Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 08

http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 08 w ma th DIỄN ĐÀN MATH.VN Câu I 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1, (Cm ) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Lời giải: Đồ thị b Hàm số y = x4 − 4x2 + Bảng biến thiên b b −2 b −1 −1 b  htt p:/ /w w Câu I 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Xác định m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt A, B,C, D có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 , (x1 < x2 < x3 < x4 ) cho tam giác ACK có diện tích 4, với K(3; −2) Lời giải: x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + = (1) Đặt t = x2 ,t ≥ 0, ta t − 2(m + 1)t + 2m + = (2) Để  đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt pt (2) có nghiệm phân biệt t >   ∆ = (m + 1) − (2m + 1) > m 6= ⇔ S = 2(m + 1) > ⇔ (∗) Với đk (∗) đồ thị hàm số cắt trục hồnh  m > −  P = 2m + > √ √ √ √ điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự − t1 , − t2 , t2 , t1 , với t1 > t2 √ √ √ Theo gt: SACK = AC.|yk | = ⇔ AC = t2 + t1 = ⇔ t1 + t2 + t1t2 = 16 Áp dụng định lí Vi-et cho phương trình (2) ta được: ( √ √ m−7 ≤ 2(m + 1) + 2m + = 16 ⇔ m − = − 2m + ⇔ ⇔m=4  m2 − 16m + 48 = Câu II 1) (1 điểm) ————————————————————————————————     π − 2x = sin x − − sin Giải phương trình: 2− sin x sin x Lời giải: π  Điều kiện: sin x 6= PT ⇔ (4 sin x − 2) sin − 2x = sin2 x − sin x − "  π sin x− = 0 (1) π − 2x = (2 sin x − 1)(4 sin x + 1) ⇔ ⇔ 2(2 sin x − 1) sin sin − 2x = sin x + (2) 6 π 5π (1) ⇔ sin x = ⇔ x = + k2π x = + k2π 2√ 6 √ √ (2) ⇔ cos 2x − sin 2x = sin x + ⇔ sin x + sin2 x + sin x cos x = ⇔ sin x + cos x = −2  π 7π  + k2π = −1 ⇔ x = ⇔ cos x − 6 Câu II 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— ( (x − 2)(2y − 1) = x3 + 20y − 28 Giải hệ phương trình: √ 2( x + 2y + y) = x2 + x Lời giải: htt p:/ /w w w ma th √ √ PT √ thứ hai hệ ⇔ x√+ 2y + x + 2y + = x2 + 2x + ⇔ ( x + 2y + 1) = (x + 1)2 ⇔ x + 2y = x (x + 2y = −x − √ x≥0 TH 1: x + 2y = x ⇔ thay vào phương trình thứ ta 13x2 − 11x − 30 = 2y = x2 − x ( √ x+2 ≤ thay vào phương trình thứ ta pt bậc theo x  TH2: x + 2y = −x − ⇔ 2y = x2 + x + Câu III (1 điểm) ———————————————————————————————— Z π cos x − sin x dx Tính tích phân I= (sin x + cos x) Lời giải: Z π sin x − cos x π dx Đặt x = − t ta I = (sin x + cos x) Z π Z π Z π cos x − sin x sin x − cos x dx Suy 2I = dx + dx = 7 (sin x + cos x) (sin x + cos x) (sin x + cos x) Z π Z π     π π  2 dx = d tan x − = + tan x −   π 6 8 4 cos x − Z π   π π    π  2 = + tan4 x − d tan x − + tan2 x − 4  π        2 1 π π π tan x − + tan3 x − + tan5 x − = = 4 15  Vậy I = 30 Câu IV (1 điểm) ———————————————————————————————— 0 0 Cho hình lập phương ABCD.A √ B C D cạnh a Trên đoạn AD , BD lấy 0các điểm M, N cho AM = DN = x, (0 < x < a 2) Tìm x để MN đoạn vng góc chung AD BD Lời giải: Gọi hình vẽ  Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— a2 + b2 + c2 Cho số a, b, c ∈ [0; 2] thoả mãn : a + b + c = Tìm giá trị lớn M = ab + bc + ca Lời giải: Cách 1: a2 + b2 + c2 +M = = − Vì ta cần tìm A = ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca +ab + bc + ca = −a2 + 3a + bc = f (a), f (a) = ⇔ a = Với a ∈ [0, 2] −a2 + 3a + bc đạt a = a = + Với a = ⇒ b + c = 3, A = bc = b(3 − b) = −b2 + 3b bε [1, 2], f (1) = 2, f (2) = ⇒ A ≥ +Với a = A = + bc, b + c = ⇒ A = + b(1 − b) = −b2 + b + = f (b) b ∈ [0, 1] mà f (0) = f (1) = ⇒ A ≥ ⇒ M ≤ − = 2 Dấu = đạt a, b, c hoán vị (0, 1, 2) Cách 2: Ta có: (a − 2)(b − 2)(c − 2) ≤ ⇔ abc − 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) − ≤ abc + 4(a + b + c) − 12 − ≥ =2 ⇔ ab + bc + ca ≥ 2 9 A= −2 ≤ −2 = ab + bc + ca 2 Dấu = xảy (a; b; c) = (0; 1; 2) hoán vị   htt p:/ /w w w ma th Câu VIa 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho ∆ABC có phương trình trung tuyến xuất phát từ A đường cao kẻ từ B là: 2x − 5y − = 0, x + 3y − = Đường thẳng BC qua điểm K(4; −9) Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆ABC, biết đỉnh C nằm đường thẳng d : x − y − = Lời giải: −→ −→ Gọi B(4 − 3b; b),C(c; c − 6) ta có KB(−3b; b + 9); KC(c − 4; c + 3) 7k − 27 − 5k −→ −→ K, B,C thẳng hàng nên KB = kKC Từ ta tính b = ,c = 4k   −21k2 + 38k + 27 7k2 − 38k + 27 ; Gọi M trung điểm BC ta tính M 8k 8k Vì M thuộc đường trung tuyến AM nên ta có tọa độ M thỏa mãn phương trình AM −77k2 + 258k − 81 = 27 Giải ta có k = k = 77 Viết phương trình AC tìm A theo hai trường hợp Phần cịn lại đơn giản bạn tự giải  Câu VIa 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— x−2 y−1 z−1 = = Gọi I giao Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho (P) : x + y − z + = 0, d : −1 −3 điểm d (P) Viết √ phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), vng góc với d cách điểm I khoảng Lời giải:  Câu VIIa (1 điểm)———————————————————————————————— z+i = Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z + 3i − 2| = Cho số phức z cho: z − 3i Lời giải: Cách 1: Đặt z = a + bi với a; b ∈ R; (z 6= 3i) Ta có: z+i |z + i| 2 2 2 z − 3i = |z − 3i| = ⇔ |z + i| = |z − 3i| ⇔ a + (b + 1) = a + (b − 3) ⇔ b + = ±(b − 3) ⇔ b = Vì điều kiện: |z + 3i − 2| = ⇔ |z + 3i − 2|2 = 16 ⇔ (a − 2)2 + 42 = 16 ⇔ a = Vậy z = + i (thoả)  Cách 2: Gọi A, B, M, I biểu diễn ba số phức z, −i, 3i, − 3i mặt phẳng phức −1 + Khi A, B thuộc trục ảo MA = MB nên M nằm trung trực AB ⇒ yM = = Mặt khác IM = nên M thuộc đường tròn (I; 4) Do khoảng cách từ I đến đường thằng (d) : y = nên (d) tiếp xúc với (I) M Suy IMkOy hay xM = xI = Kết luận M(2; 1) hay z = + i số cần tìm  Câu VIb 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đường cao trung tuyến xuất phát từ A có phương trình: 6x − 5y − = 0; x − 4y + = Tính diện tích ∆ABC, biết trọng tâm tam giác thuộc trục hoành đường cao xuất phát từ đỉnh B qua điểm E(1; −4) Lời giải: Ta có A(2; 1) Gọi G(a; 0) G thuộc trung tuyến nên suy G(−2; 0) −→ −−→ Gọi M  trung điểm  BC ta có AG = 2GM −1 Viết BC : 5x + 6y + 23 = suy B(−1 + 6t; −3 − 5t);C(−7 − 6t; 5t + 2) suy M −4; 19 Vì BE vng góc với AC ta có điều kiện 61t + 42t − 19 = ⇔ t = −1 t = 61 Đến chia hai trường hợp để giải  Câu VIb 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— x−2 y−2 z−1 = = mặt cầu 2 (S) : x2 + y2 + z2 + 4x − 6y + m = Xác định giá trị m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) điểm −→ −→ phân biệt A, B cho MA = 5MB Lời giải:  Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— z−i = Tìm số phức z cho z + có acgumen − π Cho số phức z thoả mãn: z + 3i Lời giải: Cách 1: Đặt z = a + bi với a; b ∈ R; (z 6= −3i) Ta có: z−i |z − i| 2 2 2 z + 3i = |z + 3i| = ⇔ |z − i| = |z + 3i| ⇔ a + (b − 1) = a + (b + 3) ⇔ b − = ±(b + 3) ⇔ b = −1 ! h  π  π i p p a + −i z + = (a + 1)2 + p + i sin − +p = (a + 1)2 + cos − 6 (a + 1)2 + (a + 1)2 + ( ( √  π √ a+1 > a+1 > a+1 p = cos − 3−1 ⇔ = ⇔ ⇔ a = 4(a + 1)2 = 3(a + 1)2 + (a + 1)2 = (a + 1)2 + √ Vậy z = − − i (thoả)  Cách 2: Gọi M, A, B biểu diễn ba số phức z + 1, + i, − 3i mp phức Khi A(1; 1) B(1; −3) MA = MB nên M ∈ (d), với (d) trung trực AB, song song với Oy nên M(x0 ; −1)  π  −1 √ ⇒ x0 = = Lại có tan − x0 √ √ √ Suy M( 3; −1) ⇒ z + = − i ⇒ z = − − i  htt p:/ /w w w ma th Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 2; 1), đường thẳng d : ... d cách điểm I khoảng Lời giải:  Câu VIIa (1 điểm)———————————————————————————————— z+i = Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z + 3i − 2| = Cho số phức z cho: z − 3i Lời giải: Cách 1: Đặt z =... biệt A, B cho MA = 5MB Lời giải:  Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— z−i = Tìm số phức z cho z + có acgumen − π Cho số phức z thoả mãn: z + 3i Lời giải: Cách 1: Đặt z = a... chung AD BD Lời giải: Gọi hình vẽ  Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— a2 + b2 + c2 Cho số a, b, c ∈ [0; 2] thoả mãn : a + b + c = Tìm giá trị lớn M = ab + bc + ca Lời giải: Cách