Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 04

Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 04 giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.

LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 04 DIỄN ĐÀN MATH.VN htt p:/ /m ath http://math.vn Câu I 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = −x4 + 6x2 − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Lời giải: hàm số y = −x4 + 6x2 − có TXĐ D = R Đồ thị y = −4x3 + 12x = −4x x2 −  x = √ ⇒ y = −5  Nên y = ⇔ x = − √ ⇒y=4 x= ⇒y=4 √ √ y < ⇔ − < x < hoặc√ < x √ < +∞ ⇒ hàm số nghịch biến − 3; ; 3; +∞ √ √ y > ⇔ −∞ < x < − 0√< x < √3 ⇒ hàm số đồngh biến −∞; − ; 0; Giới hạn lim y = −∞; lim y = −∞ −2 x→−∞ Bảng biến thiên x→+∞ Điểm cực √ tiểu (0; −5), điểm √ 3; − 3; ; Đồ√ thị cắt trục √hoành (− 5; 0), (−1; 0), (1; 0), ( 5; 0) Đồ thị cắt trục tung điểm (0; −5) cực −2 đại điểm −4 Câu I 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm giá trị m để phương trình (x2 − 5)|x2 − 1| = m có nghiệm phân biệt Lời giải: h x2 − (x2 − 5) = m (1) Xét đồ thị hàm số y = x2 − (x2 − 5) đường thẳng y = m ta có y = x4 − 6x2 + với x > x < −1 y = −x4 + 6x2 − với −1 < x < suy cách vẽ - Vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 6x2 − - Giữ nguyên phần đồ thị ứng với −1 < x < - lấy đối xứng với phần đồ thị ứng với x > x < −1 qua Ox dựa vào đồ thị nhận thấy phương trình (1) có nghiệm phân biệt −4 < m < −2 −2 −4 Câu II 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— √ x3 − 2x √ =2 Giải phương trình: x2 − − x2 − Lời giải: ĐK: |x| >√1 √ √ x( x2 − − 1)( x2 − + 1) √ √ =2 PT ⇔ x2 − 1( x2 − − 1) x x2 − √ = 6; (x > 0) ⇔ x2 + x2 2x2 √ + = 24 x2 − x2 − ⇔ x4 +2 x2 − x4 = 24 x2 − htt p:/ /m ath ⇔ x+ √ √ √ x4 − 16x2 + 16 = ⇔ x = = ⇔ x + 48 hay x = − 48 x2 − Câu II 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— 14x2 − 21y2 + 22x − 39y = Giải hệ phương trình sau R: 35x2 + 28y2 + 111x − 10y = Lời giải: 14x2 − 21y2 = −22x + 39y HPT ⇔ 35x2 + 28y2 = −111x + 10y y = ⇔ x = y = đặt x = ty ta có phương trình với t sau 112t + 175t − 421t + 186 = x = −3 ⇔ t = −3 ⇔ y=1 hệ có nghiệm (0; 0), (−3; 1) Câu III (1 điểm) ———————————————————————————————— x dx Tính tích phân I = 9−x Lời giải: 9−t Đặt: − x = t ⇒ dx = −dt, x ⇒ t ⇒ I = − dt = − dt t t 9 9 ⇒ dt = −18 sin u · cos u du, t ⇒ u Đặt: = với cos2 α = t cos2 u α α α α α α sin u du = du+9 cos 2u du = 9u + sin 2u ⇒ I = −18 − 1·sin u·cos u du = 18 cos u 0 α 0 Câu IV (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho khối lập phương ABCD.A B C D cạnh a Gọi M trung điểm BC, điểm N chia đoạn CD theo tỷ số −2 Mặt phẳng (A MN) chia khối lập phương thành hai phần Tính thể tích phần Lời giải: Gọi thể tích phần chứa A V1 phần cịn lại V2 hình vẽ Gọi E, F giao điểm MN với AB, AD A D Gọi P giao điểm A F với DD Q giao điểm A E với BB a 2a MC a Ta có DN = , NC = = BE, DF = = 3 5a 2a a 5a B suy AE = , AF = , BQ = , DP = C P 5 25a 1 D F A VE.AA F = · · AA · AF · AE = 72 Q 1 a3 N VE.BMQ = · · BM · BQ · BE = 45 a3 1 VF.PDN = · · DP · DN · DF = C 360 M B 29a V1 = VE.AA F −VE.BMQ −VF.PDN = 90 E 61a3 V2 = a −V1 = 90 Câu V (1 điểm) ———————————————————————————————— 1 + + Cho số dương a, b, c thỏa mãn (a + b + c) = 16 a b c ⇔ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = htt p:/ /m ath Lời giải: a2 + 2b2 ab a2 + 2b2 = x+ ab x 1 1 + + = 16 ⇔ (xy + y + 1) + + = 16 (a + b + c) a b c xy y 1 y ⇔ x + xy + + y + + = 13 ⇔ xy + xy2 + + y2 + + = 13y x xy y x x 1 ⇔ (x + 1) y2 + x + − 13 y + + = (∗) x x Xem ph tr bậc ẩn y > Gọi nghiệm x1 , x2 phương trình có nghiệm dương +1 x1 x2 > x Ta ln có x1 x2 = = >0 nên ta phải có x1 x2 < x1 + x2 > x+1 x nên loại trường hợp x1 x2 < Vậy pt (∗) có nghiệm dương x + − 13 x x1 + x2 = − ≥ ⇔ x + ≤ 13 x+1 x 1 +1 ≥ x + − 13 − (x + 1) x x 30 ⇔ x2 + 163 − 30x + − + 161 ≥ ⇔ t − 30t + 161 ≥ ≥ ⇔ x+ − 30 x + x x x x  √ √ x + ≥ 23 7  x ⇔ ≤x≤ + ⇔ − 2 2 x+ ≤ x 2 1 √ ≈ 13.85 √ = 7+ P = x+ = x+ + ≤ 7+ x x x 7−3 − √ ≈ 0.145898 Dấu = xảy x = − 2 √ √ 7−3 Vậy ta cần chọn c = 1; b = b ≈ 0.381966 √ ≈ 2.618; a = − 2 9−4 a = xb, b = yc, x > 0, y > P= √ 7−3 Câu VI 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(4; 0), cạnh AC qua O, phương trình trung trực AC x + y − = 0, phương trình đường cao qua C 5x + y − 12 = Tính diện tích tam giác ABC Lời giải: Ta có đường trung trực AC : x + y − = Suy ptr đt AC qua O(0; 0) : x − y = 1 Gọi H giao điểm AC đường trung trực nó: H ; 2 PT AB qua B(0; 4) vng góc với đường cao qua C có dạng: x−5y−4 = Dễ dàng Suy A(−1; −1) √ 12 Suy S∆ABC = Mà H trung điểm AC Suy C(2; 2); AB = 26; CH = d(C/AB) = √ 26 Câu VI 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho tứ diện ABCD có A(−1; 1; 6), B(−3; −2; −4),C(1; 2; −1), D(2; −2; 0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng CD cho chu vi tam giác MAB nhỏ Tính giá trị nhỏ Lời giải: − → −→ − → −→ AB = (−2; −3; −10), CD = (1; −4; 1) nên AB.CD = ⇔ AB ⊥ CD Ta có giá trị lớn P + htt p:/ /m ath Gọi α mp qua AB vng góc CD, phương trình α (x + 1) − 4(y (1) − 1) + (z − 6) = ⇔ x − 4y + z − =  x = + t Đường thẳng CD có pt tham số y = − 4t (2)   z = −1 + t CD cắt mp α điểm có tọa độ nghiệm hệ (1), (2) Giao điểm hình chiếu vng góc A lên CD hình chiếu vng góc B lên CD nên đoạn vng góc đoạn ngắn nhất, giao điểm điểm M cần tìm cho chu vi tam giác ABC nhỏ 1 ; 0; − Giải hệ (1), (2) ta t = , x = , y = 0, z = − Nên M 2 2 Chu vi tam giác √ 13 2 2 2 +1 + + +2 + AB + AM + BM = + + 10 + 2 2 √ √ √ 198 146 = 113 + + 2 Câu VII (1 điểm) ———————————————————————————————— ≥ Giải bất phương trình: √ log (x) log2 (5x − 6)2 Lời giải: Trước hết ta có nhận xét sau: “Với điều kiện xác định tồn log2 X − log2 Y dấu triệt tiêu với X −Y ” Quay lại tốn ta có:   x>0 (1)    (2) ⇔ 6x − = ≥  log√2 (x) log2 (5x − 6)2 log (5x − 6) − log2 x   ≥ (∗)  2 log2 (x) log2 (5x − 6)2 Các ràng buộc (1); (2) kết hợp lại điều kiện chung là: := D x ∈ (0; +∞) \ log2 (5x − 6)2 − log2 x4 Khi ấy: (∗) ⇔ ≥0 log2 (x) log2 (5x − 6)2 Theo nhận xét D ta có: log2 (5x − 6)2 − log2 x4 dấu triệt tiêu với (5x − 6)2 − x4 = −(x + 6)(x − 1)(x − 2)(x − 3) log2 (x) dấu triệt tiêu với x − log2 (5x − 6)2 dấu triệt tiêu với (5x − 6)2 − = 5(x − 1)(5x − 7) (x − 2)(x − 3) ≤0 Vậy tức D thì: (∗) ⇔ (x − 1)(5x − 7) Sau vẽ trục đan dấu để giải kết hợp với x ∈ D Ta có tập nghiệm bất phương trình đề là: 1; ∪ [2; 3] \ 5 ... (1 điểm) ———————————————————————————————— 14x2 − 21y2 + 22x − 39y = Giải hệ phương trình sau R: 35x2 + 28y2 + 111x − 10y = Lời giải: 14x2 − 21y2 = −22x + 39y HPT ⇔ 35x2 + 28y2 = −111x + 10y y =... cạnh a Gọi M trung điểm BC, điểm N chia đoạn CD theo tỷ số −2 Mặt phẳng (A MN) chia khối lập phương thành hai phần Tính thể tích phần Lời giải: Gọi thể tích phần chứa A V1 phần cịn lại V2 hình... ———————————————————————————————— 1 + + Cho số dương a, b, c thỏa mãn (a + b + c) = 16 a b c ⇔ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = htt p:/ /m ath Lời giải: a2 + 2b2 ab a2 + 2b2 = x+ ab x 1