k∈ℤ C. ,
3
x= − +π kπ k∈ℤ D. ,
x= +π kπ k∈ℤ
Câu 28: Tìm tất giá trị x để hàm số 2sin
2 x
y= +π −
có giá trị nhỏ −5
A 13 ,
5
x= π +k π k∈ℤ B 13 ,
5
x= π +k π k∈ℤ
C. ,
5
x= +π k π k∈ℤ D 13 ,
5
x= − π +k π k∈ℤ
(50)A , ,
2
k
x= π x= π +kπ k∈ℤ B. , ,
4
x=k π x= − +π kπ k∈ℤ
C. , ,
4
x=kπ x= +π kπ k∈ℤ D. , ,
4
x=k π x= +π k π k∈ℤ
Câu 30: Tìm tập xác định hàm số cos
3sin x y
x
− =
−
A \
3 D=
ℝ B. \ ,
2 k
D= π k∈
ℝ ℤ
C. D=ℝ D. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}
Câu 31: Cho hàm số y cosx x
= Mệnh đề ?
A Hàm số cho hàm số chẵn B Hàm số cho vừa chẵn, vừa lẻ
C Hàm số cho không chẵn, không lẻ D Hàm số cho hàm số lẻ
Câu 32: Giải phương trình sinx+ cosx= −2
A ,
6
x= π +kπ k∈ℤ B. ,
6
x= − +π k π k∈ℤ
C. ,
6
x= +π k π k∈ℤ D ,
6
x= − π +k π k∈ℤ
Câu 33: Giải phương trình sin 2 cos sin
tan
x x x
x
+ − − =
+
A. ,
3
x= +π kπ k∈ℤ B 2 ,
3
x= π +k π k∈ℤ
C. ,
3
x= +π k π k∈ℤ D. ,
3
x= − +π k π k∈ℤ
Câu 34: Tìm chu kì tuần hồn T hàm số y=sin cos x x
A. T =π B. T =2 π C. T =4 π D. T =3 π
Câu 35: Tìm số nghiệm phương trình cos4 tan cos2
x
x
x = có số nghiệm thuộc khoảng 0;2 π
A 2. B 4. C 5. D 3.
Câu 36: Mệnh đề sai ?
A Hàm số y=sinx y=tanx hàm số lẻ
B Hàm số y=sinx y=cosx có tập xác định
C Hàm số y=tanx y=cotx có cung chu kì π
D Hàm số y=cosx y=cotx hàm số chẵn
Câu 37: Cho hàm số
3
1 cos sin
( ) , ( )
1 cos cos
+ −
= =
−
x x x
f x g x
x x Mệnh đề ?
A. f x( )là hàm số lẻ g x( )là hàm số chẵn B. f x( )là hàm số chẵn g x( )là hàm số lẻ
C. f x( ) g x( ) hàm số lẻ D. f x( ) g x( ) hàm số chẵn
Câu 38: Trên khoảng (π π;8 ) Phương trình cos x π
+ =
có nghiệm ?
A 3. B 2. C 4. D 1.
(51)A. ,
3
x= ± +π k π k∈ℤ B. ,
4
x= ± +π k π k∈ℤ
C 2 ,
3
x= ± π +k π k∈ℤ D. ,
6
x= ± +π k π k∈ℤ
Câu 40: Cho góc α thảo mãn tanα =2 Tính 3 sin 3
sin 3cos
E α
α α
=
+
A 10
11
E= B 10
11
E= − C 11
10
E= − D 11
10 E=
Câu 41: Giải phương trình
2
sin cos cos
2
x x
x
+ + =
A. , ,
2
x= +π kπ x= − +π kπ k∈ℤ B. , ,
2
x= +π k π x= − +π k π k∈ℤ
C. , ,
2
x= − +π kπ x= +π kπ k∈ℤ D. , ,
4
x= +π k π x= − +π k π k∈ℤ
Câu 42: Giải phương trình
2 sin x+7 sinx− =4
A.
12
x= π +k π ,
6
x= π +k π k∈ℤ B.
π π
= +
x k ,
6
x= π +k π k∈ℤ
C.
6
x= − +π k π ,
x= − π +k π k∈ℤ D
6
x= +π kπ ,
6
x= π +kπ k∈ℤ
Câu 43: Cho góc α thỏa mãn tanα =2 Tính giá trị sin 5cos2
E α
α + =
A
5
E= − B
5
E= − C
5
E = D
5 E=
Câu 44: Hàm số y=sinx đồng biến khoảng ?
A 19 ;10
2 π π
B (−6 ; π − π) C
7 ;
π π
− −
D
15 ;
2 π π
Câu 45: Giải phương trình 2sin cos2x( + x)+sin 2x= +1 cos x
A , ,
3
x= ± π +kπ x= +π k π k∈ℤ B. , ,
3
x= ± +π k π x= +π kπ k∈ℤ
C 2 , ,
3
x= ± π +k π x= +π kπ k∈ℤ D 2 , ,
3
x= π +k π x= − +π kπ k∈ℤ
Câu 46: Trên khoảng ;
2 π π
−
Phương trình 2tanx−2 cotx− =3 có nghiệm ?
A.2 B.1 C.3 D.4
Câu 47: Giải phương trình cos4x+12sin2x− =1
A. x=k2 ,π k∈ℤ B. ,
3 k
x= π k∈ℤ C. ,
2
x= +π kπ k∈ℤ D. x=kπ,k∈ℤ
Câu 48: Giải phương trình 2sin2x+5sinx− =3
A
6
x= +π kπ ,
6
x= π +kπ k∈ℤ B.
3
x= +π k π ,
3
x= π +k π k∈ℤ
C.
6
x= +π k π ,
6
x= π +k π k∈ℤ D.
6
x= − +π k π ,
(52)Câu 49: Giải phương trình sin cos3
x π x
+ =
A
24 k
x= π + π , 12
x= −π +kπ k∈ℤ B
12
x= π +kπ ,
x= − +π kπ k∈ℤ
C
24 k
x= − π + π ,
12
x= π +kπ k∈ℤ D
24
x= − π +kπ ,
12 k
x= π + π k∈ℤ
Câu 50: Cho hai hàm số ( ) cos22 sin
x f x
x =
+
sin cos3 ( )
2 tan
x x
g x
x − =
+ Mệnh đề ?
A. f x( ) g x( ) hàm số lẻ B. f x( ) g x( ) hàm số chẵn
C. f x( )là hàm số chẵn, g x( ) hàm số lẻ D. f x( )là hàm số lẻ, g x( ) hàm số chẵn
Câu 51: Cặp hàm số sau có tập xác định ?
A. y=tanx y=sin x B. y=cosx y=cot x
C. y=tanx sin cos +
= x
y
x D. y=tanx y=cot x
Câu 52: Giải phương trình tan 200
3 x
− + =
A. x= −150+k270 ,0 k∈ℤ B. x=150+k270 ,0 k∈ℤ
C. x= −450+k270 ,0 k∈ℤ D. x= −350+k270 ,0 k∈ℤ
Câu 53: Tìm tất giá trị x để hàm số cos
3
y= π +x+
có giá trị lớn
A. ,
3
x= − +π k π k∈ℤ B 2 ,
3
x= − π +k π k∈ℤ
C 2 ,
3
x= π +k π k∈ℤ D. ,
3
x= +π k π k∈ℤ
Câu 54: Nếu xét khoảng (0;2π) Trên khoảng hàm y=sinx y=cosx nghịch biến ?
A 0;3
2 π
B
3
;2 2π π
C π π2;
D. (π π;2 )
Câu 55: Giải phương trình 8cos3 x− =1
A ,
3
x= +π kπ k∈ℤ B ,
3
x= ± π +kπ k∈ℤ
C. ,
3
x= ± +π k π k∈ℤ D. ,
3 k
x= ± +π π k∈ℤ
Câu 56: Gọi m M là giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y=sin2x+2sinx+6 Tính
S= +m M
A. S =5 B. S =9 C. S = −3 D. S=14
Câu 57: Tìm tập xác định hàm số 3sin
2 cos x y
x − =
−
A \
2 D=
ℝ B. D=ℝ
C. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ} D. \ ,
2 k
D= π k∈
(53)Câu 58: Giải phương trình sin3x+cos3x=sinx−cos x
A ,
2
x= π +k π k∈ℤ B. ,
x= +π kπ k∈ℤ C. ,
2
x= − +π kπ k∈ℤ D. ,
x= +π k π k∈ℤ
Câu 59: Tìm chu kì tuần hồn T của hàm số y=cosx+cos3 x
A. T =π B. T =4 π C. T =2 π D
3 T = π
Câu 60: Tìm chu kì tuần hồn T hàm số y=tan3 πx
A.
3
T =π B T =3 π C. T =π D
3 T =
Câu 61: Kí hiệu m giá trị nhỏ hàm số: cos cos
4
y= x+π− x−π
Tìm m
A. m= − B. m= −4 C. m=3 D. m= −2
Câu 62: Cho hai hàm số f x( ) sin= 3x−tanx
2 cos cot ( )
sin
x x
g x
x
+
= Mệnh đề ?
A. f x( )là hàm số lẻ, g x( ) hàm số chẵn B. f x( ) g x( ) hàm số lẻ
C. f x( ) g x( ) hàm số chẵn D. f x( )là hàm số lẻ, g x( ) hàm số lẻ
Câu 63: Tìm tập xác định hàm số cos
1 tan x y
x π
− =
+ −
A \ ;
6 12
D= π +kπ∪π +kπ k∈
ℝ ℤ B. D=ℝ\ { }−
C. \ ,
12
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ D \ ,
6
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
Câu 64: Kí hiệu M giá trị lớn hàm số: y=sin4 x−cos 4x Tìm M
A. M =1 B. M =2 C. M= −1 D. M =
Câu 65: Tìm số nghiệm phương trình sin
4 x π
+ = −
thuộc đoạn 0;π
A 1. B 3. C 2. D 0.
Câu 66: Với giá trị số A số α hàm sốy=Asin(x+α) hàm số lẻ
A. 0, ,
2
π α
≠ = k ∈ℤ
A k B. 0, ,
2
π α
> =k ∈ℤ
A k
C. A≠0,α =kπ,k∈ℤ D. 0, ,
2
π
α π
≠ = + ∈ℤ
A k k
Câu 67: Giải phương trình cot 3 x= −
A. ,
6
x= +π kπ k∈ℤ B. ,
6
x= − +π kπ k∈ℤ C. ,
3
x= +π k π k∈ℤ D. ,
3
x= − +π kπ k∈ℤ
Câu 68: Cho góc α thỏa mãn
π α π< < sin cos
2 2
α − α =
Tính sin2 α
A sin
8
α = − B sin
8
α = − C sin
8
α = D sin
(54)Câu 69: Tìm tất giá trị x để hàm số y= cos+ x có giá trị lớn
A. x=k2 ,π k∈ℤ B. ,
2 k
x= π k∈ℤ
C. x=kπ,k∈ℤ D. ,
2
x= − +π k π k∈ℤ
Câu 70: Cho biết cot =
x Tính giá trị biểu thức 2 cos 2
sin sin cos cos
+ =
− − +
x M
x x x x
A 61
79 =
M B 19
8 = −
M C 11
16 =
M D 121
16 = M
Câu 71: Tìm tập xác định hàm số cos
1 sin x y
x + =
+
A. D=ℝ B. D=(0;+∞)
C. \ ,
2
D= − +π k π k∈
ℝ ℤ D. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}
Câu 72: Tìm tập nghiệm S phương trình sinx+cosx= −
A ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k B. ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k
C. ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k D ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k
Câu 73: Tìm tập xác định hàm số cot cos2
x y
x + =
−
A \
2 D=
ℝ B. D=ℝ\ { }
C. D=ℝ\{kπ,k∈ℤ} D. \ ,
2 k
D= π k∈
ℝ ℤ
Câu 74: Tìm hàm số lẻ hàm số
A. f x( )=sin sin x x B
4 tan
( )
2 cos =
+ x f x
x
C ( ) sin 2
3 cot =
+ x f x
x D. ( ) cos sin( )
π π
= + + −
f x x x
Câu 75: Cho hai hàm số f x( ) tan 4= x ( ) sin g x = x+π
Mệnh đề ?
A. f x( ) g x( ) hàm số chẵn B. f x( )là hàm số chẵn, g x( ) hàm số lẻ
C. f x( )là hàm số lẻ, g x( ) hàm số chẵn D. f x( ) g x( ) hàm số lẻ
Câu 76: Giải phương trình tan 3
x π
− =
A. x=450+k180 ,0 k∈ℤ B. x=1800 +k180 ,0 k∈ℤ
C. x=600 +k180 ,0 k∈ℤ D. x=450+k45 ,0 k∈ℤ
Câu 77: Giải phương trình sin2x− cos2x=2sin3 x
A.
3
x= − −π k π , 15
k
x= π + π k∈ℤ B
3
x= − +π kπ , 15
(55)C.
3
x= −π k π ,
5
k
x= π + π k∈ℤ D.
6
x= −π k π , 15
k
x= π + π k∈ℤ
Câu 78: Tìm tất giá trị của x để hàm số y=cos4x+4 cos2x+5 có giá trị lớn 10
A. ,
2 k
x= π k∈ℤ B. ,
2
x= +π kπ k∈ℤ
C. ,
2
x= − +π k π k∈ℤ D. x=kπ,k∈ℤ
Câu 79: Tính giá trị biểu thức 0 0
sin18 sin 54
E= +
A. E= −2 B. E=2 C. E= −1 D. E=1
Câu 80: Tìm tập xác định hàm số sin
1 x y
x + =
−
A. D=ℝ\ { } B. D= − 1;1 ) C. D=ℝ D. D= − 1;1
Câu 81: Hàm số sau hàm số không chẵn, không lẻ ?
A. y=2 cosx+1 B. y=2 sinx+x C. y=sinx+2 D.
2 cos
= −
y x x
Câu 82: Chosin cos
2
α+ α = Tính sin2 α
A sin
4
α = B sin
4
α = − C sin
8
α = D sin
4 α =
Câu 83: Tìm tập xác định hàm số tan
3 y= x+π
A. \ ,
6
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ B. \ ,
12 k
D= π + π k∈
ℝ ℤ
C. \ ,
2 k
D= π k∈
ℝ ℤ D. D=ℝ
Câu 84: Mệnh đề ?
A Hàm số y=2sinx+tanx hàm số lẻ khoảng 0;
π
B.Hàm số y=cosx+xsinx có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
C.Hàm số cos cos
π
= + +
y x x hàm số chẵn
D.Hàm số cos
4 cos =
+ x y
x có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
Câu 85: Kí hiệu M giá trị lớn hàm số: y=cos2 x−sin x Tìm M
A
4
M = B
4 =
M C
4
M= D
5 = M
Câu 86: Tính giá trị biểu thức E=tan90−tan270−tan630+tan81
A. E=2 B. E= −4 C. E=4 D. E= −2
Câu 87: Giải phương trình sin x=
A
6
x= π +kπ ,
6
x= − π +k π k∈ℤ B.
6
x= − +π k π ,
(56)C
6
x= +π kπ ,
x= π +kπ k∈ℤ D.
6
x= +π k π ,
x= π +k π k∈ℤ
Câu 88: Giải phương trình cos5x−2cos3x+sin5x=0
A
6
x= +π kπ ,
48 k
x= − π + π k∈ℤ B.
12
x= π +k π ,
48 k
x= π + π k∈ℤ
C
12
x= π +kπ , 48
k
x= π + π k∈ℤ D.
8
x= +π k π ,
48 k
x= π + π k∈ℤ
Câu 89: Hàm số y=cosx nghịch biến khoảng ?
A 19 ;10
2 π π
B
3 ; . 2
π π
−
C
11 ;7 2π π
D
11 ; π π − −
Câu 90: Nếu xét khoảng (0;2π) Trên khoảng hàm y=sinx y=cosx đồng biến ?
A ;
2 π π
B
3 0; π
C
3 ;2 . 2π π
D. (π π;2 )
Câu 91: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y= cos( + x)+1
A =1
ℝ
Min y =3 ℝ
Max y B =2
ℝ
Min y =3 ℝ
Max y
C. = −3
ℝ
Min y =1 ℝ
Max y D. = −1
ℝ
Min y =3 ℝ
Max y
Câu 92: Tìm tất giá trị x để hàm số cos
3
y= π +x+
có giá trị nhỏ −1
A. ,
3
x= +π k π k∈ℤ B 2 ,
3
x= π +k π k∈ℤ
C. ,
3
x= − +π k π k∈ℤ D 2 ,
3
x= − π +k π k∈ℤ
Câu 93: Tìm nghiệm âm lớn phương trình 2tan2 x+5tanx+ =3
A
4
x= − π B
6
x= − π C.
3
x= −π D.
4 x= −π
Câu 94: Cho biết tan =
x Tính giá trị biểu thức
3
2
sin cos 3sin sin 5sin cos sin
+ −
=
+ −
x x x
P
x x x x
A
5 = −
P B 14
23 =
P C 79
61 =
P D. 61
79 = P
Câu 95: Giải phương trình tan2 x− +( )1 tanx+ =1
A.
4
x= +π k π ,
6
x= +π k π k∈ℤ B
4
x= +π kπ ,
6
x= +π kπ k∈ℤ
C
3
x= +π kπ ,
6
x= +π kπ k∈ℤ D
4
x= − +π kπ ,
x= − +π kπ k∈ℤ
Câu 96: Kí hiệu m giá trị nhỏ hàm số: y=sin4 x−cos x Tìm m
A. m= −3 B. m= −1 C. m=4 D. m= −2
Câu 97: Giải phương trình sin3x=cos x
A ,
4
x= +π k π k∈ℤ B
8 k
x= +π π ,
4
(57)C.
8
x= +π k π ,
x= − +π kπ k∈ℤ D
8
x= +π kπ ,
x= +π k π k∈ℤ
Câu 98: Giải phương trình sin cos sin cos x x x π + = −
A. ,
3
x= +π kπ k∈ℤ B. ,
3
x= − +π k π k∈ℤ
C 2 ,
3
x= π +k π k∈ℤ D. ,
3
x= − +π kπ k∈ℤ
Câu 99: Giải phương trình sin3x=sin x
A
2
x= +π kπ x=k2 ,π k∈ℤ B x=kπ ,
k
x= +π π k∈ℤ
C
8
x= +π kπ ,
4
x= +π k π k∈ℤ D. ,
4
x= +π k π k∈ℤ
Câu 100: Cho góc α thỏa mãn
2 π
π α< < cos 41
α = − Tính tan
4 P= α +π
A 49
31
P= − B 31
49
P= − C 12
5
P= D 49
31 P=
Câu 101: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình sinx+sin2x=cosx+2cos x
A.
6
x=π B.
4
x=π C.
2
x=π D.
3 x=π
Câu 102: Tìm tập nghiệm S phương trình sinx−cosx=
A. ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k B. ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k
C ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k D ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k
Câu 103: Giải phương trình cos5 cos3 8sin( cos)
2 x x x x + − = A. 12
x= π +k π , 12
x= π +k π k∈ℤ B.
12
x= −π +k π ,
12
x= π +k π k∈ℤ
C
6
k
x= π + π , 12
k
x= π + π k∈ℤ D
12
x= π +kπ ; 12
x= π +kπ k∈ℤ
Câu 104: Tìm chu kì tuần hồn T hàm số tan cot
2 4
x x
y= −π + π −
A. T =8π B. T =4π C. T =2π D. T =6π
Câu 105: Giải phương trình sin5x+2 cos2x=1
A
6
x= +π k π , 14
x= π +k π k∈ℤ B
3 k
x= +π π , 3
k
x= − +π π k∈ℤ
C
6
x= − +π k π , 14
x= −π +k π k∈ℤ D
6 k
x= +π π ,
7
k
x= − +π π k∈ℤ
Câu 106: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y= −3 2sin x
A = −1
ℝ
Min y =5 ℝ
Max y B = −5
ℝ
Min y =1 ℝ
(58)C. =1 ℝ
Min y =5 ℝ
Max y D. = −5
ℝ
Min y = −1 ℝ
Max y
Câu 107: Giải phương trình 8cos2 sin cos4x x x=
A
32 k
x= π + π ,
32 k
x= π + π k∈ℤ B.
32 k
x= − π + π ,
32 k
x= π + π k∈ℤ
C.
32
x= π +k π ,
32
x= π +k π k∈ℤ D
32 k
x= π + π ,
32
x= π +kπ k∈ℤ
Câu 108: Giải phương trình sinx+ cosx=2sin2 x
A.
3
x= −π k π 2 ,
9
k
x= π + π k∈ℤ B
3
x= +π kπ ,
x= +π kπ k∈ℤ
C.
3
x= − −π k π ,
9
k
x= +π π k∈ℤ D.
6
x= −π k π ,
3
k
x= π + π k∈ℤ
Câu 109: Gọi m M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số 2 sin y
x =
− Tính P=m M
A. P=20 B
20 =
P C
4 =
P D. P=4
Câu 110: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số 3sin
6 π = − − y x
A. = −5
ℝ
Min y =1 ℝ
Max y B. = −1
ℝ
Min y =1 ℝ
Max y
C. = −5
ℝ
Min y =2 ℝ
Max y D. =1
ℝ
Min y =5 ℝ
Max y
Câu 111: Tìm tập xác định hàm số
cos cos3 y
x x
=
−
A. \ ,
2 k
D= π k∈
ℝ ℤ B. \ ,
3 k
D= π k∈
ℝ ℤ
C. \ ,
4
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ D. \ ,
2
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
Câu 112: Tìm số nghiệm phương trình sinx=cosx có số nghiệm thuộc đoạn −π π;
A.6 B.4 C.5 D.2
Câu 113: Tìm tập xác định hàm số tan y= x+π
A \ ,
20 k
D= π + π k∈
ℝ ℤ B \ ,
2
D= π +k π k∈
ℝ ℤ
C \ ,
5
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ D. \ ,
20 k
D= − π + π k∈
ℝ ℤ
Câu 114: Giải phương trình sin2x+cos2x=2cosx−1
A.
2
x= − +π k π, , ,
x=kπ x= +π k π k∈ℤ B
2
x= +π kπ , , 2 ,
x=kπ x= π +k π k∈ℤ
C
2
x= +π kπ , , ,
x=k π x= − π +kπ k∈ℤ D.
2
x= +π k π , , ,
x=k π x= π +kπ k∈ℤ
Câu 115: Cho a b, góc nhọn cot 3,cot
4
(59)A.
4
S=π B
14
S= π C.
6
S=π D
4 S= π
Câu 116: Giải phương trình 2cos2x+sinx=sin3 x
A
4
x= +π kπ ,
2
x= +π k π k∈ℤ B.
4
x= +π k π ,
x= +π kπ k∈ℤ
C
4 k
x= − +π π ,
3
x= +π k π k∈ℤ D
4 k
x= +π π ,
2
x= +π kπ k∈ℤ
Câu 117: Giải phương trình sin 2cos2 sin sin cot
x x
x x
x
+ + =
+
A , ,
2
x= π +kπ x= π +k π k∈ℤ B. , ,
2
x= − +π k π x= +π kπ k∈ℤ
C. , ,
2
x= +π k π x= +π kπ k∈ℤ D. , ,
2
x= +π kπ x= +π k π k∈ℤ
Câu 118: Giải phương trình sin3x− cos3x=2sin2 x
A 2 , ,
3 15
k
x= − π +k π x= π + π k∈ℤ B , ,
3 15
k
x= π +kπ x= π + π k∈ℤ
C , ,
3 5
k
x= +π k π x= π + π k∈ℤ D 2 , ,
3 15
k
x= π +k π x= π + π k∈ℤ
Câu 119: Giải phương trình sinx+cosx=2
A. ,
3
x= +π kπ k∈ℤ B. ,
3
x= +π k π k∈ℤ
C. ,
6
x= − +π k π k∈ℤ D. ,
6
x= +π k π k∈ℤ
Câu 120: Cho biết sin =
x Tính giá trị biểu thức tan cot tan cot
+ =
−
x x
H
x x
A
9 = −
H B 14
23 =
H C 61
79 =
H D
7 = − H
Câu 121: Cho hai hàm số f x( )= −x sinx ( ) cos sin 2
g x = + x π − x
Mệnh đề ?
A. f x( ) g x( ) hàm số lẻ B. f x( ) g x( ) hàm số chẵn
C. f x( )là hàm số lẻ, g x( ) hàm số chẵn D. f x( )là hàm số chẵn, g x( ) hàm số lẻ
Câu 122: Chu kì tuần hoàn hàm số y=sin3 cos3x x là:
A. T =6 π B.
3
T =π C T =3 π D. T =2 π
Câu 123: Giải phương trình sin 2 x=
A.
4
x= − +π k π ,
x= π +k π k∈ℤ B.
4
x= +π k π ,
4
x= − π +k π k∈ℤ
C
4
x= +π kπ ,
x= π +kπ k∈ℤ D.
4
x= +π k π ,
(60)Câu 124: Gọi X tập nghiệm phương trình cos 150 sin
x
x
+ =
Mệnh đề đúng?
A. 2900∈X B. 2200∈X C. 2400∈X D. 2000∈X
Câu 125: Tìm tập xác định hàm số tan cot
1 sin2
x x
y
x
+ =
−
A \
2 D=
ℝ B. \ ,
4
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
C. \ ;
2
k
D= π∪π +kπ k∈
ℝ ℤ D. D=ℝ\ 1{ }
Câu 126: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y=2 cosx +1
A. = −3
ℝ
Min y =1 ℝ
Max y B. = −3
ℝ
Min y =3 ℝ
Max y
C. = −1
ℝ
Min y =3 ℝ
Max y D. =1
ℝ
Min y =3 ℝ
Max y
Câu 127: Tìm tập xác định hàm số 3sin cos
x y
x
− =
A. D=ℝ\ { } B. \ ,
2
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
C. D=ℝ\{π+kπ,k∈ℤ} D. D=ℝ\ ,{k π k∈ℤ}
Câu 128: Tìm tất giá trị x để hàm số y=cos4 x+4 cos2 x+5 có giá trị nhỏ
A. ,
2
x= − +π kπ k∈ℤ B. ,
2
x= +π kπ k∈ℤ
C. ,
2
x= +π k π k∈ℤ D. ,
2
x= − +π k π k∈ℤ
Câu 129: Tìm tập nghiệm S phương trình sinx+cosx=
A ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k B. ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k
C ,
4
π π
= − + ∈
ℤ
S k k D. ,
4
π π
= + ∈
ℤ
S k k
Câu 130: Cho góc α thỏa mãn
π α π< < sin
α = Tính giá trị biểu thức sin P= α+π
A 15
10
P= B
2
P= − C
5
P= − D
2 P= −
Câu 131: Kí hiệu M giá trị lớn hàm số y=sinx+cos x Tìm M
A. M = B. M =2 C. M=1 D. M = −
Câu 132: Giải phương trình cos
2 x= −
A ,
6
x= ± π +kπ k∈ℤ B. ,
6
x= ± +π kπ k∈ℤ
C ,
6
x= ± π +k π k∈ℤ D. ,
6
(61)Câu 133: Tìm tập xác định hàm số tan cot sin2
x x
y
x
+ =
−
A. \ ;
2
k
D= π∪π +kπ k∈
ℝ ℤ B. \ ,
4
D= π +kπ k∈
ℝ ℤ
C. \ ,
2 k
D= π k∈
ℝ ℤ D \ ;
6 12
D= π +kπ∪π +kπ k∈
ℝ ℤ
Câu 134: Tính giá trị biểu thức
0
0 0
cos70 cos10
cos35 cos5 sin 35 sin
E= +
−
A
2
(62)59
Đại số giải tích 11 Chương I HSLG & PTLG ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A
B C D
10 1
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
10 7
10 8
10 9
11 0
11 1
11 2
11 3
11 4
11 5
11 6
11 7
11 8
11 9
12 0 A
B C D
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 A
(63)CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
-o0o -
§1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
Một số kí hiệu
Số phần tử tập hợp hữu hạn A, kí hiệu n(A) A Chẳng hạn: Nếu A={a b c; ; } thí ta nói số phần tử tập A 3, ta viết n A( ) 3= hay A =3
1 Qui tắc cộng
Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B Có n cách chọn phương án
A m cách chọn phương án B ( cách chọn phương án A không trùng với cách chọn phương án B) Khi cơng việc thực n + m cách
Tổng qt:
Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1, A2, ,Ak Có n1 thực phương án A1, n2 thực phương án A2,… nk thực phương án Ak Khi cơng việc thực hiện n1 + n2 + …+ nk cách
Giả sử A B tập hợp hữu hạn, khơng giao Khi đó: n A( ∪B) ( ) ( )=n A +n B (1) Cơng thức (1) mở rộng theo hai hướng:
a) Nếu A B hai tập hữu hạn n A( ∪B) ( ) ( ) (=n A +n B −n A∩B) (2) b) Nếu A A1, , ,2 Am tập hợp tuỳ ý, đơi khơng giao
( m) ( ) ( )1 ( )m n A ∪A ∪ ∪A =n A +n A + +n A Qui tắc nhân
Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực công đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo n.m cách
Tổng quát:
Giả sử công việc bao gồm k cơng đoạn Cơng đoạn A1 thể thực theo n1 cách, công đoạn
A2 thực theo n2 cách, ,cơng đoạn Ak thực theo nk cách Khi cơng việc thực n1 n2 … nk cách
B BÀI TẬP
Bài 1.1 Trong một lớp có 18 học sinh nam 12 học sinh nữ Hỏi có cách chọn a) Một bạn phụ trách lớp trưởng ?
b) Hai bạn, có nam nữ ?
HDGiải
a) Theo quy tắc cộng, ta có 18 + 12 = 30 cách chọn bạn phụ trách lớp trưởng ( nam nữ ) b) Muốn có hai bạn gồm nam nữ, ta phải thực hai hành động lựa chọn:
Chọn nam có 18 cách chọn, có bạn nam rồi, có 12 cách chọn bạn nữ Vậy theo qui tắc nhân, ta có 18.12 = 216 cách chọn thoả ycbt
Bài 1.2 Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, sách tiếng Anh khác sách tiếng Pháp khác Hỏi có cách chọn
a) Một sách ?
(64)a) Theo qui tắc cộng, ta có 10 + + = 24 cách chọn sách
b) Theo qui tắc nhân, ta có 10.8.6 = 480 cách chọn ba sách tiếng khác
c) Theo qui tắc nhân, có 10.8 = 80 cách chọn sách tiếng Việt tiếng Anh, có 10.6 = 60 cách chọn sách tiếng Việt tiếng Pháp có 8.6 = 48 cách chọn sách tiếng Anh tiếng Pháp Vậy có 80 + 60 + 48 = 188 cách chọn thoả ycbt
Bài 1.3 Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có cách chọn số số chẵn số nguyên tố ?
HDGiải
Kí hiệu A={2,4,6,8} tập số chẵn tập B={2,3,5,7,}là số nguyên tố Khi đó, số cách chọn số số chẵn số nguyên tố A∪B
Mặt khác, theo đề ta có n A( )=4,n B( )=4 A∩ =B { }2 hay n A( ∩B)=1 Theo qui tắc cộng mở rộng, ta có n A( ∪B) ( ) ( ) (=n A +n B −n A∩B)= + − =4
Vậy có cách chọn số thoả ycbt
Bài 1.4 Trong một trường THPT, khối 11 có: 260 học sinh tham gia câu lạc Tin học, 240 học sinh tham gia câu lạc Toán học, 50 học sinh tham gia hai câu lạc 100 học sinh không tham gia câu lạc bô hai câu lạc bô nêu Hỏi khối 11 trường có học sinh
HDGiải
Gọi tập hợp học sinh khối 11 trường THPT tham gia câu lạc Tinh học câu lạc Toán học A B
Khi tập hợp học sinh khối 11 trường tham gia câu lạc (Tin học Toán học) A∪B Theo toán, ta có n A( ) 260, ( ) 240,= n B = n A( ∩B)=50
Theo qui tắc cộng mở rộng, số học sinh khối 11 tham gia câu lạc (Tin học Toán học) ( ) ( ) ( ) ( ) 260 240 50 450
n A∪B =n A +n B −n A∩B = + − = Vậy khối 11 trường có 450 + 100 = 550 (học sinh)
Bài 1.5 Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn ?
HDGiải
Gọi số tự nhiên có hai chữ số chẵn có dạng ab, với a b, ∈{0;2;4;6;8} a≠0 Ta có:
4
a b
SCC Vậy có: 4.5 = 20 số thoả ycbt Bài 1.6 Cho tập B={1;2;4;5;7} Có thể lập từ B: a) Bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau?
b) Bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác ?
HDGiải
a) Gọi số gồm chữ số khác abcd ; chọn đối tượng a b c d, , , ∈B a, ≠ ≠ ≠b c d Ta có:
5
a b c d
SCC Vậy có: 5.4.3.2 = 120 số
b) Gọi số gồm chữ số khác abcd ; chọn đối tượng a b c d, , , ∈B a, ≠ ≠ ≠b c d Do số cần tìm số chẵn nên d∈{ }2; Ta có:
4 2
a b c d
SCC
Vậy có: 4.3.2.2 = 48 số c) Ta có: 120 48− =72 số
Bài 1.7 Cho tập B={0;1;2;3} Có thể lập từ B: a) Bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau?
(65)HDGiải
Áp dụng cách giải 1.6, lưu ý : Chọn số cần tìm abcd a≠0 a) Đs: 18 số thoả ycbt
b) Đs: 10 số thoả ycbt c) Đs: số thoả ycbt
Bài 1.8 Từ chữ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên a) Có chữ số (khơng thiết khác nhau)
b) Có chữ số khác ?
HDGiải
Gọi số có bốn chữ số dạng abcd, a b c d, , , ∈{1,5,6,7} a) Số có bốn chữ số khơng thiết khác
Ta có:
4 4
a b c d
SCC Vậy, theo qui tắc nhân, ta có 4.4.4.4 = 256 (số)
b) Số có bốn chữ số khác Ta có:
4
a b c d
SCC Vậy có 4.3.2.1 = 24 (số)
Bài 1.9 Một kết sắt có núm khố riêng biệt, núm khố có vòng đánh số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Một dãy chữ số cho cách mở kết Có phương án mở kết khác nhau?
HDGiải
Đặt B={0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9} Gọi abcde phương án mở kết tuỳ ý cần tìm Ta có:
10 10 10 10 10
a b c d e
SCC Vậy có
5
10 =100000 phương án mở két
Bài 1.10 Có số gồm ba chữ số có chữ số ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng abc a b c, , ∈{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Để số thoả ycbt có ba khả xảy ra: TH1 Các số có dạng ;(bc b≠5,c≠5), ta có cách chọn b cách chọn b
Vậy có 9.9 = 81 số dạng 5bc
TH2 Các số có dạng a c a5 ;( ≠{ }0;5 ,c≠5), ta có cách chọn a cách chọn c Vậy có 8.9 = 72 số dạng a5c
TH3 Các số có dạng ab5;(a≠{ }0;5 ,b≠5), ta có cách chọn a cách chọn b Vậy có 8.9 = 72 số dạng ab5
Tóm lại ta có: 81 + 72 + 72 = 225 số thoả ycbt
Bài 1.11 Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số lớn đôi khác ?
HDGiải
Đặt B={5,6,7,8,9} Gọi dạng số cần tìm abcde, a b c d e B, , , , ∈ Ta có:
5
a b c d e
SCC Vậy có: 5.4.3.2.1 = 120 số thoả ycbt
Bài 1.12 Cho chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7 Từ chữ số lập số, số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 10 ?
HDGiải
Đặt B={0;1;2;3;4;5;6;7} Gọi số cần tìm có dạng a a a a1 4, ai ≠a ij; ≠ j a, 1 ≠0, ,i j=1,4,ai∈B Do bốn số không chia hết cho 10 nên a4 ≠0 Ta có:
6
a a a a
(66)Vậy có : 6.6.5.7 = 1260 cách chọn số thoả ycbt
Bài 1.13 Từ chữ số 0;1;3;5;7 lập số, số gồm chữ số khác không chia hết cho 5?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng a a a a1 4, ai ≠a aj; 1 ≠0.Trong a a a a1, , ,2 3 4∈ =B {0;1;3;5;7} bốn số không chia hết a4 ≠{ }0;5
Ta có:
3 3
a a a a
SCC Vậy có : 3.3.3.2 = 54 cách chọn số thoả ycbt
Bài 1.14 Có số chẵn gồm số khác đơi chữ số chữ số lẻ ?
HDGiải
Gọi số có chữ số cần tìm có dạng: a a a a a a1 6 , ai ≠a aj; 1 ≠0,
{ }
1, , , , ,2 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
a a a a a a ∈ =B Do chữ số số lẻ nên a1∈{1,3,5,7,9}và số
chẵn nên a6∈{0;2;4;6;8} Ta có:
5 5
a a a a a a
SCC
Vậy ta có: 5.8.7.6.5.5 = 42000 số chọn thoả ycbt
Bài 1.15 Cho chữ số 0;1;2;3;4 Từ chữ số lập số chẵn có chữ số cho chữ số đó, chữ số có mặt lần ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng abcde, a b c d e B, , , , ∈ ={0;1;2;3;4}(a≠0 e số chẵn nên e∈{0;2;4} Khi ta xét trường hợp e
TH1 Số có dạng abcd0 Chọn a b c d, , , ∈ =B {1;2;3;4}thì ta có: 4.3.2.1 = 24 số chẵn dạng abcd0 TH2 Số có dạng abcde, e∈{ }2;4 có cách chọn, chọn a B∈ ={1;2;3;4 \} { }e có cách chọn,
chọn b B∈ ={0;1;2;3;4 \ ;} { }e a có cách chọn, chọn c B∈ ={0;1;2;3;4 \ ; ;} {e a b}có cách chọn chọn {0;1;2;3;4 \ ; ; ;} { }
d∈ =B e a b c có cách chọn Vậy: 2.3.3.2.1 = 36 Vậy có: 24 + 36 = 60 số thoả ycbt
Bài 1.16 Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có bốn cặp anh em sinh đơi Nhà trường cần chọn nhóm học sinh 50 học sinh dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn ?
HDGiải
Một nhóm học sinh cho khơng có cặp em học sinh sinh đơi nào, nên ta có TH sau: TH1 Trong nhóm có người có người bốn cặp sinh đôi
Chọn người bốn cặp sinh đơi có cách chọn người thứ nhất, có 50 – = 42 cách chọn người thứ có 41 cách chọn người thứ Vậy có 8.42.41 = 13776 cách chọn
TH2 Trong nhóm người khơng có bốn cặp sinh đơi Có 42 cách chọn người thứ nhất, 41 cách chọn người thứ hai 40 cách chọn người thứ ba Vậy có 42.41.40 = 68880 cách chọn
Tóm lại có: 13776 + 68880 = 82656 cách chọn
(67)a) Hỏi có cách chọn từ X đến Z qua Y ?
b) Có cách chọn đường từ X đến Z lại X đường không trùng với đường khác ?
HDGiải
a) Có cách chọn đường từ X đến Y có cách chọn đường từ Y đến Z Do có 4.5 = 20 cách chọn đường từ X đến Z qua Y
b) Khi trở từ Z đến Y cịn đường để chọn: có cách chọn Từ Y trở X có đường để chọn: có cách chọn Do có 3.4 = 12 cách chọn đường không qua đường Vậy có tất cả: 20 12 = 240 cách chọn đường tuyến đường từ X đến Z qua Y đường khác
Bài 1.18 Có đường từ A đến B, đường nối từ B đến C đường nối từ C đến D a) Có cách từ A đấn D mà qua B C lần?
b) Có cách từ A đến D quay lại A ?
HDGiải
a) Từ A đến B có đường, từ B đến C có đường, từ C đến D có đường Từ A muốn đến bắt buộc phải qua B C
Vậy theo qui tắc nhân, số cách từ A đến D 4.2.3 = 24 ( cách)
b) Tương tự, ta có số cách từ A đến D trở A 4.2.3.3.2.4 = 242 = 576 (cách)
Bài 1.19 Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh nhau?
HDGiải
Số có chữ số chữ số đứng cạnh số Ta xem (23) số a Khi gọi số cần tìm abcde (thay có chữ số), a b c d e B, , , , ∈ ={0;1;2;3;4;5} Ta có: cách chọn a, cách chọn b, có cách chọn c, có cách chọn d có cách chọn e, mà chữ số 2, đứng cạch nên hốn vị cho Vậy có : 4.3.2.1.2 = 192 số thoả ycbt
Bài 1.20 Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ
a) Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam, nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn?
HDGiải
a) Nhà trường cần chọn học sinh nên: Chọn nam có 280 cách chọn có 325 cách chọn nữ Vậy có: 280 + 325 = 605 cách chon
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ, nên có: Chọn nam có 280 cách chọn ứng với cách chọn nam ta có 325 cách chọn nữ
Vậy có: 280.325 = 91000 cách
Bài 1.21 Có số tự nhiên lớn 4000 có chữ số tạo thành từ chữ số 1, 3, 5, nếu: a) Các chữ số khơng thiết khác ?
b) Các chữ số khác ?
HDGiải
a) Gọi số có dạng abcd với a∈{ }5,7 , cịn b, c d thuộc {1,3,5,7} Do Số số cần tìm 2.4.4.4 = 128 số
b) Chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách, chọn c có cách d có cách Vậy có 2.3.2 = 12 cách chọn số
Bài 1.22 Có số tự nhiên lẻ khoảng (2000; 3000) tạo nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6 nếu:
(68)a) Các số lẻ khoảng (2000; 3000) có dạng 2abc với a b, ∈{1,2,3,4,5,6} c∈{ }1,3,5 Vậy có 6.6.3 = 108 số
b) Chữ số c có cách chọn, b có cách chọn a có cách chọn Vậy có 3.4.3 = 36 số
Bài 1.23 Có số tự nhiên gồm chữ số khác nằm khoảng (2000; 4000)
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng abcd
Số tự nhiên gồm chữ số khác nằm khoảng (2000; 4000) nên a chọn Do vậy: Số cách chọn a cách
Số cách chọn b cách Số cách chọn c cách Số cách chọn d cách Vậy: 2.9.8.7 = 1008 (số)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.24 Giữa hai thành phố A B có đường Hỏi có cách từ A đến B trở A mà khơng có đường hai lần ?
Bài 1.25 Có số nguyên dương gồm không ba chữ số khac ?
Bài 1.26 Một lớp có 40 học sinh, đăng kí chơi hai mơn thể thao: bóng đá bóng chuyền Có 30 em đăng kí mơn bóng đá, 25 em đăng kí mơn bóng chuyền Hỏi có em đăng kí hai mơn thể thao ?
Bài 1.27 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta lập bao nhieu số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số
Bài 1.28 Có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau?
Bài 1.29 Có số gồm chữ số khác lập từ chữ số 0, 2, 4, 6, ?
Bài 1.30 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập được: a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác ? b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ?
(69)§2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
A KIẾN THỨC CẦN NẮM GIAI THỪA
Cho n∈ℕ*, tích số 1,2,…,n gọi n giai thừa Kí hiệu n! Vậy n! = 1.2.3…n với n∈ℕ* Qui ước: 0! = 1; 1! =
Ta suy kết sau:
n! = n.(n – 1)! = n.(n – 1).(n – 2)! = n.(n – 1)(n – 2)…2.1 Nếu n m, ∈ℕ* n > m thì: ! ( 1)( 2) ( 1)
! n
n n n m
m = − − +
Ví dụ: 5! = 5.4.3.2.1 =120; 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 20! 20.19.18 6840
17!= =
I HOÁN VỊ
1.Định nghĩa:
Cho tập hợp A có n phần tử ( )n≥1 Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A( gọi tắt hoán vị A)
2 Số hoán vị n phần tử: Kí hiệu Pn Pn ! .(= n = n n−1).(n−2) 2.1
II CHỈNH HỢP
1.Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k Khi lấy k phần tử A (1≤ ≤k n) xếp k phần tử theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A(gọi tắt chỉnh hợp chập k A)
2 Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Kí hiệu A n knk( , ∈ℕ*) ( ! )! ( 1) ( 1)
k n
n
A n n n k
n k
= = − − +
−
Nếu k = n ! ! !
0! n
n n
n n
A = = = =n P Vậy chỉnh hợp n chập n gọi hốn vị n phần tử, từ suy ra: Ann =A Ank n kn k−− ;1≤ ≤k n
III TỔ HỢP
1.Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử số nguyên k với 1≤ ≤k n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp chập k A)
2 Số tổ hợp chập k n phần tử: Kí hiệu Cnk(1≤ ≤k n n, ∈ℕ*), !
!( )! k
n
n C
k n k
=
− Hay
! ( 1)( 2) ( 1)
!( )! ! !
k
k n
n
A
n n n n n k
C
k n k k k
− − − +
= = =
− Tính chất:
a) Cn0 = =1 C Cnn; n1 =n n; ∈ℕ* b) Cnk =Cnn k− ; 0≤ ≤k n c) Cnk+1=Cnk +Cnk−1; 1≤ <k n
d)
0
;0 n
k n n
n n n n n
k
C C C C C k n
=
= + + + + = ≤ ≤
∑
B BÀI TẬP
Bài 2.1 Có cách sắp xếp học sinh vào ngồi bàn dài đủ chỗ ngồi
HDGiải
(70)Bài 2.2 Có cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào mười ghế kê thành dãy ?
HDGiải
Mỗi cách xếp chỗ ngồi 10 khách theo hàng ngang cho hoán vị 10 ngược lại Vậy có 10! cách xếp
Bài 2.3 Có thể lập số gồm chữ số khác từ chữ số 1,2,3,4 ?
HDGiải
Trên tập B={1;2;3;4} Gọi số cần tìm có dạng abcd
Để thành lập số gồm bốn chữ số ta cần xếp chữ số tập B vào vị trí hàng nghìn a, hàng trăm b, hàng chục c hàng đơn vị d Vậy có tất cả: P4 = 4! = 24 số thoả ycbt (Dùng quy tắc đếm để giải
này)
Bài 2.4 Có thể lập chữ số lẻ gồm năm chữ số khác từ tậpB={0;1;2;3;4}
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng abcde a; ≠0;e∈{ }1;3 Ta xét hai trường hợp:
TH1 Dạng số: abcd a1; ≠0 Chọn a∈{2;3;4} có cách chọn, chọn b c d, , ∈{0;2;3;4 \} { }a số cách chọn số cách xếp ba số tuỳ ý tập {0;2;3;4 \} { }a vào nghìn b, hàng trăm c hàng chục d Nên có P3 = 3! = cách
Vậy có :3.6 = 18 số dạng abcd1
TH2, Dạng số abcd a3; ≠0.Lí luận tương tự ta có 18 số dạng abcd3 Tóm lại, ta có: 18 + 18 = 36 số thoả ycbt
Bài 2.5 Trong một vòng loại Olympic, tám đường bơi, vận động viên khơng lúc đích Hỏi có cách xếp hạng xảy ?
HDGiải
Tất vận động viên đích khơng lúc( khơng đến đích với người khác) đường bơi, cách xếp hạng vận động viên hoán vị phần tử xếp vào vị trí ( thứ hạng) phân biệt, khơng lặp
Nên ta có: P8 = 8! = 40320 kết
Bài 2.6 Tính tổng S tất số gồm chữ số khác số lập từ {1;2;3;4}
B= phép hoán vị ?
HDGiải
Phép hoán vị B cho ta thành lập số gồm bốn số khác là: P4 = 4! = 24 số
Để ý rằng, tất số viết dạng cặp đôi sau:
1234 1243 1423 1432 4123 2341 3241 3421 3124 2413 4213 4231
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
4321 4312 4132 4123 1432 3214 2314 2134 2431 3142 1342 1324
có tổng
tất 24 số, xếp cặp 12 cặp có tổng 5555 Vậy tổng S = 12.5555 = 66660
Bài 2.7 Chứng minh tập B={1;2;3;4;5;6;7}có thể lập thành số gồm bảy chữ số khác mà tổng chúng chia hết cho 720
HDGiải
Phép hoán vị P7 = 7! = 5040, cho ta số số gồm chữ số khác thành lập từ B Để ý
trong 5040 số tìm được, ta viết được: 5040 2520
2 = cặp số có tổng 888 888 Như 1234567 2134567 3124567; ; ;
7654321 6754321 5764321
Nên tổng S chúng là: S = 2520.8888888
Mà 720 = 90.8 2520 : 90 28
8888888 : 1111111
=
=
Vậy S chia hết cho 720 (thoả ycbt)
(71)sao cho:
a) Bạn C ngồi giữa?
b) Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế?
HDGiải
a) Xếp C ngồi có 1(cách), Xếp A, B, D, E vào bốn chỗ cịn lại có P4 = 4! = 24 (cách) Vậy có
tất 24 cách xếp thoả ycbt
b) Xếp A, E ngồi hai đầu ghế có 2! = (cách), xếp B, C, D vào ba chỗ cịn lại có 3! = (cách) Vậy có tất 2.6 = 12 cách thoả ycbt
Bài 2.9 Trong một phịng học có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi, nếu:
a) Tất học sinh ngồi tuỳ ý ?
b) Tất học sinh nam ngồi bàn học sinh nữ ngồi bàn?
HDGiải
a) Hai bàn 10 ghế, nên xếp 10 học sinh ngồi tuỳ ý, hốn vị 10 học sinh ứng với 10 ghế Vậy có P10 = 10! = 628 800 cách thoả ycbt
b) Ta có: ghế xếp cho học sinh nam có: 5! cách xếp ghế xếp cho học sinh nữ có : 5! cách xếp Vậy hai bàn có: 2.(5!)(5!) = 28800 cách xếp thoả ycbt
Bài 2.10 Có thể lập số chẵn có chữ số khác lấy từ 0; 2;3;6;9?
HDGiải
Tập B={0;2;3;6;9} Số chẵn số có tận 0; từ tập B
- Nếu môt số có chữ số tận bốn chữ số đầu hoán vị 2; 3; ;9 tacó P4 = 4! số
vậy
- Nếu số có chữ số tận bốn chữ số đầu hốn vị 0; 3; 6; loại bỏ hốn vị đầu Ta có: P4 = 4! Trong P3 = 3! hốn vị bắt đầu Vậy có chữ số tận là: P4
– P3 = 4! – 3!
- Tương tự cho chữ số tận là: P4 – P3 = 4! – 3!
Tóm lại có tất là: 4! + 4! – 3! + 4! – 3! = 60 thoả ycbt
Bài 2.11 Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc a) Có cách xếp khác ?
b) Có cách xếp cho khơng có học sinh giới tính đứng kề ?
HDGiải
a) Cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc là: 10! = 628 800 cách
b) Giả sử học sinh nam xếp vào vi trị chẵn có: 5! (cách), học sinh nữ xếp váo vị trí lẻ có: 5! (cách) Sau đổi chỗ: chẵn cho nữ lẻ cho nam nên có: 2!(cách)
Vậy có: 5!.5!.2! = 28800(cách)
Bài 2.12 Có số gồm chữ số khác đôi lập cách dùng bảy chữ số 1;2;3;4;5;7;9 cho chữ số chẵn không nằm liền ?
HDGiải
Các số có chữ số lấy từ tập B={1;2;3;4;5;7;9}là hoán vị phần tử Vậy số cần tìm là: P7 = 7! (số)
Các số có chữ số mà chữ số chẵn 2; đứng kề là: 2!.6! (số) Vậy số thoả ycbt: 7! – 2!.6! = 3600(số)
Bài 2.13 Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, có An Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, cho:
a) Hai bạn An Bình ngồi cạnh ? b) Hai bạn An Bình khơng ngồi cạnh nhau?
HDGiải
a) Có 2.9 = 18 cách xếp chỗ cho An Bình ngồi cạnh nhau, bạn xếp vào chỗ cịn lại Vây có 8! Cách xếp bạn cịn lại có 18.8! cách xếp cho An Bình ngồi cạnh
b) Có 10! Cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn Từ có 10! – 18.8! = 72.8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An Bình khơng ngồi cạnh
(72)a) Tìm số cách xếp học sinh ngồi vào bàn ?
b) Tìm số cách xếp học sinh cho hai học sinh A B không ngồi cạnh nhau?
HDGiải
a) Mỗi cách xếp học sinh ngồi vào chỗ có ghi số thứ tự hoán vị phần tử Vậy số cách xếp là: P6 = 6! = 720(cách)
b) Mỗi cách xếp A B B A theo thứ tự ngồi cạnh hốn vị phần tử Vậy cách xếp A B ngồi cạnh là: 2.P5 = 2.5!(cách)
Vậy số cách xếp cần tìm là: 720 – 2.5! = 480(cách)
Bài 2.15 Từ ba đỉnh tam giác ABC lập vectơ khác vectơ O
HDGiải
Hai điểm phân biệt xác định hai vectơ khác vectơ O
Từ ba đỉnh A, B, C tam giác ABC khơng có điểm thẳng hàng hai điểm tuỳ ý ln phân biệt Do ta lấy hai điểm tuỳ ý ba điểm số vectơ lập chỉnh hợp chập phần tử
Vậy: 32 3! 3.2
(3 2)!
A = = =
− (vectơ)
Bài 2.16 Cho một đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có vectơ khác vectơ O
với điểm đầu điểm cuối đỉnh đa giác ?
HDGiải
Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh , hai đỉnh ln phân biệt đỉnh khơng thẳng hàng Do ta lấy điểm tuỳ ý 15 điểm số vectơ lập chỉnh hợp chập 15 phần tử Vậy số vectơ là: 152 15! 15.14 210
(15 2)!
A = = =
− (vectơ)
Bài 2.17 Một câu lạc Toán học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn thành viên làm giám đốc CLB, thành viên làm phó giám đốc CLB thành viên làm kế tốn trưởng CLB Hỏi có cách chọn để bầu mà khơng có kiêm nhiệm ?
HDGiải
Khi bầu chọn thành viên 14 thành viên làm giám đốc, phó giàm đốc kế tốn trưởng (k < n) thứ tự cần đảm bảo
Nên cách số cách chọn để bầu người không kiêm nhiệm là: 143 14! 2184 (14 3)!
A = =
− (cách)
Bài 2.18 Có số nguyên dương gồm chữ số khác không khác đôi một?
HDGiải
Mỗi số cần tìm có dạng: a a a a a1 5, ai ≠a ij; ≠ j ai∈{1;2;3;4;5;6;7;8;9 ,} i=1, ,5 Như ta coi số dạng chỉnh hợp chập chữ số Vậy số cần tìm là:
5
9! 15120 (9 5)!
A = =
− (số)
Bài 2.19 Giả sử có bảy bơng hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba bơng hoa vào ba lọ cho ( lọ cắm bông)?
HDGiải
Vì bảy bơng hoa màu khác ba lọ cắm hoa khác nên lần chọn ba hoa để cắm vào ba lọ, ta có chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách cắm hoa vào ba lọ khác là:
3
7!
210 (7 3)!
A = =
− (cách)
Bài 2.20 Có cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác nhau?
HDGiải
Mắc nối tiếp bóng đèn từ bóng đèn khác chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách mắc là: 64 6! 360
(6 4)!
A = =
(73)Bài 2.21 Từ B={0;1;3;5;7}có thể lập số gồm ba chữ số khác ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng: abc a; ≠0 xét hai thường hợp TH1 Chọn a B∈ \ 0{ }⇒ có cách chọn
TH2 Chọn b c B, ∈ \{ }a tương đương việc xếp chữ số tuỳ ý b c B, ∈ \{ }a vào hai vị trí cịn lại (k < n tình thứ tự phải đảm bảo) ⇒ có 42 4! 12
(4 2)!
A = =
− cách chọn
Vậy số cần tìm là: 4.12 = 48 (số)
Cách khác: Số có nghĩa khơng có nghĩa gồm ba chữ số lập từ B chinh hợp chập phần tử B 53 5! 60
(5 3)!
A = =
− (số) Số số nghĩa: 0bc cần loại bỏ tương đương việc xếp
{ }
, 1;3;5;7
b c∈ vào hai vị trí cị lại tính thứ tự phải bảo đảm Số chỉnh hợp chập phần tử:
4
4! 12 (4 2)!
A = =
− (số)
Vậy số cần tìm là: 60 – 12 = 48 số
Bài 2.22 Cho tập B={0;1;2;3;4;5} Có thể lập số chẵn, số gồm chữ số khác nhau ?
HDGiải
Gọi số cần tìm là: abcde a; ≠0;e∈{0;2;4}và a b c d, , , ∈{0;1;2;3;4;5} Xét trường hợp: TH1 Dạng số abcd a0; ≠0, Chọn a b c d, , , ∈{1;2;3;4;5} có 54 5! 120
(5 4)!
A = =
− (số dạng abcd0)
TH2 Dạng số abcd abcd a2; 4; ≠0 Chọn a∈{1;3;4;5 } hay a∈{1;2;3;5}đều có cách chọn, chọn
{ }
, , , 1;2;3;4;5
a b c d∈ có 43 4! 24 (4 3)!
A = =
− số Vậy số dạng abcd abcd a2; 4; ≠0 có 2.4.24 = 192(số)
Vậy số cần tìm là: 120 + 192 = 312 (số )
Bài 2.23 Với tập B={0;1;2;3;4;5;6}, ta lập số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng: abcde a; ≠0; , , , ,a b c d e B∈ Số có chữ số phải có mặt chữ số ta xét trường hợp:
TH1 Dạng 5bcde, chọn b c d e, , , ∈{0;1;2;3;4;6} có 64 6! 360 (6 4)!
A = =
− (số)
TH2 Dạng a cde ab de abc e abcd5 ( ; ; ;) a≠0 Chọn a∈{1;2;3;4;6}có cách chọn, chọn
{ } { }
, , 0;1;2;3;4;6 \
b c d∈ a có 53 5! 60
(5 3)!
A = =
− (số)
Có bốn số dạng nên có 4.60 =1200 (số) Vậy có 360 + 1200 = 2560 số thoả ycbt
Bài 2.24 Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập số chẵn, số gồm chữ số khác nhau?
HDGiải
Số cần tìm có dạng abcde a; ≠0; , , , ,a b c d e B∈ ={0;1;2;3;4;5;6}và số chẵn TH1 Dạng abcd0 Chọn a b c d, , , ∈{1;2;3;4;5;6} có 64 6! 360
(6 4)!
A = =
(74)TH2 Dạng abcd2(abcd abcd4; ;) a≠0 Chọn a∈{1;3;4;5;6 \} { }e có cách chọn, chọn
{ } { }
, , 0;1;3;4;5;6 \ ;
b c d∈ a e có 53 5! 60 (5 3)!
A = =
− (số)
Vậy có 60 = 300 số dạng abcd2
Có ba số dạng nên có: 3.300 = 900 số Tóm lại có: 360 + 900 = 1260 số thoả ycbt
Bài 2.25 Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)?
HDGiải
Số có chữ số khác chia hết cho 10 có dạng: abcd a0; ≠0
{ }
, , , 1;2;3;4;5;6;7;8;9
a b c d∈ =B a≠0, ta có 94 9! 3024 (9 4)!
A = =
− số thoả ycbt
Bài 2.26 Cho chữ số 1;2;3;4;5;6 Có thể tạo số gồm chữ số khác nhau? Trong có số chia hết cho ?
HDGiải
Số gồm bốn chữ số khác có dạng abcd a; ≠0
{ }
, , , 1;2;3;4;5;6
a b c d∈ =B nên ta có: 64 6! 360 (6 4)!
A = =
− (số)
Số abcd a; ≠0 chia hết cho d = chọn a b c, , ∈{1;2;3;4;6}có
5
5! 60 (5 3)!
A = =
− (số )
Bài 2.27 Từ tập B={0;1;2;3;4;5;6} lập : a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác ?
b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ?
HDGiải
a) Nếu kể trường hợp số đứng đầu, ta có: A75 số tự nhiên gồm chữ số khác
Trong A75 số gồm có A64 số gồm chữ số mà chữ số đứng đầu Vậy số gồm chữ số khác lập từ tập B là: A75−A64 =2160(số)
b) Xem 2.22
Bài 2.28 Xét chữ số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2,3,4,5 Hỏi có số thế, nếu:
a) chữ số xếp kề ? b) Các chữ số xếp tuỳ ý ?
HDGiải
a) Gọi nhóm 11111 số a Bài toán yêu cầu ta cần xếp năm số : a,2,3,4,5 vào vị trí khác Số cách xếp là: P5 = 5! = 120 số thoả ycbt
b) Lập số có chữ số thoả mãn yêu cầu, thực chất việc xếp bốn số 2,3,4,5 vào vị trí tuỳ ý vị trí, cịn vị trí cịn lại chữ số lặp lần
Vậy có: 94 9! 3024 (9 4)!
A = =
− số thoả ycbt
Bài 2.29 Cần phân công ba bạn từ tổ có 10 bạn để trực nhật Hỏi có cách phân cơng khác nhau ?
HDGiải
Kết phân cơng nhóm gồm ba bạn, tức tổ hợp chập 10 ban Vậy số cách phân công là: 103 10! 120
3!(10 3)!
C = =
− ( cách)
(75)với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14 đường thẳng cho ?
HDGiải
Gọi A B tập hợp đường thẳng song song với đường thẳng song song cắt đường thẳng cho Mỗi hình bình hành tạo hai đường thẳng tập A hai đường thẳng tập B Vậy số hình bình hành cần tìm là: C C62 82 =15.28 420= (hình)
Bài 2.31 Có tam giác mà đỉnh chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm nằm đường tròn?
HDGiải
Cứ ba điểm dựng tam giác Vậy dựng 103 10! 120 3!(10 3)!
C = =
− tam giác
Bài 2.32 Một đa giác lồi 20 cạnh có đường chéo ?
HDGiải
Số đoạn nối hai đỉnh đa giác cho C202 , số cạnh đa giác 20 Vậy số đường chéo cần tìm là:
20 20 170
C − = đường chéo
Bài 2.33 Một nhóm có 10 học sinh, dự định bầu ban đại diện gồm người a) Có cách bầu dự định ?
b) Có cách bầu dự định, bắt buộc cách bầu phải có mặt nhóm trưởng ?
HDGiải
a) Chọn ba học sinh ( k = 10 học sinh đại diện n =10) để có cách bầu (khơng tính thứ tự) Nên số cách bầu là: 103 10! 120
3!(10 3)!
C = =
− (cách)
b)Để ý cách bầu đại diện phải có mặt nhóm trưởng, tương đương việc chọn đại diện người ( khơng có nhóm trưởng) Nên số cách bầu là: 92 9! 36
2!(9 2)!
C = =
− (cách)
Bài 2.34 Một tổ sinh viên có 20 em, em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Cần lập nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Hỏi có cách lập nhóm thực tế từ tổ sinh viên ?
HDGiải
Số cách chọn em biết tiếng Anh là: m1 =
3 56 C = cách Số cách chọn em biết tiếng Pháp : m2 = C74 =35 cách Số cách chọn em biết tiếng Đức : m3 = C52 =10 cách
Vậy số cách lập nhóm thực tế là: M = m1.m2.m3 = 19600(cách)
Bài 2.35 Một tổ gồm có nam nữ Cần lấy nhóm người có nữ Hỏi có cách chọn ?
HDGiải
Có m1 = C62 =15 cách chọn nữ có m2 = C83 =56 cách chọn nam
Vậy có tất cả: M = m1.m2 = 15.56 = 840 cách chọn thoả ycbt
Bài 2.36 Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm
phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm 37 điểm chọn d1 d2
HDGiải
Trên d1 có 17 điểm phân biệt, số đoạn thẳng nối hai đầu mút 17 điểm là: C172 =136(
đoạn thẳng)
Tương tự: có C202 =190( đoạn thẳng với đầu mút ) 20 điểm cho d2
Xét điểm cho 17 điểm d1, ứng với đoạn gồm điểm 20 điểm d2 ta
một tam giác Nên có 17.190 = 3230 tam giác với đỉnh d2, đỉnh d1
Tương tự có 20 136 = 2720 tam giác với đỉnh d1, đỉnh d2
(76)bao nhiêu hình bình hành mặt phẳng ?
HDGiải
Gọi A B tập hợp đường thẳng song song với 10 đường thẳng song song cắt đường thẳng cho Mỗi hình bình hành tạo hai đường thẳng tập A hai đường thẳng tập B Vậy số hình bình hành cần tìm là: C C92 102 =36.46 1620= (hình)
Bài 2.38 Một tổ có nam sinh nữ sinh Giáo viên cần chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, có nam sinh Hỏi có cách chọn ?
HDGiải
Số cách chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, có nam sinh là: C C42 17+C C41 72+C73 =161 ( cách)
Bài 2.39 Có nhà Tốn học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ Cần có nhà Tốn học nhà Vật lý Hỏi có cách lập ?
HDGiải
Để ý giả thiết yều cầu có nam nữ, có nhà Tốn học nhà Vật lý Nên đồn cơng tác cần phải có nhà Vật lý ln Nam nhà Tốn học nữ Lúc người thứ ba là: nhà Tốn học nam nhà Vật lý nam nhà toán học nữ
Vậy có: C C C51 .31 41+C C32 14+C C31 42 =90 cách chọn thoả ycbt
Bài 2.40 Có số gồm chữ số khác đôi có chữ số lẻ chữ số chẵn ( chữ số phải khác 0)?
HDGiải
Số cần tìm có dạng abcdef , với a,b,c,d,e,f thuộc vào hai nhóm
TH1 Nhóm chữ số chẵn lẻ: {0;2;4;6;8 ; 1;3;5;7;9} { } Lấy chữ số lẻ số lẻ có: C53 =10cách Lấy chữ số chẵn chữ số chẵn có: C53 =10 cách Do nhóm chữ số chẵn chữ số lẻ khác tạo nên có 6! = 720 số có chữ số ( kể a = 0)
Vậy có: 10.10.720 = 72000số chữ số khác nhau, chữ số lẻ chữ số chẵn (kể a = 0) TH2 Khi a = Lấy chữ số lẻ số lẻ có: C53 =10cách Lấy chữ số chẵn chữ số chẵn có:
2
C = cách Do nhóm chữ số chẵn chữ số lẻ khác tạo nên có 5! = 120 số
Vậy có: 10.6.120 = 7200số chữ số khác nhau, chữ số lẻ chữ số chẵn số
Tóm lại có 72000 – 7200 = 64800 số lập thoả ycbt
Bài 2.41 Có tam giác mà đỉnh chúng đỉnh thập giác?
HDGiải
Mỗi tam giác tạo tập hợp đỉnh thập giác ngược lại Như vậy, số tam giác số tổ hợp chập 10 đỉnh, tức : C103 =120
Bài 2.42 Có đường chéo thập giác ?
HDGiải
Từ 10 đỉnh thập giác kẻ C102 =45 đoạn thẳng có 10 cạnh thập giác Vậy ta có: 45 – 10 = 35 (đường chéo)
Bài 2.43 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn bốn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn ?
HDGiải
Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho C124 =495
(77)Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn cần tìm là: 495 – 270 = 225
Bài 2.44 Chứng minh 1
1
1 1
2 k k k
n n n
n
n C + C ++ C
+ + =
+ (n, k số nguên dương, k≤n)
HDGiải
Ta có
1
1
1 1 !( )! ( 1)!( )!
2 k k ( 1)!
n n
n n k n k k n k
n C + C ++ n n
+ + = + + − + + −
+ + +
1 . !( )![( 1 ) ( 1)] !( )!
2 ! ! k
n
k n k k n k
n k k
n n n C
− −
= + − + + = =
+
Bài 2.45 Tìm giá trị biểu thức
4
1 ( 1)!
n n
A A
M n + +
=
+ Biết
2 2
1 2 149
n n n n
C + + C + + C + +C + =
HDGiải
Điều kiện n≥3,n∈ℕ Ta có 21 2 2 2 3 4 149 5
n n n n
n
C C C C n n
n
+ + + +
=
+ + + = ⇔ + − = ⇔
= −
Nhận n =
4
6
6!
A A
M= + =
Bài 2.46 Chứng minh với 4≤ ≤k n k n, , ∈ℤ+ ta có:
1
4
4
k k k k k k
n n n n n n
C + C − + C − + C − +C − =C +
HDGiải
Sử dụng PP nhóm hạng tử thích hợp sử dụng đẳng thức Pa-xcan
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
1
1 1
1 2
1 1 1
1
2 2
1
2 2
VT= 3
3
2
k k k k k k k k
n n n n n n n n
k k k k
n n n n
k k k k k k
n n n n n n
k k k
n n n
k k k k
n n n n
C C C C C C C C
C C C C
C C C C C C
C C C
C C C C
− − − − − − −
− − −
+ + + +
− − − − −
+ + + + + +
− −
+ + +
− − −
+ + + +
+ + + + + + +
= + + +
= + + + + +
= + +
= + + +
1
3
k k k
n n n
C + C +− C + VP
= + = =
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2.47 Cô giáo chia quả táo, cam chuối cho cháu (mỗi cháu quả) Hỏi có cách chia khác ? (Đs: 1260 cách)
Bài 2.48 Có tập tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ? (Đs: 16 tập con)
Bài 2.49 Trong một đa giác bảy cạnh, kẻ đường chéo Hỏi có giao điểm đường chéo, trừ đỉnh ? (Đs: 35 giao điểm)
Bài 2.50 Tìm số nguyên dương gốm năm chữ số cho chữ số số lớn chữ số bên phải nó.(Đs: 252 số)
Bài 2.51 Có cách xếp chỗ cho bạn nữ bạn nam ngồi vào 10 ghế mà hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, nếu:
a) Ghế thành hàng ngang ? (Đs: 4!.C74 cách) b) Ghế quanh bàn tròn ?(Đs: 5!.A64cách)
(78)a 7!4! 8! 9! 10! 3!5! 2!7! A= −
(Đs:
2 A= ) b
2 5 10
A A
B
P P
= + (Đs: B = 46)
c C=P A1 21+P A2 32+P A3 43+P A4 54−P P P P1 4(Đs: C = 2750) d 54 43 32 21 52
5 5
P P P P
D A
A A A A
= + + +
(Đs: D = 42)
e
4
4
A A
E
A
+
= (Đs: E = 20)
f
2 3
6 15
3
1 1
3C 3C 65C F
P A
− +
= (Đs:
36 F= )
g
98 998 100 1000
2
1000 100
C C
G
C C
+ =
+ (Đs: G = 1)
h H =C C53 42+C C42 31+C C3 31 0(Đs: H = 81)
Bài 2.53 Chứng minh rằng: a) Pn – Pn – = (n – 1)Pn –
b) CMR: với 1≤ ≤k nta có: Cnk++11=Cnk+Cnk−1+ + Ckk+1+Ckk HD: Ta có:
1
1
1
1
1
2 1
k k k
n n n
k k k
n n n
k k k
k k k
C C C
C C C
C C C
+ +
+
+ +
− −
+ +
+ + +
= +
= +
= +
=> đpcm
Bài 2.54 Giải phương trình sau: ( ,x n∈ℕ)
a) 2Ax2+50= A22x;x∈ℕ( Đs: x = 5) b) ! ( 1)! ( 1)! x x
x
− − =
+ (Đs: x = v x = 3)
c) Px+3 =720 A Px5 x−5(Đs: x = 7) d) 3 1
n n n
A + A = P+ (Đs: n = 4) e) A Cx2 xx−1=48(ĐK: x≥1, Đs: x = 4) f)
4
1 1
x x x
C −C =C (ĐK: x
C có nghĩa 0≤ ≤x 4⇒x=2 nghiệm)
Bài 2.55 Giải phương trình sau:
a) C14k +C14k+2 =2C14k+1(ĐK: 0≤ ≤k 12;k∈ℕ, Đs: k = v k = 8) b) C1x+6Cx2+6Cx3 =9x2 −14x(ĐK: x≥3,x∈ℕ, Đs: x = 7)
c) Cxx−1+Cxx−2+Cxx−3+ + Cxx−10 =1023(ĐK: x≥10,x∈ℕ, x = 10) d) Cxy+1:Cxy+1:Cxy−1=6 : : 2(Đs: x = 8, y = 3)
e) (Axy−1+yAxy−−11):Axy−1:Cxy−1 =10 : :1(Đs: x = 7, y = 3)
Bài 2.56 Chứng minh rằng: a k k( −1)Cnk =n n( −1)Cnk−−22
(79)d Cn +3Cn +3Cn +Cn =Cn+3;(3≤ ≤k n n; ∈ℕ )
e Cnk +4Cnk−1+6Cnk−2+4Cnk−3+Cnk−4 =Cnk+4;(4≤ ≤k n n; ∈ℕ*) (HD: Áp dụng công thức biến đổi Cnk =Cnk−1+Cnk−−11;0≤ ≤k n)
Bài 2.57 Giải phương trình sau
(80)§3 NHỊ THỨC NIU-TƠN
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Công thức nhị thức Niu-Tơn
Với hai số thực a b tuỳ ý với số n nguyên dương ta có
( ) 1 2
0
(1)
n n n n k n k k n n
n n n n n
n
k n k k n k
a b C a C a b C a b C a b C b
C a b
− − −
− =
+ = + + + + + +
=∑
(1) gọi cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn Tính chất nhị thức Niu-tơn
a) Số số hạng tử công thức n +
b) Số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng từ đến n đồng thời tổng số mũ a b hạng tử n
c) Số hạng tổng qt cơng thức có dạng Tk+1 =C ank n k− bk;(k=0,1, , )n
d) Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu cuối nhau: Cnk =Cnn k− ;0≤ ≤k n Một số dạng đặc biệt
Dạng Thay a = b = x vào (1), ta được:
0 2 1
(1 )n n n n n(2)
n n n n n
x C C x C x C − x − C x
+ = + + + + + chox=1⇒Cn0 +Cn1+Cn2+ + Cnn =2n Dạng Thay a = 1, b = - x vào (1), ta được:
0 2
(1 )n ( 1)k k k ( 1)n n n (3)
n n n n n
x C C x C x C x C x
− = − + − + − + + −
và thay x=1⇒Cn0−Cn1+Cn2 − + − ( 1)nCnn =0
B BÀI TẬP Bài 3.1 Khai triển (b a+ )6 thành tổng đơn thức?
HDGiải
Theo công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn, ta có:
6 3 4 5 6
6 6 6 6
6 3
( )
6 15 20 15
b a C a C a b C a b C a b C a b C ab C b
a a b a b a b a b ab b
+ = + + + + + +
= + + + + + +
Bài 3.2 Khai triển (x a− )5 thành tổng đơn thức?
HDGiải
Theo công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có:
5 2
5 2
( ) ( ) ( ) 10 ( ) 10 ( ) ( ) ( )
5 10 10
x a x a x x a x a x a x a a
x x a x a x a xa a
− = + − = + − + − + − + − + −
= − + − + −
Bài 3.3 Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: a) 2n =Cn0+C1n+Cn2+Cn3+ + Cnn
b) C21n+C23n+ + C22 1nn− =C20n +C22n+ + C22nn
HDGiải
a) Ta có ( )1+x n =Cn0+C x C xn1 + n2 2+ + Cnn−1xn−1+C xnn n (1)
Chọn x = thay vào (1), ta được: 2n =Cn0+Cn1+Cn2 +Cn3+ + Cnn b) Ta có ( )1+x 2n =C20n+C x C x21n + 22n 2+ + C22 1nn−x n− +C x22nn 2n (2)
Chọn x = -1, thay vào (2), ta được: 0=C20n−C12n+C x22n 2+ − C22 1nn− +C x22nn 2n Suy ra: C21n+C23n+ + C22 1nn− =C20n+C22n+ + C22nn
(81)Bài 3.4 Chứng minh rằng: Cn −4 −Cn +4 − Cn − + − ( 1)Cn =Cn +2Cn+2 Cn + + Cn
HDGiải
Ta có: (a b+ )n =C an0 n+C a b C an1 n−1 + n2 n−2 2b + + C ank n k− bk+ + C bnn n Nhận xét VT = 4nCn0−4n−1Cn1+4n−2Cn2− + − ( 1)Cnn = −(4 1)n =3n Nhận xét VP C= n0+2Cn1+22Cn2+ + 2nCnn = +(1 2)n =3n
Suy ra: 4nCn0−4n−1Cn1+4n−2Cn2− + − ( 1)Cnn =Cn0 +2Cn1+22Cn2 + + 2nCnn
Bài 3.5 Cho tập A tập hợp có 20 phần tử Hỏi có tập tập A?
HDGiải
Số tập A khơng có phần tử C200 Số tập A có phần tử C120 Số tập A có phần tử C202
……… Số tập A có 20 phần tử C2020
Suy ra, tổng số tập A là: C200 +C120+C202 + + C2020 =220
Bài 3.6 Tính tổng:
a) A C= 50+C51+C52+C53+C54 +C55 b) B C= 60+3C61+32C62+33C63+ + 36C66 c) C=Cn0+2Cn1+22Cn2+ + 2nCnn d) D C= 116 +C117 +C118 +C119 +C1110+C1111
HDGiải
a) A C= 50+C15+C52+C53+C54 +C55 = +(1 1)5 =25
b) B C= 60+3C61+32C62 +33C63+ + 36C66 = +(1 3)6 =46 c) C =Cn0 +2Cn1+22Cn2+ + 2nCnn = +(1 2)n =3n d) Áp dụng công thức Cnk =Cnn k−
Khi D C= 116 +C117 +C118 +C119 +C1110+C1111=C115 +C114 +C113 +C112 +C111 +C110 Do đó: 2D C= 110 +C111 +C112 + + C1110+C1111= +(1 1)11=2048⇒D=1024
Bài 3.7 Tính giá trị biểu thức sau: a) A C= 20090 +C12009+C20092 + + C20092009
b) B C= 20090 −C20091 +C20092 − + − ( 1)2009C20092009 c) C=C20090 +2C20091 +22C20092 + + 22009C20092009 d) D=3C20090 +32C12009+33C20092 + + 32010C20092009
HDGiải
Ta có: ( )1+x 2009 =C20090 +C20091 x C+ 20092 x2+ + C20092009 2009 1− x − +C20092009 2009x (1)
a) Chọn x = thay vào (1), ta được: A C= 20090 +C20091 +C20092 + + C20092009 = +(1 1)2009 =22009 b) Chọn x = -1 thay vào (1), ta được: B C= 20090 −C20091 +C20092 − + − ( 1)2009C20092009 = −(1 1)2009 =0 c) Chọn x = 2, thay vào (1), ta được: C=C20090 +2C12009+22C20092 + + 22009C20092009 = +(1 2)2009 =32009 d) D=3(C20090 +3C20091 +32C20092 + + 32009C20092009) chọn x = thay vào (1), ta được:
( 2 2009 2009) 2009 2009 2009 2009 2009 2009
3 3 3(1 3) 3.4
D= C + C + C + + C = + =
Bài 3.8 Tính:
(82)HDGiải
1 2 3 2
2 2
) 10 10 10 10 n n 10 n
n n n n
a A= − C + C − C + − − C − +
0 2 3 2 2
2 10 10 10 10 2 10 (1 10) 81
n n n n n n
n n n n n n
C C C C −C − C
= − + − + − + = − =
17 16 15 14 17 17 17
17 17 17 17 17
) 4.3 4 (3 4)
b B= C − C + C − C + − C = − = −
Bài 3.9 Cho khai triển (1 2+ x)n = +a0 a x a x1 + 2 + + a xn n
Tìm số hạng thứ khai triển đó, biết a0+ + + +a1 a2 an =729
HDGiải
Ta có: (1 2+ x)n =Cn0 +2C xn1 +22C xn2 2+ + 2nC xnn n
Theo giả thiết, ta có: Cn0 +2Cn1+22Cn2+ + 2nCnn =729⇔ +(1 2)n =729⇔ =n Số hạng thứ là: T5 =C65 42 x
Bài 3.10 Tìm số hạng không chứa x khai triển
6
2 2x
x
−
HDGiải
Số hạng tổng quát khai triển là: (0≤ ≤k 6)
6 6
1 6
1
(2 ) ( 1) k
k n k k k k k k k k
k n
T C a b C x C x
x
− − − −
+
= = − = −
Số hạng khơng chứa x ( ta phải tìm k): – 3k = 0, nhận k = Vậy số hạng cần tìm là: T3 =C62 22 ( 1)− − =240
Bài 3.11 Tìm số hạng không chứa x khai triển
18
3 x
x
+
HDGiải
Số hạng tổng quát khai triển là: (0≤ ≤k 18) 1 18( )3 18 13 18 54 k
k n k k k k k k
k n
T C a b C x C x
x
− − −
+
= = =
Nếu Tk+1 không x( độc lập với x) ta có: 54 – 6k = 0, nhận k = Vậy số hạng cần tìm là: T10=C189
Bài 3.12 Tìm hệ số x5 khai triển ( + x ) 12?
HDGiải
Số hạng tổng quát khai triển là: (0≤ ≤k 12) 12
1 12(1) 12 k k k k k k
T+ =C − x =C x Ta cần hệ số x5 nên ta có: k = Vậy hệ số cần tìm là: T6 =C125 =729
Bài 3.13 Biết hệ số x2 khai triển (1 + 3x)n 90 Hãy tìm n ?
HDGiải
Số hạng thứ k + khai triển nhị thức : Tk+1=Cnk(3 )x k.Vậy số hạng chứa x2 T3 =Cn29.x2 theo đề ta có: Cn29 90= ⇔Cn2 =10⇔ =n
Bài 3.14 Tìm số hạng thứ năm khai triển
10 x
x
+
, mà khai triển số mũ x giảm dần
HDGiải
Số hạng thứ k + khai triển nhị thức : 1 10 10 k k k k
T C x
x − +
=
Tìm số hạng thứ năm Vậy ta có:
4 10
5 10
2 16
210 3360
T C x x x
x x
−
= = =
(83)Bài 3.15, Trong khai triển (1+ax) ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba 252x2 Hãy tìm a n
HDGiải
Ta có: (1+ax)n = +1 C ax C a xn1 + n2 2+
Theo đề cho:
2
24
24 24
( 1) ( 1) 21 8
252 252
2 n
n
na
C a na a
n n a
n a n
C a
=
= = =
⇒ ⇒ ⇒
−
− = =
= =
Bài 3.16 Tính hệ số x y12 13 khai triển (x + y)25
HDGiải
Số hạng thứ k + khai triển nhị thức : Tk+1=C x25k 25−kyk Hệ số x12y13 ứng k = 13 Tức là: C1325 =5200300
Bài 3.17 Tính hệ số x y25 10 khai triển (x3+xy)25
HDGiải
Số hạng thứ k + khai triển nhị thức : Tk+1=C15k( )x3 15−k( )xy k =C x15k 45 2− kyk Hệ số x y25 10 , ứng k = 10 Tức là: C1510=3003
Bài 3.18 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn 13 n x x
+
, biết
4 7( 3)
n n
n n
C ++ −C + = n+
HDGiải
Theo đẳng thức Pa-xcan ta có 41 3 13 ( 3)! ( 3)( 2)
( 1)!2!
n n n
n n n
n n n
C C C
n
+ +
+ + +
+ + +
− = = =
+ Suy
(n+3)(n+ =2) 14(n+3)⇒n=12
Số hạng thứ k khai triển biểu thức cho
5 3(12 ) 2
1 12
k
k k
k
T+ =C x− − x Hệ số số hạng thứ x8,
tương ứng 3(12 ) 8
2 k
k k
− − + = ⇒ = Vậy số hạng cần tìm : 8 12 C x
Bài 3.19 Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1 2− x)5+x2(1 3+ x)10
HDGiải
Hệ số x5 khai triển x(1 2− x)5 ( 2) − 4C54 Hệ số x5 khai triển x2(1 3+ x)10 3C103
Vậy hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1 2− x)5+x2(1 3+ x)10là ( 2) − 4C54+ 3C103 = 3320
Bài 3.20 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niu-tơn (2+x)n, biết:
1 2 3
3n n 3n n 3n n 3n n ( 1)n n 2048
n n n n n
C − − C − + − C − − − C − + + − C =
HDGiải
Ta có: 3nCnn−3n−1Cnn−1+3n−2Cnn−2−3n−3Cnn−3+ + − ( 1)nCnn = −(3 1)n =2n Nên 2n =2048⇒n=11 Hệ số x10 khai triển nhị thức Niu-tơn (2+x)11 C1110 12 =22
Bài 3.21 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thừc Niu-tơn
18
5
2x ,(x 0) x
+ >
(84)Số hạng tổng quát khai triển Niu-tơn 18 2x x +
( )18 18
15 18 5
1 18 5 18
1
2
k k
k k k
k
T C x C x
x − − − + = =
Số hạng không chứa x ứng với k thảo mãn:
18 15
5 k
k
− = ⇔ = Vậy số hạng cần tìm T16 =C1815.23 =6528
Bài 3.22 Cho khai triển nhị thức Niu-tơn sau:
13 x x −
a) Tìm số hạng thứ 4, thứ khai triển b) Tìm số hạng chứa với số mũ tự nhiên
HDGiải
Ta có, số hạng tổng quát thứk + khai triển 1 13( )13
1 k, ,0 13 k
k k
T C x k k
x − + = ∈ ≤ ≤ ℕ 39 13
k k k
T C x
− + =
a) Số hạng thứ khai triển là: T4 =C x133 Số hạng thứ khai triển là:
23 3 13 T =C x b) Để Tk+1 chứa x với số mũ tự nhiên thì:
(39 ) 4 3 3
39
0,3,6,9 39
3 0 9
4 k k k k k k k k − − ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ⋮ ⋮ ⋮ ℕ
Do số hạng cần tìm là: T1=C x130 ;13 T4 =C x T133 ;9 7 =C x T136 ;5 10 =C x139
Bài 3.23
a) Tìm số hạng khai triển nhị thức Niu-tơn sau: ( )
3+ số nguyên b) Tính An2 biết số hạng thứ khai triển
n x x +
không phụ thuộc vào x
HDGiải
a) Số hạng thứ k + khai triển: ( ) ( )
9
3 2 3
1 9.3 , ,0
k k
k k
k k
k
T C C k k
− −
+ = = ∈ℤ ≤ ≤
Để Tk+1 số nguyên
k
− ∈ℤ và k
∈ℤ Suy 1,3,5,7,9 0,3,6,9 k k = =
Vậy: k = k = Với k = 3, số hạng cần tìm T4 =C93.3 45363 =
Với k = 9, số hạng cần tìm T10 =C99.3 20 =8 b) Số hạng thứ khai triển là: ( )
5 20
5
5 3
6
1 . n
n n
T C x C x
x
− −
= =
Vì T6 khơng phụ thuộc vào x nên 20 20
3 n
n
− = ⇒ =
Vậy : An2 =A202 =380
Bài 3.24 Cho đa giác có 2n cạnh A1A2 .A2n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn Biết
(85)HDGiải
Số tam giác thoả mãn ycbt C23n tam giác Số đường chéo qua tâm đường tròn n, hai đường chéo qua tâm có hình chữ nhật Suy ra, có Cn2 hình chữ nhật
Từ ta có phương trình C23n = 20.Cn2 Suy n =
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 3.25 Tính hệ số x y101 99 khai triển (2x−3y)200 (Đs: −C101 101 992002 )
Bài 3.26 Tính hệ số x y5 khai triển (x y+ )13 (Đs: 1287)
Bài 3.27 Tính hệ số x7 khai triển ( )1+x 11 (Đs: 330 )
Bài 3.28 Tính hệ số x9 khai triển (2−x)9 (Đs: - 94 595072 )
Bài 3.29 Tính hệ số x7 khai triển (3 2− x)15 (Đs: −C1573 28 )
Bài 3.30 Tìm hệ số x5 khai triển (1 2x− )10 ? (Đs: 8064)
Bài 3.31 Tìm hệ số x3 khai triển
11 x
x
+
? (Đs: 330)
Bài 3.32 Biết hệ số xn−2 khai triển
n x
−
31 Tìm n.(Đs: n = 32)
Bài 3.33 Tính hệ số x y8 khai triển (3x+2y)17 (Đs: C178 28 )
Bài 3.34 Biết tổng hệ số khai triển nhị thức
3
2 n x
x
+
64 Tìm số hạng khai triển không chứa x ( ĐS: n = 2, k = 2; T3 =C62)
Bài 3.35 Cho biết hệ số số hạng thứ khai triển nhị thức
3
n x x x
x
+
36 Tính số
hạng thứ ( )
6 3
6
7
ÑS :n 9,T C x x x 84x x x
= = =
(86)§4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Biến cố
a Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà: - Kết khơng đốn
- Có thể xác định tập hợp tất kết xãy phép thử - Phép thử thường kí hiệu T
Tập hợp tất kết xãy phép thử gọi không gian mẫu của phép thử và kí hiệu chữ Ω (đọc ô-mê-ga) Ta xét phép thử với không gian mẫu Ω tập hữu hạn
b Biến cố
- Với tập A Ω gọi biến cố
- Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A
- Tập hợp kết qủa thuận lợi cho A kí hiệu ΩA Khi ta nói biến cố A mô tả tập ΩA
- Tập O gọi biến cố ( gọi tắt biến cố khơng) Cịn tập Ω gọi biến cố chắn
2 Xác suất biến cố
a Định nghĩa cổ điển xác suất
Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu Ω tập hữu hạn kết qủa T đồng khả xảy Nếu A biến cố liên quan với phép thử T ΩA tập kết thuận lợi cho A xác suất A số, kí hiệu P(A), xác định công thức P A( )= ΩA
Ω
- 0≤P A( ) 1≤ - P( ) 1, ( ) 0Ω = P O =
b Định nghĩa thống kê xác suất
- Số lần xuất biến cố A gọi tận số A N lần thực phép thử T
- Tỉ số tận số A với số N gọi tần xuất A N lần thực phép thử T
Phương pháp tính xác suất
Bước Mơ tả khơng gian mẫu Kiểm tra tính hữu hạn Ω, tính đồng khả kết Bước Đặt tên cho biến cố chữ A B, ,
Bước Xác định tập conA B, , không gian mẫu Tính n A n B( ) ( ), , Bước Tính ( ) ( )
( ) ( ), ( )( ),
n A n B
P A P B
n n
= =
Ω Ω
B BÀI TẬP
Bài 4.1 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tìm xác suất để thẻ lấy ghi số:
a)Chẵn b)Chia hết cho c)Lẻ chia hết cho
HDGiải
Không gian mẫu Ω ={1,2,3, ,20 , ( ) 20} n Ω = Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng với câu a), b), c) a) {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 , ( ) 10} ( )
2
A= n A = ⇒P A =
b) {3,6,9,12,15,18 , ( ) 6} ( ) 10
(87)c) {3,9,15 , ( ) 3} ( ) 20 C = n C = ⇒P C =
Bài 4.2 Một súc sắc cân đối đồng chất gieo hai lần Tính xác suất cho: a) A: “Tổng số chấm hai lần gieo 6”
b) B: “Ít lần gieo xuất mặt chấm” c) C: “Số chấm hai lần gieo nhau” d) D: “Tồng số chấm hai lần gieo 8” e) E: “Tổng số chấm hai lần gieo chẵn”
HDGiải
Không gian mẫu: Ω ={( ; ) / ;i j ≤i j≤6 , ( ) 36} n Ω =
a) {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) , ( ) 5} ( ) 36
A= n A = ⇒P A =
b) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1) , ( ) 11} ( ) 11 36
B= n B = ⇒P B =
c) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) , ( ) 6} ( )
C = n C = ⇒P C =
d) {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) , ( ) 5} ( ) 36
D= n D = ⇒P D =
e)
=
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,3),(3,1),(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),(2,6),(3,5), (5,3),(6,2),(4,6),(6,4)
E
= ⇒ =1
( ) 18 ( )
n E P E
Bài 4.3 Chọn ngẫu nhiên học sinh có tên danh sách đánh số thứ tự từ 001 đến 199 Tính xác suất để học sinh có số thứ tự:
a) Từ 001 đến 099 b) Từ 150 đến 199
HDGiải
Ta có: n( )Ω = C1995
a) Gọi A biến cố: ”Chọn học sinh có số thứ tự 001 đến 099” Suy n A( )= C995 Vậy P A C
C 99 199
( )= ≈0,029
b) Gọi B biến cố: “Chọn học sinh có số thứ tự 150 đến 199” Suy n B( )= C505 Vậy P B C
C 50 199
( )= ≈0,0009
Bài 4.4 Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương không lớn 50 a) Mô tả không gian mẫu;
b) Gọi A biến cố “Số chọn số nguyên tố” Hãy liệt kê kết thuận lợi cho A; c) Tính xác suất A;
d) Tính xác suất để số chọn nhỏ
HDGiải
a) Không gian mẫu Ω ={1,2,3, ,50}
b) Ω =A {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47} c) ( ) 15 0,3
50 P A = =
d) Gọi B biến cố “ số chọn nhỏ 4” Ta có ( ) 0,06 50
(88)Bài 4.5 Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ Tính xác suất để: a) Số chọn số nguyên tố;
b) Số chọn chia hết cho 3;
HDGiải
a) Gọi A biến số “ số chọn số nguyên tố” Ta có Ω =A {2,3,5,7} ( ) 0,5 P A = = b) Gọi B biến cố “ số chọn chia hết cho 3” Ta có Ω =B { }3,6 ( ) 0,25
8 P B = =
Bài 4.6 Chọn ngẫu nhiên người có tên danh sách 20 người đánh số từ đến 20 Tính xác suất để người chọn có số thứ tự khơng lớn 10 ( xác đến hàng phần nghìn)
HDGiải
Gọi A biến cố “5 người chọn có số thứ tự khơng lớn 10” Không gian mẫu Ω =C205 Kết thuận lợi biến cố A Ω =A C105 Vậy
5 10
5 20
( ) C 0,016 P A
C
= ≈
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 4.7 Danh sách lớp Nguyên đánh số từ đến 30 Nguyên có số thứ tực 12 Chọn ngẫu nhiên bạn lớp
a) Tính xác suất để Nguyên chọn
b) Tính xác suất để Nguyên kkhơng chọn
c) Tính xác suất để bạn có số thứ tự nhỏ số thứ tự Nguyên chọn
Bài 4.8 Gieo hai súc sắc cân đối a) Mô tả không gian mẫu
b) Gọi A biến cố “Tổng số chấm mặt xuất hiên hai súc sắc nhỏ 7” Liệt kê kết thuận lợi A Tính P(A)
c) Cũng hỏi cho biến cố B: “có súc sắc xuất mặt chấm” C: “ có súc sắc xuất mặt chấm
Bài 4.9 Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối Tính xác suất để số chấm xuất hai súc sắc
(89)§5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Quy tắc cộng xác suất a Biến cố hợp
Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu A∪Bđược gọi hợp hai biến cố
A B
Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak Biến cố “ có biến cố A1, A2, , Ak xảy ra”, kí hiệu A1∪A2∪ ∪ Ak gọi hợp k biến cố
b Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố không xảy
c Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến A B xung khắc xác suất A B xảy P A( ∪B)=P A( )+P B( ) Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak đơi xung khắc Khi
( k) ( )1 ( ) ( )k P A ∪A ∪ ∪A =P A +P A + +P A d Biến cố đối
Cho A biến cố Khi biến cố khơng xảy A, kí hiệu A gọi biến cố đối A Xác suất biến cố đối A P A( )= −1 P A( )
Hai biến cố đối hai biến cố xung khắc Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa hai biến cố đối
2 Quy tắc nhân xác suất a Biến cố giao
Cho hai biến cố A B Biến cố “Cả A B xảy ra”, kí hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B
Nếu ΩA ΩB tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết thuận lợi cho AB Ω ∩ ΩA B
b Biến cố độc lập
Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xãy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố
Nếu hai biến cố A, B độc lập với A B; A B; A B độc lập với c Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A B độc lập với P A B( )=P A P B( ) ( ) Nếu P AB( )≠P A P B( ) ( ) hai biến cố A B khơng độc lập với
B BÀI TẬP
Bài 5.1 Gieo một súc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định biến cố sau:
A: “Xuất mặt chẵn chấm”
B: “ Xuất mặt lẻ chấm”
C: “Xuất mặt có số chấm khơng nhỏ 3”
c) Trong biến cố trên, tìm biến cố xung khắc
HDGiải
a) Không gian mẫu Ω ={1,2,3,4,5,6}
(90)Bài 5.2 Gieo súc sắc cân đối đồng chất lần Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm, thay vào phương trình bậc hai: x2 + bx + = Tính xác suất cho:
a)Phương trình có nghiệm b)Phương trình vơ nghiệm
c)Phương trình có nghiệm ngun
HDGiải
Khơng gian mẫu Ω ={1,2,3,4,5,6 , ( ) 6} n Ω =
Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng với câu a), b), c) Ta thấy phương trình bậc hai x2 + bx + = có nghiệm ∆ =b2 − ≥8 Do đó:
a) { / 0} {3,4,5,6 , ( ) 4} ( ) A= ∈Ωb b − ≥ = n A = ⇒P A = b) Vì B=A nên ( ) ( ) ( )
3 P B =P A = −P A = c) { }3 , ( ) ( )
6 C = n C = ⇒P C =
Bài 5.3 Kết (b, c) việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, c số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình: x2 + bx + c = Tính xác suất để:
a) Phương trình vơ nghiệm b)Phương trình có nghiệm kép c)Phương trình có nghiệm
HDGiải
Không gian mẫu: Ω ={( ; ) / 1b c ≤b c; ≤6 , ( ) 36} n Ω = Kí hiệu A, B, C biến cố cần tìm xác suất ứng với câu a), b), c) Ta có: ∆ =b2−4c
{ }
{ }
2
) ( , ) /
(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,2), ,(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6) a A= b c ∈Ω b − c<
=
17 ( ) 17 ( )
36 n A = ⇒P A =
b) {( , ) / 0} {(2,1),(4,4) , ( ) 2} ( ) 18 B= b c ∈Ω b − c= = n B = ⇒P B = c) Ta có ( ) ( ) 17 19
36 36 C =A⇒P C =P A = − =
Bài 5.4 Một hộp đựng 10 cầu đánh số từ đến 10, đồng thời từ đến sơn màu đỏ Lấy ngẫu nhiên Kí hiệu A biến cố:”Quả lấy màu đỏ”, B biến cố: “Quả lấy ghi số chẵn” Hỏi A B có độc lập khơng ?
