Tham khảo đề thi - kiểm tra ''kỳ kscl thi đại học năm học 2012 - 2013 lần 1 đề thi môn: toán khối d'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 ĐỀ THI MƠN: TỐN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = - x + 2mx 2 - 4 có đồ thị ( C m ) . ( m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để điểm cực trị của đồ thị ( C m ) nằm trên các trục tọa độ. Câu II (2,0 điểm). 1. Giải phương trình: sin x tan x + sin x - tan x = 3 3 . ( 2. Giải bất phương trình: x + ) + x < 1 . 3 - x ìï x + y - y 2 + x - = 0 Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í ïỵ x ( x + ) + y ( y + 3) - 13 = 0 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'D'. Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y , z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ỉ x2 æ y2 ö æ z 2 2 ö P = xỗ + ữ+ yỗ + ữ + zỗ + ữ è yz ø è zx ø è 3 xy ø II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x - y = 0 và điểm M(2;1). Lập phương trình đường thẳng ( D ) cắt trục hồnh tại A, cắt đường thẳng (d) tại B sao cho tam giác AMB vng cân tại M. Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường trịn (C1) có phương trình x + y 2 = 25 , điểm M(1; 2). Đường trịn (C2) có bán kính bằng 10 . Tìm tọa độ tâm của (C2) sao cho (C2) cắt (C1) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. 12 1 Câu VIII.a (1,0 điểm). Giải bất phương trình: C x3 - Ax2 ³ A 2 2 x - 81. ( x Ỵ N * ) x 2 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(7;8) và hai đường thẳng ( d1 ) : x + y + = 0, ( d 2 ) : x - y - = 0 cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 29 2 Câu VII.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x + y + = 0 và đường tròn (C1) có phương trình: x + y 2 - x + y + = 0 . Đường tròn (C2) có tâm thuộc (d), (C2) tiếp xúc ngồi với (C1) và có bán kính gấp đơi bán kính của (C1). Viết phương trình của đường trịn (C2). x 2 + mx + 3 Câu VIII.b (1,0 điểm). Cho hàm số y = Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, x + 1 cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng (d): 2x+y1=0. P và tạo với (d1 ),(d 2 ) một tam giác cân tại A và có diện tích bằng Hết Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 20122013 LẦN 1 MƠN TỐN KHỐI D ( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 ) Câu Đáp án I 1. Khảo sát hàm số với m = 2. Với m = 2, hàm số trở thành: y = - x + 4x 2 - 4 * TXĐ: R * Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn vơ cực và các đường tiệm cận: lim y = -¥; lim y = -Ơ x đ+Ơ im 1,00 0,25 0,25 xđ-Ơ ưBngbinthiờn: ộx = + Ta có: y ' = -4 x + x; y ' = Û ê ë x = ± + Bảng