Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 07 dành cho các bạn ôn thi tốt trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học. Chúc các bạn thành công trong những kì thi quan trọng sắp tới nhé.
http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 07 w ma th DIỄN ĐÀN MATH.VN Câu I 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (m − 6)x + m − (m tham số) Khảo sát vẽ đồ thị m = Lời giải: Đồ thị 10 Hàm số y = x3 − 3x2 + 3x + = (x − 1)3 + Bảng biến thiên −2 htt p:/ /w w Câu I 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— 11 ; đến đường thẳng qua hai Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khoảng cách từ điểm A điểm cực trị lớn Lời giải: Hàm số có đạo hàm: y = 3x2 − 6x + m − Đồ thị hàm số đa thức bậc có cực trị khi: y = phải có nghiệm phân biệt: ⇔ ∆ = 32 − 3(m − 6) > ⇔ m < 4m Ta có : y = y + x− m−6 x+ −4 3 3 điểm cực trị có hoàng độ nghiệm y = nên đường thẳng (d) qua cực trị có pt là: 4m m−6 x+ − ⇔ (2m − 18)x − 3y + 4m − 12 = ⇔ 2kx − 3y + 4k + 24 = với k = m − < y= 3 11 2k − + 4k + 24 |4k + 9| √ = √ > nên 4k + = Khoảng cách từ A đến d : l = 4k2 + 4k2 + (4k + 9)2 72(4k + 9)(k − 4) Xét f (k) = ⇒ f (k) = 4k + 4k2 + Suy không tồn k để f (k) đạt giá trị lớn Do không tồn m để khoảng cách từ A đến d lớn Câu II 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ Giải phương trình sin2 x + tan x + 2(1 + tan x) sin 3x = Lời giải: √ PT ⇔ sin2 x − + + tan x + sin√ 3x(1 + tan x) = ⇔ sin2 x − cos2 x + (1 + tan x)(1 + √2 sin 3x) = ⇔ −2(cos2 x − sin2 x) + (1 + tan x)(1 + sin 3x) √ =0 + sin 3x =0 ⇔ −2(cos x − sin x)(cos x + sin x) + (cos x + sin x) cos x √ + sin 3x =0 ⇔ (cos x + sin x) −2 cos x + sin x + cos x TH cos x + sin x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −4π + kπ w ma th √ √ + sin 3x = ⇔ −2 cos2 x + sin 2x + + sin 3x = TH −2 cos x + sin x + cos x √ π ⇔ cos 2x − sin 2x = sin 3x ⇔ sin( π4 − 2x) = sin 3x ⇔ x = 20 + k25π hay x = 34π + k2π Câu II 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ √ x + y2 + y + − y = x + √ Giải hệ phương trình y3 + y2 − 3y − = 3x − 3 x + Lời giải: √ √ Ta có: x + y2 + y + ≥ (1 + 3)(x + + 3y) ≥ x + + y Đẳng thức xảy x = −1; y = Thay vào phương trình dưới, thấy thỏa mãn Đáp số: (x; y) = (−1; 1) Câu III (1 điểm) ———————————————————————————————— ln(3 + x2 ) dx Tính tích phân I= x(4 − x) − Lời giải: htt p:/ /w w Câu IV (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =√ SC, ASB = ASC = BSC = α nội tiếp mặt cầu bán kính R, 3 R Tính α biết thể tích khối chóp S.ABC 27 Lời giải: Gọi M trung điểm SA; O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Đặt x = SA, giác ABC √ r = OA Ta có tam √ √ a = AB, α α √ 2α 2 a = 2x sin , r = · a= x sin , SABC = a = 3x sin , SI · SO = SM · SA = x2 , 3 2 x2 α , SO2 = SA2 − OA2 , ⇒ x2 = 4R2 − sin2 ; ⇒ SO = 2R √ 3 α 2α VSABC = SO · SABC = R − sin2 sin 3 2 √ α α α α 3 4 Vậy VSABC = R ⇔ − sin2 sin2 = ⇔ − sin2 · sin = 27 2 2 3α π π 4π ⇔ sin = ⇔ α = + k Vậy α = 3 Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— a2 − b2 − c2 − + + = Cho số thức a, b, c thỏa mãn < a ≤ b ≤ c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2011 + c2012 Lời giải: Từ giả thiết ta có a ≤1 c ≥ a2 − 1 b2 − c2 − + =− ≥ ⇔ (b + c)(1 − ) ≥ ⇒ bc ≥ (1) b c a bc √ c2 − 1 a2 − b2 − 1 Lại có =− + − ≥ ab( − 1) = = + − (a + b)= (a + b) c a b a b ab ab √ √ √ 1 1 ab 1+ ≥ ⇒ c ≥ √ ⇒ abc2 ≥ (2) = √ − ab ≥ √ − ab ⇒ c − √ c ab ab ab ab √ 3 2011 2010 Kết hợp (1), (2) Theo BĐT AM-GM