HDGiải
Kí hiệu A biến cố :”Quả lấy màu đỏ”, B biến cố: “Quả lấy ghi số chẵn” Khômg gian mẫu: Ω ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , ( ) 10} n Ω =
{1,2,3,4,5,6 , ( ) 6} ( )
A= n A = ⇒P A = , {2,4,6,8,10 , ( ) 5} ( )
B= n B = ⇒P B =
{2,4,6 , (} ) ( ) 10 A∩ =B n A∩B = ⇒P A∩B = Mặt khác: ( ) 3 ( ) ( )
10
P AB = = =P A P B Vậy A, B độc lập với
Bài 5.5 Hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa đỏ xanh, hộp thứ hai chứa đỏ xanh Lấy ngẫy nhiên từ hộp Tính xác suất cho:
(91)HDGiải
Kí hiệu A: “Quả lấy từ hộp thứ màu đỏ” Kí hiệu B: “Quả lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” Kí hiệu C: “Hai lấy màu” Kí hiệu D: “Hai lấy khác màu”
Không gian mẫu kết hai hành đồng lấy từ hai hộp liên tiếp Theo qui tắc nhân: n( ) 50Ω = A, B độc lập
Ta có: A∩B: “Quả lấy từ hai hộp màu đỏ” A∩B: “Quả lấy từ hai hộp màu xanh” a) Cần tính ( ) ( ) ( ) 0,24
5 10 P A∩B =P A P B = =
(Cách khác: Theo qui tắc nhân ta có: n(A∩B) = 3.4 =12 ( ) ( ) 12 0,24 ( ) 50
n A B P A B
n
∩
⇒ ∩ = = =
Ω )
b) Từ suy ra: C=(A∩ ∪ ∩B) (A B), n A( ∩B) 12=
( ) ( ) ( ) 12 12
( ) ( ) ( ) 0,48
( ) ( ) 50 50
n A B n A B
P C P A B A B
n n
∩ ∩
= ∩ ∪ ∩ = + = + =
Ω Ω
c) Dễ thấy D C là hai biến cố đối nhau, nghĩa làD C= ⇒P D( )=P C( ) 0,48 0,52= − =
Bài 5.6 Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh; túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên Tính xác suất cho:
a)Hai bi lấy màu b)Hai bi lấy khác màu
HDGiải
Kí hiệu A: “Bi lấy từ túi phải có màu đỏ”, B: “Bi lấy từ túi trái có màu đỏ”, C: “Hai bi lấy màu” D: “Hai bi lấy khác màu”
Không gian mẫu kết hai hành đồng lấy từ hai hộp liên tiếp Theo qui tắc nhân: ( ) 5.9 45
n Ω = = A, B độc lập
Ta có: A∩B: “Bi lấy từ hai túi phải túi trái màu đỏ” A∩B: “ Bi lấy từ hai túi phải túi trái màu xanh”
a) C =(A∩ ∪ ∩B) (A B), Hiển nhiên (A∩ ∩ ∩B) (A B)= O n(A∩B) = 3.4 =12 , ( ) 2.5 10
n A∩B = = ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) 12 10 22
( ) ( ) 45 45 45
n A B n A B
P C P A B A B
n n
∩ ∩
= ∩ ∪ ∩ = + = + =
Ω Ω
b) Dễ thấy D C hai biến cố đối nhau, nghĩa ( ) ( ) 22 23 45 45 D C= ⇒P D =P C = − =
Bài 5.7 Hai bạn lớp A hai bạn lớp B xếp vào ngồi ghế thành hàng ngang Tính xác suất sao cho:
a)Các bạn lớp A ngồi cạnh b)Các bạn lớp không ngồi cạnh
HDGiải
Giả sử hai bạn lớp A đánh số 1, hai bạn lớp B được đánh số 3, Kết xếp chỗ tương ứng với hoán vị tập B={1,2,3,4} Như số phần tử không gian mẫu n( )Ω =P4 = =4! 24 Kí hiệu: C biến cố: “Hai bạn lớp A ngồi cạnh nhau”
D biến cố: “Hai bạn lớp không ngồi cạnh nhau”
a) Đầu tiên xếp hai bạn lớp A ngồi vào hai ghế liền nhau, có 2.3 = cách , sau xếp hai bạn lớp B vào ghế cịn lại có cách Theo qui tắc nhân ta có n(C) = 6.2 = 12 P(C) = 0,5
b) Đầu tiên xếp bạn A ngồi vị trí thứ nhất, chẳng hạn từ bên trái: có 2!.2! cách xếp bốn bạn ngồi xen kẽ Sau xếp bạn lớp B ngồi vị trí thứ Ta có 2!.2! cách ngồi xen kẽ Vậy n(D) = 2!.2! = đó: P(D) = 1
3
Bài 5.8 Trên giá sách có sách Tốn, sách Lí sách Hóa Lấy ngẫu nhiên ba sách Tính xác suất cho:
(92)b)Cả ba lấy sách Tốn c)Ít sách Tốn
HDGiải
Không gian mẫu tổ hợp chập sách nên n( )Ω =C93 =84 Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng câu a), b), c)
a) Để có phần tử A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ loại sách quyển) Vậy n(A) = 4.3.2 = 24 ( )
7 P A =
b) Cả ba sách lấy sách Toán , nên ( ) 43 ( ) 21 n B =C ⇒P B =
c) Gọi C biến cố: “Trong ba khơng có sách Tốn nào”, ta có:n C( )=C53 =10 10 37
( ) ( )
84 42 P C = −P C = − =
Bài 5.9 Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi thẻ với Tính xác suất để kết nhận số chẵn
HDGiải
Gọi A biến cố: “ Rút thẻ chẵn thẻ lẻ”, B biến cố: “Cả hai thẻ rút thẻ chẵn” Khi biến cố C: “ Tích hai số ghi thẻ số chẵn” là: C= ∪A B
Do hai biến cố A B xung khắc, nên P C( )=P A( ∪B)=P A( )+P B( ) Vì có thẻ chẵn thẻ lẻ nên ta có:
1
5 4
2
9
20
( ) ; ( )
36 36
C C C
P A P B
C C
= = = = Vậy ( ) ( ) 20 13
36 36 18 P C =P A∪B = + =
Bài 5.10 Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ hai viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi a)Tính xác suất để chọn hai viên bi màu
b)Tính xác suất để chọn hai viên bi khác màu
HDGiải
a)Gọi A biến cố: “Chọn hai viên bi xanh”, B biến cố “Chọn hai viên bi đỏ” C biến cố: “Chọn viên bi vàng” D biến cố: “Chọn hai viên bi màu”
Theo đề bài, ta có D= ∪ ∪A B Cvà biến cố A, B, C đôi xung khắc Vậy P D( )=P A( ∪ ∪B D)=P A( )+P B( )+P C( )
Mặt khác, ta có:
2
2
3
4
2 2
9 9
6
( ) ; ( ) ; ( )
36 36 36
C
C C
P A P B P C
C C C
= = = = = =
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
36 36 36 18 P D =P A∪ ∪B D =P A +P B +P C = + + =
b) Biến cố: “Chọn hai viên bi khác màu” biến cố D Vậy ( ) ( ) 13 18 18 P D = −P D = − = Bài 5.11 Xác suất bắn trúng mục tiêu vận động viên bắn viên đạn 0,6 Người bắn hai viên đạn cách độc lập Tìm xác suất để viên đạn trúng mục tiêu viên đạn trượt mục tiêu ?
HDGiải
Gọi A biến cố: “ Viên đạn đầu trúng mục tiêu”, B biến cố: “ Viên đạn thứ hai trúng mục tiêu”, C biến cố: “ Một viên đạn trúng mục tiêu viên đạn trượt mục tiêu”
Khi ta có: C=AB∪AB hai viên đạn bắn độc lập
Vậy : P C( )=P AB( ∪AB)=P A P B( ) ( )+P B P A( ) ( ) 0,6.0,4 0,4.0,6 0,48= + =
Bài 5.12 Ba người săn A, B, C độc lập với nổ súng vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng mục tiêu A, B, C tương ứng là: 0,7; 0,6; 0,5
a)Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng hai xạ thủ bắn trượt b)Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng
(93)a)Gọi H biến cố: “Xạ thủ A bắn trúng cịn hai xạ thủ bắn trượt” Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) (0,7)(0,4)(0,5) 0,14
P H =P A P B P C = =
b) Gọi K biến cố: “Khơng có xạ thủ bắn trúng” Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) (0,3)(0,4)(0,5) 0,06
P K =P A P B P C = =
Vậy xác suất cần tìm : P K( ) 1= −P K( ) 0,94=
Bài 5.13 Một túi đựng cầu đỏ, cầu xanh Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để có màu đỏ màu xanh
HDGiải
Ta có: n(Ω)= C104 = 210
Số cách chọn cầu toàn đỏ
Số cách chọn cầu toàn xanh C64 = 15
Gọi A biến cố: ”Chọn cầu có màu đỏ xanh” Suy ra: n A( ) = 210 – 15 – = 194 Vậy ( ) 194
210 P A =
Bài 5.14 Xác suất để làm thí nghiệm thành cơng 0,4 Một nhóm học sinh, học sinh độc lập với tiến hành thí nghiệm
a) Tính xác suất để nhóm khơng có làm thí nghiệm thành cơng
b) Tính xác suất để có học sinh nhóm làm thí nghiệm thành cơng (tính xác đến hàng phần trăm)
HDGiải
a) Xác suất để học sinh nhóm làm thí nghiệm khơng thành cơng – 0,4 = 0,6 Theo qui tắc nhân xác suất, xác suất để nhóm (5 HS) khơng có làm thí nghiệm thành công : ( )0,6 ≈0,08 b) Xác suất cần tìm 0,6−( )5 ≈0,92
Bài 5.15 Gieo một súc sắc cân đối ba lần Tính xác suất để có hai lần xuất mặt chấm
HDGiải
Gọi A biến cố “lần gieo thứ xuất mặt chấm”, B biến cố “ lần gieo thứ hai xuất mặt chấm”, C biến cố “ lầm gieo thứ ba xuất mặt chấm”
H biến có “ có hai lần xuất mặt chấm”
Khi đó: P H( )=P A P B P C( ) ( ) ( )+P A P B P C( ) ( ) ( )+P A P B P C( ) ( ) ( )
Ta có: ( ) ( ) ( ) 1; ( ) ( ) ( )
6
P A =P B =P C = P A =P B =P C = Vậy ( ) 15 216 P H =
Bài 5.16 Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số từ đến Tính xác suất để số vé khơng có chữ số khơng có chữ số
HDGiải
Gọi A biến cố “ khơng có chữ số 1”; B biến cố “ khơng có chữ số 5” Ta có P A( )=P B( ) (0,9)= P AB( ) (0,8)=
Từ P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P AB( ) 2.(0,9)= 5−(0,8)5 =0,8533
Bài 5.17 Một túi chứa 16 viên bi, có viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên viên bi túi
i) Tính xác suất hai viên bị đen
ii) Tính xác suất để viên bi đen viên bi trắng b) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi túi
i) Tính xác suất để viên bi đỏ
ii)Tính xác suất để viên bi với ba màu khác
HDGiải
(94)i) Số trường hợp rút hai viên bi đen C62 Vậy xác suất rút hai viên bi đen 26 16
1 C C =
ii) Số trường hợp rút viên bi trắng viên bi đen C C17 61=42 Vậy xác suất để viên bi đen viên bi trắng 2
12 42
20 C = b) Số trường hợp xảy C163
i) Số trường hợp rút viên bi đỏ C33 =1 Vậy xác suất rút viên bi đỏ 3 16
1
560 C =
ii) Theo qui tắc nhân, ta có 7.6.3 = 126 cách chọn viên bi có màu khác Vậy xác suất rút viên bi có màu khác 3
16 126
40 C =
Bài 5.18 Chọn ngẫu nhiên thẻ từ năm thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, Kí hiệu:
A biến cố “ Thẻ ghi số bé chọn”
B biến cố “ thẻ ghi số chẵn chọn được” a) Mô tả không gian mẫu
b) Liệt kê phần tử tập A B c) Vì A B khơng xung khắc d) Tính P A P B P A( ), ( ), ( ∩B P A), ( ∪B)
HDGiải
a) Ω ={1,2,3,4,5} b) A={ } { }1,2 ,B= 2,4
c) A∩ =B { }2 nên A B không xung khắc
d) ( ) ( ); ( ) 1, { } (1;2;4 , )
5 5
P A = =P B P A∩B = A∪ =B P A∪B =
Bài 5.19 Gieo ba súc sắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc
HDGiải
Giả sử T phép thử “Gieo ba súc sắc” Kết T ba số (x; y; z) tương ứng kết việc giao com súc sắc thứ nhất, thứ hai, thứ ba Không gian mẫu T có 6.6.6 = 216 phần tử Gọi A biến cố: “Tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc 9” Ta có tập hợp kết thuận lợi cho A là: Ω =A {( ; ; ) /x y z x y z+ + =9,1≤x y z, , ≤6, , ,x y z∈ℕ*}
Nhận xét: = + + = + + = + + = + + = + + = + +
Các tập { } { } {1;2;6 ; 1;3;5 ; 2;3;4} tập có phần tử ΩA, tập { } {1;4;4 ; 2;2;5} tập có phần tử ΩA tập { }3;3;3 có phần tử ΩA
Vậy Ω = + + + + + =A 6 3 25 Vậy ( ) 25 216 P A =
Bài 5.20 Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập {1,2, ,11} a) Tính xác suất để tổng ba số chọn 12 b) Tính xác suất để tổng ba số chọn số lẻ
HDGiải
Không gian mẫu Ω =C113 =165
a) Gọi A biến cố “tổng ba số chọn 12” Khi đó, (a, b, c) mà a + b + c = 12 a < b < c (1,2,9), (1,3,8), (1,4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6) (3,4,5) Vậy ( )
(95)Tổng a + b + c lẻ khi: Hoặc ba số lẻ ba số có số lẻ hai số chẵn Ta có C63 =20 cách chọn số lẻ từ tập số lẻ {1,3,5,7,9,11}và có C C61 52 =60 cách chọn số lẻ hai số chẵn Vậy ( ) 20 60 16
165 33 P B = + =
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 5.21 Một túi chứa 16 viên bi, có viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi túi Tính xác suất để:
i) Lấy viên bi đỏ
ii) Lấy ba viên bi không đỏ
iii) Lấy viên bi trắng, viên bi đỏ, viên bi đen b) Lấy ngẫu nhiên bốn viên bi túi Tính xác suất để: i) Lấy viên bi trắng
ii) Lấy hai viên bi trắng
c) Lấy ngẫu nhiên mười viên bi Tính xác suất rút viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ
Bài 5.22 Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1,2, , Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi hai thẻ với Tính xác suất để:
a) Tích nhận số lẻ b) Tích nhận số chẵn
Bài 5.23 Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1,2, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để: a) Các thẻ ghi số 1, 2, rút
(96)ƠN TẬP CHƯƠNG II
Bài Có cách xếp người vào hai dãy ghế cho ghế đầu có người dãy sau có người
HDGiải
Chọn người để xếp vào ghế đầu: có A74 cách Còn người xếp vào ghế dãy sau: có 3! Cách Vậy có tấ A74.3! 5040= cách xếp
Bài Một câu lạc có 30 thành viên
a) Có cách chọn thành viên vào Uỷ ban thương trực ? b) Có cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch Thủ quỹ ?
HDGiải
a) Số cách chọn người vào Uỷ ban thường trực C305 =142506
b) Cần chọn người giữ chức vụ Chủ tịch, Phó Chủ tịch Thủ quỹ Số cách chọn
30 24360 A =
Bài Trong không gian cho tập hợp gồm điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi lập tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp cho ?
HDGiải
Cứ điểm không đồng phẳng cho ta tứ diện Vậy số tứ diện cần tìm C94 =126(tứ diện)
Bài Trong khai triển
21
1
3
6
a− b b− a
+
, xác định số hạng mà luỹ thừa a b giống
HDGiải
Ta có số hạng tổng quát khai triển
21 21 42 21
6 6
2
1 21 21
k k k k k
k
k k
k
T C b a a b C a b
− − − −
−
+ = =
Theo đề bài, ta có 42 3− k =4k−21 Suy k=9
Bài
a) Giải bất phương trình 2Cx2+1+3Ax2 <30 b) Giải phương trình A10x +Ax9 =9A8x
HDGiải
a) Điều kiện x∈ℕ,x≥2
Ta có 21 30 ( 1) ( 1) 30 2 30
2
x x
C + + A < ⇔ +x x+ x x− < ⇔ x − x− < ⇔ − < <x So với điều kiện, suy x=2
b) Điều kiện x∈ℕ,x≥10 Ta có
10
2
! ! !
9 ( 9)( 8)
( 10)! ( 9)! ( 8)! 11 16 55
5
x x x
x x x
A A A x x x
x x x
x
x x
x
+ = ⇔ + = ⇔ − − + − =
− − −
=
⇔ − + = ⇔
=
So với điều kiện, suy x=11
Bài Tính xác suất cho 13 tú lơ khơ chia nhẫu nhiên cho bạn Nguyên có pích, rơ, nhép
HDGiải
Số cách rút 13 C1352 Như n( )Ω =C1352
Kí hiệu A: “Trong 13 có pích, rơ, nhép” Ta có ( ) 134 .93 63 13! 2
(97)Vậy 2 13 52 13!
( ) 0,000002
4!(3!) P A
C
= ≈
Bài Chọn ngẫu nhiện số tự nhiện bé 1000 Tính xác suất để số đó: a) Chia hết cho
b) Chia hết cho
HDGiải
a) Các số chia hết cho có dạng (k k∈ℕ) Ta phải có 3k≤999 nên k≤333 Vậy có 334 số chi hết cho bé 1000 Suy 334 0,334
1000
P= =
b) Các số chi hết cho có dạng (k k∈ℕ) Ta phải có 5k<1000 nên k<200 Vậy có 200 số chia hết cho bé 1000 Suy 200 0,2
1000
P= =
Bài Ba người săn A, B, C độc lập với nổ súng vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng mục tiêu A, B, C tương ứng là: 0,4; 0,3; 0,2
a) Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng hai xạ thủ bắn trượt b)Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng
HDGiải
a) Gọi H biến cố: “Xạ thủ A bắn trúng cịn hai xạ thủ bắn trượt” Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) (0,4)(0,7)(0,8) 0,224
P H =P A P B P C = =
b) Gọi K biến cố: “Khơng có xạ thủ bắn trúng” Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) (0,6)(0,7)(0,8) 0,336
P K =P A P B P C = =
Vậy xác suất cần tìm : P K( ) 1= −P K( ) 0,664=
Bài Bốn pháo cao xạ A, B, C D bắn độc lập vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng pháo tương ứng là: ( ) 1, ( ) 2, ( ) 4, ( )
2
P A = P B = P C = P D = Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn
HDGiải
Gọi H: “Các pháo bắn trượt mục tiêu” Ta tính xác suất để mục tiêu khơng bị trúng đạn tức pháo bắn trượt Ta có ( ) 1
2 105
P H = =
Xác suất để mục tiêu bị trúng đạn ( ) ( ) 1 104 105 105 P H = −P H = − =
Bài 10 Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi a)Tính xác suất để chọn hai viên bi màu
b)Tính xác suất để chọn hai viên bi khác màu
HDGiải
a) Khơng gian mẫu Ω có số phần tử n( )Ω =C122 =66 Gọi A biến cố: “Chọn hai viên màu” Ta có: n A( )=C52+C42+C32 =19 Vậy
( ) 19 ( )
( ) 66 n A P A
n
= =
Ω
b) Biến cố: “Chọn hai viên bi khác màu” biến cố A Vậy ( ) 1= − ( ) 1= −19 47=
66 66
P A P D
Bài 11. Có ba hịm, hịm chứa thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiện từ hịm thẻ Tính xác suất để:
a) Tổng số ghi ba thẻ rút không lớn 4? b) Tổng số ghi ba thẻ rút ?
(98)Không gian mẫu Ω ={( , , ) / 1x y z ≤ ≤x 5,1≤ ≤y 5,1≤ ≤z 5; , ,x y z∈ℕ } x y z, , theo thứ tự số ghi thẻ rút hòm thứ nhất, thứ hai thứ ba Ta có n( )Ω =5.5.5 125=
a) Gọi A biến cố “Tổng số ghi ba thẻ rút không lớn 4” Khi A biến cố “ Tổng số ghi ba thẻ chọn nhiều 3” Khi {(1,1,1)}
A
Ω = nên ( )
A n Ω = Vậy ( ) ( ) 1 0,992
125 P A = −P A = − =
b) Gọi B biến cố “Tổng số ghi ba thẻ rút 6”
Khi Ω =B {( , , ) /x y z x y z+ + =6,1≤ ≤x 5,1≤ ≤y 5,1≤ ≤z 5; , ,x y z∈ℕ*} Ta có = + + = + + = + +
Tập { }1,2,3 cho ta phần tử ΩB, tập { }1,1,4 cho ta phần tử ΩB, tập {2,2,2}chỉ cho phần tử ΩB Vậy n( )Ω = + + =B 10
Do ( ) 10 0,08 125
P B = =
Bài 12 Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số khơng có mặt chữ số ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a1 6, 1≠0,ai ≠a ij, ≠ j i j; , =1,6 a a a a a a1, , , , ,2 3 4 5 6∈ =B {0,1, ,9} Chọn chữ số chữ số {a a a a a2, , , ,3 4 5 6}để cho có cách chọn
Chọn chữ số cịn lại từ B\ 0,1{ }có A85 cách chọn Vậy số thoả mãn yêu cầu là: 5A85 =33600 (số)
Bài 13 Có số tự nhiên gồm chữ số (chữ số phải khác 0), biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a a1 7, 1≠0, a a a a a a a1, , , , , ,2 3 4 5 6 7∈ =B {0,1, ,9} Xét trường hợp a1 tuỳ ý (có thể 0)
Chọn vị trí xếp hai chữ số 2: có C72 cách chọn Chọn vị trí xếp ba chữ số 3: có C53 cách chọn
Cịn hai vị trí, chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí này: có 2!.C82 Do đó, ta có C C72 .2!53 C82 =11760 (số)
Xét trường hợp a1=0
Chọn vị trí xếp hai chữ số 2: có C62 cách chọn Chọn vị trí xếp ba chữ số 3: có C43 cách chọn Chọn số xếp vào vị trí cịn lại: có cách chọn Do có: C C62 .7 42043 = (số)
Vậy số thoả ycbt: 11760 – 420 = 11340(số)
Bài 14 Từ chữ số 1, 2, 5, 7, 8, lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhỏ 276?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng n=a a a a1 3; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,3; , ,a a a1 2 3∈ =B {1,2,5,7,8}và n<276 a=1, b, c lấy B\{ }a Do có A42 =12 (số)
(99)a=2,b=7⇒c∈{ }1,5 Do có (số) Vậy số số n thoả ycbt: 12 + + = 20(số)
Bài 15 Có số tự nhiên chia hết cho mà số gỗm chữ số khác ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng n=a a a a a1 4; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,4; , , ,a a a a1 2 3 4∈ =B {0,1,2,4, ,9} Số cách chọn a4 có cách chọn
Số cách chọn a a a1, ,2 3 có A93 cách chọn
Vậy có 2A93 số có chữ số chia hết cho (kể trường hợp a1=0) Số trường hợp a1=0 A92
Vậy số cần tìm thoả u cầu tốn là: 2A93−A92 =952(số) Cách khác: Giải theo quy tắc đếm
Bài 16 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên, số có chữ số thoả mãn điểu kiện: Sáu chữ số khác số tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị ?
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a1 6; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,6;ai∈ =B {1,2,3,4,5,6} Điều kiện: a1+ + = + + −a2 a3 a4 a5 a6 Vì + + + + + = 21
Vậy suy a1+ + =a2 a3 10 hiển nhiên a4+ + =a5 a6 11 Ta có trường hợp sau xảy ra:
{ } {1,3,6 2,4,5 : 3!.3! 36 vaø } Ta có = số { } {1,4,5 2,3,6 : 3!.3! 36 và } Ta có = số {2,3,5 1,4,6 : 3!.3! 36 } { }vaø Ta có = số
Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 + 36 = 108 số cần tìm
Bài 17 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn
HDGiải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a1 6; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,6;ai∈ =B {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Theo đề bài, ta có a3+ + =a4 a5 8, suy a a a3, ,4 5∈{ }1,2,5 hay a a a , ,3 4 5∈{ }1,3,4 Trường hợp: a a a3, ,4 5∈{ }1,2,5
Số cách chọn a a a3, ,4 5 có 3! 6= cách chọn Số cách chọn a a a1, ,2 6 có A63 cách chọn Vậy có 6.A63 =720 (số)
Trường hợp: , ,a a a3 4 5∈{ }1,3,4 , thực giải tương tự, ta có 720 (số) Vậy có 720 + 720 = 1440 số cần tìm
Bài 18 Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em học sinh chọn ?
HDGiải
Số cách chọn học sinh từ 18 em đội tuyển C188 =43758 cách Trong 43758 cách chọn bao gồm:
(100)Số cách chọn học sinh từ khối 10 11 C11
Vậy số cách chọn thoả yêu cầu toán là: C188 −(C138 +C128 +C118 )=41811 (cách chọn)
Bài 19 Giả sử có khai triển ( ) ( )1−x n+x 1+x n−1= +a0 a x a x1 + 2 2+ + a xn n Biết a0+ + + +a1 a2 an =512 Hãy tính hệ số a3
HDGiải
Từ giả thiết chọn x=1⇒2n−1 = + + + + =a0 a1 a2 an 512⇒n=10 Với n=10, ta có
( )10 ( )9 0 1 2 2 3 3 10 0 1 2 2 3 9 10
10 10 10 10 10 9 9
1−x +x 1+x =C −C x C x+ −C x +C +C x C x+ +C x + + C x Từ suy a3 = −C103 +C92 = −84
Bài 20 Gọi a a1, , ,2 a11 hệ số khai triển sau: ( ) (x+110 x+ =2) x11+a x1 10+a x2 + + a11 Hãy tính hệ số a5
HDGiải
Ta có ( )x+110 =C x100 10+C x101 9+C x102 8+C x103 7+C x104 6+C x105 5+ + C x C109 + 1010 Suy ( ) (x+110 x+ = +2) C105 +2C104 x6+
Vậy a5 =C105 +2C104 =672
Bài 21 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển 14 n x x
+
, biết
1 20
2 2 n
n n n
C + +C + + +C + = −
HDGiải
Từ giả thiết, ta có C2 10n+ +C2 11n+ +C2 12n+ + + C2 1nn+ =220 (1) Vì C2 1kn+ =C2 12 1nn++ −k,∀k,0≤ ≤k 2n, nên
( )
0 2
2 2 2 2
1
2
n n
n n n n n n n n
C + +C + +C + + +C + = C + +C + +C + + +C ++ (2) Từ khai triển nhị thức Niu-tơn ( )1 1+ 1n+
suy C2 10n+ +C2 11n+ +C2 12n+ + + C2 12 1nn++ =22 1n+ (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: 22n =220⇔ =n 10
Ta có ( ) ( )
10
10
7 11 40
10 10
4
0
1 n k k n
k k k
k k
x C x x C x
x
−
− −
= =
+ = =
∑ ∑
Hệ số x26 C10k thoả mãn: 11k−40 26= ⇔ =k Vậy hệ số x26 : C106 =210
Bài 22 Cho khai triển nhị thức:
1
1 1
0 1
3 3
2 2
2 2 2 2
n n n n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
− −
− − − − − − − −
−
+ = + + + +
(n số nguyên dương) Biết khai triển Cn3 =5Cn1 số hạng thứ tư 20n Tìm x n,
HDGiải
Ta có
, ,
5 7
( 2)( 1) 30
4
n n
n n
n n
C C n n
n n
n +
+ ∈ ≥
∈ ≥
= ⇔ ⇔ = ⇔ =
− − =
= −
(101)Và
1
3 3
4 2 20 2 140 4
x x
x x
x
T C n C x
− − − −
−
= = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy n=7,x=4
Bài 23 Tìm số nguyên dương n C: n0+2C1n+4Cn2+ + 2nCnn =243
HDGiải
Từ khai triển:( )1+x n =Cn0+C x C xn1 + n2 2+ + C xnn n.Ta chọn x=2 ta ( )1 2 n 3n 2 4 2n n
n n n n
C C C C
+ = = + + + + Do Cn0 +2Cn1+4Cn2+ + 2nCnn =243⇔3n =35 ⇔ =n Vậy n=5
Bài 24 Tìm số tự nhiên n thoả mãn: C Cn2 nn−2+2C Cn2 n3+C Cn3 nn−3 =100
HDGiải
Điêu kiện n≥3 n∈ℕ Ta có
( )2 ( )2 ( )2
2 2 3 2 3
2
2 100 100 100
( 1) ( 1)( 2)
10 10 ( 1) ( 1) 3.4.5
2
n n
n n n n n n n n n n n n
n n
C C C C C C C C C C C C
n n n n n
C C n n n n
− + + − = ⇔ + + = ⇔ + =
− − −
⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + = ⇒ =
Vậy n=4
Bài 25 Với n số nguyên dương, gọi a3 3n− hệ số x3 3n− khai triển thành đa thức
( 1)n( 2)n
x + x+ Tìm n để a3 3n− =26n
HDGiải
Ta có ( ) ( ) 2 (2 )
0 0
1 n n n k n k n h n h2h n n k h2h n k h
n n n n
k h k h
x x C x − C x − C C x − +
= = = =
+ + =∑ ∑ =∑∑
Từ giả thiết, ta suy 1, 0,
k h
k h
k h
= =
+ = ⇔
= =
Từ suy ra: a3 3n− =2C Cn1 1n+23C Cn0 n3 =26n⇒n=5 Vậy n=5
Bài 26 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức 1+x2( )1−x 8
HDGiải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
8
2 2
8 8
4
4 8 16
8
1 1 1
1
x x C C x x C x x C x x
C x x C x x
+ − = + − + − + −
+ − + + −
Số hạng chứa x8 khai triển có C x83 6( )1−x C x84 8( )1−x Suy hệ số x8 3C83+C84 =238
Bài 27 Tìm n số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3+2Cnn−2 ≤9n
HDGiải
Bất phương trình An3+2Cnn−2 ≤9n, có điều kiện n≥3,n∈ℕ (*)
3
2
! !
2 9 ( 1)( 2) ( 1)
( 3)! ( 2)!2!
2
n
n n
n n
A C n n n n n n n n
n n
n n n
−
+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − − + − ≤
− −
⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Từ (*), suy n=3,n=4
(102)số k nguyên( n≤ ≤ −k n 1) cho : 1 2k 9k 24k a− a a +
= = Hãy tính n
HDGiải
Ta có ( )1+x n = +a0 a x a x1 + 2 2+ + a xk k+ + a xn n Và 1 1 1
2 24 24
9 24 2
2( 1) 11
3 2 10
3( ) 8( 1)
11
k k
n n
k k k
k k k n n n
k k n n
C C
a a a C C C
C C
n k
n k k
n n n
n k k n
k − − + − + + = = = ⇔ = = ⇔ = + = − + = ⇔ ⇔ ⇔ − = + ⇔ = − = + − =
Bài 29 Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 3− x)2n, n nguyên dương thoả mãn:
1
2 2 1024 n
n n n n
C + +C + +C + + +C ++ =
HDGiải
Ta có (1+x)2 1n+ =C2 10n+ +C2 11n+ x C+ 2 12n+ x2+ + C2 12 1nn++ x n+
Chọn x=1 ta được: (1 1)+ 1n+ =22 1n+ =C2 10n+ +C2 11n+ +C2 12n+ + + C2 12 1nn++ (1) Chọn x= −1 ta được: (1 1)− 1n+ = =0 C2 10n+ −C2 11n+ +C2 12n+ − − C2 12 1nn++ (2) Lấy (1) – (2) ⇒22 1n+ =2(C12 1n+ +C2 13n+ +C2 15n+ + + C2 12 1nn++ )
Suy ra: 22n =210 ⇔2n=10
Ta có: (2 3− x)10 có số hạng khai triển tổng quát: 10 ( ) 10( 1)
k
k k k
k
T+ =C − − x Hệ số x7 ứng với k =
Vậy hệ số x7 −C1073 27 = −2099520
Bài 30 Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k∈{1;2;3; ;n}sao cho số tập gồm k phần tử A lớn
HDGiải
Theo tốn, ta có:
4 20 ! 20 ! ( 3)( 2) 20.12 18
4!( 4)! 2!( 2)!
n n
n n
C C n n n
n n
= ⇔ = ⇔ − − = ⇒ =
− − (Vì n≥4)
18 k
C lớn
1 18 18 18 18 k k k k C C k C C + − ≥ ⇔ ⇒ = ≥
Vậy: k=9
Bài 31 Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1=Cn3 Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Niu-tơn 1 , 14 n nx x x − ≠
HDGiải
Ta có: 5 ( 1)( 2)
6 n
n n
n n n
C − =C ⇔ n= − − ⇔ =n (vì n nguyên dương)
Khi đó:
7
2 7
14
7
0
( 1)
1 1
14 14 2
n k k k k
k k
k
k k
C
nx nx x
C x
x x x
(103)Số hạng chứa x tương ứng với 14 3− k = ⇔ =5 k Vậy số hạng cần tìm
3
5
7
( 1) 35
16
C
x x
−
= −
Bài 32 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn
HDGiải
Số phần tử S n S( )=A73 =210 Gọi A biến cố: “Chọn từ S số chọn số chẵn” Ta có n(A) = 3.6.5 = 90 (cách)
Xác suất cần tìm là: P A n A n S
( ) 90 ( )
( ) 210
= = =
Bài 33 Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy màu
HDGiải
Số cách chọn viên bi, viên từ hộp là: 7.6 = 42 Số cách chọn vuên bi đỏ, viên từ hộp là: 4.2 = Số cách chọn vuên bi trắng, viên từ hộp là: 3.4 = 12 Xác suất lấy hai viên bi màu là: P 12 10
42 21
+
= =
Bài 34 Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn
HDGiải
Số phần tử không gian mẫu: n( )Ω =C164 =1820 Gọi biến cố A: “Chọn thẻ đánh số chẵn” Kết thuận lợi cho biến có A n A( )=C84 =70 Xác suất biến cố A ( ) ( )
( ) 1820 2670 n A
P A n
= = =
Ω
Bài 35 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta giử đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại
HDGiải
Số phần tử không gian mẫu: n( )Ω =C123 =220 Gọi biến cố A: “3 hộp sữa chọn có loại” Kết thuận lợi cho biến có A n A( )=C C C51 .41 13 =60 Xác suất biến cố A ( ) ( )
( ) 220 1160 n A
P A n
= = =
Ω
Bài 36 Cho đa giác n đỉnh, n∈ℕ n≥3 Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo
HDGiải
Số đường chéo đa giác n đỉnh ( )3 n
n n C − =n − Theo giả thiết, ta có: ( )3 27
2 n n
n −
= ⇔ = n= −6 Do n∈ℕ n≥3 nên giá trị n cần tìm n=9
(104)HDGiải
Số phần tử không gian mẫu n( )Ω =C253 =2300
Gọi A biến cố “ít đội Trung tâm y tế sở chọn” Ta có số kết thuận lợi cho biến cố A n A( )=C C203 51+C203 =2090 Vậy: ( ) ( ) 209
( ) 230 n A
P A n
= =
Ω
Bài 38. Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A câu hỏi B chọn giống
HDGiải
Số phần tử không gian mẫu n( )Ω =( )C103 =14400
Gọi A biến cố “3 câu hỏi A câu hỏi B chọn giống nhau”
Ta có số kết thuận lợi cho biến cố A n A( )=C103.1 120= (vì với cách chọn câu hỏi A, B có cách chọn câu hỏi giống A)
Vậy: ( ) ( ) 120
( ) 14400 120 n A
P A n
= = =
Ω
Bài 39. Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tọa thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều kiển Tính xác suất để B mở cửa phịng học
HDGiải
Khơng gian mẫuΩ có số phần tử 10
( ) 720
n Ω = A = Gọi E biến cố: “B mở cửa phịng học” Ta có:
{(0;1;9), (0; 2;8), (0;3; 7), (0; 4; 6), (1; 2; 7), (1;3; 6), (1; 4;5); (2;3;5)}
E= Do n E( )=8
Vậy: ( ) ( ) ( ) 90 n E P E
n
= =
Ω
Bài 40. Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có mơn thi trắc nghiệm mơn thi tự luận Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi mơn Tính xác suất để giáo viên phụ trách coi thi môn trắc nghiệm
HDGiải
Số phần tử không gian mẫu
( ) 56
n Ω =C =
Gọi A biến cố “Giáo viên phụ trách coi thi mơn trắc nghiệm” Ta có số kết thuận lợi cho biến cố A n A( )=C C42 43+C C43 42+C C44 41 =52 Vậy: ( ) ( ) 52 13
( ) 56 14
n A P A
n
= = =
Ω
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 41. Giải bất phương trình
a) 41 31 2
x x x
(105)c) 13 3
14 n
n n A
P C
+ − −
< d) 22 10
2A x Ax Cx x
− ≤ +
Bài 42
a)Định x y cho :Cxy+1:Cxy+1:Cxy−1 =6 : :
b)Định x y cho: (Axy−1+yAxy−−11):Axy−1:Cxy−1=10 : :1
Bài 43 Một tổ có học sinh nữ, học sinh nam Cần chọn học sinh số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn?
