Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Một số phương pháp giải hệ phương trình giới thiệu đến các bạn các phương pháp giải hệ phương trình như: Phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn dụ, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp đánh giá,... Hy vọng tài liệu giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút biến biểu thức thích hợp từ phương trình thay vào phương trình cịn lại hệ ta thu phương trình ẩn Chú ý: Phương trình ẩn phải giải Một phương trình hệ đưa tích phương trình bậc hai ẩn x x y x y x 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : 2 x xy x Giải 6x x Phương trình xy thay vào phương trình 1 ta được: 2 x x2 x x2 x 2x x x 12 x 48 x 64 x 2 x x x 4 x 4 Với x = thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn Với x 4 thay vào phương trình ta y 17 x 4 Vậy nghiệm hệ phương trình : 17 y Bài tập Giải hệ phương trình sau: xy y 1) 2 xy xy y y y x x3 y x x y 2) x y 2 x y 1 x y 1 3x x 3) xy x x ĐS: x; y 0;3 ; 2;1 ; 4; 1 ĐS: x; y 1; 5 ĐS: x; y 1; 1 ; 2; 2 x y y 16 x 4) 2 1 y 1 x HD: phương trình (2) y x Thay vào phương trình (1) được: x y x y y 16 x ĐS: x; y 0; ; 0; 2 ; 1; 3 ; 1;3 xy x y x y 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x y y x x y Giải x Điều kiện: y Phương trình (1) x xy y x y x y x y 1 x y x y x y 1 x y 1 Với x = - y ( vơ lí ) Với x = 2y + Thay vào phương trình (2) biến đổi, thu gọn ta được: y 1 y y ( y ) x x Vậy nghiệm hệ phương trình : y Bài tập: Giải hệ phương trình sau: x x3 y x y 1) x y x xy 6 x xy x y 2) 3 x y 3x y y x xy 16 x y 16 3) y x x ĐS: x; y 1;1 ; 1; 1 1 ĐS: x; y 0;1 ; ; 3 4 ĐS: x; y 0; ; 4; ; ; x y xy x y 4) ĐS: x; y 4; y 1 x y x 3 x y xy x 5) 2 2 x x y x y xy y xy x 1 1 ; ; ; HD ĐS: x; y 1;1 ; x y x y 1 Phương pháp đặt ẩn phụ Nội dung phương pháp: Điểm quan trọng việc giải hệ phát ẩn phụ u f x; y , v g x; y Có phương trình xuất sau số phép biến đổi x x x 22 y y y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2 x y x y Giải Đặt y = - z, ta hệ phương trình x z 3( x z ) 9( x z ) 22 2 x z (x z) x z 3xz x z x z 2 xz x z 22 x z xz x z x z S Đặt : , S 4P xz P S 3SP S P 9S 22 S Ta có: S P S P x y x z x y x xz xy y x x Vậy nghiệm hệ phương trình : ; y y Bài tập Giải hệ phương trình sau: 3 x y xy 1) 2 x y x y 4 x y 2 x y HD: 2 x y x y 4 u x y Đặt 2 v x y x y xy x x y 2 2) 2 2 x y xy x y 1 x y 2 xy x y 2 HD: 2 2 x y xy x y 1 x2 y u Đặt xy v x y 1 y x y y xy 30 3) x y x y y y 11 xy x y x y x y 30 HD: xy x y xy x y 11 8 9 ĐS: x; y 0;1 ; ; 7 7 ĐS: x; y 1;3 21 21 21 21 ĐS: x; y 1; ; 2;1 ; ; ; ; 2 3 x y x y xy xy 4) x y xy 1 x 2 x y xy x y xy HD: x y xy x2 y u 25 3 Đặt ĐS: x; y ; ; 1; 16 2 xy v x y u Đặt xy v xy x y y 5) ĐS: x; y 1;1 ; 3; 1 y2 x y x y x y ĐS: x; y 5; 4 6) 2 x xy y xy x y y x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : x 1 y x y Giải Nhận xét: y = nghiệm nên hệ cho tương đương với : x2 y yx4 x y x y x2 u u v u Đặt : y uv v y x v x x2 1 1 y y y x x 2 y x x 2 Vậy nghiệm hệ phương trình : ; y y Bài tập Giải hệ phương trình: xy x y 1) 2 x y xy 13 y 1 x x x y HD: x x 13 x y x y u Đặt x v y 2 7 4 xy x y x y 2) 2 x x y 2 7 3 x y x y x y HD: x y x y x y u, u x y x y Đặt x y v y y x x 3) 2 1 x y x y1 y y2 y x x x HD: x y2 y x x x y 1 ĐS: x; y 3;1 ; ;1 3 ĐS: x; y 1; y x v Đặt 1 y u x x y xy 4) x y 49 x2 y 1 x y x y HD: x y 49 x2 y2 x x u Đặt y v y 1 ĐS: x; y 1; ; ;1 2 73 73 ; 1 ; 1; ĐS: x; y 9 y x3 1 125 5) 2 45 x y 75 x y 125 27 x y HD: 3 x x y y u x Đặt v y 1 5 2 ĐS: x; y ; ; ;5 3 2 3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Nội dung phương pháp Điểm quan trọng phương pháp biến đổi phương trình hệ dạng f u f v với f hàm số đơn điệu D Từ suy u = v x 1 x y 3 y 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2 4 x y x Giải ; y Phương trình (1) x 1 x y 1 y f x f Đk: x Xét hàm số f t t 1 t f ' t 3t 0, t f t hàm đồng biến với t R x f 2x f y 2x y 4x2 y Thay vào phương trình (2) ta được: 4x 4x 4x Nhận xét x = 0, x nghiệm 2 3 4x Xét g x x x 0; 4 3 g ' x x x 3 0, x 0; 4x 4 g x hàm nghịch biến 1 Mặt khác g x 2 x Vậy nghiệm hệ : y Bài tập Giải hệ phương trình sau: x y 1 x 1 x 1) 2 x y y 1 x x 1 5 2y HD: hệ y y x 1 2) 1 1 x x Xét f t t t f t đồng biến y 1 x; y 1; x 2 4x2 4x y y 4 x3 y y 5 1 ĐS: x; y 1; 3 2 x y 3 xy 3) 2 x y x xy y x y 1 1 ĐS: x; y ; 2 x y y 4) 2 x y xy y y y HD: Phương trình (2) y x y x Đặt y t 00t 3 Thay vào phương trình (1) thu gọn: t t t 7t t t t 7t t t 7t Xét hàm số: f t t t 7t 0, t 3 f ' t 9t 9t t f t đồng biến t ĐS: x; y 2;1 x xy y10 y 5) x y ĐS: x; y 1;1 ; 1; 1 x 16 y y 6) x x xy y t 1 x f f y , với HD: phương trình (1) f t , t 0 t 2 ĐS: x; y 2 2; 4 x x2 y y 7) x x xy xy x HD: phương trình (1) x x y y f x f y x y 11 3 11 ; ĐS: x; y 1; 1 ; x3 x x x y y 8) x 14 x y 1 HD: phương trình (1) f y f 1 x 111 ĐS: x; y 7; 98 3 1 x y x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 x x y y Giải 1 x Đk: 0 y Đặt z x z 0; 2 Phương trình (1) z z y y Xét hàm số: f t t 3t , t 0; 2 f ' t 3t 6t 3t t 0, t 0; 2 f t hàm nghịch biến 0; 2 Mà f z f y z y x y Thay vào phương trình (2) có: x x x x Vậy nghiệm hệ phương trình là: y 1 Bài tập: Giải hệ phương trình sau: x y x 1) ĐS: x; y 2;1 x y x x x y 1 2) ĐS: x; y 1;1 y y y 3x 1 1 1 1 1 1 x y x y 3) ĐS: x; y 1;1 ; ; ; ; 2 y x3 3 1 1 1 1 x x y y 4 4 ; 4) x ; y ; ; ĐS: 2 2 x y x x 22 y y y 5) 2 y y 22 x x x HD: Trừ vế với vế hai phương trình ta được: f x f y với f t t 2t 22 t t 2t 1, t x y Thay vào phương trình thứ Phương trình có dạng : g x g 1 , với f x x x x x 22 x , t g ' x 2x x ĐS: x; y 1;1 x 1 x x 22 x 1 2 0 x x 22 Phương pháp đánh giá Nội dung phương pháp: Với phương trình cần phát biểu thức không âm hệ nắm vững cách vận dụng bất đẳng thức y x x Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : x y y Giải y ( x 1) ( x 2) Hệ cho x 2( y 1) ( y 2) Nếu x > từ phương trình (1) y Điều mâu thuẫn với phương trình (2): x – y – dấu Nếu x < Lập luận tương tự, suy vô lý Nếu x = y = thay vào thỏa mãn hệ x Vậy nghiệm hệ phương trình : y 2 xy x2 y x x 2x Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: xy y y2 x y 2y Giải Cộng vế với vế hai phương trình ta được: xy xy x 2x Ta có: x2 y (1) y 2y x x ( x 1)2 23 2 xy x2 x Tương tự xy x2 x xy xy y 2y xy xy x y 1 Mặt khác: x y xy VT (1) VP (1) Dấu xảy x y x x Thử lại ta nghiệm hệ : ; y y 1 Bài tập Giải hệ phương trình : 36 x y 60 x 25 y 1) 36 y z 60 y 25 z 2 36 z x 60 z 25 x 60 x y 36 x 25 60 y HD: z 36 y 25 60 z x 36 z 25 2 x y xy 2) 3x y x y z ĐS: x y z ĐS: x = y =1 x y xy 3) x y x 32 x y 4) x 32 x y 24 HD: Cộng vế phương trình x 32 x x 32 x y y 21 VT 12; VT 12 ĐS: x = y = ĐS: x; y 16;3 2 x 1 y 1 xy 5) x y xy x y 14 7 10 HD: Phương trình (2) y 1; ; x 2; 3 3 1 Phương trình thứ x y x y Xét hàm số f t 2t f(t) đồng biến với t 0; t ĐS: x; y 2;1 f x f y f f 1 12 x y x 6) y x y 12 HD: Cộng vế hai phương trình ta được: 2 1 1 1 1 ; ĐS: x; y x x y y 0 2 2 2 2 x y 3 xy 7) 2 x y x xy y x y 2 x y 3 xy HD: 2 x y 2( x y ) ( x y ) (2 y 1) Có: x y xy Từ phương trình thứ x y x y x y Phương trình (2) x y 2 x y x y 1 y 1 ĐS: x; y 1;1 x xy y x xy y x y 8) x y x 12 y xy y HD: x xy y x xy y 2 2x y x y x y x y 2x y x y x y 3 x y Vậy phương trình thứ x y Thay vào phương trình (2): 3x 19 x x x x x x 1 3x x 19 x x x x 14 x2 x 3x x x 19 x (19 x 8) x2 x x 1 0 x2 x ĐS: x; y 0; ; 1;1 ... ; ;5 3 2 3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Nội dung phương pháp Điểm quan trọng phương pháp biến đổi phương trình hệ dạng f u f v với f hàm số đơn điệu D Từ suy u... x x 22 Phương pháp đánh giá Nội dung phương pháp: Với phương trình cần phát biểu thức không âm hệ nắm vững cách vận dụng bất đẳng thức y x x Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : ... vào thỏa mãn hệ x Vậy nghiệm hệ phương trình : y 2 xy x2 y x x 2x Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: xy y y2 x y 2y Giải Cộng vế với vế hai phương trình ta được: