Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60. Tính thể tích khối chóp A.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG VECTOR I CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Vấn đề 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a (Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối A, A1 năm 2012.) Lời giải: Cách ( Phương pháp phổ biến ): Sử dụng định lý cosin ∆AHC ta tính đoạn HC: 4a2 2a 7a2 HC = AH + AC − 2AH.AC.cos60o = + a2 − = 9 √ a Từ ta có: HC = Mặt khác HC hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABC) nên [SC, (ABC)] = SCH = 60o √ √ √ √ √ a 7√ a 21 1 a 21 a2 a3 o ⇒ SH = HC.tan60 = 3= Suy VS.ABC = SH.S∆ABC = = 3 3 12 −−→ −−→ −−→ Cách (Phương pháp vector): Đặt BC = a, BA = b, SH = c Hiển nhiên: BC = BA = |a| = b = a SH = |c| S M φ A F C N H B −→ −−→ −→ −−→ Lập luận cách ta có: (SC; HC) = 60o Ta biểu diễn SC HC theo a, b, c −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1 SC = SH + HC = SC + BC − BH = a − b + c Còn HC = BC − BH = a − b 3 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 1 −→ −−→ (a − b + c)(a − b) (a − b)2 −→ −−→ 1 SC.HC 3 = ⇔ = Ta có: cos(SC; HC) = −→ −−→ = ⇔ 1 1 2 SC HC a− b+c a− b a− b+c a− b 3 3 a− b 1 1 1 = ⇔ 4(a − b)2 = (a − b + c)2 ⇔ 4(a − b)2 = (a − b)2 + c2 + 2(a − b)c ⇔ 3 3 a− b+c 1 1 7a2 ⇔ 3(a − b)2 = c2 ⇔ 3(a2 + b2 − ab) = c2 ⇔ 3(a2 + a2 − a.a) = c2 ⇔ = c2 9 √2 √ √3 √ a 1 a a2 a3 ⇔ c = √ Từ tính VS.ABC = |c| S∆ABC = √ = 3 12 3 Nhận xét: Mình khơng khuyến khích bạn dùng cách để tính câu thể tích dễ giải cách thơng dụng Mình giải để làm rõ phương pháp chủ đề cho bạn hiểu Nhưng đến câu hỏi tính khoảng cách phương pháp lại khả thi việc xác định đoạn vng góc chung độ dài khoảng cách đường thẳng −→ −−→ Ta dễ dàng biểu diễn vector: SA = b + c BC = a −−→ −→ 2x −−→ −−→ Gọi M,N điểm nằm SA BC thỏa: SM = xSA = b + xc BN = y BC = ya −−→ −−→ −→ −−→ −2x 1 M N = M S + SB + BN = b − xc + c − b + ya = ya − (2x + 1)b + (1 − x)c (1) 3 −→ −→ M N ⊥SA − M N SA = Để MN đoạn vng góc chung SA BC thì: ⇔ −−→ −−→ M N ⊥BC M N BC = 2y ab − (2x + 1)b2 + (1 − x)c2 = ⇔ ya2 − (2x + 1)ab = 2 2y a − (2x + 1)a2 + (1 − x) 7a = (1 − x) − (2x + 1) + y = −7x − (2x + 1) + y = −7 3 3 ⇔ ⇔ ⇔ −2x + 6y = ya2 − (2x + 1) a = − (2x + 1) + y = 13 25 −19 − x + y = x = 16 3 ⇔ ⇔ −2x + 6y = y = 16 −−→ 7 Thay x, y vào phương trình (1) ta thu được: M N = a − b + c 16 16 −−→ 2 7 2 2 7 7 a2 7 Ta có: M N = M N = ( ) a + ( ) b + ( ) c − 2ab = ( )2 a2 + ( )2 a2 + ( )2 a2 − 16 16 16 16 16 16 √ a 42 = 3V Các bạn giải câu khoảng cách cách sử dụng ti số đường cao công thức h = cách qua A S dựng đường thẳng song song với BC Nhận xét: Cách cho ta thấy đươc xác vị trí điểm M, N nằm cạnh SA BC Nên đường vng góc chung hồn tồn xác định Một lợi phương pháp so với phương pháp tọa độ ta không cần phải sử dụng trục vng góc đơi xuất phát từ điểm hệ trục Decartes mà cần biết rõ góc vector Ta cần phải chọn vector a, b, c vừa biểu diễn hoành độ tung độ mặt phẳng đáy cao độ chiều cao từ đỉnh Ưu tiên chọn vector a, b, c có góc đẹp vector 30o , 45o , 60o đặc biệt 90o Lưu ý: Không chọn vector nằm mặt phẳng có vector nằm phương với Vấn đề 2: Cho hình chóp S.AB có đáy tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a.(Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối A năm 2011.) Lời giải: (SAB)⊥(ABC) ⇒ SA⊥(ABC) Theo giả thiết : (SAC)⊥(ABC) www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −−→ −−→ −→ Đối với ta chọn hệ vector sau: Đặt BA = a, BC = b, SA = c Hiển nhiên ta có: BA = BC = |a| = b = 2a Lưu ý: Các vector a, b, c đôi vng góc nên tích vơ hướng chúng hiển nhiên việc chọn dễ dàng cho việc tính tốn Để xác định góc mặt phẳng (SBC) (ABC) ta làm sau: (SBC) ∩ (ABC) = BC Mặt khác: AB ∈ (ABC), AB⊥BC(gt) ⇒ [(SBC); (ABC)] = (AB; SB) = SBA = 60o BC⊥SB(BC⊥(SAB) √ √ Từ tính SA = AB.tan60o = 3a ⇒ c2 = 3a2 = 3b2 (với |c| = 3a) 1 3a2 Dễ thấy tứ giác BM N C hình thang vng nên ta có SBM N C = BM.(M N + BC) = a.(a + 2a) = 2 √ 1 √ 3a2 VSBM N C = SA.SBM N C = 3a =a 3 −−→ −−→ Để tính khoảng cách AB SN ta biểu diễn vector AB, SN theo a, b, c S K N C A M φ B H −−→ −−→ −→ −−→ −−→ AB = −a, SN = SA + AM + M N = − (a − b) + c −−→ −−→ −−→ −−→ y Gọi điểm H ∈ AB K ∈ SN cho: AH = xAB = xa.SK = y SN = − (a − b) + yc −−→ −−→ −→ −−→ y y y HK = HA + AS + SN = −xa − c − (a − b) + yc = −(x + )a + b + (y − 1)c 2 −→ −−→ HK⊥AB − HK.AB = Để HK đoạn vuông góc chung AB SN thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥SN HK.SN = y y y x + = x + = x + = 2 ⇔ ⇔ ⇔ 7y (x + y )a2 + y b2 + (y − 1)c2 = (x + y ) + y + 3(y − 1) = x+ =3 2 2 2 x = − −−→ 13 ⇔ ⇒ HK = b− c 12 13 13 y = 13 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ −−→ ⇒ HK = HK = 6 39a −1 b − c)2 = ( )2 + 3( ) b = 13 13 13 13 13 Vấn đề 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD, H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng √ (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a (Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối A năm 2010.) 1 a2 a2 5a2 Lời giải: Dễ thấy: SCDN M = SABCD − SAM N − SBM C = a2 − AM.AN − BM.BC = a2 − − = 2 8 √ 1 √ 5a2 3a3 Từ tinh được: VS.CDN M = SH.SCDN M = a = 3 24 ( S M B A N T H≡K D C √ −−→ −−→ −−→ a Đặt AM = a, DN = b, SH = c Hiển nhiên ta có: AM = DN = |a| = b = , SC = |c| = a −−→ −−→ −−→ −→ ⇒ c2 = 12a2 = 12b2 Ta có: DM = a + 2b, CN = −2a + b Đến ta biểu diễn DM , SC theo a, b, c −−→ −−→ Nhưng để làm điều ta phải xác định vị trí điểm H biểu diễn DH, CH từ biểu diễn −−→ −→ DM , SC −−→ −−→ Cách xác định điểm H sau:Đặt DH = u(a + 2b), CH = v(−2a + b) −−→ −−→ −−→ −−→ HH = HD + DC + CH = −u(a + 2b) + 2a + v(−2a + b) = −(u + 2v − 2)a + (−2u + v)b u + 2v − = −−→ Mà HH = ⇔ (Do a, b không phương ngược hướng) −2u + v = −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ u = , v = ⇒ DH = DM CH = CN 5 5 −−→ −→ −−→ −−→ 4 Từ DM = a + 2b, SC = SH + HC = c − (−2a + b) = (2a − b) + c 5 −−→ −−→ −→ −→ 4y Gọi điểm K ∈ DM T ∈ SC cho: DK = xDM = x(a + 2b), ST = y SC = (2a − b) + yc −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ 4y KT = KD + DS + ST = KD + DH + HS + ST = −x(a + 2b) + (a + 2b) − c + (2a − b) + yc 5 8y 4y = (−x + + )a + (−2x − + )b + (y − 1)c (1) 5 5 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Để KT đoạn vng góc chung DM SC thì: KT ⊥DM −→ −−→ − KT DM = ⇔ −−→ −→ KT SC = KT ⊥SC −5x + = −x + 8y + + 2(−2x − 4y + ) = 5 5 ⇔ ⇔ 8y −4y 4y 76y − 12 = (−x + ) + (−2x − + ) + 12(y − 1) = 5 5 5 x = −−→ 24 12 ⇒ KT = a − b − c (Thay x,y vào (1) ) ⇔ 15 19 19 19 y = 19 −−→ 12 −12 −4 24 24 ) + 12.