TÀI LIỆU TOÁN HỌC: BẤT ĐẲNG THỨC

Củng cố mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng, phép nhân. - Mở rộng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. - Rèn kĩ năng chứng minh bất đẳng thức. B. Chuẩn bị: - GV: hệ thống lí thuyết và bài tập về bất đẳng thức. - HS: Kiến thức về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng, phép nhân. C. Tiến trình. 1. ổn định lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: không.

BẤT ĐẲNG THỨC A.Mục tiêu: - Củng cố mối liên hệ thứ tự với phép cộng, phép nhân - Mở rộng phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Rèn kĩ chứng minh bất đẳng thức B Chuẩn bị: - GV: hệ thống lí thuyết tập bất đẳng thức - HS: Kiến thức mối liên hệ thứ tự với phép cộng, phép nhân C Tiến trình ổn định lớp Kiểm tra cũ: không Bài mới: Hoạt động GV, HS Nội dung GV yêu cầu HS nhắc lại I Các kiến thức cần nhớ mối liên hệ thứ tự với phép Định nghĩa bất đẳng thức cộng, phép nhân * a nhỏ b, kí hiệu a < b *HS: * a lớn b, kí hiệu a > b GV cho HS ghi lại kiến * a nhỏ b, kí hiệu a  b thức cần nhớ * a lớn b, kí hiệu a  b HS ghi Tính chất: a, Tính chất 1: a > b b < a b, Tính chất 2: a > b, b > c a > c c, Tính chất 3: a > b a + c > b + c Hệ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, Tính chất : a > c b > d => a + c > b + d a > b c < d => a - c > b - d e, Tính chất : a > b c > => ac > bd a > b c < => ac < bd f, Tính chất : a > b > ; c > d > => ac > bd g, Tính chất : a > b > => an > bn a>b an > bn với n lẻ 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : ab  ab Với số dương a , b ta có : Dấu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2  (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy a b  x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a  b  ab Dấu đẳng thức xảy : ab  Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Dùng định nghĩa - Dùng phép biến đổi tương đương - Bất đẳng thức quen thuộc II Bài tập Phương pháp 1: Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B chứng minh A - B >0 - Lưu ý : A2  với A ; dấu '' = '' xảy A = Bài 1.1 : Với số : x, y, z chứng minh : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z GV cho HS làm tập = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + Phương pháp 1: Dùng định 1) nghĩa = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 GV đưa phương pháp giải: Do (x - 1)2  với x HS ghi (y - 1)2  với y (z - 1)2  với z => H  với x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) với x, y, z Bài 1.1 : Dấu xảy x = y = z = Với số : x, y, z chứng minh Bài 1.2 : : Cho a, b, c, d, e số thực : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) Chứng minh : ? Để chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e) ta làm nào? Giải : HS: chuyển bất đẳng thức thành x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)  Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a Chứng minhh bất đẳng thức a a = (  b )2 + (  c )2 + (  d )2 + a (  e )2 a Do (  b )2  với a, b GV yêu cầu HS lên chứng minh a Do(  c )2  với a, c a Do (  d )2  với a, d a Do (  e )2  với a, e => H  với a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy b = c = d = e = a Bài 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức : a2  b2  a  b      Bài 1.2 : Cho a, b, c, d, e số thực : Giải : Chứng minh : 2 2 Xét hiệu : a + b + c + d + e  a(b + c + d + e) ? Để chứng minh bất đẳng thức ta làm nào? HS: chuyển bất đẳng thức thành a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)  Chứng minhh bất đẳng thức a2  b2  a  b  H=     2(a  b )  (a  2ab  b ) =  (2a  2b  a  b  2ab)  ( a  b)  Với a, b Dấu '' = '' xảy a = b Phương pháp ; Dùng phép biến đổi ? Để chứng minh bất đẳng thức tương đương ta làm nào? - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức *HS: biến đổi biểu thức thành cần chứng minh tương đương với bất đẳng tổng bình phương thức bất đẳng thức GV yêu cầu HS lên chứng chứng minh minh - Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bài : Cho a, b hai số dương có tổng Chứng minh : 1   a 1 b 1 Bài 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức : Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ; a2  b2  a  b      3(a + + b + 1)  4(a + 1) (b + 1)   4(ab + a + b + 1) (vì a + b = ? Để chứng minh bất đẳng thức 1) ta làm nào? HS: chuyển bất đẳng thức thành 2 a b ab      Chứng minhh bất đẳng thức ? Để chứng minh bất đẳng thức ta làm nào?   4ab +   4ab  (a + b)2  4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh *HS: biến đổi biểu thức thành tổng bình phương GV yêu cầu HS lên chứng minh Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương GV cho HS ghi phương pháp giải HS ghi GV cho HS làm tập Bài : Cho a, b hai số dương có tổng Chứng minh : 1   a 1 b 1 ? Để chứng minh bất đẳng thức ta làm nào? HS:Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh GV yêu cầu HS lên bảng làm Củng cố: - GV yêu cầu HS nhắc lại hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức BTVN: Bài 2: Cho a, b, c số dương thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : (a + b)(b + c)(c + a)  a3b3c3 Bài 2.3 : Chứng minh bất đẳng thức : a  b3  a  b      ; a > ; b > ... chứng minh bất đẳng thức tương đương ta làm nào? - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức *HS: biến đổi biểu thức thành cần chứng minh tương đương với bất đẳng tổng bình phương thức bất đẳng thức GV... làm nào? HS: chuyển bất đẳng thức thành 2 a b ab      Chứng minhh bất đẳng thức ? Để chứng minh bất đẳng thức ta làm nào?   4ab +   4ab  (a + b)2  4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều... Chứng minh : 1   a 1 b 1 ? Để chứng minh bất đẳng thức ta làm nào? HS:Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh GV yêu cầu HS lên bảng làm