Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 13 dành cho các bạn ôn thi tốt trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học. Chúc các bạn thành công trong kỳ thi sắp tới
DIỄN ĐÀN MATH.VN http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Mơn thi : Tốn Đề số: 13 Câu I 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— x điểm A(−1; 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho hàm số y = 1−x Lời giải: Đồ thị y x có tập xác định D = R\{1} Hàm số y = 1−x Đạo hàm y′ = (−x + 1)2 ′ y > 0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến (−∞; 1); (1; +∞) x lim y = +∞; lim y = −∞ x→1+ x→1− -1 x = phương trình tiệm cận dọc lim y = −1, x→−∞ lim y = −1 -2 x→+∞ y = −1 phương trình tiệm cận ngang Bảng biến thiên Đồ thị qua gốc tọa độ O(0; 0) Câu I 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm m để đường thẳng y = mx − m − cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho AM + AN đạt giá trị nhỏ Lời giải: Cách 1: x Xét phương trình tương giao: = mx − m − ⇔ mx2 − 2mx + m + = (∗) 1−x Để cắt điểm pt (∗) phải có nghiệm phân biệt khác 1: m − 2m + m + = ⇔m Đế ý thấy:Trung điểm MN I I(1; −1) cố định − − → − → → Sử dụng chèn điểm ta có : AM + AN = 2AI + IM + IN (Do IM + IN = ) Ta có AI cố định , IM = IN, nên biểu thức MN Lại tính MN: NM = (x1 − x2 )2 (1 + m2 ) = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 (m2 + 1) = −4m − m Do m < nên đặt t = −m t > 0, MN = 4t + ≥ t Vậy m = −1 Cách 2: Câu II 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ − − x + − − y2 = m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x + y2 + x − − y2 = Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu II 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải phương trình √ sin 2x(1 + cos x) + cos 3x = 1 + cos x + cos 2x √ Lời giải: √ sin 2x(1 + cos x) + cos 3x sin x cos x(1 + cos x) = cos x − cos 3x + cos2 x + cos x = ⇔ 2 cos x + cos2 √ x √ ⇔ cos x(1 + cos x)(2 sin x − 1) = sin2 x cos x ⇔ (2 cos x + 1)(2 3√ sin x − 1) = sin2 x √ √ √ 3 1 3 sin 2x + cos 2x + ( ) sin x − cos x = ⇔ sin 2x + cos 2x + sin x − cos x = ⇔ 2 2 π 3 ⇔ cos( ) cos 2x + sin( π3 ) sin 2x − sin( π6 ) cos x + cos( π6 ) sin x = ⇔ cos(2x − π3 ) + sin(x − π6 ) = 4 π π π π ⇔ cos 2(x − ) + sin(x + ) = ⇔ −2sin (x − ) + sin(x − ) + = 4 √ √ √ 7π π 1− 1− 1− π + k2π ⇒ x = + k2π ⇔ x = + arcsin − arcsin sin(x − ) = 6 √ √ √ ⇔ 1+ 1+ 1+ π 7π π + k2π ⇒ x = + k2π ⇔ x = + arcsin − arcsin sin(x − ) = 6 Câu III (1 điểm) ———————————————————————————————— √ x + ex − e3x Tính tích phân: I = dx e3x − ln Lời giải: √ x 0 e − e3x x dx + dx = I1 + I2 Ta có: I = 3x e3x − ln − ln e −3x x −3x dx ⇒ v = e Tính I1 = dx: Đặt u = x ⇒ du = dx dv = e 3x −3 − ln e −3x −3x 26 e xe dx = −9 ln + + ⇒ I1 = −3 − ln 3 − ln − e2x · 2x dx e2x e − ln − ln −1 −2 Đặt u = 2x − ⇒ du = 2x dx; Nên I2 = u du = e e 80 Vậy I = −9 ln + Câu IV (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình lăng trụ ABC.A′ B′C′ có tất cạnh a Gọi M trung điểm cạnh BB′ Tính thể tích khối tứ diện B′ ACM bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A′ B′C′ Lời giải: Gọi hình vẽ Tính I2 = − e2x dx = e8x Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— √ √ √ √ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≤ 1 Chứng minh √ a +√ c +√ ≥1 b +1 +1 +1 Lời giải: √ √ √ √ ≥ a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 2(a + b + c)2 ⇒ a + b + c ≤ Đặt (2x)3 = 8a , (2y)3 = 8b , (2z)3 = 8c ⇒ (2x)3 (2y)3 (2z)3 = 8a+b+c ≤ 83 ⇒ xyz ≤ 4x2 + Ta có (2x)3 + = (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) ≤ 2 = ⇒√ + 8a ≥ 2x2 + 1 + (2x)3 1 + + VT ≥ 2x + 2y + 2z + 1 1 Lại đặt m = , n = , p = ⇒ mnp ≥ x y z n p m + + ≥ ⇔ 2mnp + 2(mn + np + pm) ≥ Ta chứng minh m+2 n+2 p+2 Thật bất đẳng thức cuối AM-GM sử dụng mnp ≥ Câu VIa 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đường√cao AH có phương trình x = 3 , phương trình √ √ hai đường phân giác góc ABC ACB x − 3y = x + 3y − = Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh A có hồnh độ dương Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIa 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho A(1; 0; 0), B(−1; −2; 0),C(−1; 1; −3) , mặt phẳng (P) : 2x + y − x−2 y−3 z−4 = đường thẳng ∆ : = = Viết phương trình mặt cầu (S) qua A có tâm I thuộc mặt −1 −1 phẳng (P) cho IB vng góc với đường thẳng ∆ mặt cầu (S) cắt (ABC) theo đường tròn có bán kính nhỏ Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: |z| = |z + − 3i| biểu thức A = |z + − i| + |z − + 3i| có giá trị nhỏ Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIb 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : (x − 1)2 + y2 = √ 2 (C2 ) : x + = Gọi A giao điểm có hồnh độ dương (C1 ) (C2 ); ∆ đường + y− 2 thẳng qua A cắt hai đường tròn (C1 ) (C2 ) M, N cho M nằm (C2 ) N nằm (C1 ) Các tiếp tuyến (C1 ) (C2 ) M, N cắt P Viết phương trình đường thẳng ∆ bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lớn Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIb 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— x−1 y−2 z−4 x y−3 z−2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = , d2 : = = 1 1 −1 điểm A(0; 1; 3) Chứng minh A, d1 , d2 nằm mặt phẳng Tìm tọa độ đỉnh B,C tam giác ABC biết đường cao từ B nằm d1 đường phân giác góc C nằm d2 Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— 2z1 − i Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện = |z2 − + i| = |z2 − + 2i| + iz1 √ 2−2 Chứng minh |z1 − z2 | ≥ Lời giải: Cách 1: Cách 2: ... Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— 2z1 − i Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện = |z2 − + i| = |z2 − + 2i| + iz1 √ 2−2 Chứng minh |z1 − z2 | ≥ Lời. .. kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A′ B′C′ Lời giải: Gọi hình vẽ Tính I2 = − e2x dx = e8x Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— √ √ √ √ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + b2... ∆ mặt cầu (S) cắt (ABC) theo đường trịn có bán kính nhỏ Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: |z| = |z +