Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 12 giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.
http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 12 w ma th DIỄN ĐÀN MATH.VN Câu I 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— 3x − (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Cho hàm số y = x+1 Lời giải: Đồ thị 10 3x − x+1 Bảng biến thiên Hàm số y = −8 −6 −4 −2 −2 −4 htt p:/ /w w Câu I 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Gọi I giao đường tiệm cận đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B thỏa mãn cos BAI = √ 26 Lời giải: Cách 1: 5 Xét điểm M (xo ; yo ) , xo = −1 thuộc (C) Ptrình tiếp tuyến M : y − − (x − xo ) = xo + (xo + 1)2 Ptrình hai đường tiệm cận (C) x = −1, y = 3xo − A giao điểm tiếp tuyến d tiệm cận đứng x = −1 ⇒ A −1; xo + B giao điểm tiếp tuyến d tiệm cận ngang y = ⇒ B (2xo + 1; 3) t 102 với t = Từ điều kiện giả thiết ta có phương trình √ = √ ,t > 26 400 + t (xo + 1)2 ⇔ t = 100 ⇔ 102 = 102 (xo + 1)2 ⇔ xo = hay xo = −2 Với xo = ⇒ pt d : y = 5x − Với xo = −2 ⇒ pt d : y = 5x + Cách 2: 5 Xét điểm M (xo ; yo ) , xo = −1 thuộc (C) Ptrình tiếp tuyến d M : y − − (x − xo ) = xo + (xo + 1)2 − ; −1 vectơ pháp tuyến d → u = (xo + 1)2 Ptrình hai đường tiệm cận (C) d1 : x = −1, d2 : y = Ta có: ∆BAI vng I nên BAI ln nhọn vậy: → − → − 5 |u i | (xo + 1)2 √ ⇔ = = cos BAI = = ⇔ |xo + 1| = cos(d; d1 ) = → → − (xo + 1)2 25 26 |− u |.| i | 1+ (xo + 1)4 d : y = 5x − xo = Có tiếp tuyến thoả mãn ⇒ d : y = 5x + xo = −2 Cách 3: 1 tan2 BAI = −1 = 25 cos2 BAI Mà: tan ABI hệ số góc k tiếp tuyến tan ABI = = |5| Từ có tiếp tuyến tan BAI Câu II 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ x−3 9−x √ Giải bất phương trình: > x x+1+x+3 Lời giải: ĐK: > x ≥ −1; x = √ √ √ √ √ 9−x ( x + − 2)( x + + 2) 9−x √ √ > √ ⇔ x+1−2 > √ bất phương trình ⇔ √ ( x + + 2)( x + + 1) ( x + + 1)( x + − 1) x+1−1 √ TH1: x + − > ⇔ x > 0√ √ √ √ bất phương trình ⇔ x + − x + > − x ⇔ (x − 8) + (9 − x − 1) + (2 − − x) > √ √ ⇔ (x − 8)(1 − )>0⇔8 pt cho ⇔ 2x 2x 2x 2x √ 1 cho ta nhận xét: Đặt t = 2x + ,t ≥ Khảo sát hàm t = 2x + 2x 2x √ - Miền giá trị t√là [ 2; +∞) - Ứng với t = có giá trị x √ - Ứng với t = có giá trị x = √ − 3t, (t ∈ [ 2; +∞)) Do đó: Yêu cầu toán tương đương đthẳng g(t) = m cắt đồ thị hàm số f (t) = t √ điểm có hồnh độ khác t = √ m = f ; t = m=− ⇔ √ √ √ ⇔ √ m > 2−3 m > f ( 2) = f − ; t = Câu VIa 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−1; 14) đường tròn (S) tâm I(1; −5) bán kính R = 13 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt (S) M, N mà khoảng cách từ M đến AI nửa khoảng cách từ N đến AI Lời giải: Nhận xét: A nằm ngồi đường trịn Khoảng cách từ M đến AI nửa khoảng cách từ N đến AI ⇒ AM = AN (vẽ hình thấy) x = −1 + mt Pt đường thẳng qua A: ⇒ M(−1 + mt1 ; 14 + n1 ), N(−1 + nt2 ; 14 + nt2 ) y = 14 + nt htt p:/ /w w w ma th −→ −→ −→ −→ AM = (mt1 , nt1 ) AN = (mt2 , nt2 ) AM = AN ⇔ t1 = t2 2 Phương trình giao điểm ∆ đương tròn: (−2 + mt)2 + (19 + nt)2 = 169 ⇔ (m2 + n2 )t 2+ (−4m + 38n)t + 196 = 4m − 38n t1 + t2 = m + n2 196 Áp dụng viet: t1t2 = m + n2 t = t 2 281 n Từ tính m = −n m = 433 Với m = −n Chọn m = 1, n = −1 Ta có phương trình đường thẳng: x + y − 13 = 281 Với m = n Chọn m = 281, n = 433 Ta có phương trình đường thẳng : 433x − 281y + 4767 = 433 Câu VIa 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) : 2x + y − 2z + = A(−1; −2; 2) khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến điểm B(−2; 3; 0) Lời giải: Do (S) tiếp xúc với (P) A nên tâm I (S) thuộc đường thẳng (∆) qua A vng góc với (P) → − Có − a→ ∆ = nP = (2; 1; −2) x = −1 + 2t Từ pt tham số (∆) y = −2 + t t ∈ R ⇒ I (−1 + 2t; −2 + t; − 2t) z = − 2t Mà IB2 = 25 ⇔ 9t − 14t + = ⇔ t = hay t = Với t = ⇒ I (1; −1; 0) , R = IA = Lúc pt mặt cầu (S): x − 12 + y + 12 + z2 = 13 Với t = ⇒ I ;− ; , R = IA = 9 9 13 25 Lúc pt mặt cầu (S): x − + y+ + z− = 9 9 Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Chín học sinh gồm nam nữ rủ vào rạp chiếu phim Tại đó, người sốt vé u cầu học sinh phải xếp hàng cho khơng có nữ đứng liền Hỏi xác suất kiện bao nhiêu? Lời giải: +) ta có 9! cách xếp vị trí cho người +) xếp cố định cho thằng trai có 5! cách xếp +) cịn lại nữ có vị trí nên sơ cách xếp A46 5!A46 cịn xếp tới vị trí kẹp thằng trai vào nên ta có P = 9! Câu VIb 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trên mặt phẳng Oxy cho d : x + 2y − = 0; d ′ : 3x + y + = cắt √ I điểm M(1; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt d, d ′ A B cho AI = 2AB Lời giải: Cách 1: x + 2y − = x = −3 Ta có tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình ⇔ ⇒ I (−3; 2) 3x + y + = y=2 √ Lấy điểm H (1; 0) ∈ d(H = A); K ∈ d ′ (K = B) cho 2HK = HI Do K ∈ d ′ ⇒ K (a : −3a − 7) − → −→ Có HI = (−4; − 7) √ 2), HK =2 (a − 1; −3a Mà HI = 2HK ⇔ HI = 2HK ⇔ 20 = 2[(a − 1)2 + (3a + 7)2 ] ⇔ (a + 2)2 = ⇔ a = −2 ⇒ w ma th Vậy K(−2; −1) √ HI = 2HK √ Có: AI = 2AB IH HK = ⇒ HK AB AI AB htt p:/ /w w x−1 y−2 −→ Vậy đường thẳng d qua M có véctơ phương KH = (3; 1) ⇒ pt d : = Cách 2: √ Theo điều kiện AI = 2AB gợi ý cho ta nghĩ đến tam giác vuông AIB cạnh huyền AI Thật may mắn góc AIB = 45◦ nên AB ⊥ BI Vậy ∆ qua M(1; 2) vuông góc với (d ′ ) ta có phương trình x − 3y + = Câu VIb 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian Oxyz cho (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25 vàM(2; −4; 1) Trong tất đường thẳng d qua M cắt mặt cầu theo dây cung AB, viết phương trình tham số đường thẳng cắt trục Ox thỏa mãn độ dài AB nhỏ Lời giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2; 3) bán kính R = Có M nằm mặt cầu (S) Gọi H hình chiếu vng góc I xuống (d) Lúc IH ≤ IM ⇒ AB ⇔ (d) ⊥IM −−→ Gọi N (t; 0; 0) ∈ Ox giao điểm (d) Ox Có MN = (t − 2; 4; −1) − → −−→ − → −−→ Do IM ⊥ (d) ⇔ IM.MN = với MN = (t − 2; 4; −1) , IM = (1; −2; −2) ⇒ t = ⇒ N (8; 0; 0) −−→ Vậy đường thẳng (d) cần tìm qua điểm M, N nhận MN = (6; 4; −1) làm véctơ phương x = + 6t nên có phương trình tham số: y = −4 + 4t , t ∈ R z = 1−t Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm số phức w để phương trình bậc hai (ẩn z): z2 + wz + 8i − = có nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm Lời giải: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình Lúc theo giả thiết tốn có : z1 = 2z2 ⇔ (z1 − 2z2 ) (z2 − 2z1 ) = ⇔ 9z1 z2 = (z1 + z2 )2 ⇔ (4i − 3) = w2 z2 = 2z1 Gọi w = x + yi.x, y ∈ R x2 − y2 = −27 x=3 x = −3 Lúc có x2 − y2 + 2xyi = −27 + 36i ⇔ ⇔ hay xy = 18 y=6 y = −6 Vậy có số phức thõa yêu cầu toán: w = + 6i; w = −3 − 6i ... + 2x 2x √ - Miền giá trị t√là [ 2; +∞) - Ứng với t = có giá trị x √ - Ứng với t = có giá trị x = √ − 3t, (t ∈ [ 2; +∞)) Do đó: Yêu cầu toán tương đương đthẳng g(t) = m cắt đồ thị hàm số f (t)... Mà: tan ABI hệ số góc k tiếp tuyến tan ABI = = |5| Từ có tiếp tuyến tan BAI Câu II 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ x−3 9−x √ Giải bất phương trình: > x x+1+x+3 Lời giải: ĐK: > x... sinh gồm nam nữ rủ vào rạp chiếu phim Tại đó, người sốt vé u cầu học sinh phải xếp hàng cho khơng có nữ đứng liền Hỏi xác suất kiện bao nhiêu? Lời giải: +) ta có 9! cách xếp vị trí cho người +) xếp