ta có P ≥ ab c = abc (bc)2010 ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy P = Câu VIa 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = hai đường thẳng d1 : mx + y − m − = 0, d2 : x − my + m − = Tìm m để đường thẳng d1 , d2 cắt (C) hai điểm phân biệt cho bốn giao điểm tạo thành tứ giác có diện tích lớn Lời giải: w ma th Cách 1: Đường trịn (C) có tâm I(1; 2) có bán kính R = Gọi A, B giao điểm d1 với (C); C, D giao điểm d2 với (C)(A, B, C, D theo thứ tự đường tròn); h1 , h2 khoảng từ I đến d1 , d2 |m| < R nên d1 , d2 cắt (C) điểm phân biệt Ta có h1 = √ < R, h2 = √ m +1 m2 + Ta có AB = R2 − h21 , CD = R2 − h22 Rõ ràng d1 ⊥ d2 nên AB ⊥ CD htt p:/ /w w (4m2 + 3)(3m2 + 4) (4m2 + 3) + (3m2 + 4) ≤ =7 Nên SABCD = AB ·CD = R2 − h21 · R2 − h22 = 2 m2 + m2 + Dấu xảy m = ±1 Cách 2: Rõ ràng d1 d2 qua P(1; 1) nằm đường tròn với m nên đường thẳng cắt đường tròn hai điểm phân biệt − − − − Vectơ pháp tuyến d1 d2 → n1 = (m; 1) → n2 = (1; −m) ⇒ → n1 → n2 = ⇒ d1 ⊥ d2 Gọi A,C B, D giao điểm d1 , d2 với đường tròn (C), H, K hình chiếu tâm I(1; 2) d1 d2 √ 1√ AC BD2 = (R2 − IH )(R2 − IK ) = R4 − R2 IP2 + IH IK ≤ SABCD = AC.BD = 2 IH + IK 2 ≤ R4 − R2 IP2 + = (2R2 − IP2 ) = 2R2 − IP2 = (Do IH + IK = IP2 ) √ √ = ⇔ m = ±1 Đẳng thức xảy IH = IK ⇒ IHPK hình vng ⇔ IP = IH ⇔ √ m2 + Câu VIa 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = điểm Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với đường thẳng chứa trục Oz tiếp xúc A 0; 0; với mặt cầu (S) Lời giải: Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho số phức z thỏa mãn |z|2 − 2(z + z) − 2(z − z)i − = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Lời giải: Đặt: z = a + bi |z|2 − 2(z + z) − 2(z − z)i − = ⇔ a2 + b2 − 4a + 4b = ⇔ a2 + b2 − 4(a − b) = − 4(a − b) ≥ a2 + b2 − 2(a2 + b2 ) theo BĐT: a − b ≤ 2(a2 + b2 ) ⇒ = a√2 + b√ √ √ √ + b2 − 2(a2 + b2 ) − ≤ ⇔ 2 + 17 ≥ a2 + b2 ≥ 2 − 17 ⇔ a√ √ √ √ |z| ⇔ 2 + 17 ≥ ≥ 2 − 17 √ √ Vậy max |z| = 2 + 17, |z| = Câu VIb 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1 ) : x2 + y2 − 2x − 4y + = 0, (C2 ) : x2 + y2 − 6x − 8y + 20 = A(2; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt đường tròn (C1 ), (C2 ) hai điểm phân √ biệt − d12 + − d22 = 13 (d1 , d2 khoảng cách từ tâm đường tròn (C1 ), (C2 )đến ∆ ) Lời giải: Câu VIb 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 1)2 + z2 = Gọi A điểm tùy x−1 y−1 z−1 = = Từ A vẽ tiếp tuyến AT1 , AT2 , AT3 đến mặt cầu (S) Tìm tọa ý đường thẳng ∆ : −2 độ điểm A biết mp(T1 T2 T3 ) tạo với ∆ góc 30o Lời giải: Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— z + z w ma th Cho số phức z = thỏa z z + |z| + |z|3 =6 Lời giải: z = r(cos θ + i sin θ ) đẳng thức trở thành 1 cos 6θ + r6 + = = z3 + = z + z z r htt p:/ /w w ⇔ (P + 1)2 (P − 2) ≤ ⇔ P ≤ ⇒ max P = z+ z − ≥ P3 − 3P ... ———————————————————————————————— a2 − b2 − c2 − + + = Cho số thức a, b, c thỏa mãn < a ≤ b ≤ c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2011 + c2012 Lời giải: Từ giả thi? ??t ta có a ≤1 c ≥ a2 − 1 b2 − c2 − + =−... 0; với mặt cầu (S) Lời giải: Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho số phức z thỏa mãn |z|2 − 2(z + z) − 2(z − z)i − = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ |z| Lời giải: Đặt: z = a + bi... biết mp(T1 T2 T3 ) tạo với ∆ góc 30o Lời giải: Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— z + z w ma th Cho số phức z = thỏa z z + |z| + |z|3 =6 Lời giải: z = r(cos θ + i sin θ ) đẳng thức