Bài 44 Một đơi văn nghệ có 15 người gồm 10 nam 5nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người phải có nữ
Bài 45 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có hai chữ số ?
Bài 46 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau?
Bài 47 Trong một mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng 2?
Bài 48 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn
19
x x
+
Bài 49 Tìm số hạng khơng chứa a khai triển nhị thức Niu-tơn
10
a a
+
Bài 50 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn 13 n x x
+
Biết
4 7( 3)
n n
n n
C ++ −C + = n+
Bài 51 Tính giá trị biểu thức
4
2
2
( 1)!
n n
A A
M
n + + =
+ biết
2 2
1 2 149
n n n n
C + + C + + C + +C + =
Bài 52 Tìm hệ số x8 khai triển (x2+2)n, biết An3−8Cn2 +Cn1 =49
Bài 53 Tìm hệ số không chứa x khai triển
30 2 3x
x
−
Bài 54 Trong khai triển nhị thức n x
x
+
, hệ số số hạng thứ ba lớn hệ số số hạng thứ hai 35 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nói
Bài 55.Giải phương trình
a) P Ax x2+72 6= (Ax2+2Px) b) 41 31 2
n n n
C − −C − − A− = c) A10x +Ax9 =9Ax8 d) 2P3+6An2−P An n2 =12
Bài 56 Từ hộp chứa cầu trắng qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất cho:
a) Bốn cầu lấy màu b) Có cầu trắng
Bài 57 Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa Hỏi có cách phân cơng ca mổ, ca gồm:
a) Một bác sĩ mổ bác sĩ phụ? b) Một bác sĩ mổ bốn bác sĩ phụ?
(106)CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi hai mơn thể thao bóng đá cầu lơng Có 30 em đăng kí mơn bóng đá, 25 em đăng kí mơn cầu lơng Hỏi có em đăng kí hai mơn thể thao ?
A 10. B 15. C 5. D 20.
Câu 2: Số 6000 có ước nguyên dương ?
A 40. B 32. C 24. D 42.
Câu 3: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch động đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tìm xác suất P để đội Trung tâm y tế sở chọn
A 209
230 =
P B
115 =
P C 209
230 =
P D 19
46 = P
Câu 4: Hỏi có số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho ?
A.30 B.90000 C.17280 D.180000
Câu 5: Xác suất bắn trúng mục tiêu vận động viên bắn viên đạn 0,6 Người bắn hai viên đạn cách độc lập Tìm xác suất P để viên đạn trúng mục tiêu viên đạn trượt mục tiêu
A. P=0,56 B. P=0,84 C. P=0,98 D. P=0,48
Câu 6: Gieo hai súc sắc cân đối Tìm xác suất P để tích số chấm hai súc sắc số lẻ
A
36
P= B
36
P= C
36
P= D
36 P=
Câu 7: Cho tập B={1;2;4;5;7} Có thể lập từ B số chẵn gồm chữ số khác ?
A.120 B.72 C.48 D.60
Câu 8: Tính hệ số x y12 13 khai triển (x y+ )25
A C2513 B. C1312 C. C2512 D 2.C1325
Câu 9: Tìm giá trị biểu thức J=317C170 −4.316C171 +4 32 15C172 −4 33 14C173 + − 417C1717
A. J =7 n B. J =17 C. J = −1 D. J=12 n
Câu 10: Trong khai triển (3x+2y)17 Tìm hệ số x y8
A 2 38 9C179 B 2 39 9C178 C 2 39 8C178 D 2 38 9C178
Câu 11: Từ hộp chứa cầu trắng qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất cho có cầu trắng
A 200
210
P= B
105
P= C 209
210
=
P D
7 P=
Câu 12: Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ đến Tìm xác suất P để rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi thẻ với có kết nhận số chẵn
A
18
P= B
6
P= C 13
18
P= D
9 P=
Câu 13: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu trắng, cầu đen Hộp thứ hai chứa cầu trắng, cầu đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất P để lấy hai màu
A 13
25
P= B P=1 C 24
25
P= D 12
(107)Câu 14: Trên một mặt phẳng, đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác tạo nên hình bình hành mặt phẳng ?
A 90. B 1630. C 1620. D 180.
Câu 15: Giả sử có khai triển ( ) ( )1−x n+x 1+x n−1 = +a0 a x a x1 + 2 2+ + a xn n Biết n 512
a + + + +a a a = Hãy tất giá trị thực n
A. n=10 B. n=100 C. n=7 D. n=10 n=9
Câu 16: An có 12 cuốn sách tham khảo khác nhau, có sách tốn, sách vật lí sách hóa học An muốn xếp chúng vào ngăn A, B, C giá sách cho ngăn chứa loại sách Hỏi An có cách xếp?
A 220. B 1320. C 207360. D 34560.
Câu 17: Cho tập A tập hợp có 20 phần tử Hỏi có tập tập A ?
A 20. B. 20 20 C. 20 D. 20 1−
Câu 18: Biết hệ số x2 khai triển (1 3+ x)n 90 Hãy tìm n.
A. n=5 B. n=9 C. n=10 D. n=7
Câu 19: Trong mặt phẳng có đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14 đường thẳng cho ?
A 320. B 96. C 420. D 48.
Câu 20: Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh; túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy khác màu
A 22
45
P= B 12
45
P= C 13
45
P= D 23
45 P=
Câu 21: Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, có An Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, cho Hai bạn An Bình khơng ngồi cạnh nhau?
A 10! – 8!. B 8!. C 72 8!. D 2!.5!.5!.
Câu 22: Một hộp đựng 11 thẻ đánh số từ đến 11 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để tổng số ghi thẻ số lẻ (lưu ý: Tổng số lẻ: l lẻ chẵn lẻ chẵn lẻ chẵn)
A 100
231
P= B
2
P= C 118
231 =
P D 115
231 P=
Câu 23: Cô giáo chia táo, cam chuối cho cháu (mỗi cháu quả) Hỏi có cách chia khác ?
A.18 B.1630 C.1620 D.9
Câu 24: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất số gồm chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số số lập Tìm xác suất P để số chọn chia hết cho
A
360
P= B
3
P= C
3
P= D
15 P=
Câu 25: Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tìm xác suất P để câu hỏi A câu hỏi B chọn giống
A
2 =
P B P=1 C
6 =
P D
120 = P
(108)A =
P B
6
P= C
2
P= D
60 P=
Câu 27: Có ba hộp A, B, C, hộp chứa ba thẻ đánh số từ 1, 2, Từ hộp rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để tổng số ghi ba thẻ
A
27
P= B
27
P= C
27
=
P D
3 P=
Câu 28: Có số tự nhiên gồm chữ số, biết hai số kề phải khác ?
A.59049 B.27216 C.81000 D.90000
Câu 29: Số 80041500 có ước nguyên dương ?
A.342 B.243 C.423 D.432
Câu 30: Một người qu lịch mang hộp thịt, hộp hộp sữa Do trời mưa nên hộp bị nhãn Người chọn ngẫu nhiên hộp Tính xác suất P để có hộp thịt, hộp sữa hộp
A
18
P= B
3
P= C
7
P= D
28
=
P
Câu 31: Kết ( , )b c việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, clà số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình:x2+bx c+ =0 Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm kép
A 17
18
P= B 17
36
P= C 19
36
P= D
18 P=
Câu 32: Có đường chéo thập giác ?
A.30 B.10 C.35 D.45
Câu 33: Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để có ba thẻ ghi số 1, 2, rút
A
15
P= B
21
P= C
14
P= D
42 P=
Câu 34: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên bé 1000 Tìm xác suất P để số chia hết cho
A 333
1000
P= B 331
1000
P= C 335
1000
P= D 334
1000 P=
Câu 35: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm 37 điểm chọn d1 d2
A.5950 B.2720 C.3230 D.340
Câu 36: Tổ An Bình có học sinh Tìm số cách xếp học sinh theo hàng dọc mà An đứng đầu hàng, Bình đứng cuối hàng
A.240 B.5040 C.216 D.120
Câu 37: Tìm giá trị biểu thức N =3C20090 +32C20091 +33C20092 + + 32010C20092009
A. N =3 2010 B. N =3.4 2009 C. N =4 2010 D. N =5 2009 Câu 38: Gọi Tk số hạng không chứa x khai triển
6
2
2x ,x x
− ≠
Tìm số hạng Tk
A T4 =240 B T3 =420 C T6 =240 D T3 =240
Câu 39: Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để thẻ ghi số 1, 2, rút
A
21
P= B
42
P= C
42
P= D
(109)Câu 40: Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất P để thẻ chọn đánh số chẵn
A
26 =
P B 25
26 =
P C P=1 D
2 = P
Câu 41: Giải phương trình 2Pn+6An2−P An n2 =12
A. n=2;n=3 B. n=2;n=4 C. n=4;n=6 D. n=3;n=4
Câu 42: Với bốn chữ số 1; 2; 3; lập số có chữ số phân biệt ?
A.24 B.32 C.16 D.64
Câu 43: Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc Có cách xếp cho khơng có học sinh giới tính đứng kề ?
A.10! – 5! B.5!.5! C.2!.5!.5! D.10!
Câu 44: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: C Cn2 nn−2+2C Cn2 n3+C Cn3 nn−3 =100
A. n=9 B. n=4 C. n=2 D. n=6
Câu 45: Tính An2 biết số hạng thứ khai triển +
n x
x
3
không phụ thuộc vào x
A An2 =420 B An2 =380 C. An2 =3003 D. An2 =480
Câu 46: Tìm giá trị biểu thức M =C20090 +2C12009+22C20092 + + 22009C20092009
A. M =2009 B. M =3 2009 C. M=3 D. M=2010
Câu 47: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất P để số chọn số chẵn
A
7
P= B
7
P= C
3
P= D 91
210 P=
Câu 48: Cho đa giác có 2n cạnh A1A2 .A2n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn Biết
rằng số tam giác có đỉnh lấy 2n điểm A A1, , ,2 A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy 2n điểm A A1, , ,2 A2n Tìm n
A. n=8 B. n=6 C. n=4 D. n=12
Câu 49: Trong đa giác bảy cạnh, kẻ đường chéo Hỏi có giao điểm đường chéo, trừ đỉnh ?
A.27 B.35 C.840 D.28
Câu 50: Tìm tất nghiệm phương trình Cx1+6Cx2+6Cx3 =9x2−14 x
A. x=3 x=8 B. x=7 C. x=7 x=9 D. x=8
Câu 51: Trong vòng loại Olympic, tám đường bơi, vận động viên khơng lúc đích Hỏi có cách xếp hạng xảy ?
A.42000 B.43020 C.42300 D.40320
Câu 52: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có mơn thi trắc nghiệm môn thi tự luận Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi mơn Tìm xác suất P để giáo viên phụ trách coi thi mơn trắc nghiệm
A 13
14 =
P B
7 =
P C
4 =
P D
5 = P
Câu 53: Ta xếp cầu trắng khác cầu đỏ khác vào 10 vị trí theo dãy, cho cầu màu khơng đứng cạnh Hỏi có cách xếp ?
A.28800 B.14000 C.156 D.240
Câu 54: Cho khai triển (1 2+ x)n =a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n
(110)A. T5 =C62 x B T5 =C62 x C T5 =C62 x D T5 =C62 x
Câu 55: Có học sinh thầy giáo A, B, C ngồi hàng ngang có ghế Hỏi có cách xếp chỗ cho người cho thầy giáo ngồi hai học sinh ?
A 43200. B 35684. C 55012. D 94536.
Câu 56: Tính tổng S tất số gồm chữ số khác số lập từ
{1; 2;3; 4}
B= phép hoán vị ?
A. S=7 777 777 B. S=66660 C. S=5 555 555 D. S=88880
Câu 57: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cn0−2C1n+4Cn2 =97 Gọi Tk số hạng chứa x2 khai triển theo công thức nhị thức Niu_tơn biểu thức ( ) 22 ,
n
P x x x
x
= + ≠
Tìm số hạng Tk
A. T3 =211 x2 B. T3 =112 x2 C. T2 =121 x2 D. T2 =112 x2
Câu 58: Trong một vòng loại Olympic, tám đường bơi, vận động viên không lúc đích Hỏi có cách xếp hạng xảy ?
A 42030. B 40320. C 40312. D 40230.
Câu 59: Số 337211875 có ước nguyên dương ?
A 140. B 210. C 120. D 240.
Câu 60: Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất P để viên bi lấy màu
A 13
42
P= B
21
P= C 10
21
P= D
7 P=
Câu 61: Tim hệ số x9 sau khai triển rút gọn đa thức ( ) ( )1+x 9+ +1 x 10+ + + 1( )x 14
A 3001. B 3003. C 2901. D 3010.
Câu 62: Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn ?
A 108. B 246. C 462. D 642.
Câu 63: Giải phương trình x2 − + =8x n Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3−2Cn3−1+Cn3+2 =466
A. x=7 B. x=4 C. x=5 D. x=3
Câu 64: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi mơn tốn 0,92; mơn văn 0,88 Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi hai mơn tốn văn
A 0,5. B 0,8096. C 0,9904. D 0,0096.
Câu 65: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác nhỏ 600.000 ?
A 30360. B 393600. C 39360. D 33960.
Câu 66: Số 2389976875 có ước nguyên dương ?
A 420. B 360. C 120. D 240.
Câu 67: Một tổ có nam sinh nữ sinh Giáo viên cần chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, có nam sinh Hỏi có cách chọn ?
A 28. B 161. C 990. D 165.
Câu 68: Số 653672250 có ước nguyên dương ?
A 360. B 260. C 240. D 144.
Câu 69: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1 1 2
1
1 1
1
n n
n n n
A − +C +− + A+ =
A. n=6 B. n=2 C. n=9 D. n=3
Câu 70: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 =Cn3 Tìm tất giá trị n
(111)Câu 71: Từ ba đỉnh tam giác ABC lập vectơ khác vectơ O
A 12(vectơ) B 6(vectơ) C 9(vectơ) D 3(vectơ)
Câu 72: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: Cn2+1+2Cn2+2 +3Cn2+3 =45
A. n=3 n=2 B. n=4và n=1 C. n=2 D. n=3
Câu 73: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn3+1−Cnn−2 =Cnn−1.C1n+4
A. n=12 B. n=7 C. n=2 D. n=11
Câu 74: Số 3969000 có ước nguyên dương ?
A 40. B 240. C 120. D 432.
Câu 75: Tất nghiệm phương trình
4
1 1
x x x
C −C =C thuộc khoảng ?
A. (−∞;1 ) B. (2;+∞) C. ( )3;7 D. ( )0;4 Câu 76: Tìm tất giá trị n số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3+2Cnn−2 ≤9 n
A. n=4 B. n=3 C. n=3,n=5 D. n=3,n=4
Câu 77: Hỏi có số tự nhiên có chữ số chữ số cách số đứng giống ?
A 920. B 1000. C 720. D 900.
Câu 78: Với chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số chẵn gồm chữ số khác ?
A 1260. B 2400. C 1280. D 4200.
Câu 79: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất P để chọn hai viên bi màu
A 47
66
P= B
66
P= C 12
66
P= D 19
66 P=
Câu 80: Trên tập B={1; 2;3; 4;5; 6;7}có thể lập thành số tự nhiên gồm bảy chữ số khác
A 5400. B 4500. C 4050. D 5040.
Câu 81: Tìm tất nghiệm phương trình A10x +Ax9 =9 A8x
A. x=11 x=5 B. x=11
C. x=11 x=10 D, x=5
Câu 82: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ hai viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất P để chọn hai viên bi khác màu
A
13
P= B
9
P= C 13
18
P= D
18 P=
Câu 83: Một trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phương án trả lời Hỏi có phương án chọn trả lời ?
A. 10 B.10 C 4. D 40.
Câu 84: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác nằm khoảng (2000; 4000)
A 1006. B 1012. C 1016. D 1008.
Câu 85: Tìm giá trị biểu thức K =C20090 −C20091 +C20092 − + − ( 1)2009C20092009
A. K =2009 B. K =2010 C. K =2 2009 D. K=0
Câu 86: Cho một đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có vectơ khác vectơ O
với điểm đầu điểm cuối đỉnh đa giác ?
A 225(vectơ) B 30(vectơ) C 105(vectơ) D 210(vectơ)
(112)A. n=9 B. n=16 C. n=12 D. n=5
Câu 88: Gọi Tk số hạng không chứa x khai triển nhị thức 13 , n
x x
x
+ ≠
, biết rằng:
+ =
n n
C1 C3 13n (n số tự nhiên lớn 2, x số thực khác 0) Tìm số hạng Tk
A T7 =210 B T6 =310 C T5 =120 D T5 =210
Câu 89: Kết ( , )b c việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, clà số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình:x2+bx c+ =0 Tìm xác suất P để phương trình vơ nghiệm
A 17
36
P= B 17
18
P= C 19
36
P= D
18 P=
Câu 90: Một đoàn đại biểu gồm học sinh chọn từ tổ gồm nam nữ Hỏi có cách chọn cho có nam nữ ?
A 124. B 3024. C 126. D 120.
Câu 91: Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niu-tơn (2+x)n, biết:
1 2 3
3n n 3n n 3n n 3n n ( 1)n n 2048
n n n n n
C − − C − + − C − − − C − + + − C =
A 11. B 23. C 24. D. 22
Câu 92: Hỏi có cách chọn tập hợp chữ từ bảng chữ Tiếng Anh ?
A 7893600. B 56780. C 120. D 65780.
Câu 93: Trong khai triển (1+ax)nta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba là252x2 Hãy tìm a n
A
4 a n =
=
B
3 a n =
=
C
8 a n =
=
D
2 a n =
=
Câu 94: Trong một trò chơi điên tử, xác suất để An thắng trân 0,4 (khơng có hịa) Hỏi An phải chơi tối thiểu trân để xác suất An thắng trận loạt chơi lớn 0,95?
A trận B trận C trận D trận
Câu 95: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 ?
A 80640. B 5040. C 2520. D 3024.
Câu 96: Trong khai triển (1 2− x)8.Tìm hệ số x2
A 212. B 112. C 122. D 121.
Câu 97: Tìm giá trị biểu thức H =C20090 +C12009+C20092 + + C20092009
A. H =2009 B. H =0 C. H =2 2009 D. H=2
Câu 98: Gọi Tk số hạng không chứa x khai triển
18
3
1 , 0.
x x
x
+ ≠
Tìm số hạng Tk
A T10 =48620 B T9 =48620 C. T10 =48820 D T11=43758
Câu 99: Lấy hai từ cỗ tú lơ khơ 52 Hỏi có cách lấy ?
A 2652. B 1326. C 450. D 104.
Câu 100: Một túi đựng cầu đỏ, cầu xanh Chọn ngẫu nhiên cầu Gọi P xác suất có màu đỏ màu xanh Khi đó:
A
210
P= B 97
105
P= C
15
P= D 194
220 P=
(113)A 27
65
P= B 45
286 =
P C 35
5040
P= D 11
3003 P=
Câu 102: Kết ( , )b c việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, clà số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình:x2+bx c+ =0 Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm
A
18
P= B 17
36
P= C 19
36
P= D 17
18 P=
Câu 103: Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, có An Bình vào 10 ghế kê thành hàng ngang, cho hai bạn An Bình ngồi cạnh ?
A.10! B.9! C.18 8! D.2.10!
Câu 104: Số 283618125 có ước nguyên dương ?
A.120 B.240 C.220 D.420
Câu 105: Gieo hai súc sắc cân đối Tìm xác suất P để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc
A
2
P= B
6
P= C
36
P= D
9 P=
Câu 106: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số phân biệt ?
A.2700 B.7216 C.26216 D.27216
Câu 107: Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để khơng thẻ ba thẻ ghi số 1, 2, rút
A
21
P= B
14
P= C
9
P= D
25 P=
Câu 108: Một đa giác lồi 20 cạnh có đường chéo ?
A.180 B.380 C.170 D.190
Câu 109: Tìm giá trị biểu thức H =C C53 42+C C42 13+C C3 31
A. H =210 B. H =9 C. H =81 D. H=18
Câu 110: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 12 11
n n n
A +C = −
A. n=7 B. n=9 C. n=12 D. n=4
Câu 111: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ hai viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất P để chọn hai viên bi màu
A
9
P= B
18
P= C
16
P= D 13
18 P=
Câu 112: Một câu lạc Toán học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn thành viên làm giám đốc CLB, thành viên làm phó giám đốc CLB thành viên làm kế tốn trưởng CLB Hỏi có cách chọn để bầu mà khơng có kiêm nhiệm ?
A.2184 B.364 C.42 D.14!
Câu 113: Có số tự nhiên lẻ khoảng (2000; 3000) tạo nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6 chữ số khơng thiết khác
A.108 B.36 C.48 D.72
Câu 114: Một tổ gồm có nam nữ Cần chọn nhóm người có nữ Hỏi có cách chọn ?
A.240240 B.840 C.120 D.2002
Câu 115: Số 2025000 có ước nguyên dương ?
A.240 B.120 C.221 D.210
(114)A 120. B 100. C 60. D 90.
Câu 117: Cho đa giác n đỉnh, n∈ℕ n≥3 Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo
A. n=9 B. n=10 C. n=12 D. n=7
Câu 118: Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A. Tìm n
A. n=9 B. n=18 C. n=20 D. n=8
Câu 119: Giải phương trình Cn2+1+2Cn2+2+2Cn2+3+Cn2+4 =149
A. n=4 B. n=5và n= −9 C. n=5 D. n=9
Câu 120: Có đường từ A đến B, đường nối từ B đến C đường nối từ C đến D Có cách từ A đến D quay lại A ?
A 504. B 576. C 192. D 675.
Câu 121: Cần phân cơng ba bạn từ tổ có 10 bạn để trực nhật Hỏi có cách phân công khác ?
A 120. B 360. C 720. D 30.
Câu 122: Cho khai triển (1 2+ x)n =a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n Biết a0+ + + +a1 a2 an =729 Tìm
n
A. n=9 B. n=5 C. n=6 D. n=7
Câu 123: Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh; túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy màu
A 13
45
P= B 23
45
P= C 22
45
P= D 12
45 P=
Câu 124: Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc Có cách xếp khác ?
A 2.5!. B 9!. C 5!.5!. D 10!.
Câu 125: Hỏi từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh ?
A 192. B 72. C 48. D 24.
Câu 126: Có tập tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ?
A 16 B C 12. D 18.
Câu 127: Giải phương trình x2−2nx− =5 Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cnn−1+C5n =9
A. x= ±2 B. x= ±4 21 C. x= ±4 D. x= ±4
Câu 128: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất bốn lần Tìm xác suất P để bốn lần xuất mặt sấp
A
16
P= B
16
P= C
16
P= D
16 P=
Câu 129: Giả sử có bảy bơng hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba hoa vào ba lọ cho ( lọ cắm bông) ?
A 210. B 105. C 21. D 120.
Câu 130: Tại buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự Mỗi ông bắt tay lần với người trừ vợ Các bà khơng bắt tay với Hỏi có bắt tay ?
A 216. B 234. C 78. D 185.
Câu 131: Có người đến buổi hịa nhạc Tìm số cách xếp người vào hàng có ghế
A 10. B 5. C 125. D 120.
Câu 132: Trong số tự nhiên từ 100 đến 999 có số mà chữ số tăng dần giảm dần ?
A 204. B 120. C 168. D 312.
(115)A. F=81 B. F=10 C. F=10 D. F=81
Câu 134: Tìm số nguyên dương n C: n0+2C1n+4Cn2 + + 2nCnn =243
A. n=5 B. n=7 C. n=9 n=7 D. n=4 n=5
Câu 135: Viết ngẫu nhiên số gồm chữ số đôi khác chữ số khơng có chữ số Tìm xác suất P để viết chữ số số chẵn
A
126
P= B
6
P= C 10
63
P= D
6 P=
Câu 136: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên bé 1000 Tìm xác suất P để số chia hết cho
A. P=0,4 B. P=0,7 C. P=0,5 D. P=0,2
Câu 137: Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ Cần có nhà Tốn học nhà Vật lý Hỏi có cách lập ?
A 1320. B 90. C 32. D 220.
Câu 138: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu trắng, cầu đen Hộp thứ hai chứa cầu trắng, cầu đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất P để lấy hai khác màu
A
5
P= B 12
25
P= C 24
25
P= D 13
25 P=
Câu 139: Có số gồm chữ số, có hai chữ số ?
A 13 640 319. B 10 640 319. C 920 232. D 720 087.
Câu 140: Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập số chẵn, số gồm chữ số khác nhau?
A 2520. B 21. C 1260. D 5040.
Câu 141: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi mơn tốn 0,92; mơn văn 0,88 Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi môn
A 0,9904. B 0,5. C 0,8096. D 0,0096.
Câu 142: Giải bất phương trình − −x2 2x+ − ≥8 n Biết số nguyên dương n thỏa mãn
3
1
2 n 90
n n
C −A+− + =
A. x≥2 B. − ≤ ≤3 x C. x≤ −4 D. − < <3 x
Câu 143: Một hộp chứa 12 thẻ, có thẻ ghi số 1; thẻ ghi số thẻ ghi số 10 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để số chọn có tổng số khơng nhỏ 50
A 132
924
P= B 37
924
P= C 127
924
P= D 99
924 P=
Câu 144: Gieo một súc sắc cân đối ba lần Tìm xác suất P để có hai lần xuất mặt chấm
A 15
216
P= B
216
P= C
6
P= D
216 P=
Câu 145: Hỏi có số chẵn gồm số khác đôi chữ số chữ số lẻ ?
A 40000. B 24000. C 48000. D 42000.
Câu 146: Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều kiển Tìm xác suất P để B mở cửa phịng học
A
45 =
P B
45 =
P C
90 =
P D
9 = P
Câu 147: Hỏi có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn ?
(116)Câu 148: Một tàu tập đồn dầu khí quốc gia Việt Nam khoan thăm dị dầu khí thềm lục địa tỉnh Bình Thuận có xác suất khoan trúng túi dầu P Tìm P biết hai lần khoan độc lập, xác suất để tàu khoan trúng túi dầu lần 0,36
A
5
P= B
9
P= C
2
P= D
5 = P
Câu 149: Giải bất phương trình 2Cx2+1+3Ax2 <30
A
2 x
− < < B. x=3 C. x=2 D. 0< ≤x
Câu 150: Gieo hai súc sắc cân đối cách độc lập Tìm xác suất P để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc
A
36
P= B
12
P= C
6
P= D
21 P=
Câu 151: Từ hộp chứa ba cầu trắng hai cầu đen lấy ngẫu nhiên hai Tìm xác suất P để lấy hai cầu trắng
A 12
30
P= B
30
P= C 10
30
P= D
30 P=
Câu 152: Có bạn nam bạn nữ xếp ngổi ngẫu nhiên quanh bàn trịn Tìm xác suất P nam, nữ ngồi xen kẽ
A 2880
482880
P= B 2880
362880
P= C 2990
362990
P= D 3880
363880 P=
Câu 153: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta giử đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất P để hộp sữa chọn có loại
A
11 =
P B
11 =
P C
5 =
P D
5 = P
Câu 154: Gieo ba súc sắc cân đối Tìm xác suất P để số chấm xuất ba ba súc sắc nhu
A
36
P= B
216
P= C 12
216
P= D
216 P=
Câu 155: Gieo súc sắc cân đối hai lần Tìm xác suất P để lần xuất mặt sáu chấm
A
9
P= B 12
36
P= C
6
P= D 11
36 P=
Câu 156: Có cách xếp năm bạn học sinh A B C D, , , và E vào ghế dài đủ năm chỗ ngồi cho hai bạn A E ngồi hai đầu ghế ?
A.9 B.12 C.16 D.24
Câu 157: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho ?
A.20 B.925 C.952 D.120
Câu 158: Từ hộp chứa cầu trắng qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất P cho bốn cầu lấy màu
A
14
P= B
120
P= C
210
P= D
105 = P
Câu 159: Có hai hịm đựng thẻ, hòm đựng 12 thẻ đánh số từ đến 12 Từ hịm rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để hai thẻ rút có thẻ đánh số 12
A 11
12
P= B
144
P= C 121
144
P= D 23
(117)Câu 160: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cn− =Cn Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn
2 1
, 14
n nx
x x
− ≠
A. −35 x5 B. 35
14x
− C. 35
16x
− D. 37
16x
−
Câu 161: Cho tập B={0;1;2;3;4;5} Có thể lập số chẵn, số gồm chữ số khác ?
A 213. B 30. C 312. D 120.
Câu 162: Có số tự nhiên lẻ khoảng (2000; 3000) tạo nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6 chữ số khác
A 36. B 60. C 120. D 108.
Câu 163: Giải phương trình A Cx2 xx−1 =48
A. x=4 B. x=5 C. x=2 D. x=1 x=3
Câu 164: Có đường từ A đến B, đường nối từ B đến C đường nối từ C đến D Có cách từ A đấn D mà qua B C lần ?
A 8. B 42. C 24. D 12.
Câu 165: Gieo ba súc sắc cân đối cách độc lập Tìm xác suất P để tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc
A
216
P= B
216
P= C
216
P= D 25
216 P=
Câu 166: Tìm hệ số x5 khai triển ( )1+x 12
A 297. B 792. C 729. D 972.
Câu 167: Gieo hai súc sắc cân đối Tìm xác suất P để hiệu số chấm mặt xuất hai súc sắc
A
12
P= B
9
P= C
36
P= D
9 P=
Câu 168: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất P để chọn hai viên bi khác màu
A 19
66
P= B 47
66
P= C 12
66
P= D
66 P=
Câu 169: Cho đa giác n đỉnh (n∈ℕ,n≥3) Tìm n biết đa giác cho có 135 đường chéo
A. n=27 B. n=18 C. n=21 D. n=15
Câu 170: Có cách xếp năm bạn học sinh A B C D, , , E vào ghế dài đủ năm chỗ ngồi cho bạn C ngồi giữa?
A 16. B 24. C 12. D 42.
Câu 171: Một súc sắc cân đối gieo ba lần Tìm xác suất P để tổng số chấm xuất hai lần gieo đầu số chấm xuất lần gieo thứ ba
A 10
216
P= B 16
216
P= C 15
216 =
P D 12
216 P=
Câu 172: Trên tập B={1; 2;3; 4;5; 6;7}có thể lập thành bao số tự nhiên gồm bảy chữ số khác
A. 4050 B. 4500 C. 5400 D. 5040
Câu 173: Tìm tất nghiệm phương trình Cxx−1+Cxx−2+Cxx−3+ + Cxx−10 =1023
(118)Câu 174: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn 13 x5 x
+
, biết
4 7( 3)
n n
n n
C ++ −C + = n+
A. C x128 B. C x124 .8 C. C x82 .8 D. C x108 .8
Câu 175: Số 31752000 có ước nguyên dương ?
A 420 B 120 C 240 D 128
Câu 176: Một tập hợp có 100 phần tử Hỏi có tập có nhiều phần tử ?
A. 2100−5051 B. 2100+5051 C. 100 D. 5051 Câu 177: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lớn 6000 ?
A 1008. B 24000. C 3003. D 1800.
Câu 178: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có cách chọn số số chẵn số nguyên tố ?
A 9. B 3. C 7. D 5.
Câu 179: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch động đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Hỏi có cách chọn cho có đội Trung tâm y tế sở chọn
A 2900. B 2300. C 2090. D 9020.
Câu 180: Giải bất phương trình sau:
4
2
15 n
n n
A
P P
+
+ −
<
A. n=4,n=5,n=6 B. n=2,n=3,n=4 C. n=3,n=2,n=5 D. n=3,n=4,n=5
Câu 181: Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ nhân hai số ghi hai thẻ với Tìm xác suất P để tích nhận số lẻ
A
18
P= B
9
P= C 13
18
P= D
6 P=
Câu 182: Số 360 có ước nguyên dương ?
A 24. B 36. C 12. D 42.
Câu 183: Giải phương trình C2 11n+ +C2 12n+ + + C2 1nn+ =220−1
(119)116
Đại số giải tích 11 Chương II Tổ hợp – Xác suất
ĐÁP ÁN
CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A
B C D
10 1
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
10 7
10 8
10 9
11 0
11 1
11 2
11 3
11 4
11 5
11 6
11 7
11 8
11 9
12 0 A
B C D
12 1
12 2
12 3
12 4
12 5
12 6
12 7
12 8
12 9
13 0
13 1
13 2
13 3
13 4
13 5
13 6
13 7
13 8
13 9
14 0 A
(120)117
Đại số giải tích 11 Chương II Tổ hợp – Xác suất 14
1 14
2 14
3 14
4 14
5 14
6 14
7 14
8 14
9 15
0 15
1 15
2 15
3 15
4 15
5 15
6 15
7 15
8 15
9 16
0 A
B C D
16 1
16 2
16 3
16 4
16 5
16 6
16 7
16 8
16 9
17 0
17 1
17 2
17 3
17 4
17 5
17 6
17 7
17 8
17 9
18 0 A
B C D
181 182 183 A
(121)Chương III
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1.Để chứng minh mệnh đề với n∈ℕ* phương pháp quy nạp toán học, ta thực bước sau:
B1 Kiểm tra mệnh đề với n = 1
B2 Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ( k≥1) (giả thiết quy nạp)
B3 Chứng minh mệnh đề với n = k + 1
2 Để chứng minh mệnh đề với n≥ p p,( ∈ℕ,p>1)bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực bước sau:
B1 Kiểm tra mệnh đề với n = p
B2 Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n= ≥k p (giả thiết quy nạp)
B3 Chứng minh mệnh đề với n = k + 1
B BÀI TẬP
Bài 1.1 Chứng minh với n∈ℕ* + + + + (2n – 1) = n2 (1)
HDGiải
B1: n = 1, vế trái có số hạng 1, vế phải 12 Hệ thức (1)
B2 Đặt Sn = + + + + (2n– 1) Giả sử đẳng thức với n = k ( k≥1) , nghĩa là: Sk = + +
+ + (2k – 1) = k2 (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh (1) với n = k + 1, tức là:
Sk+1 = + + +…+ (2k – 1) + [ 2(k + 1) – 1] = ( k + )2
Từ giả thiết quy nạp ta có: Sk+1 = Sk + [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + = (k + 1)2 Vậy hệ thức (1) với n∈ℕ*
Bài 1.2 Chứng minh với n∈ℕ* n n n( 1)
2
+
+ + + + = (2)
HDGiải
Với n = 1, ta có vt = = 1(1 1) vp
2+ = Vậy hệ thức (2)
Đặt Sn = + + + + n. Giả sử đẳng thức với n = k (k≥1), nghĩa
k
k k
S k ( 1)
2
+
= + + + + = ( giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh (2) với n = k + 1, tức là: Sk 1 Sk (k 1) (k 1)[(k 1) 1] (k 1)(k 2)
2
+
+ + + + +
= + + = =
Từ giả thiết quy nạp ta có:
k k
S+1= + +S (k 1)= k k( 1) (k 1) k k( 1) 2(k 1) (k 1)(k 2)
2 2
+ + + = + + + = + +
Vậy hệ thức (2) với n∈ℕ*
Bài 1.3 Chứng minh n∈ℕ* 12 22 n2 n n( 1)(2n 1)
6
+ +
+ + + = (3)
(122)119
Khi n = : Hệ thức (3) vì: 12 1(1 1)(2.1 1)
6
+ +
=
Đặt Sn = + + + +1 22 32 n2 Giả sử đẳng thức với n = k (k≥1), nghĩa
k
k k k
S 12 22 k2 ( 1)(2 1)
6
+ +
= + + + = Ta phải chứng minh (3) với n = k +1
Ta có: Sk 1 Sk (k 1)2 k k( 1)(2k 1) (k 1)2 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1]
6
+
+ + + + + + +
= + + = + + =
Điều chứng tỏ (3) với n = k +1 Vậy hệ thức (3) với n∈ℕ*
Bài 1.4 Chứng minh n∈ℕ* n n n 2 3 ( 1)
1
4
+
+ + + = (4)
HDGiải
Khi n = 1: Hệ thức (4)
Đặt Sn = 13 + 23 + + n3 Giả sử đẳng thức với n = k (k≥1), nghĩa
k
k k
S k
2 3 ( 1)
1
4
+
= + + + = (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh (4) với n = k +1
Ta có: Sk Sk k k k k k k k k k
2 2 2
3
1
( 1) ( 1) ( 4) ( 1) ( 2)
( 1) ( 1)
4 4
+
+ + + + + +
= + + = + + = =
Vậy hệ thức (4) với n∈ℕ*
Bài 1.5 Chứng minh n∈ℕ* 1.2 2.5 3.8 + + + +n n(3 − =1) n n2( +1) (5)
HDGiải
Khi n = 1: Hệ thức (5)
Đặt Sn = 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n– 1) Giả sử đẳng thức với n = k (k≥1), nghĩa là:
k
S =1.2 2.5 3.8 + + + +k k(3 − =1) k k2( +1)( giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh (5) với n = k +1 Ta có:
k k
S+1= + +S (k 1)[3(k+ − =1) 1] k k2( + + +1) (k 1)(3k+ = +2) (k 1)(k2 +3k+ = +2) (k 1) (2 k+2)
Vậy hệ thức (5) với n∈ℕ*
Bài 1.6 Chứng minh n∈ℕ* 3n n n(3 1)
2
+
+ + + + − = (6)
HDGiải
Khi n = 1, Hệ thức (6)
Đặt Sn = + + + +2 3n−1.Giả sử đẳng thức với n = k (k≥1), nghĩa
k
k k S 3k (3 1)
2
+
= + + + + − = ( giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh (6) với n = k +1
Ta có: Sk 1 Sk 3(k 1) k k(3 1) 3k 3k k 6k (k 1)(3k 4)
2 2
+
+ + + + + +
= + + − = + + = =
Vậy hệ thức (6) với n∈ℕ*
Bài 1.7 Chứng minh n∈ℕ*
n n n
1 1
2 2
−
+ + + + = (7)
HDGiải
Khi n = 1, Hệ thức (7) Đặt Sn 1 1n
2
= + + + + Giả sử đẳng thức với n = k (k≥1), nghĩa
k
k k k
S 1
2 2
−
(123)Ta có:
k k k
k k k k k k k
S S
1
1 1 1
1 1 2
2 2 2
+ +
+ + + + +
− − + −
= + = + = =
Vậy hệ thức (7) với n∈ℕ*
Bài 1.8 Chứng minh n∈ℕ* 27 3n 1(3n 3)
2 +
+ + + + = − (8)
HDGiải Với n = 1: Hệ thức (8)
Đặt Sn = + + 27 + … + 3n Giả sử đẳng thức với n = k (k≥1), nghĩa
( )
k k
k
S 27 3
2 +
= + + + + = − ( giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh (8) với n = k +1 Ta có: Sk 1 Sk 3k 1(3k 3) 3k 1(3( 1) 1k 3)
2
+ + + + +
+ = + = − + = −
Vậy hệ thức (8) với n∈ℕ*
Bài 1.9 Chứng minh n n n n n
2 2 ( 1)(3 2)
1.2 2.3 ( 1)
12
− +
+ + + − = (9) với số nguyên n≥2
HDGiải Với n = 2, ta có
2
2 2(2 1)(3.2 2)
1.2
12
− +
= Như (9) với n =
Giả sử (9) với n = k, k≥2, nghĩa k k k k k
2 2 ( 1)(3 2)
1.2 2.3 ( 1)
12
− +
+ + + − = (giả thiết quy
nạp) Ta phải chứng minh (9) với n = k + Ta có:
k k
k k k k k k k k
S S k k k k
2
2
1
( 1)(3 2) ( 1)[( 1)(3 2) 12( 1)]
( 1) ( 1)
12 12
+
− + + − + + +
= + + = + + =
k k( 1)(3k2 11k 10) k k( 1)[3 (k k 2) 5(k 2)] (k 1)(k2 )(3k k 5)
12 12 12
+ + + + + + + + + +
= = =
k k k
( 1)[( 1) 1][3( 1) 2] 12
+ + − + +
=
Điều chứng tỏ (9) với n = k + Vậy (9) với n≥2
Bài 1.10 Chứng minh với n∈ℕ*, ta có
a) n3 – n chia hết cho (a) b) 11n + 1 + 122n – 1 chia hết cho 133 (b) c) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho (c)
HDGiải
a) Đặt An = n3 – n
Với n = 1, ta có A1=0 3⋮
Giả sử Ak =(k3−k) 3⋮ , (k≥1)(giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Ak+1⋮3 Ta có:
k k
A+1 = +(k 1) (3− + = +k 1) k3 3k2+3k+ − − =1 k (k3− +k) 3(k2+ = +k) S 3(k2+k)
Theo giả thiết quy nạp Ak =(k3−k) 3⋮ , 3(k2 +k) 3⋮ Nên Ak+1⋮3
Vậy An = n3 – n chia hết cho với n∈ℕ*
b) Đặt Bn = 11n + 1 + 122n – 1 Với n = 1, ta có B1=133 133⋮
Giả sử Bk =(11k+11+122 1k− ) 133⋮ , (k≥1)(giả thiết quy nạp)
(124)121
k k k k k k k
k k
B+1=11+2 +122 1+ =11.11+1+122 1−.122 =11.11+1+122 1−(11 133) 11+ = A +133122 1− , theo giả thiết quy nạp Bk =(11k+11+122 1k− ) 133⋮ , 133.122k – chia hết cho 133 Nên Bk+1⋮133
Vậy 11n + + 122n – chia hết cho 133
c) Đặt Cn = 2n3 – 3n2 + n Với n = 1, ta có C1 =0 6⋮
Giả sử Ck =(2k3−3k2+k) 6⋮ , (k≥1)(giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Ck+1⋮6 Ta có:
k
C +1 =2(k+1) 3(3− k+1)2 + + =(k 1) (2k3−3k2+ +k) 6k2, theo giả thiết quy nạp
k
C =(2k3−3k2+k) 6⋮ , 6k2⋮6 Nên Ck+1⋮6
Vậy 2n3 – 3n2 + n chia hết cho
Bài 1.11 Với số nguyên dương n, đặt An = 7.22n – + 32n – Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có An chia hết cho
HDGiải Với n = 1, ta có A1=7.22.1 2− +32.1 1− = + =7 10 5⋮
Giả sử Ak =7.22 2k− +32 1k− ⋮5, (k≥1)(giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Ak+1⋮5 Ta có:
k k k k k k k k
k k
A+1 =7.22( 1) 2+ − +32( 1) 1+ − =4.7.22 −2+9.32 1− =4(7.22 −2+32 1− ) 5.3+ 1− =4A +5.32 1−
Theo giả thiết quy nạp Ak =7.22 2k− +32 1k− ⋮5, 5.32 1k− ⋮5, nên Ak+1⋮5
Vậy An = 7.22n – + 32n – chia hết cho với n nguyên dương
Bài 1.12 Với số nguyên dương n, đặt An = 5.23n – + 33n – Chứng minh với số ngun
dương n, ta ln có An chia hết cho 19
HDGiải
Khi n = 1, ta có A1 =5.23.1 2− +33.1 1− =19 19⋮
Giả sử Ak =(5.23 2k− +33 1k− ) 19⋮ , (k≥1)(giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Ak+1⋮19 Ta có: Ak+1 =5.23 1k+ +33 2k+ =8 5.2( 2k− +33 1k− )+19.33 1k− =8Ak+19.33 1k− , theo giả thiết quy nạp
k k k
A =(5.23 2− +33 1− ) 19⋮ , 19.33 1k− ⋮19 Nên Ak+1⋮19
Vậy An = 5.23n – + 33n – chia hết cho 19 với n nguyên dương
Bài 1.13 Chứng minh với n∈ℕ*, ta có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho b) 4n + 15n– chia hết cho
c) n3 + 11n chia hết cho d) 32n + 1 + 2n + 2 chia hết cho HDGiải
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Khi n = 1, ta có S1 =9 3⋮ Giả sử Sk =(k3+3k3+5 ) 3k ⋮ ,(k≥1),(giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh Sk+1⋮3 Ta có:
k
k
S k k k k k k k k k
k k k k k S k k
3 2
1
3 2
( 1) 3( 1) 5( 1) 3 5
3 9 3( 3)
+ = + + + + + = + + + + + + + +
= + + + + + = + + +
Theo giả thiết quy nạp Sk =(k3+3k3+5 ) 3k ⋮ , 3(k2+3k+3) 3⋮ nên Sk+1⋮3
Vậy Sn = n3 + 3n2 + 5n chi hết cho 3, với n∈ℕ*
b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1
Với n = 1, ta có S1= +4 15.1 18 91 − = ⋮ Giả sử Sk =(4k+15k−1) 9⋮ ,(k≥1),(giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Sk+1⋮9 Ta có:
k k
k k
(125)Theo giả thiết quy nạp Sk =(4k+15k−1) 9⋮ nên 4Sk⋮9, 9(5k−2) 9⋮ , nên Sk+1⋮9
Vậy Đặt Sn = 4n + 15n– chi hết cho 9, với n∈ℕ*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1= +1 11.1 12 63 = ⋮ Giả sử Sk =(k3+11 ) 6k ⋮ ,(k≥1),(giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Sk+1⋮6
Ta có:Sk+1 = +(k 1) 11(3+ k+ =1) k3+3k2+3k+ +1 11k+ =11 (k3+11 ) 3(k + k2+ + = +k 4) Sk 3(k2 + +k 4)
Theo giả thiết quy nạp Sk =(k3+11 ) 6k ⋮ , nữa: k2 + + =k k k( + +1) số chẵn, nên Sk+1⋮6 Vậy Sn = n3 + 11n chia hết cho 6, với n∈ℕ*
d) Đặt Sn = 32n + 1 + 2n + 2 Ta chứng minh tương tư
Bài 1.14 Cho tổng Sn n n n
*
1 1
;
1.2 2.3 3.4 ( 1)
= + + + + ∈
+ ℕ
a)Tính S1, S2, S3
b)Dự đốn cơng thức Sn chứng minh phương pháp quy nạp HDGiải
a) S1 1;S2 2;S3
2
= = =
b) Ta viết lại: S1 1 ;S2 2 ;S3 3
2 1
= = = = = =
+ + +
Ta dự đốn Sn n
n
=
+ (1)
Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp
Khi n = 1, S1 1
2 1
= =
+ Vậy (1) với n =
Giả sử đẳng thức (1) với n = k, k≥1(giả thiết quy nạp), nghĩa là:
n
k S
k k k
1 1
1.2 2.3 3.4 ( 1)
= + + + + =
+ + Ta phải chứng minh với n = k + 1, tức là: k k S
k
1
+
+ =
+
Ta có: Sk Sk k k k k
k k k k k k k k
2
1 1
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)
+
+ + +
= + = + = =
+ + + + + + + + ,
nên đẳng thức (1) với n = k +1 Vậy đẳng thức (1) chứng minh
Bài 1.15 Cho tổng Sn
n n
1 1
1.5 5.9 9.13 (4 3)(4 1)
= + + + +
− +
a)Tính S1, S2, S3, S4
b)Dự đốn cơng thức Sn chứng minh phương pháp quy nạp HDGiải
a) S1 1;S2 2;S3 ;S4
5 13 17
= = = =
b) Ta viết lại: S1 1 ;S2 2 ;S3 3 ;S4 4
5 4.1 4.2 13 4.3 17 4.4
= = = = = = = =
+ + + +
Ta dự đốn Sn n n
4
= +
Chứng minh tương tự 1.14
Bài 1.16 Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n n( 3)
2
−
(126)
123 Với n = 4, ta có tứ giác có hai đường chéo
Thay n = vào cơng thức, ta có số đường chéo tứ giác : 4(4 3)
2− = Vậy công thức với n = 4
Giả sử đa giác lồi k cạnh (k≥4) có số đường chéo k k( 3)
2
−
(giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh công thức với k + 1, nghĩa phải chứng minh đa giác lồi k + cạnh có số đường chéo là: (k 1)[(k 1) 3]
2
+ + −
Nối A1, Ak, ta đa giác k cạnh A1A2…Ak có
k k( 3)
2
−
đường chéo (giả thiết quy nạp)
Nối Ak+1 với đỉnh A2, A3, ,Ak – 1, ta thêm k– đường chéo, A1Ak đường chéo
Vậy số đường chéo đa giác k + cạnh là: k k k k k k k
( 3) 2 1 ( 1)[( 1) 3]
2 2
− + − + = − − = + + −
Như vậy, khẳng định với đa giác k + cạnh Vậy ycbt chứng minh Bài 1.17 Chứng minh với số nguyên dương n≥3, ta ln có: 2n >2n+1 (1)
HDGiải
Ta giải toán phương pháp qui nạp
Với n = 3, ta có 23 =8 2n + = 2.3 + = Rõ ràng, > đó (1) đúng n = Giả sử (1) đúng n = k, k∈ℕ*,k≥3, tức 2k >2k+1,
ta chứng minh đúng n = k + 1, nghĩa 2k+1>2(k+ +1)
Từ giả thiết qui nạp, ta có2k+1=2.2k >2(2k+ =1) 4k+ >1 2k+ =3 2(k+ +1)
Vậy (1) với số nguyên dương n≥3
Bài 1.18 Cho số thực x> −1 Chứng minh ( )1+x n ≥ +1 nx(2)với số nguyên dương n.
HDGiải
Ta chứng minh phương pháp qui nạp với n∈ℕ*
Với n = 1, ta có (1+x)1 = + = +1 x 1.x Như (2) đúng n = Giả sử (2) đúng n = k, tức ( )1+x k ≥ +1 kx k, ∈ℕ*,k≥1,
ta chứng minh với n = k + 1, nghĩa ( )1+x k+1≥ + +1 (k 1)x
Từ giả thiết x> −1 giả thiết qui nạp, ta có
( )k ( )k
x x x x kx k x kx2 k x
1+ + = +(1 ) 1+ ≥ +(1 )(1+ ) (= + +1) + ≥ + +1 ( 1)
Vậy (2) với n nguyên dương
Bài 1.19 Chứng minh với số n nguyên dương n, ta ln có bất đẳng thức sau:
n n
1
1
2
+ + + + < (3)
HDGiải
Với n = 1, ta có 1 1< Như vậy, (3) đúng n =
Giả sử (3) đúng n = k, k∈ℕ*,k≥1 Ta chứng minh với n = k + Từ giả thiết qui nạp, ta có: k
k k k
1 1
1
2 1
+ + + + + < +
+ + (*)
(127)k k k k
k k
k k k
1 1 ( 1)
2
1 1
+ + + + +
+ = < = +
+ + + (**) Từ (*) (**) ta có điều cần chứng minh
Vậy (3) với số nguyên dương n
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.20 Chứng minh với n∈ℕ* ta ln có:
a) n
n n n
1 1
1.2 2.3+ + + ( +1)= +1
b) 1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2) n n( 1)(n 2)(n 3)
4
+ + +
+ + + + + =
c) 1.4 2.7 3.10 + + + +n n(3 + =1) n n( +1)2
d) 22 42 (2 )n 2 (n n 1)(2n 1)
3
+ +
+ + + =
Bài 1.21 Cho n nguyên dương Chứng minh rằng: n(2n2−3n+1) chia hết cho
Bài 1.22 Chứng minh rằng: n 1
n daùâu caên
2 2 cos
π +
+ + + =
Bài 1.23 Chứng minh với số tự nhiên n≥3 ta có 3n >n2 +4n+5
Bài 1.24 Chứng minh bất đẳng thức sau (n∈ℕ*)
(128)125 §2 DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Định nghĩa dãy số
a) Một hàm số u xác định tập số nguyên dương ℕ* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu:
u
n u n
*
:
( )
→
ℕ ℝ
֏
Đặt u(n) = un và gọi số hạng thứ n dãy số (un)
Đôi người ta gọi số hạng tổng quát dãy số (un)
b) Mỗi hàm u xác định tập M ={1,2,3, ,m m}, ∈ℕ*được gọi dãy số hữu hạn
2 Cách cho dãy số
Một dãy số thường xác định cách sau: Cách Dãy số xác định công thức cho số hạng tổng quát
Khi un = f n( ), f hàm số xác định ℕ* Đây cách thông dụng ( giống
hàm số) biết giá trị của n ( số thứ tự số hạng) ta tìm được un Cách Dãy số xác định mệnh đề mô tả
Người ta cho mệnh đề mô tả cách xác định số hạng liên tiếp dãy số Trong số trường hợp, khơng thể tìm được un với n tuỳ ý
Cách Dãy số xác định công thức truy hồi (hay quy nạp), tức là:
• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)
• Cho cơng thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( vài số hạng) đứng trước
Chẳng hạn:
( )
n n
u a
u f u n
1
1 ,
− =
= ≥
n ( n n )
u a u b
u f u u n
1
1
,
, ,
− −
= =
= ≥
3 Dãy số tăng, dãy số giảm
a) Dãy số (un) gọi dãy số tăng un + > un, với n∈ℕ*
b) Dãy số (un) gọi dãy số giảm un + < un, với n∈ℕ*
c) Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy số đơn điệu Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số
PP1: Xét hiệu H = un + – un
- Nếu H > với n∈ℕ* dãy số cho dãy số tăng - Nếu H < với n∈ℕ* dãy sốđã cho dãy số giảm
PP2 Nếu un > với n∈ℕ* ta lập tỉ số n
n u
u
+ , so sánh với 1
- Nếu n n u
u
+ > với n∈ *
ℕ dãy số cho dãy số tăng - Nếu n
n u
u
+ < với n∈ *
ℕ dãy số cho dãy số giảm
4 Dãy số bị chặn
a) Dãy số (un) gọi dãy bị chặn ∃ ∈M ℝ:un ≤M,∀ ∈n ℕ*
b) Dãy số (un) gọi dãy bị chặn ∃ ∈m ℝ:un ≥ ∀ ∈m, n ℕ*
c) Dãy số (un) gọi dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức là:
n
M m, :m u M, n *
∃ ∈ℝ ≤ ≤ ∀ ∈ℕ
(129)- Dãy số (un) dãy sốtăng bị chặn
- Dãy số (un) dãy sốgiảm bị chặn
- Nếu (un) dãy số hữu hạn bị chặn
- Các dấu “=” nêu a), b), c) không thiết phải xảy B BÀI TẬP
Bài 2.1 Tìm năm số hạng dãy số sau:
a)Dãy số (un) với n n u
n
2 −3
= b) Dãy số (un) với n
n
u sin
4
π
=
c)Dãy số (un) với un = −( 1) 4n n d)Dãy số (un) với
n n n
u
2
− =
+
e)Dãy số (un) với n
n u
n2
=
+ f)Dãy số (un) với
n n
u
n
1
= +
HDGiải
a) u1 1;u2 5;u3 5;u4 29;u5 47
2
= − = = = =
b) u1 2;u2 1;u3 2;u4 0;u5
2 2
= = = = = −
c) u1= −2;u2 =4;u3 = −8;u4 =16;u5 = −32
d), e), f) tính tương tự
Bài 2.2 Tìm số hạng thứ ba thứ năm dãy số sau:
a)Dãy số (un) xác định bởi: u1 = n n u
u2 1
2
+ =
+ với n≥2
b)Dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, u2 =−2 un =un−1−2un−2 với n≥3
HDGiải
a) Ta có: u u u u
u u u u
2
1
2 2; 2; 50; 1682
5 29 3341
1 1
= = = = = = = =
+ + + +
b) Ta có u3 = u2 – 2u1 = -4; u4 = u3 – 2u2 = -2; u5= = u4 – 2u3 = Bài 2.3
Cho dãy số
n n u
u u n n
1
1
2 1;
+ =
= + + ≥
a)Viết năm số hạng dãy số
b)Dự đốn cơng thức un chứng minh phương pháp quy nạp HDGiải
a) Năm số hạng đầu là: 1, 4, 9, 16, 25
b) Dự đốn cơng thức un = n2 (*) với n∈ℕ*.Ta chứng minh công thức vừa nêu phương pháp quy nạp
Hiển nhiên với n = 1, cơng thức
Giả sử có uk = k2 với k≥1 Theo công thức dãy số giả thiết quy nạp, ta có uk+1 = uk + 2k + = k2 + 2k + = (k + 1)2, tức công thức (*) với n = k +1 Vậy un = n2 với n∈ℕ*
Bài 2.4 Cho dãy số
n n u
u u n
1
1
3;
+ = −
= + ≥
(130)127
a)Viết năm số hạng dãy số
b)Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 HDGiải
a) Năm số hạng đầu là: −1;2;5;8;11
b) Chứng minh un = 3n – (*) bằng phương pháp quy nạp Với n = u1 = −1
Giả sử có uk = 3k– với k≥1
Theo công thức dãy số giả thiết quy nạp, ta có: uk + = uk + = 3k – + = 3(k +1) – 4, tức công thức (*) với n = k + 1
Vậy un = 3n– với n∈ℕ*
Bài 2.5 Cho dãy số
n n
u
u u n
1
2
3
1 ;
+ =
= + ≥
a)Viết năm số hạng dãy số
b)Dự đốn cơng thức un chứng minh phương pháp quy nạp HDGiải
a) Năm số hạng đầu là: 3; 10; 11; 12; 13
b) Viết 3= 9và nhận xét
9
10
11
12
13
= +
= +
= +
= +
= +
Dự đoán un = n+8;n∈ℕ* (1) Ta chứng minh (1) quy nạp
Với n = 1, công thức (1)
Giả sử đả có uk = k+8 với k≥1 Theo cơng thức dãy số giả thiết quy nạp, ta có
k k
u +1 = 1+u2 = (+ k+8)2 = (k+ +1)
Như công thức (1) với n = k + Vậy un = n+8;n∈ℕ*
Bài 2.6
Cho dãy số (un) xác định công thức
n n n
u
u u u n
1
2
1
3
1;
2
+ =
= − + + ≥
a)Tính u2, u3, u4
b)Chứng minh un + = un với n∈ℕ*
HDGiải
a) u2 = 2; u3 = 0; u4 = Nếu tính tiếp ta lại có u5 = 2, u6 = 0, u7 = Như dãy số gồm nhóm
3 số hạng (1, 2, 0) nối tiếp cách vô hạn
b) Ta chứng minh quy nạp
Với n = 1, theo câu a) cơng thức u4 = u1 =
Giả sử công thức với n = k, k≥1(giả thiết quy nạp), tức uk + = uk Ta phải chứng minh với n = k + 1, nghĩa uk + = uk + 1
Thật vậy, theo cơng thức dãy số uk 4 u(k 3) 1 3uk2 3 5uk 3
2
(131)Sử dụng giả thiết quy nạp uk + = uk, ta có: uk uk uk uk
4
3 1
2
+ = − + + = + Vậy công thức chứng minh
Bài 2.7 Xét tính tăng giảm dãy số (un), với n
*
∈ℕ ,biết:
a) un n
1
= − b) un n n 1 − = + c) n n n
u = −( 1) (2 1)+ d) un n
n + = +
HDGiải
a) Xét hiệu H = un + – un =
n n n n n n
1 1 1
2
1 ( 1)
− − − = − = − <
+ + + , với n
*
∈ℕ
Vậy dãy số cho dãy số giảm
b) Xét hiệu H = un + – un =
n n
n n n n
1 1 0
1 1 ( 2)( 1)
+ − − − = >
+ + + + +
Vậy dãy số cho dãy số tăng
c) Các số hạng đan dấu có chứa thừa số ( )−1 n, nên dãy số không tăng không giảm
d) Làm tương tự, ta có dãy cho dãy số giảm
Bài 2.8 Xét tính tăng giảm dãy số (un), với n∈ℕ*,biết:
a)
n n n
u
2
− =
+ b) un n n n
3 3 5 7
= − + − c) un n n1
3
+
= d) un = n+ −1 n
HDGiải a) Xét hiệu H = un + – un
n n n n n n
n n n n
1 1
1
2 (2 1)(2 1) (2 1)(2 1)
2 (2 1)(2 1)
+ + +
+ +
− − − + − + −
= − =
+ + + +
n n n
n n n n
1
1
2.2 2.2 0
(2 1)(2 1) (2 1)(2 1)
+ +
+ +
−
= = >
+ + + +
Suy un+1 > un Vậy dãy số cho dãy số tăng
b) Xét hiệu H = un + – un =(n+1)3−3(n+1)2+5(n+ − −1) (n3−3n2+5n−7)
n3 3n2 3n 3n2 6n 5n n3 3n2 5n
= + + + − − − + + − − + − + = 3n2 – 3n +3 = n
2
1
3
2
− + >
Vậy dãy số cho dãy số tăng
c) Xét lập tỉ số
n n n n n n n
u n n n
n
u n n n n n
1
1
1
3 ( 2) ( 2) 1 1
3 1
1 ( 1) 3( 1) 3( 1) 3( 1) 3( 1)
3 + + + + + + + +
= = = = + = + <
+ + + + + +
Suy un + < un Vậy dãy cho dãy số giảm d) Viết lại công thức xác định un dạng: un
n n
1
=
+ + Xét tỉ số
n n u u + Từ suy dãy số cho dãy số giảm
Bài 2.9 Hãy xét tính đơn diệu dãy số sau a) Dãy số (un) với
n n n
u 1
2 +
= b) Dãy số (vn) với n n
n v
2
(132)129
c) Dãy số (wn) với wn n2
3
= d) Dãy số (an) với n
n n
a
n
3
1
− +
=
+
e) Dãy số (bn) với n
n n b n 2 + + =
+ f) Dãy số (cn) với cn n n 1
= − −
g) Dãy số (dn) với n
n d
n
1
+ −
= h) Dãy số (en) với n
n e
n2
!
