Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 10 là tài liệu tham khảo dành cho các bạn đang cần tìm kiếm tài liệu học tập và ôn thi Đại học, Cao đẳng.
http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 10 w ma th DIỄN ĐÀN MATH.VN Câu I 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (m − 1)x + 2m (m tham số) Khảo sát vẽ đồ thị m = −3 Lời giải: Đồ thị −2 −2 Hàm số Bảng biến thiên y = x3 − 2x2 + −4x − −4 −6 −8 −10 −12 −14 htt p:/ /w w Câu I 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm m để từ điểm M(1; 2) kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (Cm ) Lời giải: Cách 1: phương trình tiếp tuyến y = k(x − 1) + phương trình hồnh độ giao điểm : k(x − 1) + = x3 − 2x2 + (m − 1)x + 2m (1) thay k = y = 3x − 4x + m − vào (1) có : 2x − 5x + 4x − 3(m − 1) = (2) từ điểm M có hai tiếp tuyến ⇔ (2) có ng phân biệt x1 , x2 không tổng quát giả sử f (x) = (x − x1 )2 (x − x2 ) = ⇔ x3 − (2x1 + x2 )x2 + (x12 + 2x1 x2 )x − x12 x2 = (3) 2x + x2 = 109 từ (2) (3) ⇒ hệ: x12 + 2x1 x2 = ⇒ m = m = 81 x2 x2 = (m − 1) Cách 2: phương trình tiếp tuyến y = k(x − 1) + phương trình hồnh độ giao điểm : k(x − 1) + = x3 − 2x2 + (m − 1)x + 2m (∗) thay k = y = 3x − 4x + m − vào (∗) có : 2x − 5x + 4x − 3(m − 1) = (∗∗) Đặt f (x) = 2x3 − 5x2 + 4x − 3(m − 1) , f (x) = 6x2 − 10x + 4, 109 ta suy điểm cực trị hàm số f (x) A(1; − 3m) B ; − 3m 27 Ta thấy pt bậc (∗∗) có nghiệm điểm cực trị nằm trục hồnh 109 Từ ta tìm m = m = 81 Câu II 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải phương trình tan x + tan 2x + tan 3x + tan 4x = Lời giải: ĐK x = π2 + kπ , 2x = π2 + kπ , 3x = π2 + kπ , 4x = π2 + kπ sin x sin 4x sin 2x sin 3x + + + =0 tan x + tan 2x + tan 3x + tan 4x = ⇔ cos x cos 4x cos 2x cos 3x htt p:/ /w w w ma th sin 5x sin 5x sin 5x = + =0⇔ cos x cos 4x + cos 2x cos 3x = cos x cos 4x cos 2x cos 3x 5x = kπ x = k π5 ⇔ ⇔ cos x(cos 4x + cos 2x(4 cos2 x − 3)) = (cos 4x + cos 2x(4 cos2 x − 3) = (∗) (∗) pt bậc theo cos 2x giải tiếp Câu II 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— 2x + 5y = xy + Giải hệ phương trình x2 + 4y + 21 = y2 + 10x Lời giải: x = 7−y Phương trình ⇔ (x − 5)2 − (y − 2)2 = ⇔ (x + y − 7)(x − y − 3) = ⇔ x = y+3 √ √ 2 y − 4y + 12 = (y − 2) = −8 y = + 2√2 ⇒ x = − 2√2 thay lên pt ⇒ ⇔ ⇔ y2 − 4y − = (y − 2)2 = y = 2−2 ⇒ x = 5−2 Câu III (1 điểm) ———————————————————————————————— e x3 (1 − x2 ) dx Tính tích phân: I= (1 + 2x ln x) Lời giải: Cách 1: 1 − e −2 x3 x dx, ta có Chia tử mẫu cho x6 ta được: I = + ln x = + , x x x 1 + 2lnx x2 e 1 1 −1 e d + 2lnx = suy I = 2 x 1 + 2lnx + 2lnx x2 x2 Cách 2: e (x − x3 ) 2(x − x3 ) x2 x2 dx, = Ta có I = 2 + 2x2 ln x (1 + 2x2 lnx)2 1 + 2x ln x (1 + 2x ln x) e x2 x2 x2 e d = I= 1 + 2x2 ln x + 2x2 ln x + 2x2 ln x ⇔ Câu IV (1 điểm) ———————————————————————————————— Tính tỷ số thể tích hai phần khối chóp tứ giác S.ABCD phân chia mặt phẳng qua tâm O đáy đồng thời mặt phẳng song song với mặt phẳng (SAB) Lời giải: Gọi hình vẽ Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— 1 1 < + + + < ln Chứng minh với số nguyên dương n ta có ln − n+1 n+1 n+2 n+n Lời giải: Cách 1: Cách 2: Câu VIa 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC biết đỉnh A(2; 1), trực