biến thiên: x ¥ - 2 y’ + 0 0 y + ¥ 2 0 + 0 0 0,25 ¥ 4 ( ¥ ) ( ) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng -¥; - 2 0; 2 ( - 2; 0 ) ( 2; +¥ ) Điểm cực đại của đồ thị là ( - 2; 0 ) , ( 2; 0 ) điểm cực tiểu của đồ thị B(0;4) Hàm số nghịch biến trên khoảng * Đồ thị: + Đồ thị cắt trục tung tại ( 0; - 4 ) và cắt trục hoành tại điểm - 2; ( ) ( ) 2; 0 0,25 + Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng. f x ( ) = ( x 4 +4×x 2 ) 4 5 5 10 2 4 6 8 Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số ( C m ) nằm trên các trục tọa độ. é x = 0 Ta có: y ' = -4 x + 4mx = x ( - x 2 + m ) ; y ' = 0 Û ê 1,00 0,25 2 ë x = m Nếu m £ 0 thì ( C m ) chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục tung. Nếu m > 0 ( C m ) có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai điểm cực đại có tọa độ ( - m ; m 2 - 4) , ( m ; m 2 - 4) . Để hai điểm này nằm trên trục hồnh thì m 2 - = Û m = ± 2 . Vì m > 0 nên chọn m = 2. 0,25 0,25 II Vy m ẻ ( -Ơ0] ẩ{2} lnhnggiỏtrcntỡmthamónyờucubitoỏn. 0,25 Giải phương trình lượng giác p p Đk. cos 2x ¹ x + m , m ẻZ. 1,00 Ta có: sin x tan x + 3(sin x - tan x ) = 3 0,25 Û (sin x tan x + sin x ) - (3 tan x + 3) = 0 Û sin x (tan x + 3) - 3(tan x + 3) = Û (tan x + 3)(sin x - 3) = 0 -p -p k p + kp Û x = + ( k Ỵ Z ). (thỏa mãn) 2 p p Vậy pt có một họ nghiệm : x = - + k , k Ỵ Z . Û tan x = - Û x = 2. Giải bất phương trình + Đk: x ³ 0; x ¹ 3 Bất phương trình Û x < 1 - 0,25 0,25 1,00 0,25 + x - x ì -2x ï - x > 0 ï -2x 4x 2 ï Û x< Û í x < 3- x (3 - x) 2 ï ùx ù ợ ỡ x ẻ (3 +Ơ ) Û í 2 ỵ x - 10x + < ỡ x ẻ (3 +Ơ ) x Ỵ (3;9) (Thỏa mãn điều kiện) ỵ x Ỵ (1;9) Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9) Giải hệ phương trình + Điều kiện: x + y ³ 0, y 2 + x ³ 0 III 0,25 Đặt u = x + y , v = y 2 + x ( u , v ³ 0 ) ìv = 2u - ìv = 2u - 1 Ûí 2 Ûí 2 ỵu + v = 13 ỵu + v = 13 ỵ u + (2u - 1) = 13 ìv = 2u - 1 ï ìv = 2u - 1 ìu = 2 ï éu = 2 Û í 2 Û íê Ûí ỵ5u - 4u - 12 = 0 ï = -6 (loai ) ỵv = 3 ïỵ ë 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 ì 2u - v = + Ta được: í ìï + Khi đó í ỵï 2 ì 4 - x 2 y = x 2 + y = 2 ìï x 2 + y = 4 ïï 3 Û í 2 Ûí 2 2 y 2 + x = 3 ïỵ y + x = ùổ 4- x + x= ùỗố ữứ ợ 0,25 0,25 ỡ 4- x2 ù y = Ûí 3 ï x - x 2 + 72 x - 65 = ỵ é ì x = 1 ì 4 - x 2 y = ì êí 4 - x 2 ï 3 ï y = ï ỵ y = 1 Ûí Ûí Ûê 3 ê ì x = -5 ï( x - 1)( x + 5)( x 2 - x + 13) = 0 ï é x = 1 êí ê ỵ ïỵ ë x = -5 êë ỵ y = -7 0,25 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: S = {(1;1),( -5; - 7) } Tính thể tích …. IV 1,00 0,25 B C A D M K N B' C' I A' D' + Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vng