=
HDGiải
a) Ta có un > với n∈ℕ*, lập tỉ số n
n u u 1 1 +
= < Vì vậy (un) dãy số tăng
b) (vn) dãy số giảm
c) Dễ thấy wn > với n∈ℕ* Xét tỉ số n
n w
w +1, ta có
n n
n n
w n
w n n
2
2 1
3 ( 1) 1
3 + + + = = +
Từđó, suy ra:
n n w
n n
w 1 n
1
1
3
+
< ⇔ + < ⇔ > ⇔ ≥
− (do n
* ∈ℕ ) n n w n n
w 1 n
1
1
3
+
> ⇔ + > ⇔ < ⇔ =
− (do n
*
∈ℕ ) Như vậy, ta có w1 > w2, w2 < w3 < < wn < wn+1
Vì vậy, (wn) khơng dãy tăng, không dãy giảm
d) Viết lại công thức xác định số hang tổng quát dãy số (an) dạng an n
n = − + +
Từđó, ta có với n≥1:an an n n n n
n n n n n n
1
3 ( 1)( 2)
1 ( 3)
3
2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
+
+ + −
+
− = + − = = >
+ + + + + +
Vì vậy, (an) dãy số tăng
e) Tương tự câu d), dãy (bn) dãy số giảm
f) Viết lại công thức xác định (cn) dạng: cn
n n2
1
=
+ +
Từđó, do: 0< +n n2+ < + +1 n (n+1) 1,(2 + ∀ ≥n 1)
Suy cn an n
n n2 n n
1
,
1 ( 1) +
= > = ∀ ≥
+ + + + + + , nghĩa dãy số (cn) dãy số giảm
g) Tương tự câu f), dãy số (dn) dãy số giảm
h) Xét tỉ số n n e
e 1
+ < Nên dãy (e
n) dãy số giảm Bài 2.10 Với giá trị a dãy số (un), với n
na u n + =
+ , dãy số tăng ? Là dãy số giảm ? HDGiải
Xét hiệu H = un + – un =
n a na a
n n n n
( 1) 2
1 1 ( 2)( 1)
+ + − + = −
+ + + + +
Vì (n + 2)(n + 1) > nên:
- Nếu a > H > 0, suy dãy (un) dãy số tăng
(133)Bài 2.11 Hãy xác định số thực a để dãy số (un), với n an u
n 2
1
2
+ =
+ là:
a) Một dãy số giảm b) Một dãy số tăng
HDGiải
Viết lại công thức xác định un dạng: n
a a
u
n2
2
2 2.(2 3)
− = +
+
Tứđó, ta có un un a n
n n
1 2
2 1
, (1)
2 2.( 1) 3
+
−
− = − ∀ ≥
+ + +
Dễ thấy, n n n2
1
0,
2.( 1) 3
− < ∀ ≥
+ + +
Vì thế, từ (1) suy ra:
a) (un) dãy số giảm
a
a
2
0
2
−
⇔ > ⇔ <
b) (un) dãy số tăng
a
a
2 0
2
−
⇔ < ⇔ >
Bài 2.12 Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn bị chặn ?, với
mọi n∈ℕ*
a) un = 2n2 – b) un
n n
1
( 2)
=
+ c) un
n2
1
2
=
− d) un =sinn+cosn
HDGiải
a) Dãy số bị chặn un =2n2 − ≥1 1, với n∈ℕ* khơng bị chặn n lớn vơ
2n2– lớn vơ
b) Dễ thấy un > ,với n∈ℕ* Mặt khác, n≥1 nên n2 ≥1 2n≥2
Do n n( + =2) n2+2n≥3, suy
n n
1
( +2) 3≤
Vậy dãy số bị chặn un
3
< ≤ , với n∈ℕ* c) Vì n≥1 nên 2n2− >1 0, suy
n2
1 0
2 −1> Mặt khác, n
2 ≥1
, nên 2n2 >2 hay n2 2− ≥1 1, suy
n u
n2
1 1
2
= ≤
− Vậy 0<un ≤1 ,với n *
∈ℕ , tức dãy số bị chặn
d) Dãy số bị chặn − sin≤ n+cosn≤ 2,∀ ∈n ℕ*
Bài 2.13 Chứng minh dãy số (un) với n n u
n
2
3
+ =
+ dãy số giảm bị chặn HDGiải
Ta có: un
n
2
3 3(3 2)
= +
+ Từ suy
un un n
n n
1
5 1 0, 1
3
+
− = − < ∀ ≥
+ +
Vì (un) dãy số giảm
un n
2 1, 1
3< ≤ ∀ ≥ Do (un) dãy số bị chặn
(134)131
Bài 2.14 Chứng minh dãy số (un) với un n n
7
5
+ =
+ dãy số tăng bị chặn
HDGiải
Ta viết lại công thức xác định un dạng un
n
7 24
5 5(5 7)
= −
+ Từđó, ta có:
un un n
n n
1
24 1 0, 1
5 5( 1)
+
− = − > ∀ ≥
+ + +
Vì (un) dãy số tăng
un n
7
1 ,
5
≤ < ∀ ≥ (
n
1
0
5 12
< ≤
+ ) Do (un) dãy số bị chặn
Vì thế, (un) dãy số tăng bị chặn
Bài 2.15 Cho dãy số (un )với un = + (n – 1).2n
a)Viết năm số hạng đầu dãy số
b)Tìm cơng thức truy hồi
c)Chứng minh dãy số tăng bị chặn
HDGiải
a) Năm số hạng đầu là: u1 = 1, u2 = 5, u3 = 17, u4 = 49, u5 = 129
b) Tìm hiệu un +1 – un = (n + 1).2n, suy un + = un + (n + 1).2n Vậy cơng thức truy hồi cần tìm là:
n n n
u
u u n n
1
1
( 1)2 ;
+ =
= + + ≥
c) Có un +1 – un = (n + 1).2n > 0, suy dãy số dãy số tăng bị chặn
Bài 2.16 Cho dãy số (sn) với sin(4 1)
6
n
S = n− π
a)Chứng minh Sn =Sn+3, với n≥1
b)Hãy tính tổng 15 số hạng dãy số cho
HDGiải
a)Với n số nguyên dương tùy ý, ta có
3 sin[4( 3) 1]6 sin(4 12)6 sin (4 1)6 sin(4 1)6 ,
n n
S + = n+ − π = n− + π = n− π + π= n− π =S ∀ ≥n
b)Từ kết câu a) ta có
1 10 13
S =S =S =S =S ,S2 =S5 =S8 =S11=S14,S3 =S6 =S9 =S12 =S15
Từ suy ra: S1+ + = + +S2 S3 S4 S5 S6 = + +S7 S8 S9 =S10+S11+S12 =S13+S14+S15
Do đó:S= + + + +S1 S2 S3 S15=5(S1+ +S2 S3)
Tính 1 1, 2 1, 3
2
S = S = − S = − Vậy S=0
Bài 2.17 Cho dãy số (un) với un sin(2n 1)
3
π
= −
a)Chứng minh un = un + 3 ,với n≥1
b)Hãy tính tổng 17 số hạng dãy số cho HDGiải
a)Với n số nguyên dương tùy ý, ta có
n n
u 3 sin[2(n 3) 1] sin(2n 6) sin (2n 1) sin(2n 1) u , n
3 3
π π π π π
+
= + − = − + = − + = − = ∀ ≥
b) Từ kết câu a) ta có
(135)Do đó: S = u1 + u2 + + u17 = 5.(u1 + u2 + u3) + u1 + u2
Tính u1 3,u2 0,u3
2
= = = − Vậy S
2
=
Bài 2.18 Cho dãy số (un) xác định công thức
n n u
u u n n
1
3
1
;
+ =
= + ≥
a)Tìm cơng thức số hạng tổng qt
b)Tính số hạng thứ 100 dãy số
HDGiải
a) Từ un + – un = n3, ta có:
u1 =
u2 – u1 = 13
u3 – u2 = 23
un – – un – = (n – 2)3 un – un – = (n – 1)3
Cộng vế n đẳng thức rút gọn, ta được: un = + + + + −1 23 (n 1)3
Sử dụng kết 1.4, ta có: n n n 2 3 ( 1)
1 ( 1)
4
−
+ + + − =
Vậy un n n 2( 1)2
1
4
− = +
b) u100 = 24 502 501
Bài 2.19 Cho dãy số (un) với un cos(3n 1)6
π
= +
a)Chứng minh un = un + 4 ,với n≥1
b)Hãy tính tổng 27 số hạng dãy số cho HDGiải
a) Với n số nguyên dương tùy ý, ta có
n n
u 4 cos[3(n 4) 1] cos(3n 12) cos (3n 1) cos(3n 1) u , n
6 6
π π π π π
+
= + + = + + = + + = + = ∀ ≥
b) Kí hiệu S tổng 27 số hạng dãy số (un) Từ kết câu a) , ta
S=6(u1+ + +u2 u3 u4)+ + +u1 u2 u3 Tính u1 1,u2 3,u3 1,u4
2 2
= − = − = =
Vậy S
2
= −
Bài 2.20 Cho dãy số (un) với n
n n
u sin cos
3π 6π
= +
a) Hãy tính u1, u2, u3, u4, u5
b) Chứng minh rằng un = un + 12 với n≥1
HDGiải
a) Học sinh tự tính
b) Với n một số nguyên dương tuỳ, ta có
n n
n n n n n n
u 12 sin( 12) cos( 12) sin cos sin cos u
3 6
π π π π π π π π
+
+ +
= + = + + + = + =
(136)133
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.21 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1
1
= un+1 =4un+7 với n≥1
a) Hãy tính u2, u3, u4, u5 u6
b) Chứng minh
n n u
2
2
3
+ −
= với n≥1
Bài 2.22 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 vaø un =2un−1+3 với n≥2 Bằng phương pháp quy
nạp, chứng minh với n≥1 ta có un =2n+1−3
Bài 2.23 Cho dãy số (un) với
n n
u =5.4 −1+3
a) Chứng minh un+1 =4un−9 với n≥1
(137)§3 CẤP SỐ CỘNG A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Định nghĩa
Dãy số (un) xác định bởi:
n n
u u
u u d n
1
* ,
+ =
= + ∀ ∈
ℕ , (u, d hai số thực cho trước) gọi cấp
số cộng
u số hạng
d công sai d = un + – un
Đặt biệt d = (un) dãy số tất số hạng
2 Số hạng tổng quát Định lí 1:
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức sau: un = u1 + (n – 1)d, với n≥2 từ suy ra: n
u u
d n
1
1
− =
−
3 Tính chất Định lí 2:
Trong cấp số cộng, số hạng ( trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: uk uk uk
2
− + +
= , với k≥2hoặc uk – + uk + = 2uk
4 Tổng n số hạng đầu Định lí
Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = + + +u1 u2 un Khi Sn n u( un)
2
+
= Sn n u[2 (n 1) ]d
2
+ − =
Lưu ý:
Trong thực hành: a, b, c cấp số cộng
( )
a c b
a b b c a c
2
1
+ = ⇔
− = − = +
Khi giải toán cấp số cộng, ta thường gặp đại lượng Đó u1, d, un, n, Sn, cần phải xác định đại lượng tính đại lượng cịn lại
B BÀI TẬP
Bài 3.1 Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng ? (với ∀ ∈n ℕ*
a) un = 3n – 1 b) un = 2n + c) un = (n + 1)2 – n2 d)
n n
u
u u
1
1
+ =
= −
e) un = 3n f) n n
u
2
= − g) un 3n
2
−
= h) un = 5n – 2 HDGiải
PP chung: Xét hiệu H = un + – un
Nếu H số dãy số cấp số cộng
Nếu H = f(n) dãy số khơng phải cấp số cộng
(138)135
b) Xét H = un + 1 – un = 2n + 1 + – 2n – = 2n Vì 2n khơng phải số nên dãy (un) cấp số cộng
c) Ta có un = 2n + Xét H = un + – un = 2, nên dãy cho cấp số cộng với u1 = 3, d = 2
d) Ta có u3− ≠ −u2 u2 u1, nên dãy cho cấp số cộng
e) Dãy không cấp số cộng
f) Là cấp số cộng với u1 1,d
2
= − =
g) Dãy cấp số cộng với u1 = d
3
= −
h) Xét H = un + – un = −2 Vậy dãy số cấp số cộng vớ u1 = 3, d = −2 Bài 3.2 Tính số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng (un), biết
a) u u u
u u
1 10 17 − + = + = b) u u 10 19 = = c)
u u u
u u
1 10 + − = + = d) u u u u 7 75 − = =
e) u u u
u u
2 10 26 − + = + = f) u u S
5 10
14 + = = g) u u u u 15 2 12 60 1170 + = + = h) u u S 14 + = = HDGiải
Sử dụng công thức un = u1 + (n – 1)d
a) Giải hệ u u d u d u d u
u u d u d d
1 1 1
1 1
2 10 10 16
5 17 17
− − + + = + = = ⇔ ⇔ + + = + = = −
b) u1 = 1, d = 3
c) u1 = 36, d = -13
d) u1 = 3, d = u1 = –17, d = 2
e) u1 = 1, d = 3
f) Áp dụng công thức Sn n u[2 (n 1) ]d
2
+ − =
Ta có hệ
u u d
u d u
u d
u d d
1
1
1
1
5 10( ) 3 8 0 8
4(2 ) 2 3 7 3
14 + + = + = = ⇔ ⇔ + + = = − =
g) u1 = 0, d = u1 = -12, d
21
=
h) u1 = 8, d = – 3
Bài 3.3 Cho dãy số (un),với un = – 5n a)Viết năm số hạng dãy
b)Chứng minh dãy số (un) cấp số cộng u1 d
c)Tính tổng 100 số hạng đầu
HDGiải
a) Năm số hạng đầu là: 4; 1; 6; 11; 16− − − −
b) Xét hiệu un + – un = – 5(n + 1) – + 5n = –5, un + = un – 5, suy (un) cấp số cộng với u1
= 4, d = –5
c) Áp dụng công thức Sn n u[2 (n 1) ]d
2
+ −
=
Ta có S100 100[2.4 (100 1)( 5)] 24350
2
+ − −
= = −
(139)a)Viết sáu số xen hai số 24 để cấp số cộng có tám số hạng Tính tổng số hạng cấp số
b)Viết năm số hạng xen hai số 25 để cấp số cộng có bảy số hạng Số hạng thứ 50 cấp số ?
HDGiải
a) Ta có u1 = 3, u8 = 24 Từ công thức un = u1 + (n −1).d, suy n
u u
d n
1 24 3
1
− −
= = =
− −
Vậy số hạng cần viết thêm là: 6, 9, 12, 15, 18, 21 Tính tổng S8 8[2.3 (8 1)3] 108
2
+ −
= =
b) Ta có u1 = 25, u7 = 1, d = − Vậy số cần thêm là: 21, 17, 13, 9,
Tính u50 = 25 + (50 – 1)( − 4) = − 171
Bài 3.5 Chu vi đa giác 158, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với cơng sai d = 3cm Biết cạnh lớn 44cm, tính số cạnh đa giác
HDGiải Gọi cạnh nhỏ u1 (cm) số cạnh đa giác n
Ta có: 44 = u1 + (n −1).3 hay u1 = 47 – 3n
Tổng cạnh (tức chu vi đa giác) 158, ta có: 158 n[44 47 ]n 3n2 91n 316
2
+ −
= ⇔ − + =
Giải phương trình với n∈ℕ* ta có n =
Bài 3.6 Số đo ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Hãy tìm so đo ba góc ? HDGiải
Kí hiệu A, B, C số đo ba góc (tính theo đơn vị đô) tam giác vuông cho Không tính tổng quát giả sử A≤ ≤B C Khi đó, từ giả thiết ta suy C = 90(độ) A, B, C theo thứ tự cấp số cộng Gọi d công sai cấp số cộng đó, ta có
A = C – 2d B = C – d Suy 90 = A + B = 2C – 3d = 180 – 3C => d = 30 Vậy: A = 90 – 2.30 = 30 (độ), B = 60 (độ)
Bài 3.7 Một Công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho Công ty 4,5 triệu đồng/quý kề từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng/quý Hãy tính tổng số tiên lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho Công ty?
HDGiải
Với số nguyên dương n, kí hiệu un (triệu đồng) mức lương người kĩ sư quý làm việc thứ n cho công ty Theo giả thiết bài, ta có: u1 = 4,5 un + = un + 0,3, với n≥1
Do đó, dãy (un) cấp số cộng với công sai d = 0,3 Vì năm có q nên năm có 12 quý
Như thế, theo u cầu tốn ta phải tính tồng 12 số hạng cấp số công (un) Ta có u12 = 4,5 + (12 – 1).0,3 = 7,8 Vậy S12
12[4,5 7,8]
73,8
+
= = (triệu đồng)
Bài 3.8 Khi kí hợp đồng dài hạn với kĩ sư tuyển dụng, Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn; cụ thể:
-Ở phương án 1: Người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm triệu năm
-Ở phương án 2: Người lao động nhận triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 500 000 đồng quý
Nếu em người kĩ sư kí hợp đồng lao động với Cơng ty liên doanh A em chọn phương án ? HDGiải
Tương tự 3.7
(140)137 Theo phương án 1, ta có: S1 n[2.36 (n 1)3] (n n 23)
2
+ − +
= =
Theo phương án 2, ta có S2 [2.7 (4n n 1)0,5] (2n n 13,5)
2
+ −
= = +
Suy S1 S2 (3n n)
2
− − =
Từ đó:
S1− ≥ ⇔ ≤S2 n
S1− < ⇔ >S2 n
Vì thế:
Nếu dự định làm việc cho Công ty liên doanh A không năm kí hợp đồng theo phương án Nều dự định làm việc cho Công ty liên doanh A năm nên kí hợp đồng theo phương án
Bài 3.9 Tìm x từ phương trình sau:
a) + + 11 + 16 + + x = 970, biết 1,6,11, cấp số cộng
b) + + 12 + 17 + + x = 245, biết 2, 7, 12, 17, cấp số cộng
c) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + .+ (x + 28) = 155, biết 1,4,7,… cấp số cộng
d) (2x + 1) + (2x + 6) + (2x + 11) + +(2x + 96) = 1010, biết 1,6,11, cấp số cộng HDGiải
a) Ta có cấp số cộng với u1 = 1, d = un = x Sn = 970 Áp dụng công thức n
n u n d
S [2 ( 1) ]
2
+ −
= ,
ta có: 970 n[2.1 (n 1)5] 5n2 3n 1940 n 20 x u20 19.5 96
2
+ −
= ⇔ − − = ⇔ = ⇒ = = + =
b) Ta có u1 = 2, d = 5, Sn = 245 un = x Tương tự câu a), ta có
n n
n2 n n x u10
[2.2 ( 1)5]
245 940 0 9.5 47
2
+ −
= ⇔ − − = ⇔ = ⇒ = = + =
c) Ta có cấp số cộng với u1 = x + 1, d = 3, un = x + 28 Sn = 155
Áp dụng công thức un = u1 + (n – 1)d, ta có: x + 28 = x + + (n – 1).3 => n = 10
Từ công thức Sn n u( un)
2
+
= , ta có 155 10(x x 28) x
2
+ + +
= ⇒ =
d) Tương tư như câu c), x = 1
Bài 3.10 Tìm x để ba số sau lập thành cấp số cộng
a) x2 – x + 1, x – , – 2x b) x3 + x2 + 1, x2 + 1, x2 – x + 1 c) 10 – 3x, 2x2 + 3, – 4x
HDGiải
a) x2 – x + 1, x – , – 2x lập thành cấp số cộng nên ta có: x2 – x + + – 2x = 2(x– ) Giải phương trình, tìm x = 2, x = 3.
b)Tương tự, x = 0, x = 1, x = - 1
c) Tương tự, x 1,x 11
4
= − =
Bài 3.11 Chứng minh ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số
b c c a a b
1 , ,
(141)Ba số
b c c a a b
1 1
, ,
+ + + theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi:
c a b c a b c a
1 1
− = −
+ + + +
b a c b
b a b a c b c b
c a b c a b c a ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
− −
⇔ = ⇔ − + = − +
+ + + +
b a c b
⇔ − = − a, b, c lập thành cấp số cộng Cách khác: Nhận xét:
b c a b b c a b b c a b a c
b c a b a b a b a b
b c a b a c c a
1
1( )
− − − − − + − −
+ = + = + = = =
− − − − −
+ + − +
Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, nên ta có: a + c = 2b a – b = b – c 1(a c)
2
= −
Vậy ba số
b c c a a b
1 1
, ,
+ + + lập thành cấp số cộng
Bài 3.12
a)Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng Chứngminh rằng: a2 + 8bc = (2b + c)2
b)Cho ba số a2, b2, c2, lập thành cấp số cộng có công sai kác không Chứng minh ba số
b c c a a b
1 , ,
+ + + lập thành cấp số cộng
HDGiải
a) Ta có a, b , c lập thành cấp số cộng, ta có a + c = 2b.
VP = (2b + c)2 = (a + 2c)2
VT = a2 + 4c(a + c) = a2 +4ac + 4c2 = (a + 2c)2
Từ đó, suy đpcm
b) Ta nhận xét:
c a b c a b
b c c a b c c a a b b c c a 2
1
( )( ) ( )( )( )
+ − − −
− = =
+ + + + + + + (1)
a b c a b c c a a b b c c a a b b c c a
2
1
( )( ) ( )( )( )
+ − − −
− = =
+ + + + + + + (2)
Từ (1) (2), điều kiện ba số a2, b2, c2, lập thành cấp số cộng, suy ra:
b c c a c a a b b c a b c a
1 1 1
− = − ⇔ + = ⇔
+ + + + + + + b c c a a b
1 , ,
+ + + lập thành cấp số cộng
Bài 3.13 Một hội trường có 10 dãy ghế Biết dãy ghế sau nhiều dãy ghế trước 20 ghế dãy sau có 280 ghế Hỏi hội trường có ghế ngồi ?
HDGiải
Số ghế ngồi dãy lập thành cấp số cộng (un), có d = 20, un = 280 n = 10 Từ giả thiết : u10 = u1 + (10 – 1).20 = 280 => u1 = 100, từ đó: S10
10(100 280) 1900
+
= =
Vậy hội trường có 1900 ghế ngồi
Bài 3.14
a)Cho cấp số cộng (un) có u17 = 33 u33 = 65 Hãy tìm cơng sai số hạng tổng quát cấp số cộng
(142)139
b) Cho cấp số cộng (un), có u4 + u97 = 101 Hãy tình tổng 100 số hạng cấp số cộng
HDGiải
a)Gọi d cơng sai cấp số cộng cho Ta có 33 = u17 = u1 + 16d Suy u1 = 33 – 16d
Do 65 = u33 = u1 + 32d = 33 – 16d + 32d Suy d = suy u1 =
Từ đó, ta có: un = u1 + (n – 1)d = + (n – 1).2 = 2n – 1.
b) Ta có u4 = u1 + 3d, u97 = u1 +96d = u1 + 99d – 3d = u100 – 3d Từ đó, suy ra: 101 = u4 + u97 = u1 + u100
Do S100 100(u1 u100) 50.101 5050
2
+
= = =
Bài 3.15 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = un+1= un2+2 với n≥1
a) Chứng minh dãy số (vn), mà vn un
= với n≥1, cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu cơng sai cấp số cộng
b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un)
c) Tính tổng S=u12+ + + +u22 u32 u10012
HDGiải
a) Từ hệ thức xác định dãy số (un) suy với n≥1, un un hay vn vn 2
1 2
+ = + + = + Do dãy số
(vn) cấp số cộng với số hạng đầu v u
2
1 = =1 công sai d =
b) Từđịnh nghĩa dãy số (un) dãy số (vn) dễ dàng suy un > vn > vối n≥1
Từđó, ta có un = vn với n≥1
Từ kết phần a) suy ra: = + (n – 1)2 = 2n – (với n≥1)
Vì un = 2n−1 (n≥1)
c S) u12 u22 u32 u10012 v1 v2 v3 v1001
1001 2.1 (1001 1).2
1002001
= + + + + = + + + +
+ −
= =
Bài 3.16 Cho dãy số (un) biết tổng của n số hạng xác định công thức sau:
n
n n
S (7 )
2
− =
a) Tính u1, u2 u3
b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un)
c) Chứng minh dãy số (un) cấp số cộng Hãy xác định công sai cấp số cộng HDGiải
a) Ta có u1 = S1 = 2, u2 = (u1 + u2) – u1 = S2 – S1 = – = – ,
u3 = (u1 + u2 + u3) – u1 – u2 = S3 – S2 = –
b) Đặt S0 = 0, ta có số hạng tổng quát dãy sốđã cho là:
n n n
n n
n n
u S S 1 (7 ) ( 1) 3( 1) 3n
2
−
− − −
−
= − = − = −
c) Ta có un+1− = − ∀ ≥un 3, n Vì dãy số (un) cấp số cộng với công sai d = – 3. Bài 3.17 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = un + = un + n với n≥1
Xét dãy số (vn), mà = un + – un , với n≥1
a) Chứng minh với số nguyên dương N, tổng N số hạng dãy số (vn) bằng uN + – u1
b) Chứng minh dãy số (vn) cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu công sai cấp số
cộng
HDGiải
a) Kí hiệu SN tổng N số hạng dãy số (vn)
(143)Với N = 1, ta có S1 = v1 = u2 – u1 Như (1) đúng N =
Giả sửđã có (1) với N = k, k≥1, ta chứng minh đúng N = k + Thật vậy, từ giả thiết qui nạp định nghĩa dãy số (vn), ta có
Sk + 1 = Sk + vk + = (uk + – u1) + (uk + – uk + 1) = uk + – u1
Từ chứng minh suy (1) với N ≥1
b) Từđịnh nghĩa dãy số (vn) hệ thức xác định dãy số (un), ta có = n với n≥1
Do đó + – = (n + 1) – n = với n≥1 Vì dãy số (vn) cấp số cộng với số hạng đầu v1 = công sai d = 1.
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 3.18 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng (un), biết rằng: u23−u17=30 vaø u232 +u172 =450 Bài 3.19 Cho cấp số cộng (un) có u5+u19=90 Hãy tính tổng 23 số hạng cấp số cộng (ĐS: S=1035)
Bài 3.20 Có thể có tam giác mà sốđo cạnh chu vi lập thành cấp số cộng không ?
Bài 3.21 Hãy tính tổng sau đây:
a) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số hạng thứ hai 105 số hạng cuối 999.(ĐS: S = 165150)
b) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu
3, số hạng thứ hai
−
và số hạng cuối – 2007.(ĐS: S = -3 022 040)
Bài 3.22 Cho cấp số cộng tăng (un) có u13+ =u32 302094 tổng 15 số hạng 585 Hãy tìm
số hạng đầu cơng sai cấp số cộng đó.(ĐS: d=4,u1=11)
Bài 3.23 Tính u99,S99của cấp số cộng ( )un , biết: a) u u u
u u u
2
3
18
− + = −
+ + =
b)
u u u
S
2
2 20
0
− + = −
=
c)
u u
u u
3 20
24
− = −
= Bài 3.24 Tính u2012,S2013của cấp số cộng ( )un , biết:
a) u u u
S
3
2 35
88
− + =
=
b)
u u u
S
3
2 20
18
+ − =
− =
c)
u u u
u u
36
+ + =
(144)141
§4 CẤP SỐ NHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NẰM
1 Định nghĩa
Dãy số (un) xác định bởi:
n n
u u
u u q n
1
* ,
+ =
= ∀ ∈
ℕ , (u, q hai số thực cho trước) gọi cấp số
nhân
u số hạng
q công bội n
n u q
u
+ =
Đặt biệt q = (un) dãy số tất số hạng
2 Số hạng tổng quát Định lí 1:
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công
thức : un =u q1 n−1 với n≥2
3 Tính chất số hạng cấp số nhân Định lí 2:
Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu số hạng cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: uk2 =uk−1.uk+1,k≥2 uk = uk−1.uk+1
4 Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Định lí 3:
Cho cấp số nhân ( )un với công bội q≠1 Đặt Sn = + + +u1 u2 un
Khi đó: ( ) ( )
n n
n n
u q u q
S hay S q
q q
1 1
,
1
− −
= = ≠
− −
Lưu ý:
Trong thực hành: a, b, c cấp số nhân ⇔ b2 = a.c
Khi giải toán cấp số nhân, ta thường gặp đại lượng Đó u1, q, un, n, Sn, cần phải xác định đại lượng tính đại lượng lại
B BÀI TẬP
Bài 4.1 Chứng minh dãy số (un) sau cấp số nhân
a) un 3.2n
5
= b) un 5n
2
= c)
n n
u
2
= −
d) un = −( 5)2 1n+ e) un = −( 1) 3n 1n+ f)
n n n
u
u u u
1
1
1
+ =
= +
HDGiải PP chung: Xét thương n
n u T
u
+ =
Nếu T số dãy số cấp số nhân
(145)a) n n n
n u
u
1
1 3.2 : 3.2 2
5 +
+ = =
Vậy un + = un.2, công bội q = 2, u1
6
= với n∈ℕ*
b) Tương tự: un 1 un.1
2
+ = , q u1
1
,
2
= =
c) un 1 un
2
+
= −
, q u1
1,
2
= − = −
d) un + = un.25, q = 25, u1 = –125
e) un + = un (–27), q = -27, u1 = –81
f) un 1 un.7
5
+ = , q u1
7, 1
= =
Bài 4.2
a) Viết năm số xen số 729 để cấp số nhân có bảy số hạng Tính tổng số hạng cấp số
b) Viết sáu số xen số – 256 để cấp số nhân có tám số hạng Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 ?
c) Viết bốn số xen số 160 để cấp số nhân HDGiải
a) Ta có u1 = 1, u7 = 729 Vì u7 = u1.q6 nên
u
q q
u
6
729 3
= = = ⇒ = ±
Năm số cần viết là: 3, 9, 27, 81, 243 –3, 9, –27, 81, - 243
Với q = 3, ta có S u ( ) 7
1
1093
−
= =
− Với q = -3, S7 = 547
b) Ta có u1 = –2, u8 = 256 Vì u8 = u1.q7 nên
u
q q
u
7
1
128 ( 2)
= = − = − ⇒ = −
Sáu số cần viết : 4, -8, 16, -32, 64, -128 Ta có u15 = –2 (–2)14 = –32 768
c) Ta có u1 = 5, u6 = 160 suy q = Vậy bốn số cần ghi là: 10, 20, 40, 80 Bài 4.3 Cho cấp số nhân (un) với công bội q
a)Biết u1 = 2, u6 = 486 Tìm q
b)Biết q 2,u4
3 21
= = Tìm u1
c)Biết u1 = 3, q = -2 Hỏi số 192 số hạng thứ ?
HDGiải Áp dụng cơng thức, tìm giá trị theo ycbt
a) q = b) u1
7
= c) n =
Bài 4.4 Cấp số nhân ( )un có : u u
u u
1
51 102
+ =
+ =
a)Tìm số hạng công bội cấp số nhân
b)Hỏi tổng số hạng 3069
c)Số 12 288 số hạng thứ ?
HDGiải
Áp dụng công thức un =u q1 n−1 hạy u2 =u q1 , u5 =u q1 u6 =u q1 ( )
n n
u q
S
q 1
1
− =
(146)143
a) Ta có u u q u
q u q u q
4
1 1
5 1 51 102 + = = ⇔ = + =
b) Ta có ( )
n
n
3
3069 10
1
−
= ⇒ =
−
c) Tương tự có n = 13
Bài 4.5 Tìm số hạng cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết
a) u
u 27 = = b) u u u u 25 50 − = − = c) u u u u 15 − = − = d)
u u u
u u u
2 5
10 20 − + = − + =
HDGiải
a) u
q 1 3 = = ±
q = có cấp số nhân: 1;1;3;9;27
3
Với q = –3 có cấp số nhân là: 1; 1;3; 9;27
3 − −
b) u q 200 = − =
Ta có cấp số nhân: 200 100; ; 50; 25; 25
3 3
− − − − − c) q csn u q csn u 1
; : 16, 8, 4, 2, 16 ; :1,2,4,8,16 = − − − − − = − = =
d) u
q 1 = =
, có csn: 1, 2, 4, 8, 16
Bài 4.6 Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân (un), biết: u3 = −5, u6 = 135
HDGiải
Gọi q cơng bội cấp số nhân cho Ta có q u q u
3
27
= = − ⇔ = − Với q = -3, suy u1
9
= − Vậy số hạng tổng quát: un 5( 3)n 5( 3)n
9 − −
= − − = − −
Bài 4.7 Số đo bốn góc tứ giác lồi lập thành cấp số nhân Hãy tìm bốn góc đó, biết số đo góc lớn gấp lần số đo góc nhỏ
HDGiải
Kí hiệu A, B, C, D số đo bốn góc (tính theo độ) tứ giác lồi cho Khơng tính tổng qt, giả sử A≤ ≤ ≤B C D Khi đó, từ giả thiết tốn ta có D = 8A A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số nhân Gọi q cơng bội cấp số nhân đó, ta có:
8A = D = A.q3 ⇔ =q
Do đó: A B C D A A A
1
360 15 24
1
−
= + + + = = ⇔ =
− (độ)
Suy ra: B = A.2 = 48 (độ), C = A.22 = 96 (độ) D = 192 (độ)
(147)HDGiải
Gọi dân số tỉnh N Sau năm, số dân tăng thêm 1,4%.N Vậy số dân tỉnh vào năm sau: N + 1,4%N = 101,4%N
Số dân tỉnh sau năm lập thành cấp số nhân: N N N
101,4 101,4
, , ,
100 100
G/S: N = 1,8 triệu người sau năm số dân tỉnh là:
5
101,4 .1,8 1,9 100
≈
(triệu) Và sau 10 năm là:
10
101,4
.1,8 2,1 100
≈
(triệu)
Bài 4.9
a)Tính tổng S 1 12 1n
3 3
= + + + +
b) Tính tổng S = + 11 + 111 + 1111 + … + 11…1 (n số)
HDGiải
a) Xét dãy số 1, ,1 12 , , 1n
3 3 Đây dãy cấp số nhân với u1 = q
1
=
Khi
n
n n
S
1
1
1 1
3
1 1
1
1
3 3 1
3
+
+
−
= + + + + = = −
−
b) Ta có
9S = + 99 + 999 + …+ 99…9 = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + … + (10n – 1) = (10 + 102 + 103 + + 10n) – n = ( ) ( )
n n
n n
10 10 10 10
1 10
− −
− = −
−
n
n S
1
10 9( 1)
81
+ − + − ⇒ =
Bài 4.10 Bốn số lập thành cấp số cộng Lần lượt trừ số cho 2, 6, 7, ta cấp số nhân Tìm số
HDGiải Gọi bốn số cần tìm x, y, z, t, ta có:
Cấp số cộng: x, y, z, t
Cấp số nhân: x – 2, y – 6, z – 7, t – Từ ta có hệ phương trình sau:
x z y x
y t z y
y x z z
t
z y t
2
2
2 12
( 6) ( 2)( 7) 19
26
( 7) ( 6)( 2)
+ = =
+ =
=
⇔
− = − − =
− = − − =
Bài 4.11 Ba số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời, số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y
HDGiải
Vì số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, nên:
2(5x + 2y) = x + 6y + 8x + y hay x = 3y (1)
Vì số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân, nên:
(y + 2)2 = (x – 1)(x – 3y) (2)
(148)145
Bài 4.12 Biết ba số x, y, z lập thành cấp số nhân ba số x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng Tìm cơng bội cấp số nhân
HDGiải
Vì ba số x, y, z lập thành cấp số nhân nên thay giá trị y = xq, z = xq2 vào cấp số cộng x, 2y, 3z, ta cấp số cộng : x, 2xq, 3xq2
Theo tính chất cấp số cộng, ta có: x + 3xq2 = 4xq ⇒ + 3q2 = 4q Giải phương trình : 3q2 – 4q + = 0, ta q=1 q
3
=
Bài 4.13 Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a) (b –c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – d)2
b) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2
c) a b c a b c
a b c
2 2 3 3 3
1 1
+ + = + +
HDGiải Ta có : b2 = ac, c2 = bd, ad = bc
a) (b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ac + a2 + d2 – 2bd + b2 = a2 – 2ad + d2 = (a – d)2 (đpcm)
b) (a + b + c)(a – b + c) = (a + c)2 – b2 = a2 + 2ac + c2 – b2 = a2 + 2b2 + c2 – b2 = a2 + b2 + c2 (đpcm)
c) a b c b c a c a b acc b aa c a b c
a b c a b c
a b c
2 2 2 2 2
2 2 3
3 3
1 1 ( )
+ + = + + = + + = + +
(đpcm)
Bài 4.14 Tìm cấp số nhân (un), biết:
u u u u
u u u u
1 2 2
15 85
+ + + =
+ + + =
(1) HDGiải
Ta có (1)
( ) ( )
( ) ( )
u q u q
q q
u q u q
q q
2
4 4
1
2 2 8
1 1
2 2
1
15 225
1 ( 1)
1 1
85 85
1 1
− −
= =
−
−
⇔ ⇔
− −
= =
− −
Chia vế phương trình, ta
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
q q q q
q q q q
q
q q
2
4 2
4
2 8
1 225 1 45
14 17 17 17 14
85 17
1
− − + +
= ⇔ = ⇔ − − − + =
+
− −
Chia hai vế phương trình cho q2, đặt x q q q
1; 0
= + ≠ ,
Ta có: 14x2 – 17x – 45 =
x x
5
= ⇔
= − Với x
7
= − , ta có phương trình q q
1
7
+ = − vô nghiệm Với x
2
= , ta có phương trình q q
1
+ = Giải tìm q = 2, q
2
= tương ứng u1 = 1, u1 =
Vậy hai cấp số nhân:
(149)Với u1= 8, q
1
= có cấp số nhân 8, 4, 2, 1,
Bài 4.15 Một cấp số cộng cấp số nhân dãy số tăng Các số hạng thứ 3, số hạng thứ hai Tỉ số số hạng thứ ba cấp số nhân cấp số cộng
5 Tìm hai
cấp số
HDGiải Nếu cấp số cộng 3, u2, u3 thí cấp số nhân 3, u2,
u3
9
5 Theo tính chất cấp số, tacó
u
u2 3
2
+
=
u u22 3.9
5
= hay
u u
u u u do u
2
2 3
3 3
3 27
5 78 45 15( 3)
2
+
= ⇔ − + = ⇔ = >
Vậy hai cấp số cần tìm: CSC: 3,9,15 CSN: 3,9,27
Bài 4.16 Cho dãy số (un) xác định u1 = un + = 2un + với n≥1
a)Chứng minh dãy số (vn) với vn = un + cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát cấp số nhân
b)Xác định số hạng tổng quát dãy số (un)
HDGiải
a) Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có
un + + = 2(un + 5) với n≥1 hay + = 2vn với n≥1
Suy (vn) cấp số nhân với v1 = u1 + = + = cơng bội q = 2.