tâm H(−6; 3), trung điểm cạnh BC M(2; 2) Lời giải: Cách 1: Cách 2: w ma th Câu VIa 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(−1; 0; −1) cắt đường x−3 y−2 z+3 x−1 y−2 z+2 = = cho góc đường thẳng d đường thẳng d : = = thẳng d : −1 −1 2 nhỏ Lời giải: Cách 1: Cách 2: htt p:/ /w w Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm số phức z thỏa mãn (z2 + z − 3)2 + (2z + 1)2 = Lời giải: Viết lại phương trình ta (z2 + z − 3)2 − (2iz + i)2 = ⇔ (z2 + z − + 2iz + i)(z2 + z − − 2iz − i) = Phương trinh z2 + z − + 2iz + i = ⇔ 4z2 + 4z(2i + 1) − 12 + 4i = ⇔ (2z + 2i + 1)2 = cho ta hai nghiệm z = − i , z2 = −2 − i Phương trinh z2 + z − − 2iz − i = ⇔ 4z2 + 4z(1 − 2i) − 12 − 4i = ⇔ (2z + − 2i)2 = cho ta hai nghiệm z = + i , z = −2 + i Kết luận phương trình có nghiệm − i, −2 − i, + i, −2 + i Câu VIb 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— x y2 Trong hệ tọa độ Oxy, cho Hypebol (H) : − = điểm M(3; −2) −→ −→5 → − Tìm hai điểm A, B thuộc (H) cho MA + MB = Lời giải: Giả sử A(x1 ; y1 ); B(x2 ; y2 ); Vì A, B thuộc hypebol nên ta có 5x12 − 4y21 = 20 (1) 5x22 − 4y22 = 20 (2) Lấy pt (1) trừ pt (2) kết hợp M trung điểm A, B ta có 5(x1 − x2 )(x1 + x2 ) − 4(y1 − y2 )(y1 + y2 ) = hay 30(x1 − x2 ) + 16(y1 − y2 ) = Suy n(15; 8) véctơ pháp tuyến AB từ có phương trình đường thẳng AB : 15x + 8y − 29 = Tọa độ A, B giao điểm AB Hypebol cho Ta tính A, B Câu VIb 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(3; −2; 1) cắt đường x−1 y+1 z−1 thẳng d : = = cho khoảng cách đường thẳng d đường thẳng −1 x−1 y−2 z+1 = = lớn d : −1 Lời giải: Gọi (α ) mặt phẳng qua A chứa (d ) ta tìm phương trình (α ) : x + 2y + 5z − = Ta tìm giao điểm (d ) với (α ) B( 59 ; 85 ; −1 ) Gọi (∆) đường thẳng qua A song song với (d ) Gọi H hình chiếu B lên mặt phẳng (∆, d) gọi C hình chiếu B lên (∆) Ta có khoảng cách d d BH Ta thấy BH ≤ BC nên BH lớn H trùng với C Khi d có véctơ phương u = [nα , BC], từ viết phương trình đường thẳng d Câu VIIb (1 điểm) ———————————————————————————————— 2π 2π Cho số phức z = cos + i sin Tính giá trị biểu thức T = (1 + z)(1 + z2 )(1 + z3 ) (1 + z2011 ) 3 Lời giải: Từ z = cos 23π + i sin 23π ⇒ z3 = z2 + z + = (vì z = 1) Mặt khác 2011 số tự nhiên từ 1, , 2011 có 670 số chia hết cho 3, 671 số chia cho dư 670 số chia cho dư Do 2011 ) = (1 + z)671 (1 + z)(1 + z ) (1 + z (1 + z2 )(1 + z5 ) (1 + z2009 ) = (1 + z2 )670 Suy T = 2670 (1 + z)670 (1 + z2 )670 (1 + z) = (1 + z3 )(1 + z6 ) (1 + z2010 ) = (1 + 1)670 √ √ = −2670 z2 (1 + z + z2 + z3 )670 = −2670 (cos 43π + i sin 43π ) = 2669 (1 + 3i) Đáp số T = 2669 (1 + 3i) ... 2π 2π Cho số phức z = cos + i sin Tính giá trị biểu thức T = (1 + z)(1 + z2 )(1 + z3 ) (1 + z2011 ) 3 Lời giải: Từ z = cos 23π + i sin 23π ⇒ z3 = z2 + z + = (vì z = 1) Mặt khác 2011 số tự nhiên... = thẳng d : −1 −1 2 nhỏ Lời giải: Cách 1: Cách 2: htt p:/ /w w Câu VIIa (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm số phức z thỏa mãn (z2 + z − 3)2 + (2z + 1)2 = Lời giải: Viết lại phương trình... 3) = (∗) (∗) pt bậc theo cos 2x giải tiếp Câu II 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— 2x + 5y = xy + Giải hệ phương trình x2 + 4y + 21 = y2 + 10x Lời giải: x = 7−y Phương trình ⇔ (x