chuong 1 vecto 10

1.4 Cho tứ giác ABCD. 1.9 Cho hình bình hànhABCD.. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm BC và AD. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A.. O là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua O kẻ các [r]

Chương

I VECTÔ

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ VECTƠ

1.1 Cho ba vectơ a b c  , , khác vectơ 0 Các khẳng định sau hay sai? a) Nếu hai vectơ a b , phương với vectơ c a b , phương b) Nếu a b , ngược hướng với c a b hướng

1.2 Cho ABC Đẳng thức sau đúng?

a) AB AC b) AB AC

c) |AB| |AC|  

1.3 Cho hình vng ABCD tâm O Liệt kê tất vectơ nhận đỉnh tâm hình vng làm điểm đầu điểm cuối

1.4 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Tứ giác hình bình hành

AB DC

 

1.5 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh: NP MQ

 

; PQ NM

 

1.6 Cho điểm A vectơ a0 Dựng điểm M cho a) AM a

 

b) AM phương với a có độ dài | |a 1.7 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Nếu AB CD

 

  

AC BD

1.8 Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Hãy so sánh vectơ AH B C' ; AB' HC 1.9 Cho hình bình hànhABCD Dựng AM BA

 

; MN DA

 

; NP DC

 

; PQ BC

  Chứng minh: AQ0

 

1.10 Cho lục giác ABCD có tâm O:

a) Tìm vectơ khác 0 phương với OA b) Tìm vectơ vectơ AB

BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU VECTƠ 1.11 Cho tam giác ABC cạnh a, tâm O Hãy tính:

a) |AB AC |

 

b) |OB OC |

 

c) |AO BC |

 

d) |AB AC |

e) |OA AB |  

d) |OA BC |

 

1.12 Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a Hãy tính:

a) |AB OC |

 

b) |AC AD |

 

c) |AC BO |

 

d) |AD DC |

 

e) |AO BC |

 

f) |AC BD |

  1.13 Cho điểm A, B, C, D, E Hãy tính tổng:

AB BC CD DE  

   

1.14 Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

AD BE CF AE BF CD    

     

1.15 Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng:

a) AB CD AD CB  

   

b) AB CD AC BD  

   

c) AE BF CD  AFBD CE

     

1.16 a) Cho ABC với G trọng tâm CM: GA GB GC    0 

b) Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm AB, AC, BC Chứng minh rằng: với O ta có:

OA OB OC OM ON OP    

     

1.17 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M, N trung điểm BC AD a) Tìm NC MC

 

; AM CD

 

; AD NC

  b) Chứng minh: AN AM AB AD  

   

1.18 Cho tam giác ABC, dựng hình bình hành ABMN, BCPQ, CARS nằm phía ngồi tam giác

Chứng minh: QM NR SP  0    

1.19 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh: AB CD AC BD      

1.20 Cho tam giác ABC, điểm M, N, P trung điểm AB, AC, BC a) Tìm hiệu AM AN

 

; MN NC

 

; MN PN

 

; BP CP

  b) Phân tích vectơ AM theo hai vectơ MN MP

1.21 Cho tam giác ABC Gọi A’ điểm đối xứng với B qua A B’ điểm đối xứng với C qua B C’ điểm đối xứng với A qua C Chứng minh với O tuỳ ý ta có:

' ' '

OA OB OC OA OB OC    

     

1.22 Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a

a) Xác định vectơ sau tính độ dài nó:

x OA OB OC OD   

    

y AD AB 

 

z AD AC 

   b) Tính |AB AC AC  |

  

1.23 Cho hình bình hành ABCD O điểm đường chéo AC Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh hình bình hành Các đường thẳng cắt AB DC M N, Cắt AD BC E F

Chứng minh rằng:

a) OA OC OB OD  

   

b) BD ME FN 

  

1.24 Cho hai điểm phân biệt A B Tìm điểm M thoả mãn điều kiện sau:

a) MA MB BA 

  

b) MB MA AB 

  

c) MA MB 0

  

1.25 Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M thoả mãn điều kiện sau:

a) MA MB MC  0

   

b) MA MB AB 

  

c) |MA CA | |AC AB |

   

1.26 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng:

a) CO OB BA 

  

b) AB BC DB 

  

c) DA DB OD OC  

   

d) DA DB DC  0

   

1.27 Cho a, b hai vectơ khác 0 Khi có đẳng thức:

a) |a b  | | | | |a  b

b) |a b  | | a b |

1.28 Cho hình bình hành ABCD M tuỳ ý: Chứng minh: MA MC MB MD  

   

1.29 Chứng minh tứ giác ABCD bất kỳ, ta ln có:

a) AB BC CD DA   0

    

b) AB AD CB CD  

   

1.30 Chứng minh rằng: AB CD  

trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng

BÀI 3: TÍCH VECTƠ VỚI MỘT SỐ

CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ

1.31 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng:

AB AC AD   AC

1.32 Gọi AM trung tuyến tam giác ABC D trung điểm đoạn AM Chứng minh rằng:

a)   0

    DA DB DC

b) 2OA OB OC  4OD

   

(với O điểm tuỳ ý)

1.33 Gọi M N trung điểm cạnh AB CD tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

2MN AC BD BC AD   

    

1.34 Cho tam giác ABC điểm G Chứng minh rằng:

a) Nếu GA GB GC  0

   

G trọng tâm tam giác ABC

b) Nếu có điểm O cho ( )

3

OG  OA OB OC  

   

   

G trọng tâm tam giác ABC

1.35 Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm tuỳ ý Chứng minh rằng:

MA MB MC MD    MO

    

1.36 Cho hình bình hành ABCD:

Chứng minh rằng: AB2AC AD 3AC    

1.37 Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: 2MN AC BD 

  

1.38 Cho tam giác ABC tam giác A’B’C’ có G G’ trọng tâm Chứng minh rằng:

a) AA'BB CC' ' 3 GG'

   

b) AA'BB CC' ' 0

   

 G trùng G’

1.39 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q, I, J trung điểm AB, BC, CD, DA, AC DB

a) CMR: AB CD 2IJ   

b) CMR: ANP CMQ có trọng tâm

1.40 Cho ABC Gọi M, N, P điểm chia đoạn AB, BC, CA theo tỉ số k 1 CMR: ABC MNP có trọng tâm

1.41 Cho ABCnội tiếp đường tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm đối xứng A qua O

a) CMR: HCDB hình bình hành

b) HA HD 2HO

  

; HA HB HC  2HO

   

; OA OB OC OH  

   

c) G trọng tâm ABC CM: OH 3OG Từ kết luận điểm

O, G, H

1.42*Cho ABC tâm O Lấy điểm M nằm tam giác Gọi D, E, F hình chiếu M xuống cạnh

CMR:

2

MD ME MF   MO

1.43 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G CM: Tính AH  theo vectơ AB AC

PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHƠNGCÙNG PHƯƠNG

1.44 Cho ABC có trung tuyến AM (M trung điểm BC) Phân tích vectơ AM 

theo hai vectơ AB AC

1.45 Cho ABC có G trọng tâm Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Đặt u AE



; vAF 

Hãy phân tích vectơ AI; AG; DE ; DC theo hai vectơ u; v

1.46 Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm thoả NC2NA0   

K trung điểm MN

a) Tính BN theo BA BC b) Tính AN theo AB BC c) Tính AK theo AB AC

d) Gọi L trung điểm BC CM: 1

4

KL AB AC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

1.47 Cho ABC Gọi M điểm cho MB2MC

 

Phân tích vectơ AM theo 2vectơ AB AC

1.48 Cho ABCcó trọng tâm G H điểm đối xứng B qua G a) CM: 23  13

  

AH AC AB

b) Gọi M trung điểm BC Tính MH theo AB AC 1.49Cho lục giác ABCDEF tâm O, cạnh a

a) Phân tích vectơ AD theo AB AF b) Tính độ dài vectơ 1

2AB2BC

 

theo a

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

1.50 Cho ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm đoạn AC cho AK=13AC CM: B, I, K thẳng hàng

1.51 Cho ABC có G trọng tâm Gọi I, J hai điểm xác định IA2IB  

3JA2JC0

  

1.52 Cho ABC I cạnh AC cho CI=1

4CA J điểm thoả

1

2

BJ  AC AB

  

a) CM:

4

BI  AC AB   

b) CM: B, I, J thẳng hàng

1.53 Cho ABC Gọi M, N, P thoả MA  MB; BC3BN  

; 4AP3AC  

a) Tính AN ; MP theo AB AC

b) Lấy điểm I thoả 16AI9AN  

CM: M, I, P thẳng hàng 1.54 Cho ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức: BC MA 0

   ;

3

AB NA  AC

   

CM: MN//AC

1.55 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm P, Q ln thoả: PQ PA PB PC PD        

CMR: PQ qua điểm cố định

1.56 Cho ABC

a) CMR : Có điểm I thoả 2IA3IB IC 0    

b) Cho hai điểm M, N di động thoả: MN 2MA3MB MC

   

CMR: MN qua điểm cố định

1.57 Cho ngũ giác ABCDE M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP, NQ

a) CM : MN PQ 2IJ   

b) CM : IJ//AE IJ

4AE

  

1.58 Cho ABC Dựng AB'BC

 

; CA'AB  

BC'CA   a) Chứng minh rằng: A trung điểm B’C’ b) CM : Các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy

1.59 Cho hình bình hành ABCD tâm O Trên cạnh AB lấy điểm M cho 3AM=AB Trên cạnh CD lấy điểm N cho 2CN=CD

a) Tính AN theo AB AC

b) Gọi g trọng tâm tam giác BMN Tính AG theo AB AC c) Lấy I thoả 11BI 6BC

 

điểm A, I, G có thẳng hàng khơng?

DỰNG MỘT ĐIỂM THOẢ ĐẲNG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC -BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

1.60 Cho ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí điểm G biết:

AG AD

 

a) IA IB IC  4ID    

b) 2JA2JB3JC JD

   

1.63 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm G cho GA GB GC GD   0     

1.64 Cho ABC:

a) Tìm điểm K cho: KA2KB CB   

b) Tìm điểm M cho: MA MB 2MC0

   

c) Tìm điểm N cho: NA3NB2NC0

   

d) Tìm điểm P cho: 5PA 2PB PC 0

   

1.65 Cho ABC cố định Tìm tập hợp điểm M thoả điều kiện sau:

a) |MA MB | |MA MB |

   

b) |MA MB | |MA MC |

   

c) |MA MB 2MC| |MA MB |

    

d) |MA MB MC  | | MB MC |

    

e) | | 2| |

3

MA MB MC   MB MC

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

f) | 2MA MB  | |MA2MB|

Bài 5: TRỤC TOẠ ĐỘ - HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ 1.66 Tìm toạ độ vectơ sau:

a) a2i b) b5j c) c 3 4i j

  

d) ( )

d  j i

  

  

  

  

  

  

  

  

  

e) e0.15 2,3i j

  

f) f i c os150j

  

1.67 Cho a(2;1); b(3;4); c(7;2): a) Tìm toạ độ vectơ u2a 3b c 

b) Tìm toạ độ vectơ x cho x a b c     c) Tìm số k, để c ka b

1.68 Cho u2 5i j; v k j  4i Tìm k để hai vectơ phương

1.69 Cho hình bình hành ABCD có A(-1;-2); B(3;2); C(4;-1) Tìm toạ độ đỉnh D 1.70 Trong mp Oxy cho A(-3;4); B(1;1); C(9;-5)

a) CM: A, B, C thẳng hàng

a) M1 đối xứng với M qua trục Ox

b) M2 đối xứng với M qua trục Oy

c) M3 đối xứng với M qua gốc O

1.72 Trong mp Oxy cho A(4;1); B(2;4); C(2;2) a) CM : A, B, C khơng thẳng hàng b) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC

d) Tìm toạ độ M cho ABMC hình bình hành

e) Tìm toạ độ điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD f) Tìm toạ độ điểm E cho ABCE hình bình hành 1.73 Cho A(-1;3); B(4;2); C(3;5)

a) CMR : A, B, C không thẳng hàng b) Tìm toạ độ điểm D cho AD3BC

  c) Tìm toạ độ M cho MA3MB MC

  