( ) |a| Suy KT = KT = ( a − b − c)2 = ( )2 + ( 19 19 19 19 19 19 √ √ 57 a 57a = = 19 19 Nhận xét: Từ x = ta thấy điểm K mà ta giả định trùng với điểm H Từ thấy đoạn vng góc chung đoạn HT Các bạn nên hiểu rõ phương pháp tính độ dài vector vấn đề hoàn toàn xuất phát từ định lý cosin tam giác khơng có lạ Ngồi phương pháp vector hiệu trường hợp tính góc Ta xét vấn đề để hiểu rõ phương pháp Vấn đề 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, tam giác vng có AB = a, √ AC = a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a đường cao khối chóp A’.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA", B’C’ (Trích đề thi đại học mơn tốn khối A năm 2008) Lời giải: −−−→ −−→ −−→ Gọi M trung điểm BC theo giả thiết A M ⊥(ABC) Ta chọn vector sau: A B = a, A C = b, A M = c (Đây ba vector đơi vng góc nên tích vô hướng chúng ) √ Từ có A B = |a| = a, A C = b = a 3, A M = |c| B' C' A' B M C A www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ Ta có: A A = A M − AM = A M − (AB + AC) = − (a + b) + c Mặt khác AA = 2a nên AA = 4a2 2 −1 1 ⇔[ (a + b) + c]2 = 4a2 ⇔ (a + b)2 + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + b2 ) + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + 3a2 ) + c2 = 4a2 4√ 4 ⇔ c2 = 3a2 hay AM = |c| = a −−→ −−→ AA B C −−→ −−→ Để tính cosin góc AA , B C ta sử dụng công thức: cos(AA ; B C ) = cos(AA ; B C) = −−→ −−−→ AA B C −−−→ −−→ −−−→ −−→ Ta biểu diễn AA , B C theo a, b, c Ta có: AA = − (a + b) + c, B C = b − a −−→ −−−→ 2 AA B C = a − b = a2 − b2 = −a2 2 2 √ −−−→ −−→ AA = AA = 2a B C = B C = (b − a)2 = a2 + b2 = 2a −−→ −−→ −a2 ⇒ cos(AA ; B C ) = cos(AA ; B C) = = 4a Lưu ý: Đối với số tốn có hình vẽ phức tạp u cầu chứng minh quan hệ vng góc phương pháp tỏ hiệu Vấn đề 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD va tính theo (a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC (Trích đề thi đại học mơn tốn khối B năm 2007) Lời giải: Gọi O tâm hình vng, K trung điểm SA theo giả thiết ta có: SO⊥(ABCD) Do K vừa trung điểm SA vừa −−→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→ trung điểm DE nên tứ giác ADSE hình bình hành.⇒ M A = SD = (SO + OD) Và AN = AO + ON = 2 −→ −−→ −−→ AO + (OC + OB) −−→ −−→ −→ −−→ −−→ Ta chọn hệ vector sau: OC = a, OD = b, SO = c Ta biểu diễn M N , BD theo vector a, b, c E S M K A B N O K D C −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1 Ta có: M N = M A + AN = (b + c) + (3a − b) = (3a + c) Và BD = 2b ⇒ M N BD = b(3a + c) = (Do vector 2 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam a, b, c vng góc đơi nên tích vơ hướng chúng 0) Để tìm tính đoạn vng góc chung hai đường thẳng MN AC ta làm sau: −−→ −−→ x −−→ −→ Gọi điểm H ∈ M N K ∈ AC cho: M H = xM N = (3a + c), AK = y AC = 2ya −−→ −−→ −−→ −−→ x 1 1 HK = HM + M A + AK = − (3a + c) + (b + c) + 2ya = (−3x + 4y)a + b − (x − 1)c (1) 2 2 −→ −−→ HK⊥M N − HK.M N = Để HK đoạn vng góc chung MN AC thì: ⇔ −−→ −→ HK⊥AC HK.AC = x − = (−3x + 4y)a2 − (x − 1)c2 = −−→ ⇔ ⇒ HK = b (Thay vào (1) ) ⇔ −3x + 4y = −3x + 4y = √ −−→ a b = ⇒ HK = HK = Nhận xét: Từ phương trình ta giải thấy x = nghĩa điểm H ≡ N, y = nên điểm K trung điểm đoạn OC Dễ dàng thấy đoạn vng góc chung hai đường thẳng MN AC NK Lưu ý: Ngoài gặp câu hỏi khoảng cách từ điểm tới mặt ta dựng mặt phẳng song song chuyển tìm đoạn vng góc chung hai đoạn thẳng phương pháp Một cách làm nghe "ngược đời" hồn tồn thực phương pháp Ta xét tiếp vấn đề thấy rõ hiệu Vấn đề 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C=a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a (Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối D năm 2012.) Lời giải: √ a a cạnh hình vuông AB = Do ∆AA C vuông cân A nên ta tính được: AA = AC = 2 Theo đề AB⊥BB AB⊥BC nên dễ dàng suy được: AB⊥(BB C C) √ √ 1 a a a a3 Suy ra: VABB C = AB.S∆BB C = = 3 2 2 48 A B D C K B' A' D' C' Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) ta tính khoảng cách hai đường đường AD CD’ (vì www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam (AD (BCD )) √ −−→ −−→ −−→ a a 2 Ta chọn hệ vector sau: BA = a, AD = b, AA = c với |a| = b = , |c| = Hay c2 = |a| 2 −−→ −−→ −−−→ Ta có: CD = CC + C D = a + c −−→ −−→ −−→ −−→ Gọi điểm H ∈ AD K ∈ CD cho: AH = xAD = xb, CK = y CD = y(a + c) −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ HK = HA + AC + AK = HA + BC − BA + AK = −x b + b − a + y(a + c) = (y − 1)a + (1 − x)b + yc (1) −→ −→ HK⊥AC − HK.AC = Để HK đoạn vng góc chung AD CD’ thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥CD HK.CD = 1 − x = x = −−→ ⇒ HK = (−2a + c) (thế x, y vào từ (1) ) ⇔ ⇔ y − + 2y = y = 3 √ √ −−→ 1 a ⇒ HK = HK = (−2a + c)2 = |a| + = 3 √ a Vậy d[A; (BCD )] = HK = Nhận xét: Từ hệ ta thấy điểm H ≡ D nên đoạn vuông góc chung AD CD’ đoạn DK đường cao kẻ từ đỉnh D ∆CDD √ Vấn đề 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1 A1 ) (ABCD) 60o Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1 BD) theo a (Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối B năm 2011.) Lời giải: Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD M trung điểm AD ta dễ dàng chứng minh được: A1 O⊥(ABCD), OM ⊥AD A1 M ⊥AD nên góc hai mặt phẳng (ADD1 A1 ) (ABCD) (A1 M ; OM ) = A√1 M O = 60o √ √ AB √ a 3a2 a ⇒ A1 O = OM.tan60o = 3= Suy VABCD.A1 B1 C1 D1 = A1 O.SABCD = a.a = 2 2 Để tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1 BD) ta chuyển tính khoảng cách hai đường thẳng A1 B1 O1 D1 H C1 A M φ B O D C www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam B1 D1 A1 B (vì B1 D1 (A1 BD) ) √ −−→ −−−→ −−→ a 3 Ta chọn hệ vector sau: OD = a, B1 A1 = b, A1 O = c với |a| = b = a, |c| = Hay c2 = |a| Dễ thấy A1 B1 D1 = 60o nên suy (a; b) = 60o từ lưu ý a.b = a2 −−−→ −−→ −−→ −−→ Ta có: B1 D1 = 2a A1 B = A1 O + OB = −a + c −−−→ −−−→ −−−→ −−→ Gọi điểm H ∈ B1 D1 K ∈ A1 B cho: B1 H = xB1 D1 = 2xa, A1 K = y A1 B = y(−a + c) −−→ −−−→ −−−→ −−−→ HK = HB1 + B1 A1 + A1 K = −2xa + b + y(−a + c) = −(2x (1) + y)a + b + yc −→ −−−→ HK⊥B D − HK.B1 D1 = 1 Để HK đoạn vng góc chung B1 D1 A1 B thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥A1 B HK.A1 B = −2(2x + y)a2 + 2a.b = −2(2x + y) + = x = 4x + 2y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (2x + y)a2 − a.b + yc2 = 2x + y − + 3y = y = 2x + 7y = 2 −−→ −−→ 1 1 Thay x, y vào (1) ta được: HK = − a + b ⇒ HK = HK = (− a + b)2 = a + a2 − a2 2 √ √ a a = ⇒ d[B1 ; (A1 BD)] = HK = 2 Nhận xét: Từ hệ ta thấy điểm H trung điểm đoạn O1 B1 (với O1 tâm hình chữ nhật A1 B1 C1 D1 K ≡ A1 nên đoạn vng góc chung tìm đoạn A1 H Để tổng kết phương pháp ta đến vấn đề cuối sau vài tập tự luyện để bạn hiểu nắm phương pháp Vấn đề 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Cạnh đáy có độ dài a, biết góc đường thẳng AB’ BC’ 60o Tính thể tính khối lăng trụ ABC.A’B’C khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC’ theo a Lời giải: −−→ −−→ Để xử lí kiện góc hai đường thẳng AB’ BC’ ta sử dụng công thức: cos(AB ; BC ) = cos(AB ; BC ) = B C K A H C' B' A' www.MATHVN.com −−→ −−→ AB BC −−→ −−→ = AB BC www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −−→ −−→ −→ Ta chọn hệ vector sau: AB = a, AC = b, AA = c AB = AC = |a| = b = a Để ý a.b = |a| b cos(a; b) = a.a.cos60o = a2 Do c vuông với vector a, b nên tích vơ hướng c hai vector −−→ −−→ −−→ −−→ Ta biểu diễn AB , BC theo vector a, b, c Dễ thấy AB = a + c BC = −a + b + c √ √ −−→ −−→ −−→ −−→ a2 AB BC = −a2 + a.b + c2 = − + c2 AB = a2 + c2 BC = a2 + b2 + c2 − 2a.b = a2 + c2 a2 c2 − √ −−→ −−→ = ⇔ c = (loại) c2 = 2a2 ⇒ |c| = a ⇒ cos(AB ; BC ) = cos(AB ; BC ) = 2 a +c √ √ √ a a3 Từ ta có: VABC.A B C = AA SABC = a = 4 Để tìm tính đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB’ BC’ ta làm sau: −−→ −−→ −−→ −−→ Gọi điểm H ∈ AB K ∈ BC cho: AH = xAB = x(a + c), BK = y BC = y(−a + b + c) −−→ −−→ −−→ −−→ → − HK = HA + AB + BK = −x(a + c), + a + y(−a + b + c) = −(x + y − 1)a + y b + (y − x)c (1) −→ −−→ HK⊥AB − HK.AB = Để HK đoạn vng góc chung AB’ BC’ thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥BC HK.BC = −(x + y − 1)a2 + a.b.y + (y − x)c2 = −(x + y − 1) + y + 2(y − x) = ⇔ ⇔ (x + y − 1)a2 + yb2 + (y − x)c2 − (x + 2y − 1)ab = (x + y − 1) + y + 2(y − x) − (x + 2y − 1) = −3x + y = −1 x = ⇔ −3 ⇔ y = x + 3y = 2 √ −−→ −−→ 1√ Thay x, y vào (1) ta có: HK = (4b − c) ⇒ HK = HK = (4b − c)2 = 16b2 + c2 = b 16 + 9 9 √ a = TỔNG KẾT: Qua ví dụ muốn cho bạn thấy tốn hình học khơng gian giải nhiều cách từ bạn chọn phương pháp giải phù hợp đề trường hợp cụ thể Chúc bạn ơn thi có kết cao nắm điểm phần hình học không gian đề thi Đại Học tới năm 2013 Sau vài tập cho bạn tự luyện để đánh giá mức độ nhận biết II CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tự luyện 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = √ a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C (Trích đề tuyển sinh √ Đại Học mơn Tốn khối D năm 2008) √ a3 a Đáp số: VABC.A B C = , d(AM ; B C) = √ Tự luyện 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA=a, SB=a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính thể tích khối chóp S.BMDN tìm cosin góc hai đường thẳng SM, DN.(Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối B năm 2008) √ √ a3 Đáp số: VS.BM DN = , cos(AM ; B C) = Tự luyện 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm số đo góc tạp hai mặt phẳng (BA’C) (DAC).(Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối A năm 2003) Đáp số: [(BA C); (D”AC)] = 60o √ Tự luyện 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a 5, AC= 4a chiều cao hình chóp SO √ = 2a, O giao điểm AC BD Gọi H trung điểm SC Tìm góc tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM theo a.