ABB'A'; ADD'A' Þ MN = 1 B' D ' Þ B' D ' = 2a Þ A 'B' = a 2 ( ) 2 V ABCDA ' B ' C ' D ' = AA '. S A ' B ' C ' D ' = a 2 a 2 = 2 2 a 3 (đvtt) 0,25 + Gọi I là giao của B'D' và A'C' Trong (AA'C') kẻ IK ^ AC ' ; K Ỵ AC ' 0,25 AA' ^ B ' D ' ü Vì ý Þ ( AA ' C ) ^ B ' D ' Þ IK ^ B'D' A'C'^ B'D'ỵ Vy: d (AC',B'D')=IK DC' IKngdngviDC 'AA ' Þ IK C 'I AA '.C 'I a 2.a a = Þ IK = = = AA ' C ' A C 'A a 3 0,25 Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng a 3 Tìm GTNN của biểu thức…. V 3 3 3 ỉ x + y + z è 1,00 2 2 2 ö x + y + z ÷÷ + 2 xyz ø 2 2 2 2 2 Áp dụng bđt: a + b ³ 2 ab , "a , b Þ x + y + z ³ xy + yz + zx . Tacú: P=ỗỗ 0,25 ngthcxyrakhix=y=z ị P 3 ổ x 3 x + y + z xy + yz + zx + ị P ỗỗ + xyz ố 2ử ổ y3 2ử ổ z3 ữ+ỗ + ữ+ỗ + xữứ çè 3 y ÷ø çè 3 2 ư ÷ z ÷ø t 3 2 + với t > 0 ; 3 t 2 t 4 - 2 f ' ( t ) = t 2 - 2 = 2 ; f ' ( t ) = 0 Û t = 4 2 t t + Xét hàm số f ( t ) = + BBT t 4 0 - f / ( t ) +¥ 0,25 +¥ 0,25 + +¥ f ( t ) 8 34 2 Vậy P ³ 4 4 8 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 4 Hay P min = 4 4 8 VI Chngtrỡnhchun a.Vitphngtrỡnhngthng. uuur uuur A ẻ Ox ị A(a 0), B ẻ d ịB(b b ), M (21) ị MA = ( a - 2; -1), MB = (b - 2; b - 1) . Tam giác ABM vng cân tại M nên: uuuur uuur ïì MA.MB = 0 ïì( a - 2)(b - 2) - (b - 1) = 0 Ûí í 2 2 ỵï MA = MB îï (a - 2) + = (b - 2) + (b - 1) 0,25 1,00 0,25 Nhận xét b=2 khơng thỏa mãn hệ phương trình này. b - 1 ì a - 2 = b - 1 ì ï b - 2 ï a - 2 = ï Ûí Ta có : í b - 2 2 ï(a - 2) + = (b - 2)2 + (b - 1) 2 ïỉ b - 1 ư + = (b - 2)2 + (b- 1)2 ợ ùợỗố b- ữứ ộ ỡa= 2 b - 1 ì a 2 = êí ï b - 2 ï ỵb = 1 Ûí Ûê ê ï é (b - 2)2 + (b - 1)2 ù é 1 - 1ù = 0 ê ìa = 4 ê ú 2 û (b - 2) í ïỵ ë ë û ê ỵb = ë ì a = 2 Với í đường thẳng D qua A,B có phương trình x + y - = 0 ỵ b = 1 ì a = 4 đường thẳng D qua A,B có phương trình x + y - 12 = 0 î b = 3 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x + y - = 0 và x + y - 12 = 0 . Với í VII a. Tìm tọa độ tâm đường trịn… (C1) A 0,25 0,25 0,25 1,00 (C2) O M I B +(C1) có tâm O(0;0), bán kính R=5 OM (1 ; - 2 ) Þ OM = 5 Þ OM < R Þ M nằm trong đường tròn (C1) + Giả sử (C2) cắt (C1) tại A và B. Gọi H là trung điểm đoạn AB. AB = 2 AH = 2 OA 2 - OH 2 = 2 25 - OH 2 Mà OH lớn nhất khi H trùng với M. 0,25 Vậy AB nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB. AB qua M và vng góc với OM. + Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0 Tọa độ của A,B là nghiệm hệ: 0,25 ì x - 2 y - 5 = 0 Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(3;4). í 2 2 x + y = 25 ỵ + Giả sử A(5;0); B(3;4). Phương trình của OM: 2x + y = 0. Gọi I là tâm của (C2); Do I ẻOM ị I(t-2t). 2 MIA= 10=> (5-t) + 4 t = 40 .Giải ra: t = 1 hoặc t = 3. t = -1 Þ I(- 1, 2) ; t = 3 Þ I ( 3 , -6 ) Vậy tâm của (C2) có tọa độ (1 ; 2) hoặc (3, 6). a. Tìm nghiệm của BPT…. VIII 0,25 0,25 1,00 0,25 + Đk : x Ỵ N ; x ³ 3 12 x ! 3 . x ! 1 ( 2 x )! bpt Û ³ - 81 x 3 ! ( x - 3 )! ( x - 2 )! 2 ( 2 x - 2 )! Û 2 ( x - 2 )( x - 1 ) - 3 ( x - 1 ) x ³ x ( 2 x - 1 ) - 81 - 17 £ x £ 5 3 + Kết hợp điều kiện ta được x Ỵ {3; 4 ; 5 }. Vậy tập nghiệm của pt là {3 ; 4 ; 5 } Û 3 x 2 + 2 x - 85 £ 0 Û 0,25 0,25 0,25 Chương trình nâng cao b. Viết phương trình…. VI d1 1,00 d2 A 0,25 d B P H C Ta có A = d1 Ç d 2 Þ tọa độ của A là nghiệm của hệ ì2 x + y + = ì x = 1 Ûí Þ A (1; -1 ) í ỵ5 x - y - = ỵ y = -1 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 , d 2 là ( D1 ) : x + y - = 0, ( D 2 ) : x - y - 10 = 0 . Vì d tạo với d1 , d 2 một tam giác cân tại A nên é d ^ D1 é3 x - y + C 1 = 0 ê d ^ D Þ ê x + y + C = Mặt khác P(-7;8) Î (d ) nên C1 = 77, C2 = 25 . ë ë 2 0,25 éd :3x - y + 77 = 0 Suy ra: ê ë d :7x + 3y + 25 = 0 Gọi B = d1 Ç d , C = d 2 Ç d Thấy (d1 ) ^ (d 2 ) Þ tam giác ABC vng cân tại A 1 29 AB AC = AB 2 = Þ AB = 29 và BC = AB = 58 2 2 29 2 2 S DABC 58 Suy ra: AH = = 2 = BC 2 58 nên: S DABC = 0,25 Với d : 3x - y + 77 = 0 , ta có d ( A; d ) = Với d : x + y + 25 = 0 ta có d ( A; d ) = 3.1 - 7(-1) + 77 32 + (- 7) 2 7.1 + 3( -1) + 25 2 = 87 58 ¹ AH = (loại) 2 58 = 29 + 3 58 = 58 = AH (t/mãn). 2 Vậy d : x + y + 25 = 0 b. Viết phương trình … VII (C1) có tâm I(2 ;1); bán kính R1 = 1.Vậy (C2) có bán kính R2 = 2 GiJltõmca(C2).Do Jẻd ị J(t-t - 2) (C1)tipxỳcngoivi(C2)nờnIJ=R1 +R2 =3hayIJ2 =9 ét = 2 2 Û ( t - 2 ) 2 + (- t - 1 ) = 9 Û t 2 - t - 2 = 0 Û ê ët = -1 2 2 + t = -1 Þ J (- 1 ; -1 ) Þ ( C 2 ) : ( x + 1 ) + ( y + 1 ) = 4 + t = 2 Þ J (2 ; -4 ) Þ ( C 2 ) : ( x - 2 ) + ( y + 4 ) = 4 2 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 2 0,25 Vậy có 2 đường trịn (C 2 ) thỏa mãn là: ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4 và ( x - 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4 b. Tìm m để… VIII 2 Ta có y ' = x + x + m - 3 1,00 0,25 2 ( x + 1 ) Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Û x 2 + x + m - = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 1 ì D ' = - m > m< ợm - Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y 2 ) . Khi đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm CĐ,CT là y = 2x+m. Suy ra y1 = x1 + m; y2 = 2 x2 + m Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi ( x1 + y1 - 1)( x2 + y2 - 1) < Û ( x1 + m - 1)( x2 + m - 1) < 0 2 Û 16 x1 x2 + ( m - 1)( x1 + x2 ) + ( m - 1)