Từ đó, số hạng tổng quát cấp số nhân (vn) là: vn = 6.2n – 1 = 3.2n b) Từ kết câu a), ta có un = vn – = 3.2n –
Bài 4.17
a)Chứng minh dãy số (un) với
n n
u 2.3
5 −
= cấp số nhân b) Viết ba số xen số
2 để cấp số nhân gồm năm số hạng
HDGiải a) Lập tỉ số:
n n
n n
u u
1
1 2.3
5 3
2
+
−
= = Suy un + = 3un với n
*
∈ℕ
Vậy dãy (un) cấp số nhân với công bội q =
b) Giả sử cấp số nhân cần tìm là: u1 =
1
2, u2, u3, u4, u5 = Gọi q cơng bội
Ta có: u5 1q4 q4 16 q
2
= = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy, ta có hai cấp số nhân:
2 , 1, 3, 4,
2 , –1, 2, – 4,
Bài 4.18.Cho dãy số (un) mà tổng n số hạng ( kí hiệu Sn) tính theo cơng thức sau:
n n n
S 11
3 − − =
a) Hãy tính u1, u2, u3
(150)147
c) Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Hãy xác định công bội CSN HDGiải
a) Ta có u1 = S1 = 2, u2 = (u1 + u2) – u1 = S2 – S1 =
8 2
3− =3,
u3 = (u1 + u2 + u3) – u1 – u2 = S3 – S2 =
26 − =3
b)Đặt S0 = 0, ta có
n n
n n n n n n
u S S n
1
1
3 , 1
3 3
−
− − − −
− −
= − = − = ∀ ≥
c) Ta cóun 1 2n n 1 1un
3
3
+ = = − = , với n≥1
Vì thế, dãy số (un) cấp số nhân với công bội
1
Bài 4.19 Cho dãy số (un) xác định u1
1
= un n un n
1.
+ +
= với n≥1
a) Chứng minh dãy số (vn), mà n n u v
n
= với n≥1, cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu cống bội cấp số nhân
b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un)
c) Tính tổng S u1 u2 u3 u11
2 11
= + + + +
HDGiải
a) Từ hệ thức xác định dãy số (un) suy với n≥1: n n n n
u u
hay v v
n n
1
1
1.
1 3
+
+
= =
+
Do đó, dãy số (vn) cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1
1
= = công bội q
3
= b) Ta có vn 1 n 1 1n
3 −
= = với n≥1 Suy un nn
3
= với n≥1 c) Ta có S u u u u v v v v
11 11
2 11
1 11 11
1
1 3 88573
1
2 11 1 2.3 177147
3
− −
= + + + + = + + + + = = =
−
Bài 4.20 Cho dãy số (un) xác định u1=1 un+1=6un−1 với n≥1
a) Chứng minh dãy số (vn), mà vn un
1
= − với n≥1, cấp số nhân Hãy xác định số hạng
đầu cơng bội CSN
b) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số (un)
c) Tính tổng 10 số hạng dãy số (un)
HDGiải
a) Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có un 1 un
1
6
5
+
− = −
, với n≥1 hay vn+1=6 ,vn ∀ ≥n Vì
thế dãy số (vn) cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1
1 5
= − = công bội q = 6 b) Từ kết phần a) suy với n≥1:
n n
n
n n n
v v q u v
1
1
4.6 4.6
;
5 5
− −
− +
= = = + =
(151)nhân (vn) Ta có T S
10 10 10
1
10 9674590
5
−
= + = + =
−
Bài 4.21
a) Cho cấp số nhân (un) có 8u2−5 5.u5=0 u13+ =u33 189 Hãy tính tổng 12 số hạng cấp
số nhân
b) Cho cấp số nhân (un) có 3.u2+ =u5 u u 2
3 + =63 Hãy tính tổng S= u1 + u2 + u3 + + u15
c) Cho cấp số nhân với cơng bội q∈(0;1) Hãy tính tổng 25 số hạng cấp số nhân đó, biết u1− =u3 u12−u32 =5
HDGiải
a) Kí hiệu q cơng bội cấp số nhân cho Dễ thấy u q1 ≠0 Do đó, ta có
( )
u q q q
u u
u u u q
u
1
3 3 6
1 1
1
8 5
8 5
5
189 .(1 ) 189 5
− = − = = ⇔ ⇔ + = − = =
Từđó kí hiệu S tổng cần tính, ta S
12
57645 23058 5 3125 − + = = −
b) Kí hiệu q cơng bội cấp số nhân cho Dễ thấy u q1 ≠0 Do đó, ta có
( )
( )
q
u q q
u u
u u u q q u
3
2
2 2
3 1
3
3
3
1
63 63
2 + = = − + = ⇔ ⇔ + = + = =
Vì dãy số (un) cấp số nhân vớii công bội q nên dãy số ( )un cấp số nhân với cơng bội q Vì thế,
kí hiệu S tổng cần tính, ta S ( ) 15
1
1.
2
− =
−
c) Ta có ( )
( )
2 1
1
2 2
2
1
3
1
5
2
u u q
u u
q
u u u q
= − = − = ⇔ ⇔ = − = − =
(do q∈(0;1)) Khi đó: S
25 1 2 1 − = − Bài 4.22
a) Biết + + + …+ un = 17161 Tìm n
b) Cho cấp số cộng (un) có số hạng khác CMR:
n n n n
u u1 2 u u2 3 u 1u a a1
1 1
−
−
+ + + =
c) CMR cấp số nhân ta có: S Sn.( 3n−S2n) (= S2n −Sn)2
HDGiải
a) Các số hạng 1, 3, 5, …, n lập thành cấp số cộng với u1 = công sai d = 2.
Nên ta có, Sn = n2 = 17161 Suy n = 131
b) Nếu cơng sai d = có u1 = u2 = u3 = … = un ⇒ Đẳng thức hiển nhiên
Nếu d≠0, ta có
1 1 1
1 1 1 1
( )
u u u u d d u u d d u u
= = − = −
(152)149
2 2 2
1 1 1 1
( )
u u u u d d u u d d u u
= = − = −
+ +
n n n n n n n n
u 1 u u 1 u d d u 1 u 1 d d u 1 u
1 1 1 1
( )
− − − − −
= = − = −
+ +
Khi
n
n n n n n n n
u u n
u u u u u u d u u u u u u d u u d u u a a
1 2 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1.
− −
− −
+ + + = − + − + + − = − = =
c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
n n n
n n n
n
n n n n n n
u q u q u q
S S S
q q q
u u u q
q q q q q q
q
q q
3
1 1
3
2
2 2
2
1 1
2
1 1
1 1
1
1 1 − − − − = − − − − = − − = − = − − − −
( ) ( n) ( n) n ( n)
n n
u q u q u q
S S q
q q q
2 2
2
2 1 1
2
1
1 1
− − − = − = − − − −
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 4.23 Chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số nhân
(a2+b2)(b2+c2)=(ab bc+ )2
HDGiải
Ta có
( )( ) ( )
( )
a b b c ab bc a b a c b b c a b b ac b c
a c b ac b ac b
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 0
+ + = + ⇔ + + + = + +
⇔ − + = ⇔ − =
b2 ac
⇔ = ⇔ a, b, c lập thành cấp số nhân
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.24 Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng năm số hạng đầu 31 tổng năm số
hạng sau 62.(ĐS: q=2,u1=1 Dãy số: 1, 2, 4, 8, 16, 32)
Bài 4.25 Cho cấp số nhân ( )un có 6u2 + =u5 1,u3+2u4 = −1 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân
đó (ĐS: q 2,u1 un 1.( 2)n
4 −
= − = ⇒ = − )
Bài 4.26 Cho cấp số nhân ( )un có 8u2−5 5.u5 =0 u13+ =u33 189 Hãy tìm tổng 12 số hạng cấp số nhân đó.(ĐS: q u S
12
1
2
2 , 5
2 1 − = = ⇒ = − )
Bài 4.27 Tính u S9, 9 cấp số nhân (un), biết: a) u u
u u 3 18 36 + = + = b)
u u u
u u u
2 5
10 20 − + = − + = c) 20 17 272 u u u u = + = d)
3
(153)ÔN TẬP CHƯƠNG III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
A KIẾN THỨC
1 Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề với n∈ℕ* phương pháp quy nạp toán học, ta thực bước sau:
B1 Kiểm tra mệnh đề với n =
B2 Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ( k≥1) (giả thiết quy nạp)
B3 Chứng minh mệnh đề với n = k +
2 Dãy số
a) Định nghĩa dãy số
-Một hàm số u xác định tập số nguyên dương ℕ* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu:
u
n u n
*
:
( )
→
ℕ ℝ
֏
Đặt u(n) = un gọi số hạng tổng quát dãy số (un)
Đôi người ta gọi số hạng tổng quát dãy số (un)
- Mỗi hàm u xác định tập M ={1,2,3, ,m m}, ∈ℕ*được gọi dãy số hữu hạn
b) Dãy số tăng, dãy số giảm
-Dãy số (un) gọi dãy số tăng un + > un, với n∈ℕ*
-Dãy số (un) gọi dãy số giảm un + < un, với n∈ℕ*
-Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy số đơn điệu Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số
PP1: Xét hiệu H = un + – un
-Nếu H > với n∈ℕ* dãy số cho dãy số tăng
-Nếu H < với n∈ℕ* dãy số cho dãy số giảm
PP2 Nếu un > với n
*
∈ℕ ta lập tỉ số n
n u
u
+ , so sánh với 1
-Nếu n n u
u
+ > với n∈ *
ℕ dãy số cho dãy số tăng
-Nếu n
n u
u
+ < với n∈ *
ℕ dãy số cho dãy số giảm
c) Dãy số bị chặn
-Dãy số (un) gọi dãy bị chặn ∃ ∈M ℝ:un ≤M,∀ ∈n ℕ*
-Dãy số (un) gọi dãy bị chặn ∃ ∈m ℝ:un ≥ ∀ ∈m, n ℕ*
-Dãy số (un) gọi dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức là:
n
M m, :m u M, n *
∃ ∈ℝ ≤ ≤ ∀ ∈ℕ
3 Cấp số cộng, cấp số nhân
Cấp số cộng Cấp số nhân Định nghĩa u
n + = un + d với n
*
∈ℕ un + = un.q với n
*
∈ℕ
Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d, với n≥2 un = u1.qn - 1, với n≥2 Tính chất
k k k
u u
u 1,k
2
− + +
= ≥ k k k
k k k
u u u k hay u u u
2
1
1
,
− +
− +
= ≥
(154)151
Tổng n số hạng đầu
n n
n u u
S ( ), n *
2
+
= ∀ ∈ℕ
Hay Sn nu1 n n( 1)d
2
−
= +
n n
u q
S q
q
1(1 ), 1
1
−
= ≠
−
Trong thực hành Ba số a, b, c lập thành CSC thì 2b = a + c hoặc
a b b c 1(a c)
2
− = − = +
Ba số a, b, c lập thành CSN
b2 = ac
B BÀI TẬP
Bài Dùng phương pháp qui nạp chứng minh rằng:
n
S = + + + +1 (4n− =3) n n(2 −1),n∈ℕ*
HDGiải
n
S = + + + +1 (4n− =3) n n(2 −1) (1), n∈ℕ*
Với n = 1, dễ thấy (1)
Giả sử (1) với n = k (k≥1), tức Sk = + + + +1 (4k− =3) k k(2 −1),k≥1
Ta chứng minh (1) với n = k + 1, nghĩa Sk+1= +(k 1)(2k+1)
Thật vậy, theo giả thiết qui nạp ta có
k
k
S k k
S k k k k k k k k k k
1
2
1 (4 3) (4 1)
1
4 (2 1) 2( 1) ( 1)(2 1)
2
+ = + + + + − + +
= + + = − + + = + + = + + = + +
Vậy (1) chứng minh
Bài Cho dãy số ( )un với un = −(n 1).2n+1
Chứng minh công thức truy hồi dãy số ( )un là:
n n n
u
u u n n
1
1
( 1).2 ,
+ =
= + + ≥
HDGiải
Dể thấy, với n = 1, ta có u1=1
Từ thức un, ta có
( ) n n n
n
u +1 = (n+ −1) +1+ = −1 (n 1).2 +1+2 +1+1
n n n n n
n n
n n u n u n
( 1).2 ( 1).2 + ( 2).2 ( 1).2
= − + + − + = + − + = + + (đpcm)
Bài Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = un = un – 1 – với n≥2
a) Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số (un)
b) Hãy tính tổng 100 số hạng dãy số (un) HDGiải
Để ý thấy rằng (un) cấp số cộng có số hạng đầu u1 = công sai d = – 2, ta được
a) un = – 2n
b) S100 = – 9400
Bài Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = un+1 = un+6 với n≥1
Chứng minh rằng (un) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân HDGiải
Trước hết, phương pháp qui nạp, ta chứng minh un = (1), với n≥1
(155)Giả sửđã có (1) đúng n = k, k∈ℕ* Khi uk+1= uk+ =6 3+ = , nghĩa ta có (1) khi n = k + Vậy (1) với n∈ℕ*
Từđó suy dãy số (un) cấp số cộng công sai d = 0, đồng thời cấp số nhân với công bội q = Bài Cho dãy số (un) xác định u1 = un un
2 10
+ = − với n≥1
Chứng minh (un) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân
HDGiải
Tương tự Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh un = với n≥1 Bài Cho dãy số (un) xác định u1 = un + = 3un– 11 với n≥1 Chứng minh với n≥1, ta có
n n u
1
3 11
2
−
= +
HDGiải Ta chứng minh
n n u
1
3 11
2
−
= + (1) với n≥1 phương pháp qui nạp Với n = 1, ta có u
1 1
3 11
6
2
−
= = + Như (1) với n = Giả sử (1) với n = k , k≥1(giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh với n = k +
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy giả thiết quy nạp, ta có
k k
k k
u u
1
3 11 11
3 11 11
2 2
− +
= − = + − = +
Vậy (1) với n≥1
Bài Tìm cấp số cộng u u u u u1, , , ,2 3 4 5, biết u1+ + = −u3 u5 12 u u u1 .3 5 =80
HDGiải
Kí hiệu cơng sai cấp số cộng d Theo giả thiết ta có:
u u u u d u d
u u u u u d u d d d
1 1
1 1
12 4
80 ( ).( ) 80 16( 2).( 2) 80
+ + = − + = − = − −
⇔ ⇔
= + + = + − =
Giải ta d= ±3
Vậy cấp số cộng phải tìm 2, -1, -4, -7, -10 -10, -7, -4, -1,
Bài Tìm số hạng đầu u1 cơng bội qcủa số nhân ( )un , biết rằng: u4 u2 113
32
− = −
u6 u4 45
512
− = −
HDGiải
Ta có:
u u u q u q
q q
u u u q u q
3 1
2
6 1
13 45
1 1 1
32 32
16
45 45
512 512
− = − − = −
⇔ ⇒ = ⇔ = ±
− = − − = −
Vậy q u1
4
= ⇒ = q u1
4
= − ⇒ = −
Bài Tìm m để phương trình x4 −(3m+5)x2 +(m+1)2 =0 có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng
HDGiải
Đặt x2 =y y, ≥0 Ta có phương trình y2−(3m+5)y+(m+1)2 =0 (1)
Để phương trình có nghiệm phương trình (1) phải có hai nghiệm dương y y y1, (2 1<y2) Bốn nghiệm
(156)153
Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng y2 − y1 =2 y hay y1 2 =9y1
Mặt khác, kết hợp với định lí Vi-ét:
b
y y m
a c
y y m
a
2
3
( 1)
+ = − = +
= = +
Tìm m 5;m 25
19
= = −
Bài 10 Bốn số lập thành cấp số cộng Tổng bốn sốđó 22 tổng bình phương chúng 166 Tìm bốn sốđó
HDGiải
Kí hiệu d công sai cấp số cộng Do bốn số lập thành cấp số cộng nên ta kí hiệu bốn sốđó
a d a a d a− , , + , +2d Khi theo giả thiết ta có:
a d a a d a d a d
a d a2 a d a d a2 ad d2
( ) ( ) ( ) 22
( ) ( ) ( ) 4 166
− + + + + + = + =
− + + + + + = + + =
Giải d= ±3 Vậy bốn số cần tìm là: 10, 7, 4, 1, 4, 7, 10
Bài 11 Ba số có tổng 148
9 lập thành cấp số nhân Theo thứ tựđó, ba sốấy đồng thời
số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Tìm ba sốđó
HDGiải
Nếu cấp số cộng có số hạng đầu a, cơng sai d ba số cần tìm theo thứ tự a a, +3 ,d a+7d Theo giả thiết ta có:
a (a ) (d a ) 3d a 10d 148
9
+ + + + = + = (1) a a( +7 ) (d = +a )d (2) Giải (1) (2) Tìm d 0;d
3
= =
Vậy ba số cần tìm là: 148 148 148, ,
27 27 27
16 64 4, ,
3
C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 12 Một cấp số cộng cấp số nhân có số hạng thứ 5, số hạng thứ hai cấp số cộng lớn số hạng thứ hai cấp số nhân 10, cịn số hạng thứ ba Tìm cấp sốđó (ĐS: CSC: 5, 25, 45 CSN: 5, 15, 45)
Bài 13 Ba số có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ 2, thứ thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để có tổng chúng 820 ?(ĐS: n = 20)
Bài 14 Ba số x y z, , theo thứ tựđó lập thành cấp số nhân; ba số x y, −4,z theo thứ tựđó lập thành cấp số nhân; đồng thời, số x y, −4,z−9 theo thứ tựđó lập thành cấp số cộng Tìm x y z, , (ĐS: (x y z, , ) (= 1,2,4) (x y z, , ) (= 4,2,1))
Bài 15 Ba số x y z, , theo thứ tựđó lập thành cấp số nhân; đồng thời, chúng số hạng đầu, số hạng thứ thứ cấp số cộng Hãy tìm ba sốđó, biết tổng chúng 13
(ĐS: (x y z, , ) (= 1,3,9) (x y z, , ) 13 13 13, ,
3 3
=
)
Bài 16 Tính u20,S20của cấp số cộng ( )un , biết: a) u u u
S
2
4 20
25
− + =
=
b)
u u u
S
2
2 43
63
− + =
− =
(157)a) u u u
S
2
2 43
63
− + =
=
b)
u u u
S
1
4 13
21
− + − =
= Bài 18 Tính S30 tìm uncủa cấp số cộng ( )un , biết:
a) u u u
u u
2
10 26
+ − =
+ =
b)
u u u
u u
2 3
10 26
+ − =
+ =
Bài 19 Tính u50và S93của cấp số cộng ( )un , biết: a) u u u
u u
2 99
4
289
− + = −
+ =
b)
u u u
S
3
2 19
90
+ − =
= Bài 20 Tính u99và S101của cấp số cộng ( )un , biết:
a) u u u
S
1
3 10
16
+ + =
=
b)
u u u
S
1
2
21
− + =
(158)CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho dãy số ( ),un biết un =3n Tìm số hạng u2 1n−
A. un+1=32( 1)n− B un+1=32n−1 C un+1=9.3 1.n − D. un−1 =3 n n−1 Câu 2: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = + + +u1 u2 un Mệnh đề sai ?
A 1 ( 1)
2 n
n d
S =n u + −
B
1 .
2 n n
nu u
S = +
C [2 ( 1) ]
2 n
n u n d
S = + − D ( )
2 n n
n u u
S = +
Câu 3: Cho dãy số ( ),un biết công thức số hạng tổng quát Tìm dãy số tăng
A. un = −( 1) (5 1).2n n+ B
1 n
u
n n
=
+ + C
1
( 1) sin n n
u
n
π +
= − D 2
1 n
n u
n
= +
Câu 4: Tìm cơng bội qcủa số nhân ( )un , biết rằng: u4 u2 113
32
− = − u6 u4 45
512 − = −
A
2
q= ± B. q= ±4 C
4
q= ± D. q=4;q=2
Câu 5: Biết viết sáu số xen hai số 24 ta cấp số cộng có tám số hạng Tính tổng S
các số hạng cấp số
A. S=10 B. S=201 C. S=100 D. S=108
Câu 6: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với n
an u
n
2
1
2
+ =
+ dãy số giảm
A a>1 B
3
a< C
2
a≤ D a<3
Câu 7: Biết ba số khác a b c, , có tổng số 30 Đọc theo thứ tự a b c, , ta cấp số cộng; đọc theo b a c, , ta cấp số nhân Tìm cơng sai d cơng bội q hai cấp số
A. d=40,q=3 B. d=30,q= −2 C. d=20,q=2 D. d = −20,q=2
Câu 8: Biết C C Cn1, n2, n3 lập thành cấp số cộng với n∈ℕ,n>3. Tìm n
A. n=9 B. n=7 C. n=11 D. n=5
Câu 9: Biết độ dài c b a, , cạnh tam giác ABC vuông A theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm cơng bội q của cấp số nhân
A
2 + =
q B
2 + =
q C
2 + =
q D
2 + = q
Câu 10: Tìm giá trị tham số m để phương trình x4 −(3m+5)x2+(m+1)2 =0 có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng
A 2; 25
19
m= m= − B m=5;m= −3 C 1;
9
m= m= − D 5; 25
19
m= m= −
Câu 11: Cho cấp số cộng −2, ,6, x y Tìm x y,
A. x=2,y=8 B. x=2,y=10 C. x=1,y=7 D. x= −6,y= −2
Câu 12: Cho cấp số cộng (un), có u4 + u97 = 101 Hãy tình tổng S 100 số hạng cấp số
cộng
A. S=50 B. S=5050 C. S=505 D. S=101
(159)A. u1 =1;d=4 B u1 =9;d= −3 C u1=16;d= −3 D u1 =16;d=2
Câu 14: Cho cấp số nhân ( )un với công bội q≠1 Đặt Sn = + + +u1 u2 un Mệnh đề ?
A ( )
1 1
n
n
u q
S
q
− − =
− B ( )
1
n
n
u q
S
q
+ =
− C
1 .
1 n
n
q S
q
− =
− D ( )
1
n
n
u q
S
q
− =
−
Câu 15: Một hội trường có 10 dãy ghế Biết dãy ghế sau nhiều dãy ghế trước 20 ghế dãy sau có 280 ghế Hỏi hội trường có ghế ngồi ?
A.1100 ghế ngồi B.3000 ghế ngồi C.1000 ghế ngồi D.1900 ghế ngồi
Câu 16: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với n
na u
n
2
+ =
+ dãy số giảm
A a≤4 B a>2 C a≥2 D a<2
Câu 17: Cho ba số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân Mệnh đề ?
A. b2 =ac B. c2 =ab C. b ac= D. 2b a c= +
Câu 18: Tìm cơng sai d của số cộng( )un , biết u1+ +u3 u5 = −12 u u u1 .3 5 =80
A. d=3;d= −2 B. d=3;d=5 C. d = ±3 D. d = ±5
Câu 19: Cho cấp số cộng ( )un , biết u2 =2001 u5 =1995 Tìm số hạng u1001
A u1001 =4005 B u1001 =4003 C u1001=3 D u1001=1
Câu 20: Cho dãy số ( ),un biết un =3n Tìm số hạng un−1
A un+1=3n−1 B un+1= −3 3.n C 1 1.3
3 n n
u− = D un+1 = −3 1.n
Câu 21: Biết số đo bốn góc tứ giác lồi lập thành cấp số nhân Hãy tìm số đo góc nhỏ cơng bội q q( >1) , biết số đo góc lớn gấp lần số đo góc nhỏ
A. 24 ,0 q=3 B. 48 ,0 q=3 C. 26 ,0 q=2 D. 24 ,0 q=2
Câu 22: Cho dãy số ( )un xác định u1 = −1 un =2 n un−1với n≥2 Tính u11
A. u11=2 11 10 10 B. u11= −2 11 10 10 C. u11= −2 11!.10 D. u11=2 11!.10
Câu 23: Cho dãy số ( ),un biết cơng thức số hạng tổng qt Tìm dãy số giảm
A. un = n− n−1 B
2 1 n
n u
n
+
= C. un = −( 1) (2 1).n n+ D. un =sin n
Câu 24: Cấp số nhân ( )un , biết u1+ =u5 51 u2+u6 =102 Số 12288 số hạng thứ ?
A Số hạng thứ 13 B Số hạng thứ C Số hạng thứ 21 D Số hạng thứ 15
Câu 25: Biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng, góc lớn gấp năm lần góc nhỏ Tìm cơng sai d ( d > 0) cấp số cộng
A. d=20 B. d=10 C. d=40 D. d =30
Câu 26: Cho cấp số nhân −4, ,9.x Tìm x
A. x=36 B. x= −36 C. x=6 D. x= −6,5
Câu 27: Cho dãy số ( )un xác định u1 =150 un =un−1−3với n≥2 Tính tổng S 100 số hạng
A. S=59700 B. S=150 C. S=300 D. S=29850
Câu 28: Cho dãy số ( )un , biết un cos(3n 1)
6 π
(160)A
2
S= − B
2
S= − C
6
S= D. S= −1
Câu 29: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với un na n
2
+ =
+ dãy số tăng Là dãy số giảm ?
A. a≥1 B. a<2 C. a>2 D. a<3
Câu 30: Cho ba số a b c a, , ( < <b c) theo thứ tự lập thành cấp số nhân, biết tổng chúng 63 tích chúng 1728 Tìm cơng bội q của cấp số nhân
A
4 =
q B q=4 C
3 =
q D q=3
Câu 31: Tính tổng S = + 11 + 111 + 1111 + … + 11…1 (n số)
A ( )
10 10
n
S= − −n B ( )
10 10 81
n
n
S= − −
C ( )
10 10
n
n
S= − − D 10
81 n
n
S= − −
Câu 32: Cho dãy số ( ),un biết un =3n Tìm số hạng un+1
A un+1= +3 n B un+1= +1 n C un+1=3.3 n D un+1 =3(n+1)
Câu 33: Cho cấp số nhân ( )un , biết u1=3,q= −2 Hỏi số 192 số hạng thứ ?
A.Số hạng thứ B.Số hạng thứ C.Số hạng thứ D.Số hạng thứ
Câu 34: Tính tổng 1 12
3 3n
S= + + + +
A
1
3 1 .
2
n
S
+
= +
B
1
3 1 .
2
n
S
+
= −
C
1
1
3 n
S
+
= −
D
1
1 1 .
2
n
S
+
= −
Câu 35: Biết bốn số lập thành cấp số cộng Tổng bốn số 22 tổng bình phương chúng 166 Tìm bốn số
A.10, 9, 8, 7, 8, 9, 10 B.10, 8, 6, 4, 6, 8, 10
C.10, 6, 2, -2 -2, 2, 6, 10 D.10, 7, 4, 1, 4, 7, 10
Câu 36: Cho dãy số ( )un với un =3 n Mệnh đề ?
A u u1 2 u100 =u5050 B 1 2 100 100
2
u u + + +u u = −
C. 5
2
u u
u
+
= D 3
2
u u u
=
Câu 37: Cho cấp số cộng 6, , 2, x − y Tìm x y,
A. x=2,y= −6 B. x=4,y= −6 C. x=2,y=5 D. x=4,y=6
Câu 38: Cho dãy số ( ),un biết cơng thức số hạng tổng qt Tìm dãy số bị chặn
A
1 n
n u
n
=
+ B.
2 1. n
u = n + C. un =2 1.n+ D un n
n
= +
Câu 39: Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân ( )un , biết u3 = −5,u6 =135
A un = − −5( 3) n−3 B un = −5( 3) n−3 C. un =5.3 n−3 D. un = − −3( 5) n−3 Câu 40: Cho dãy số ( ),un biết un =3n Tìm số hạng u2n
A u2n =9 n B un+1= +3 n C un+1=6 n D un+1 =2.3 n
(161)bảy số hạng Tính tổng S các số hạng cấp số
A. S=547 B. S=657 C. S=1020 D. S=1093 Câu 42: Cho cấp số cộng ( )un Mệnh đề ?
A. 10 20 5 10
2
u u
u u
+ = +
B u u10 30 =u20 C. 10 30 20
2
u u u
= D u90+u210 =2u150
Câu 43: Tính tổng S= + + + +2 200
A. S=10200 B. S=11000 C. S=10100 D. S=12000
Câu 44: Trong dãy số ( )un đây, dãy số cấp số cộng ?
A
1
n n
u
u + u n
=
= +
B
1
1
2
n n
u
u + u
=
= +
C
1
1
n n
u
u + u
= −
− =
D
1
1
n n
u
u+ u
=
= −
Câu 45: Viết sáu số xen số – 256 để cấp số nhân có tám số hạng Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 ?
A u15 = −32768 B u15 = −327 C u15=30786 D u15=2768
Câu 46: Biết ba số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời, số x – 1, y
+ 2, x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y.
A. x= −6;y= −2 B. x=3;y= −2 C. x=6;y=2 D. x=2;y= −5
Câu 47: Chu vi đa giác 158, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với cơng sai d = 3cm Biết cạnh lớn 44cm, tính số cạnh đa giác
A 5. B 3. C 4. D 7.
Câu 48: Cho dãy số ( )un xác định 1
u = un =un−1+2nvới n≥2 Tính u50
A u50 =2548,5 B u50 =1274,5 C u50 =2550,5 D u50=5096,5
Câu 49: Tính tổng S= + + + + +1 22 64
A. S=265−1 B. S=263−1 C. S=264−1 D. S=264+1
Câu 50: Cho số nhân ( )un , biết u2− +u4 u5 =10 u3− +u5 u6 =20 Tìm số hạng đầu u1 công bội
q cấp số nhân
A u1 =1;q=2 B u1 =2;q=2 C u1= −1;q=3 D u1 =2;q=4
Câu 51: Cho cấp số nhân ( )un , biết u2 = −2 u5 =54 Tính tổng S1000
A
1000 1000
3 1.
S = − B
1000 1000
1 .
S = − C
1000 1000
1 .
S = − D
1000 1000
3 1.
S = −
Câu 52: Cho a, b, c theo thứ tự cấp số cộng Mệnh đề sai ?
A
2
b= ac B 1( )
2
a b− = a c+ C. a c+ =2 b D 1( )
2
b c− = a c+
Câu 53: Cho cấp số cộng ( )un , biết u1 =123 u3−u15 =84 Tìm số hạng u17
A u17 =4 B. u17 =11 C u17=235 D u17=242
Câu 54: Cho cấp số nhân −2, , 18, x − y Tìm x y,
A. x=6,y= −54 B. x= −6,y=54 C. x= −6,y= −54 D. x= −10,y= −26
Câu 55: Biết bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lần lượt trừ số cho 2, 6, 7, ta cấp số nhân Tìm số
A. 3;10;17;24 B. 5;12;19;26 C. 4;12;20;28 D. 5; 2; 7; 14.− − −
(162)A. u50 = −211 B u50 = −171 C u50 =102 D u50 =171
Câu 57: Cấp số nhân ( )un , biết u1+ =u5 51 u2 +u6 =102 Hỏi tổng số hạng 3069 ?
A 7. B 20. C 12. D 10.
Câu 58: Tìm giá trị tham số a để dãy số (un), với un an n
2
1
2
+ =
+ dãy số tăng
A. a<1 B
3
a≥ C
2
a< D
3
a>
Câu 59: Một Công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho Công ty 4,5 triệu đồng/quý kề từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng/quý Hãy tính tổng số tiên lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho Công ty?
A. 75,8(triệu đồng) B. 80,5(triệu đồng) C. 53,7(triệu đồng) D. 73,8(triệu đồng)
Câu 60: Cấp số nhân ( )un , biết u1+ =u5 51 u2+u6 =102 Tìm số hạng u1 công bội q của cấp số nhân
A u1 =3;q=2 B u1 =2;q= −3 C u1=5;q=3 D u1= −3;q= −2
Câu 61: Cho cấp số nhân ( )un , biết u1 =3 u2 = −6 Mệnh đề ?
(163)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS
lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt
ở kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia