Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Một số phương pháp giải hệ phương trình do Đào Chí Thanh biên soạn sau đây trình bày một số dạng toán về hệ phương trình và phương pháp giải các dạng toán đó. Mời các thầy cô giáo và các em học sinh tham khảo.
Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình GIÁO VIÊN : ĐÀO CHÍ THANH Sưu tầm biên soạn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Năm 2014 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Nội dung : Hệ phương trình 1) Phương pháp 2) Phương pháp cộng đại số 3) Phương pháp biến đổi thành tích 4) Phương pháp đặt ẩn phụ 5) Phương pháp hàm số 6) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Một số dạng hệ phương trình 1) Hệ bậc hai ẩn, ba ẩn 2 x y x 2y 2 x y x 2y a) b) x y z 1 c) 2 x y z x y 3z x y z d) x y z x y 3z 2) Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc cao PP chung : Sử dụng phương pháp - Hệ phương trình - Hệ phương trình 3) Hệ đối xứng loại PP chung : Đặt ẩn phụ a ( x y ); b xy 4) Hệ đối xứng loại PP chung : Trừ vế hai phương trình cho ta : ( x y ) f ( x; y ) 5) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai PP chung : Có cách giải - Đặt ẩn phụ y t.x - Chia hai vế cho y , đặt t x y CÁC KỸ THUẬT THƯỜNG SỬ DỤNG: Rút ẩn hay nhóm ẩn… từ phương trình vào phương trình cịn lại hệ Phân tích phương trình hệ phương trình tích Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình Đưa PT hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn cịn lại coi tham số Cộng trừ vế với vế, nhân số thích hợp vào phương trình sau cộng trừ vế với vế Mục đích: Tạo phương trình hỗ trợ cho việc giải hệ cho như: Phương trình ẩn, phương trình bậc hai ẩn, phương trình tích, phương trình đẳng cấp… Một số phương pháp giải hệ phương trình I Phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình cịn lại * Nhận dạng Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn (1) 2 x y Bài Giải hệ phương trình 2 3 x y y (2) Lời giải 3y 3y Từ (1) ta có x vào (2) ta y 2y 59 3(25 30 y y ) y y 16 23 y 82 y 59 y 1, y 23 31 59 Vậy tập nghiệm hệ phương trình 1;1 ; ; 23 23 2 x y Bài Giải hệ phương trình sau : 2 x y 3x y 3 x3 (6 y ) x xy Bài Giải hệ : x x y 3 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y 3 x x thay vào PT (1) - Nghiệm (0; 3); (2;9) 3 x3 (5 y ) x xy x Bài a) Giải hệ : x x y 4 - PT (2) bậc với y nên Từ (2) y 4 x x thay vào PT (1) 3 x3 (6 y ) x xy b) Giải hệ : 2 x x y 3 x y xy y Bài (Thử ĐT2012) Giải hệ : y ( x y)2 x y - Từ (1) x y y xy thay vào (2) Nghiệm (1; 2); (2;5) Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình x x y x y x (1) Bài Giải hệ phương trình (2) x xy x Phân tích Phương trình (2) bậc y nên ta dùng phép Lời giải TH : x = không thỏa mãn (2) 6x x2 TH : x 0, (2) y vào (1) ta 2x 6x x2 x x2 x 2x x 2x 2x 2x x (6 x x ) 2 x x (6 x x ) x x( x 4)3 x 4 17 Do x nên hệ phương trình có nghiệm 4; 4 Chú ý.: Hệ phương trình theo phương pháp sau: x x 2 x xy x 2x - Hệ x2 6x 2 x xy x 6x x xy - Phương pháp thường công đoạn cuối ta sử dụng phương pháp khác x( x y 1) Bài (D – 2009 ) Giải hệ : Từ (1) x y 1và thay vào PT (2) x ( x y ) x x y 2( x y ) Bài Giải hệ : y ( y x) x 10 HD : Thế (1) vào PT (2) rút gọn ta : x xy x y ( x 1)( x y 3) Bài 10: (THTT 2009) Giải hệ phương trình x y 1 x y 1 x x 1 2 xy x x Hướng dẫn: x2 Cách 1: Ta thấy x không thỏa mãn hệ x Từ PT (2) ta có y vào PT x (1) ta PT: x x 1 x x Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình 5 2 KQ: Hệ có nghiệm là: 1; 1 , 2; Cách 2: Từ PT (2) ta có xy x x vào PT (1)… Bài tập tự luyện: Bài Giải hệ phương trình: ( PP Thế) 2 x y xy x y a) 7 y x x HD: Rút y từ PT (2) vào PT (1) phân tích thành PT tích x 1 x 1 y y 20 b) 2 x y 1 2 HD: Thế x y y vào PT (1) rút y x9 vào PT (2) 3x KQ: Hệ có nghiệm 1; 1 xy 2x 3y (1) Bài a) 2 2 x y 3xy 12x 18y 16 b/ Giải hệ sau : xy x 3y 2 x y 3xy 3x y ( 2) ( 2) (Đ/s ( -1; 2) (3 ; - 2/3 )) Đ/s ( -1;1) (3; -1/3) 2xy x 3y (1) ( Đ/s : -1/2 ; 2) ( 3/2; - 2/3 ) 2 x y xy 12 x y ( ) xy x 3y (1) 2 xy x y 6 d/ Giải hệ sau : a) b) 2 (2) x y x 12 y 2x y 3xy 12x 18y 16 xy (2 x 3y) (1) HDẫn: hệ có dạng : (2) (2x 3y) xy 6(2 x 3y) 16 c / Giải hệ sau : Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình II Phương pháp cộng đại số * Cơ sở phương pháp Kết hợp phương trình hệ phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau * Nhận dạng Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k x y Bài Giải hệ phương trình y x y 2 y x Bài Giải hệ phương trình 3 x x 2 y Lời giải - ĐK: xy 3 x y y - Hệ 2 3 y x x (1) (2) Trừ vế hai phương trình ta x y x y xy y x xy ( x y ) ( x y )( x y ) 3 xy x y - TH x y y x vào (1) ta x3 x x y2 x2 y , 3x x0 - TH xy x y Từ y y2 x2 xy x y Do TH khơng xảy - Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1) 1 (1) 2 2 y x Bài Giải hệ phương trình 2 2 (2) y x Lời giải 1 - ĐK: x , y 2 - Trừ vế hai pt ta x y x xy 2 y 2 2 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 2 y y 0 x 1 x 2 y 2 yx 0 xy x x y yx 1 xy y x 0 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình - TH y x y x vào (1) ta 1 2 2 x x , t ta x 2 t t 2 t2 t t x y 2 2 t t t t t - Đặt t - TH xy y Vậy hệ có nghiệm (1; 1) 2 x xy y Bài Giải hệ phương trình: 2 x xy y xy x y 1 TH vô nghiệm ĐK x 3 x xy y 38 Bài Giải hệ phương trình 2 5 x xy y 15 Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x 75 xy 60 y 570 2 145 x 417 xy 54 y - Hệ 190 x 342 xy 114 y 570 145 x vào hai phương trình - Giải phương trình ta y x, y 18 hệ ta thu kết (3;1); (3; 1) * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải cách đặt y tx, x đặt x ty, y 3 x xy y 11 Bài Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x xy y 17 m - Phân tích Để có kết nhanh ta đặt y tx, x Lời giải y 11 y 11 m 17 - TH x 3 y m 17 y m 17 11 m 16 Vậy hệ có nghiệm x 3 x 2tx t x 11 - TH x , Đặt y tx Hệ 2 2 x 2tx 3t x 17 m Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình 11 x (3 2t t ) x 11 2t t 2 11 (1 2t 3t ) x 17 m (1 2t 3t ) 17 m 2t t 11 x 2t t (m 16)t 2(m 6)t 3m 40 (*) 11 0, t nên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm Điều xảy - Ta có 2t t m 16 m 16, ' (m 6)2 (m 16)(3m 40) 2 363 m 363 - Kết luận 363 m 363 5 x xy y Bài Tìm giá trị