(Trích đề √ tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối A năm 2004) 6a Đáp số: (SA; BM ) = 30o , d(SA; BM ) = Tự luyện 5: Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có cạnh a Tìm khoảng cách hai đường thẳng A1 B B1 D (Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối B năm 2002) www.MATHVN.com 10 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ a Đáp số: d(A1 B; B1 D) = Tự luyện 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N trung điểm AB CD Tìm khoảng cách hai đường√thẳng A’C MN (Trích đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn khối A năm a 2006) Đáp số: d(A C; M N ) = Tự luyện 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a , BC =2a, cạnh SA vng góc với đáy SA= 2a Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB SC √ Đáp số: d(AB; SC) = a Tự luyện 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, B’C’ √ Tính khoảng cách đường thẳng A’B B’C’ a 21 Đáp số: d(A B; B C ) = Tự luyện 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) điểm thuộc BC Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA rheo a Biết SA= a tạo với mặt phẳng đáy √ góc 30o a Đáp số: d(BC; SA) = √ Tự luyện 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, cạnh bên SC vng góc với đáy SC =2a Gọi M,N trung điểm BC, √ AB Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SM CN 3a Đáp số: (SM ; CN ) = 45o , d(SM ; CN ) = Tự luyện 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4a Điểm D nằm cạnh SC, CD=3a Khoảnh cách từ A đến BD 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a √ 174 Đáp số: VS.ABC = a 16 √ Tự luyện 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O Biết AB = a, BC = a 3, tam giác SAO cân S, mặt phẳng (SAD) vng góc với đáy Góc SD đáy 60o Tính thể tính khối chóp S.ABCD khoảng cách SB, AC theo a 3a Đáp số: d(SB; AC) = Tự luyện 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a góc BAC = 120o , cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Chứng minh tam giác AB’I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng √ (ABC) (AB’I) 30 Đáp số: cos[(ABC); (AB I)] = 10 Tài liệu tham khảo: Đề tuyển sinh Đại Học mơn Tốn năm 2002 - 2012 BỘ GD ĐT Phân dạng phương pháp giải chuyên đề hình học (Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Tất Thu - Nguyễn Tấn Siêng) Tài liệu tham khảo internet Người viết: iceage3 Hết CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG www.MATHVN.com 11 ... bạn thấy tốn hình học khơng gian giải nhiều cách từ bạn chọn phương pháp giải phù hợp đề trường hợp cụ thể Chúc bạn ôn thi có kết cao nắm điểm phần hình học khơng gian đề thi Đại Học tới năm 2013... hiểu rõ phương pháp tính độ dài vector vấn đề hoàn toàn xuất phát từ định lý cosin tam giác khơng có lạ Ngoài phương pháp vector hiệu trường hợp tính góc Ta xét vấn đề để hiểu rõ phương pháp Vấn... xác định Một lợi phương pháp so với phương pháp tọa độ ta không cần phải sử dụng trục vng góc đơi xuất phát từ điểm hệ trục Decartes mà cần biết rõ góc vector Ta cần phải chọn vector a, b, c vừa