Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 09 dành cho các bạn ôn thi tốt trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học. Chúc các bạn thành công trong kỳ thi sắp tới
http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 09 w ma th DIỄN ĐÀN MATH.VN Câu I 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m + (1), m tham số.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = Lời giải: Đồ thị Hàm số y = x3 − 3x2 + Bảng biến thiên −1 htt p:/ /w w Câu I 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + = góc α , biết cos α = √ 26 Lời giải: Cách 1: *gọi hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) M(xo , yo ) dạng k = f (xo ) = 3xo2 + 2xo (1 − 2m) + − m u1 u2 *Tiếp tuyến tạo với d góc α = √ ⇒ 6k2 − 13k + = ⇒ k = 3/2 hay k = 2/3 |u1 ||u2 | 26 * Với k = 3/2 thì: 3xo + 2xo (1 − 2m) + − m = 3/2 ⇒ 3xo2 + 2xo (1 − 2m) + 1/2 − m = ⇒ ∆ ≥ ⇒ m ≥ 1/2 hay m ≤ −1/4 *tương tự: k = 2/3 ⇒ m ≥ hay m ≤ −3/4 Vậy giá trị m thoả là: m ≥ 1/2 hay m ≤ −1/4 Cách 2: − Gọi véctơ pháp tuyến → n = (a, b) Điều kiện : a2 + b2 = Theo ta có : |a + b| 3a + 2b = 0(1) √ √ = √ ⇔ 6a2 + 13a + 6b2 = ⇔ (3a + 2b)(2a + 3b) = ⇔ 2a + 3b = 0(2) 26 a2 + b2 Ta xét trường hợp sau : (1) : a = −2, b = Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = x + α Thay đạo hàm với hệ số góc ta : 3x2 + 2(1 − 2m)x + − m = −3 m≤ Cần ∆ ≥ ⇔ 4m2 − m − ≥ ⇔ m≥1 Làm tương tự với trường hợp sau ta có : (2) : a = −3, b = Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = x + β Thay đạo hàm với hệ số góc ta : 3x + 2(1 − 2m)x + − m = −1 m≤ Cần ∆ ≥ ⇔ 8m2 − 2m − ≥ ⇔ m≥ −1 m ≤ Kết hợp cách lấy hợp hai họ ta giá trị m thoả là: m≥ Câu II 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— x3 + 7y = (x + y)2 + x2 y + 7x + Giải hệ phương trình: 3x2 + y2 + 8y + = 8x Lời giải: Cách 1: x2 (x − y) = (x + y)2 + 7(x − y) + (1) Biến đổi hệ phương trình chút sau : = −3x2 − y2 + 8(x − y) (2) 2 2 Thực phép (2) vào (1) ta có : x (x − y) = (x + y) + 7(x − y) − 3x − y + 8(x − y) ⇔ x2 (x − y) = −2x2 + 2xy + 15(x − y) ⇔ x2 (x − y) = −2x(x − y) + 15(x − y) ⇔ (x − y)(x2 + 2x − 15) = Trường hợp 1: x = y Thay vào phương trình (2) có : 4x + = Phương trình vơ nghiệm ! y = −1 x=3 ⇒ y2 + 8y + = ⇔ y = −7 Trường hợp 2: x2 + 2x − 15 = ⇔ x = −5 ⇒ y + 8y + 119 = (vô nghiệm) Vậy hệ cho có nghiệm sau : (3, −1), (3, −7) Cách 2: (x2 − 7)(x − y) − x2 − 2xy − (y2 + 4) = (1) HPT ⇔ 3x2 + (y2 + 4) − 8(x − y) = (2) Thực phép (x − 7)(x − y) + 2x(x − y) − 8(x − y) = ⇔ (x − y)(x2 + 2x − 15) = x=y ⇔ tương tự cách x2 + 2x − 15 = Câu II 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ 2cos2 x + cos x − + sin x = Giải phương trình: x sin2 Lời giải: √ x ĐK: sin = ⇔ x = k2π PT ⇔ cos2 x + cos x − = sin x(1 − cos x) = √ √ ⇔ − cos2 x −√ sin x cos x − sin2 √ x + cos x + sin x =√ √ ⇔ −(cos x +√ sin x)2 + 2(cos x + sin x) = 0⇔ (cos x + sin x)(cos x + sin x − 2) = cos x + √3 sin x = x − π6 = π2 + kπ cos(x − π6 ) = x = 23π + kπ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x − π6 = k2π cos(x − π6 ) = x = π6 + k2π cos x + sin x = KT đk ta nhận nghiệm Câu III (1 điểm) ———————————————————————————————— htt p:/ /w w w ma th π Tìm tích phân I= Lời giải: I= π π π dx = tan x cos8 x dx sin x.cos5 x π π π (tan2 x + 1)3 d(tan x) = tan3 x π π tan x + tan x d(tan x) π 1 = π tan x + + tan x + d(tan x) = tan x − + tan2 x + ln | tan x| = tan x tan x tan x π 6 tính tiếp nhe Câu IV (1 điểm) ———————————————————————————————— √ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I trung điểm BC, → − − → hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA = −2IH, góc SC mặt đáy (ABC) 60o Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Lời giải: w ma th S IA a AB = Ta có: IB = IA = IC = √ = a; IH = 2 2√ √ a ⇒ HC = IH + IC2 = √2 15 a ⇒ SH = HC tan 60o = 1 VS.ABC = SH.SABC = SH.AB2 √ √6 a 15 a3 15 = 2a = 6 Gọi E trung điểm SI; KE đường trung bình ∆SBI BI a ⇒ KE BI; KE = = 2 BI ⊥ AH; BI ⊥ SH ⇒ BI ⊥ (SAH) a ⇒ KE ⊥ (SAH) ⇒ d(K; (SAH)) = KE = K E H 60o I B C A Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa√mãn: x√2 + y2 + z2√ = xy yz zx Tìm giá trị lớn biểu thức: P= √ √ + √ + − xy − yz − zx Lời giải: htt p:/ /w w Câu VIa 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD tâm I Biết A(0; 1) B(3; 4) thuộc Parabol (P) : y = x2 − 2x + 1, I nằm cung AB (P) cho tam giác IAB có diện tích lớn Tính toạ độ hai đỉnh C D Lời giải: Câu VIa 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ toạ độ Oxyz cho tam giác ABC có B(1; 4; 3), phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến x y−1 z−7 x−1 y−3 z−4 kẻ từ A đường cao kẻ từ C là: (d1 ) : = = ; (d2 ) : = = 1 −2 −2 1 Tính chu vi tam giác ABC Lời giải: Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm phần thực phần ảo số phức z biết |z|2 − 12 = 2i(3 − z) Lời giải: Gọi z = a + bi với a; b ∈ R Ta có: a2 + b2 − 12 = 2i(3 − a − bi) = 2(3 − a)i + 2b a=3 a=3 a=3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 a + b − 12 = 2b b − 2b − = b = −1hay b = Vậy có số phức z = − i, z = + 3i thỏa đề Số z = − i có phần thực 3, phần ảo −1 Số z = + 3i có phần thực 3, phần ảo Câu VIb 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— ; tâm đường tròn nội tiếp tam giác Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC Biết A(−4; 6), C ABC K − ; Tính toạ độ đỉnh B tam giác 3 Lời giải: w ma th Câu VIb 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết phương trình đường phân giác AD, trung tuyến AM là: x+1 y−1 z−3 x y−1 z+3 (d1 ) : = = ; (d2 ) : = = C(−2; 0; 1) Tính diện tích tam giác ABC −2 1 Lời giải: Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— z + 8i số ảo số có modun lớn ? Tính giá trị Trong tất số phức z = thỏa mãn w = z−6 lớn ? Lời giải: Cách 1: Đặt: z = x + iy Khi đó: x + (y + 8)i (x + (y + 8)i)((x − 6) − yi) x(x − 6) + (y + 8) (y + 8)(x − y − 6)i = = + Ω= (x − 6) + yi (x − 6)2 + y2 (x − 6)2 + y2 (x − 6)2 + y2 x(x − 6) + (y + 8)y Ω số ảo ⇔ = ⇔ x(x − 6) + (y + 8)y = ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 (∗) 2 (x − 6) + y Từ (∗) suy điểm M biểu diễn số phức Ω cho nằm đường tròn tâm I = (3; −4) bán kính R = −4 Ta có |z|max ⇔ M ∈ (∗) cho OMmax Đường thẳng nối hai điểm I có phương trình y = x y = −4 x (1) Vậy để tìm điểm M ta xét hệ phương trình sau: (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 (∗) Thế (1) vào (∗) ta (x − 3)2 + 16 (x − 3)2 = 25 ⇔ (x − 3)2 = ⇒ x = x = htt p:/ /w w Dễ thấy hệ có hai nghiệm: Với x = ⇒ y = ⇒ z = Với x = ⇒ y = −8 ⇒ z = − 8i Vậy z = − 8i Cách 2: z + 8i z − 8i Giả thiết w + w = ⇒ + = ⇔ |z|2 − 3(z + z) + 4i(z − z) = ⇒ |z + 4i − 3| = z−6 z−6 Mặt khác = |z + 4i − 3| ≥ |z| − |3 − 4i| hay |z| ≤ 10 Đẳng thức xảy z + 4i − = k(3 − 4i) ⇒ |(k + 1)(3 − 4i)| = 10 ⇒ k = ⇒ z = − 8i |z| = 10 ... tam giác ABC −2 1 Lời giải: Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— z + 8i số ảo số có modun lớn ? Tính giá trị Trong tất số phức z = thỏa mãn w = z−6 lớn ? Lời giải: Cách 1: Đặt:... −2 −2 1 Tính chu vi tam giác ABC Lời giải: Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm phần thực phần ảo số phức z biết |z|2 − 12 = 2i(3 − z) Lời giải: Gọi z = a + bi với a; b ∈ R... a=3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 a + b − 12 = 2b b − 2b − = b = −1hay b = Vậy có số phức z = − i, z = + 3i thỏa đề Số z = − i có phần thực 3, phần ảo −1 Số z = + 3i có phần thực 3, phần ảo Câu VIb 1) (1 điểm) ————————————————————————————————