m để hệ m (I) có nghiệm 2 x xy y m 1 Lời giải 5 x xy y - Nhân vế bpt thứ hai với -3 ta 2 6 x xy y 3 m 1 ( x y)2 - Cộng vế hai bpt chiều ta x xy y m 1 m 1 m 1 - Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm m 1 5 x xy y - Điều kiện đủ Với m Xét hệ pt (II) 2 x xy y - Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ (II) Khi 5 x02 x0 y0 y02 5 x0 x0 y0 y0 m 2 x x y y 2 x0 x0 y0 y0 0 m 1 - Vậy nghiệm hệ (II) nghiệm hệ (I) 5 x xy y (II) x xy y x y x 2 y 2 6 x xy y 3 - Thay x 2 y vào pt thứ hệ (II) ta y2 y2 y2 y2 y x 5 - Hệ (II) có nghiệm, hệ (I) có nghiệm Vậy m Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình 3x 1 2 x y Bài Giải hệ phương trình y 1 x y - Phân tích Các biểu thức ngoặc có dạng a + b a – b nên ta chia hai vế pt thứ cho 3x chia hai vế pt thứ hai cho y Lời giải - ĐK: x 0, y 0, x y - Dễ thấy x y không thỏa mãn hệ pt Vậy x 0, y 2 2 1 (1) x y x y 3x 4 2 2 x y 3x 7y 3x 7y 7y x y 2 2 - Nhân theo vế hai pt hệ ta y x 7y x y 3x y 6x 2 y 38 xy 24 x y x 3x y x y 11 22 1 x y - TH y x vào pt (1) ta 21 3x 21x - TH y x không xảy x 0, y 11 22 ; - Vậy hệ pt có nghiệm x; y 21 a b m m n 2a - Chú ý Hệ phương trình có dạng Trong trường hợp này, dạng a b n m n 2b thứ có vế phải chứa thức nên ta chuyển dạng thứ hai sau nhân vế để thức n a bx m px qy - Tổng quát ta có hệ sau: c m n dy px qy x ( y z ) (3 x x 1) y z Bài 10 Giải hệ phương trình y ( z x) (4 y y 1) z x z ( x y ) (5 z z 1) x y 1 x y - Hệ 1 x y Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình - Phân tích Nếu chia hai vế phương trình cho x y z ta hệ đơn giản y z - TH xyz Nếu x hệ y z z t, t y t, t - Tương tự với y z ta thu nghiệm (0;0; t ), (0; t ;0), (t;0;0), t - TH xyz Chia hai vế pt hệ cho x y z ta 1 2 x z y 1 y x z 1 5 y x z 1 z - - 1 2 x (1) y (2) Cộng vế phương trình hệ ta : z (3) 2 1 1 1 1 1 1 12 y x y z x2 y2 z x z y x 1 1 x y z (4) 1 1 1 1 12 1 1 x y z x y z (5) x y z 3 1 1 9 Từ (4) (1) ta có 13 x x x x x 13 Tứ (4) (2) ta có y Từ (4) (3) ta có z 11 5 Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có x , y 1, z Vậy hệ có tập nghiệm 5 9 9 S = (t;0;0); (0; t;0); (0;0; t ); ; ; ; ; 1; , t 4 13 11 Nhận xét Qua ví dụ ta thấy: từ hệ phương trình đơn giản, cách đổi biến số (ở phép thay nghịch đảo) ta thu hệ phức tạp Vậy hệ phức tạp ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản x y 35 Bài 11: Giải hệ phương trình 2 2 x y x y Hướng dẫn Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 10 - Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình 2 4x x g ( x) Thế vào pt (2) ta x x2 3 x 7, x 0; CM hàm g(x) nghịch biến - Với g ( x ) x - Ta có nghiệm x y2 Bài 10.(Thi thử ĐT 2011) Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm x y y x 2 x x y y m Lời giải - Điều kiện 1 x 1, y (1) x x ( y 1)3 3( y 1) - Hàm số f (t ) t 3t nghịch biến đoạn [1;1] x, y 1 1;1 nên f ( x) f ( y 1) x y y x Thế vào pt (2) ta x x m (3) Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm x 1;1 Xét g ( x) x x , x 1;1 , g '( x) x 1 x2 g '( x) x g (0) 2, g (1) Pt (3) có nghiệm x 1;1 2 m 1 m x5 xy y10 y Bài 11 (Thử ĐT 2012) Giải hệ : x y TH1 : Xét y thay vào hệ thây không thỏa mãn (1) 2 x y TH2 : Xét y , chia vế (1) cho y ta ( )5 x y y (3) y - Xét hàm số f (t ) t t f '(t ) 5t nên hàm số đồng biến x y - Từ (3) f ( ) f ( y ) x y x y2 y - Thay vào (2) ta có PT x x x Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (1;1) 2 x y ( y x)( xy 2) Bài 12 Giải hệ phương trình 2 x y Phân tích Nếu thay x y vào phương trình thứ ta hđt Lời giải 2 Thay x y vào phương trình thứ ta x y ( y x)( xy x y ) x y y x3 x x y y (1) Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 30 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình Xét hàm số f (t ) t , t có f '(t ) ln 3t 0, t suy f (t ) đồng biến (1) f ( x) f ( y ) x y vào pt thứ hai ta x y 1 Vậy tập nghiệm hệ S = (1;1); (1; 1) t t x x y Bài 13 Giải hệ phương trình x y y Lời giải Trừ vế hai pt ta x x y y y 3x x x 3x y y y f ( x) f ( y ) với f (t ) t t 3t f (t ) t 3t ln 0, t 1 f (t ) đồng biến Bởi f ( x) f ( y ) x y vào pt thứ ta x x 3x 3x Với g ( x) 3x x x g (0) g ( x) x x g '( x) 3x ln x x x 3x 1 x 1 2 x x ln 0, x x x x x 1 Suy g ( x) đồng biến Bởi g ( x) g (0) x Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = y x e 2007 y 1 Bài 14 Chứng minh hệ có nghiệm x 0, y x y e 2007 x 1 Lời giải x 1 x (; 1) (1; ) x x ĐK: Do nên y y 1 y y (; 1) (1; ) x y x y x y Trừ vế hai pt ta e x e y e e x2 y2 1 x2 y2 t Hay f ( x) f ( y ) với f (t ) et , t (1; ) t 1 f '(t ) et 0, t (1; ) f (t ) đồng biến (1; ) t t 3x Bởi f ( x) f ( y ) x y vào pt thứ ta x x e x 2007 ex 2007 g ( x) x 1 x2 x 2007, x (1; ) Ta có Với g ( x) e x x2 Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 31 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 g '( x) e x Hệ phương trình x( x 1) ; g ''( x) e x 0, x (1; ) ( x 1) x ( x 1)3 x Suy g '( x) đồng biến (1; ) g '( x) liên tục (1; ) có lim g '( x) , xlim g '( x) nên g '( x) có nghiệm x0 (1; ) 2 x 1 g '( x) g '( x) g '( x0 ) x x0 g '( x) x x0 Từ BBT g ( x) ta suy pt g ( x) có nghiệm x (1; ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm dương (1) ln(1 x ) ln(1 y ) x y Bài 15 Giải hệ phương trình 2 (2) x 12 xy 20 y Lời giải ĐK: x 1, y 1 (1) ln(1 x) x ln(1 y ) y f ( x) f ( y ) với f (t ) ln(1 t ) t , t (1; ) t f '(t ) 1 t (1; ) f (t ) ĐB (1;0) NB (0; ) 1 t 1 t TH x, y (1;0) x, y (0; ) f ( x) f ( y ) x y Thế vào pt (2) ta x y (không thỏa mãn) TH x (1;0), y (0; ) ngược lại xy x 12 xy 20 y TH xy hệ có nghiệm x y Vậy hệ có nghiệm x y x x x y 1 Bài 16 Giải hệ phương trình x 1 y y y x; y Hướng dẫn: u u 3v Đặt u x -1; v y -1 ta hệ v v 3u u 1 2 v Trừ vế với vế PT ta : u u v v (*) Xét hàm số : f t t t 3t ; f ' t Vì t2 1 t t2 1 3t ln t t t t t f ' t 0, t hàm số f(t) đồng biến R u Nên PT (*) u v thay vào PT (1) ta u u (3) Do: u u nên PT (4) ln u u u ln (lấy ln hai vế) Xét hàm số Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 32 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 g u ln u u u ln 3; g' u Hệ phương trình ln ln 0, u R u 1 hay hàm g(u) nghịch biến R PT (3) có nghiệm u nên PT (3) có nghiệm nhất: u0 Từ ta nghiệm hệ cho : x; y 1;1 *Bình luận: Để giải hệ phương trình ta phải nhận dạng hệ hệ đối xứng loại hai để trừ hai phương trình cho ta với có hàm số đặc trưng Bài 17 Giải hệ phương trình: 2 x - x x -1 x y y x 14 x y 1 2 Hướng dẫn: ĐKXĐ x 2, y Ta thấy x không thỏa mãn hệ x , nên 1 1 PT 1 x x 3 y y (*) Xét hàm số f t t t ta có f ' t t , nên f t đồng biến R PT (*) y , thay vào (2) ta x x 3 x7 x2 3 15 x x7 x 15 x 15 x 0 x7 y 15 x 111 98 Vậy hệ cho có nghiệm x; y 7; x 3x ln x 1 y 1 Bài 18 Giải hệ phương trình : y y ln y 1 x Hướng dẫn: Điều kiện : x ; y Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 33 111 98 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình Lấy 1 ta được: x x ln x 1 y y ln y 1 2 * Xét hàm số f t t 4t ln 2t 1 ; Ta có: f ' t 2t 0, t ; nên f t hàm số đồng biến 2t ; * f x f y x y x y Vậy hệ phương trình cho x x ln x 1 2 Xét hàm số f x x x ln x 1 ; Ta có: f ' x x 0, x ; 2x Suy f x hàm số đồng biến ; Mà f nên f x x y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 0;0 x3 y 64 Bài 19 Giải hệ phương trình x, y x y y y 12 x Hướng dẫn: Ta thấy x không thỏa mãn hệ x , nên hệ cho tương đương với 64 y x3 y 1 y y 12 x Đặt t hệ trở thành x 3 y t y 1 y y 3t Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 34 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình 3 y t 1 y 1 y y 3t 2 Cộng theo vế hai pt ta y y 1 y y t 3t y y t 3t * Xét hàm số f u u 3u ta có f ' u 3u u , suy f u đồng biến t t 1 Nên pt * y t , thay vào pt (1) ta t 3t + Với t x 2; y + Với t 1 x 4; y 3 Vậy hệ pt cho có nghiệm: 2;0 ; 4; 3 y x y x 3 Bài 20 Giải hệ phương trình y x 1 Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1 Ta thấy y không thỏa mãn hệ y nên hệ cho tương đương với x 3 x x 12 1 x y x 2 x 12 x 1 y y + Xét hàm số f x x x x 1 1, Ta có f ' x x x 1 1 x 10 x 10 x 1 x 1 x 1 x f ' x 0, x 1 x 1 f x liên tục 1, , suy f x đồng biến 1, Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 35 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình Do f x nghiệm phương trình (1) Với x y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 0;1 x x y y y 1 Bài 21 Giải hệ phương trình x y y y Hướng dẫn: Với y x thỏa mãn hệ, suy hệ có nghiệm 0;0 x x 5 Với y PT (1) y y (3) Xét hàm số g t t t y y Ta có g’(t) = 5t4 + > tR, nên hàm số y = g(t) đồng biến R x x g ( y ) y x y2 y y Mà phương trình (3) g Thay y x vào PT (2) ta x x x x (*) (HSG Nghệ An 2011) Với điều kiện 1 x Ta thấy x x hai nghiệm phương trình (*) Xét f ( x) x x f '( x) x x x khoảng (-1;2), ta có 1 ; x 1 2 x f '( x) 2(2 x 1) ( x 1)(2 x ) x x 2 x 1 x x 1 x ( x 1 x) x Bảng biến thiên Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 36 1 x x Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình x -1 f'(x) 2 - + f(x) Suy PT(*) có hai nghiệm x x Vậy hệ cho có ba nghiệm 0;0 , 1;1 , 1; 1 Bài tập tự luyện Bài Giải hệ phương trình sau: x xy y10 y a) x y x y x b) x 1 y 8 x3 y y y x c) x y x x 1 x y 3 y d) (A2010) 2 4 x y x 2 x y y x xy e) 2 x y x y y x f) ln x x 1 y y 1 x 1 y 1 g) x 1 y 1 x y 30 x 2013 2012 y y 2013 2012 x h) y 15 x 78 y y 141 Bài Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm x 12 x y y 16 2 4 x x y y m (HSG Nghệ An 2012) Bài Giải hệ phương trình sau: 2 x x y a) y 2 y x x3 x2 x y b) y y y x x x y c) y y x x 91 y y d) y 91 x x BÀI 4: giải hệ sau : Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 37 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình x x xy y y x y e e y 3 a) b) D / s : (0;0); 4; x x y y x xy y 12 x5 10 x 42 x3 12 x 56 y y c) D / s : (18; 20) 23x 29 x 26 y 10 x3 x x 22 y y y d) A2012: 2 Đs (3/2;-1/2); (1/2; -3/2) x y x y BÀI 5: Giải hệ sau : x y x x3 (4 y 1) 2( x 1) x D / s : (1; ) a)* b) D / s : (1; 2) 2 2 x x y x y (2 y 1) x x ( x 1) x x ( y 1) y y 53 x 10 x y 48 y c) d) 2 ( x 3) y x y x y x 2 x y 11 x 66 xy ( x y ) xy x y y 1 1 D / s : (1;1) ; ; e) THTT418 Giải hệ sau : x 1 y xy x(1 x) BÀI 6: Giải hệ sau : x x 1 y4 y D / s : (2;1); (1;0) A2013 : 2 x x( y 1) y y 2 2 x y xy x y D / s : (1; 2);(0;1) B2013: Giải : 2 x y x x y x y Giải hệ : x 3x y 3y 6y 2y x 2x 3y 12 x 6x 13 BÀI : Giải hệ phương trình sau : e x 1 e y e( y x 1) x 4(2 x 1) y y a) b) Giải hệ pt: 2 x y xy x y xy ( x y )(2 x y ) 6 x y x y x x y y c) Giải hệ phương trình: (Trường Nguyễn Quang Diệu) log x log y 3x y d) Giải hệ phương trình : y 2(y 19) 5x 7x BÀI 8: Giải hệ phương trình sau : x3 3x 3x y a) y y y z z z z x Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn x x 6.log y x b) y y 6.log z y z z 6.log x z 38 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 1) Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh VT VP ngược lại, dấu xảy x y 2) Một số BĐT quen thuộc x2 y x xy y x y (1) Bài Giải hệ : 3 (2) x y x x y 14 y - HD : Từ (1) VT VP, dầu x y thay vào PT (2) ta có : x x x3 14 x 2 x x x x Ta có : x2 2x 1 x x x x 14 x (2x 3x 4)(2y2 3y 4) 18 ( x, y ) Bài (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ : x y2 xy 7x 6y 14 - (2) x ( y 7) x y y 14 x x y 0,25 - (2) y ( x 6) y x x 14 y y x 10 0,25 - Xét hàm số f (t ) 2t 3t 4, t R f '(t ) 4t - 3, f '(t ) t - 1 3 Vì ; hàm số f(t) đồng biến 4 0,25 - TH x f ( x ) f (2) Kết hợp với y f ( y ) f (1) f (x ).f ( y ) (2x 3x 4)(2 y 3y 4) 18 - 2 y y y 1, y TH x hệ trở thành 2 vô nghiệm y y y - Vậy hệ cho vô nghiệm x2 y2 x xy y x y 1 Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x y 2 Hướng dẫn: Ta có: Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 39 0,25 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình 1 1 2 2 x y x2 y2 x y x y x y 2 4 x2 y2 x xy y 1 2 x y x y x y x y 4 Dấu “=” xảy khi: x y , hay PT (1) xảy x y x xy y 2 Thay y x vào PT (2) ta được: x x x 1 x x x (t/m) Vậy hệ cho có nghiệm 1;1 2 x y 1 Ví dụ Giải hệ phương trình x x y 13 Hướng dẫn: ĐK: x 4, y Từ PT (1), ta có: x x 5 x 1 y 1 1 y2 y 1 1 Xét x y Khi đó: VT2 x x y 64 13 Xét x y Khi đó: VT2 x x y 64 13 Do x 5; y , Thử lại thỏa mãn hệ Vậy hệ cho có nghiệm x; y 5;2 x y 1 Ví dụ Giải hệ phương trình x 16 y 16 10 Hướng dẫn: x ;4 v y ;4 ta có u v x y ;8 Mà: u v u v x 16 y 16 10 Suy hệ xảy u k v k x y Thay x y vào PT (1) ta x Vậy hệ cho có nghiệm nhất: x; y 3;3 Xét u Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 40 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình xy x x2 y x 2x Ví dụ Giải hệ phương trình xy y y2 x y2 y Hướng dẫn: Ta có : x; y 0;0 nghiệm hệ Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : xy x2 x Ta có : xy y2 y x2 2x x 1 x y (*) VT* xy xy xy 2 Mà VP* x y xy VT* xy x Suy PT(*) xảy y 1 VP* xy Vậy hệ cho có nghiệm 0;0 , 1;1 1 xy y2 Ví dụ Giải hệ phương trình x x 2x y y x Hướng dẫn: Điều kiện 0 y Ta chứng minh bất đẳng thức: (*) xy x2 y2 Thật vậy, theo BĐT Bunhiacopxki, ta có: 1 1 2 2 2x2 y 2x y 2 Dấu “=” xảy x y x y ( x, y ) Ta lại có: Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 41 1 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình 2 y x xy 1 1 0 x y xy 1 x 1 y 1 xy 1 2 2x y xy 2 Dấu “=” xảy x y Từ (1) (2) ta có BĐT (*) Dấu “=” xảy x y 73 x y x y 36 Do hệ cho trở thành 2 73 x 1 x x 1 x x y 36 Vậy hệ cho có hai nghiệm là: 73 73 73 73 ; ; , 36 36 36 36 x; y y x3 3x Ví dụ Giải hệ phương trình sau : x y y Hướng dẫn: y x 12 x 1 Hệ cho tương đương x y 1 y Nếu y từ (1) x , suy hệ vơ nghiệm PT (2) khơng xảy Nếu y từ (1) x , suy hệ vơ nghiệm PT (2) khơng xảy Vậy hệ có nghiệm : x; y 2;2 BÀI TẬP Bài Giải hệ phương trình sau: 1 x 1 y xy 2 x x y Bài Giải hệ phương trình sau: 1 x 1 x 1 x y 1 y 1 y 1 y x Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn 42 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình : 2 x y x 12 x y 19 Bài Giải hệ phương trình: x y x y Bài Giải hệ phương trình sau: x2 y2 x xy y x y x xy x xy x Bài Giải hệ phương trình: x y xy ( KA 2006) x y Bài Giải hệ phương trình: x x y y y x x, y Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực x 2012 y m 2 x y y 2012 2012 x m Một số đề thi ĐH qua năm (Thử làm xem sao???) 1.Các đề thi thức Giải hệ sau: xy x y 1.(KB-2009) 2 x y x 13 y 5 x y x y xy xy 3.(KA-2008) x y xy (1 x) Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn x( x y 1) 2.(KB-2009) ( x y ) x x 2x y x y 2x 4.(KB-2008) x xy x 43 Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 xy x y x y 5.(KD-2008) x y y x x y 1 x x y y 7.(KA-2003) 2 y x Hệ phương trình x y xy 6.(KA-2006) x y x2 3 x y2 8.(KB-2003) 3 y y x2 3 x y x y 9.(KB-2002) x y x y 2 Các đề thi dự trữ Giải hệ sau: x 1 y x3 1.(KB-2008) ( x 1) y xy x2 y x x 2x 3.(KB-2007) xy y y2 x y 2y ( x y )( x y ) 13 5.(KB-2006) ( x y )( x y ) 25 x y x y x( x y 1) y ( y 1) 7.(KA-2005) Email:thanhtoancvp@vinhphuc.edu.vn x x y x y 2.(KA-2007) x y x xy x x y y 4(KA-2006) x 3( y 1) x xy y 3( x y ) 6.(KD-2006) x xy y 7( x y ) 2x y x y 8.(KB-2005) 3 x y 44 ... phương trình bậc hai ẩn, phương trình tích, phương trình đẳng cấp… Một số phương pháp giải hệ phương trình I Phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương. .. ĐÍCH: Tạo hệ phương trình đơn giản hay hệ phương trình có phương pháp giải như: - Hệ gồm phương trình bậc thấp phương trình bậc cao - Hệ đối xứng loại I - Hệ đối xứng loại II - Hệ đẳng cấp - … Lưu.. .Đào Chí Thanh CVP _0985 852 684 Nội dung : Hệ phương trình 1) Phương pháp 2) Phương pháp cộng đại số 3) Phương pháp biến đổi thành tích 4) Phương pháp đặt ẩn phụ 5) Phương pháp hàm số 6) Phương